Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://phys.msu.su/upload/iblock/204/2010-00-00-ulibbishev.pdf Дата изменения: Fri Oct 15 14:17:07 2010 Дата индексирования: Mon Oct 1 21:07:58 2012 Кодировка: Windows-1251

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

На правах рукописи

Улыбышев Максим Владимирович

ЭНЕРГИЯ КАЗИМИРОВСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ НА РЕШЕТКЕ

Специальность 01.04.02 Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2010


Работа выполнена на кафедре квантовой теории и физики высоких энергий физического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук профессор К.А.Свешников.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор В.Ч.Жуковский, физический факультет МГУ, доктор физико-математических наук ведущий научный сотрудник В.Г.Борняков, ИФВЭ, г. Протвино.

Ведущая организация:

Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова ОИЯИ, г. Дубна.

Защита состоится 18 ноября 2010 г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ имени М.В.Ломоносова, дом 1, строение 2, физический факультет, Северная физическая аудитория. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ. Автореферат разослан " " 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.002.10, доктор физико-математических наук профессор

Ю.В.Грац


ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы.

В последние несколько лет эффекты поляризации квантовополевого вакуума, прежде всего электромагнитный эффект Казимира, привлекают большое внимание как теоретиков, так и экспериментаторов и специалистов в современных технологиях. Это, без сомнения, связано с тем существенным прогрессом в изучении физики микро- и нано-масштабов, который наблюдается в последнее время, и осознанием важности и актуальности возникающих при этом задач. Хорошо известно, что на этих масштабах вакуумные эффекты становятся весьма существенными, зачастую играющими доминирующую роль. Причем, в связи с открытием казимировских сил отталкивания, которые возникают в случаях, когда взаимодействуют тела со специально подобранными диэлектрическими свойствами, эта динамика становится более сложной, с возможностью возникновения устойчивого равновесия. Все это сделало задачу теоретического и численного исследования таких эффектов весьма актуальной. Таким образом, основные задачи, относящиеся сейчас к сфере вычисления вакуумных сил, могут быть сформулированы следующим образом: одновременный учет сложной формы взаимодействующих тел и их электромагнитных свойств, главным образом, диэлектрической проницаемости. Кроме того, часто необходимо также принимать во внимание температурные и радиационные поправки. Определенный интерес вызывает также эффект Казимира для черн-саймонсовских поверхностей, в связи с тем, что некоторые перспективные тонко-пленочные материалы могут достаточно хорошо описываться дополнительным черн-саймонсовским членом в действии для электромагнитного поля. Кроме того, эффект Казимира играет важную роль в феноменологических квантово-полевых моделях кварковых мешков в низкоэнергетической физике адронов. Интерес к универсальным методам определения вакуумных сил вызван в первую очередь типом экспериментальных задач, исследуемых в этой области в настоящее время. Прогресс в технике измерений сверхмалых сил, а также в создании наноструктур заранее заданной формы привел к тому, что сейчас уже доступно исследование казимировских сил между поверхностями сложной формы. Причем особый интерес вызывают такие пары взаимодействующих поверхностей, которые могут применяться в перспективных микромеханических устройствах (например, реечная передача, рассматриваемая в данной работе). Точных аналитических методов вычисления вакуумных сил для таких сложных геометрий не существует, а приближенные методы

1


не дают удовлетворительной точности. Поэтому на первый план выходит разработка универсальных вычислительных алгоритмов, работающих для всех типов поверхностей и материалов.
Цель диссертационной работы.

Построение универсального алгоритма вычисления казимировских сил, применимого для любой формы взаимодействующих тел и для максимально широкого класса материалов. В качестве основы для построения такого метода использован формализм квантовой теории поля на решетке. Соответственно, решение задачи состояло из нескольких этапов: 1) формулировка проблемы в терминах континуальных интегралов; 2) дискретизация выражений - переход к пространственно-временной решетке; 3) монте-карловское вычисление получившихся выражений, то есть определение способа генерации полевых конфигураций и нахождение наблюдаемых, в непрерывном пределе дающих перенормированное значение вакуумной энергии.
Научная новизна работы.

В диссертации разработан новый, отличающийся большой общностью, метод вычисления энергии казимировского взаимодействия, базирующийся на монте-карловских вычислениях в некомпактной решеточной электродинамике. Разработанный формализм может быть эффективно применен для вычисления энергии казимировского взаимодействия черн-саймонсовских поверхностей сложной формы, проводников и диэлектриков с возможностью учета зависимости диэлектрической проницаемости от частоты. В процессе построения метода разработано оригинальное решеточное представление черн-саймонсовского действия, являющееся точным инвариантом относительно решеточных калибровочных преобразований. Сформулированы также две новых решеточных наблюдаемых. Одна из них, а именно вильсоновский мешок, построенный с помощью черн-саймонсовского действия, является прямым обобщением вильсоновской петли на интеграл по трехмерным поверхностям в четырехмерном пространстве. С помощью него можно вычислять казимировскую энергию взаимодействия черн-саймонсовских поверхностей произвольной формы. Другая наблюдаемая позволяет на решетке получить распределение вакуумного ожидания плотности гамильтониана в присутствии проводников или диэлектрических тел. Для новых наблюдаемых в некомпактной решеточной электродинамике сформулирована процедура перехода к непрерывному пределу. Показано, что она существенно отличается от разработанных к настоящему времени методов перехода к непрерывному пределу в компактных решеточных теориях. Разработанный метод был применен для исследования задачи о касатель-

2


ных казимировских силах между поверхностями сложной формы (прямоугольные гребенки). Впервые за рамками весьма грубого PFA-приближения получена энергия казимировского взаимодействия прямоугольных гребенок в зависимости от их касательного смещения.
Практическая значимость работы.

Предложенный в работе метод может быть использован при вычислении вакуумных сил в случае взаимодействия тел сложной формы и различных диэлектрических свойств, в особенности для описания казимировских сил в отдельных узлах перспективных микромеханических устройств. Важной практической задачей, где он может быть применен в настоящее время, является поиск таких комбинаций диэлектрических свойств и формы взаимодействующих тел, которые приводят к установлению устойчивого равновесия за счет действия вакуумных сил.
Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, указанных в конце автореферата.
Апробация работы.

Результаты диссертации были представлены в виде докладов на 7-ой зимней школе по теоретической физике (Дубна, 26 января - 4 февраля 2009г.) и 14-ой Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц (Москва, 19-25 августа 2009г.). Работа также докладывалась на семинарах ЛТФ ОИЯИ, ИТЭФ и ОТФВЭ НИИЯФ МГУ в 2010 г.
Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста и заключения, содержит 27 рисунков, а также список литературы (41 название). Объем диссертации 72 страницы.

3


СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении указана цель работы, обоснована актуальность поставленной задачи. Дается краткий обзор работ по теме диссертации. Обсуждаются особенности предлагаемого метода. Показана научная новизна и практическая ценность диссертации. В первой главе рассматривается описание эффекта Казимира для чернсаймонсовских поверхностей в теории поля на решетке. В этом случае наблюдаемую можно построить аналогично петле Вильсона, как некий дополнительный член в действии, локализованный на граничной поверхности. В разделе 1.1 делается обзор уже известных результатов относительно описания эффекта Казимира для черн-саймонсовских поверхностей. Особое внимание уделяется простейшей геометрии двух параллельных плоскостей бесконечного размера. Эта задача является точно решаемой и позволяет проиллюстрировать все особенности таких границ. Кроме того, точно решаемый пример будет полезен в дальнейшем, когда будет построен решеточный формализм и нужно будет его проверять на простейших примерах. Система, которая будет переноситься на решетку, выглядит следующим образом: это электромагнитное поле в 4-мерном пространстве-времени с максвелловским действием и дополнительным черн-саймонcовским действием, локализованным на 3-мерной поверхности

S

:

S=-
здесь

1 4



d4 x Fч F

ч

-

2 n

d3 s

ч

n Aч (x)F (x),

(1)



ч

тензор Леви-Чивита, а

нормаль к граничной поверхности

S,

действительный параметр.

В случае простейшей граничной поверхности

S

, состоящей из двух беско-

нечных плоско-параллельных поверхностей, расположенных на расстоянии

R

друг от друга, аналитический ответ для энергии Казимира, отнесенной

к единице поверхности пластин, известен (Марков, Письмак, 2006) и дается следующим выражением:

EC
где функция

as

2 =- f (), 720R3

Li4

(2)

f ()

представляет из себя полилогарифм четвертой степени:

90 f () = 4
при этом

2 , 2 + 1



lim



f () = 1

.
4


Именно с этим ответом в дальнейшем будет проведено сравнение при тестировании решеточных алгоритмов для черн-саймонсовских поверхностей. В разделе 2.2 строится наблюдаемая для вычисления вакуумной энергии взаимодействия черн-саймонсовских поверхностей - Вильсоновский мешок". Вначале определяется конкретная решеточная теория, в которой будут проводиться все вычисления. Это некомпактная

U (1)

калибровочная теория в

евклидовом времени на четырехмерной гиперкубической решетке. Действие теории имеет вид:

S=

2

x ч<



2 p,ч

(x),

(3)

где линковые и плакетные переменные определены следующим образом:

l,ч (x) = e a Aч ,
p,ч

(x) = ч l, (x) - l,ч (x), ч ^
- вектор длиной в шаг решетки и направлением,

ч l, (x) = l, (x + ч) - l, (x). ^
Здесь

a

это шаг решетки,

определяемым индексом

ч

. Решеточный параметр

= 1/g

2

. Решетка обра-

зована узлами точками в пространстве в вершинах четырехмерных кубов. Линки отрезки, соединяющие узлы. Плакеты двумерные квадраты грани кубов. Физические величины в решеточной теории вычисляются в терминах средних по полевым конфигурациям (совокупностям всех линковых переменных), генерируемым со статистическим весом

e-S

.

Наблюдаемая для вычисления казимировской энергии взаимодействия черн-саймонсовских поверхностей строится по аналогии с вильсоновской петлей, описывающей взаимодействия точечных заряженных частиц. В КЭД вильсоновская петля записывается следующим образом:

ig

WC = e
сывающий взаимодействие поля

Aч dx
C

ч

= ei



Jч Aч dx

4

.

(4)

Показатель экспоненты в (4) есть дополнительный член в действии, опи-

A

ч с током

Jч (x) = g (x - )dч
C

заряжен-

ной частицы. Среднее по конфигурациям от вильсоновской петли

W (R, T )

(здесь R и T размеры петли) стремится в евклидовом времени в пределе

T
где

к:

W (R, T ) C e

-V (R)T

,

V (R )

энергия взаимодействия заряженных частиц. Этот же метод мо-

жет быть использован для вычисления казимировской энергии с использованием черн-саймонсовского действия.

5


Рис. 1: Вильсоновский мешок для двух параллельных пластин.

Аналогично описанию взаимодействия заряженных частиц одномерным интегралом по вильсоновской петле, мы будем описывать казимировское взаимодействие соответствующим трехмерным интегралом. Но на пути к формулировке, пригодной для решеточных расчетов, есть два препятствия. Во-первых, для стационарных объектов черн-саймонсовское действие это интеграл от

t = -

до

t=

, так что, по аналогии с вильсоновской пет-

лей, в решеточной формулировке мы должны замкнуть поверхность интегрирования во временном направлении. Итоговая поверхность интегрирования для задачи о двух плоскостях показана на рис. 1. Эта процедура замыкания, очевидно, может быть применена для любых криволинейных поверхностей. Результатом процедуры является вильсоновский мешок. Для произвольной поверхности он может быть записан следующим образом:

exp(i

где

ч A F dSч ),



замкнутая трехмерная поверхность в четырехмерном пространстве-

времени. Таким образом, вильсоновский мешок (по аналогии с Вильсоновской петлей) является наблюдаемой величиной, которая, будучи усредненной по полевым конфигурациям, даст нам величину казимировской энергии взаимодействия объектов, определенных поверхностью интегрирования. Во-вторых, необходимо переписать эту наблюдаемую в терминах решеточных объектов (линков и плакетов). Произведение

A F



может быть воспроизведено точно только в некомпактной КЭД, потому что только в этом случае линковая переменная аналогом

l

, является точным решеточным

A

, а плакетная переменная



p,ч является решеточным аналогом

F

ч .
6


Решеточная реализация нашей наблюдаемой, вильсоновского мешка, должна отвечать следующим требованиям: 1) Калибровочная инвариантность. Полный интеграл по замкнутой поверхности для вильсоновского мешка должен быть калибровочным инвариантом относительно решеточной реализации калибровочных преобразований. 2) Локальность. В предлагаемом решеточном представлении величины

A F , A F

и

F

должны быть заданы в одной и той же точке

x

. Это требо-

вание нетривиально потому, что



p, задает величину напряженности поля

в центре плакета, в то время как



задает величину поля

A

в центре

линка, а это разные точки. В работе показывается, что удовлетворяющую всем этим требованиям наблюдаемую можно построить в три этапа. 1) Базовым элементом для построения решеточного черн-саймонсовского действия будет уголок: произведение линковой переменной и одной из соседних плакетных переменных. Это произведение является решеточным аналогом для

A F

.

2) Вводится новая решеточная переменная, соответствующая одному трехмерному кубу:

c,ч (x) =

ч

(l, (x) + l, (x + ) + l, (x + )+ ^ ^
p,

+l, (x + + ))( ^^

(x) +

p,

(x + )). ^

(5)

Эта переменная является суммой всех возможных вариантов уголков трех возможных ориентаций внутри одного трехмерного куба, который определен узлом решетки (это одна из его вершин) и четырехмерным вектором

n

ч (определяет направление ребер куба).
3) Очевидно, любая трехмерная поверхность в четырехмерном простран-

стве может быть аппроксимирована на решетке набором трехмерных кубиков, которые подсоединяются друг к другу, имея каждый раз общую с соседним кубиком грань. В результате, решеточное представление для чернсаймонсовского действия на произвольной замкнутой поверхности быть записано следующим образом:



может

S
где

CS

=

8

x

nч (x)c,ч (x).

(6)

nч ( x )

- нормальный вектор к поверхности.

Таким образом полностью сформулирована решеточная наблюдаемая для казимировской энергии взаимодействия черн-саймонсовских поверхностей.
Глава 2 посвящена описание эффекта Казимира на решетке для идеаль-

ных проводников и диэлектриков.
7


В первом разделе 2.1 описывается реализация граничных условий для проводников на решетке. В качестве примера рассматривается сверхпроводник, вытесняющий и электрическое и магнитное поле. Его можно описать граничными условиями:

E |S = 0,

Hn |S = 0.

(7)

На решетке любая поверхность аппроксимируется плоскостями, нормальными к x,y или z-направлению; поэтому достаточно рассмотреть как граничные условия реализуются на одной такой плоскости. Условия на электрическое и магнитное поля заменяются условиями на плакетную переменную, представляющую

Fч

в КТП на решетке. Кроме того, осуществляется

переход к евклидовому времени. В результате условия на плакетную переменную принимают вид (для проводящей плоскости, перпендикулярной к zнаправлению):



p,41 p,42 p,12

(x) = 0, (x) = 0, (x) = 0.

Фактически эти условия заданы на плакетах в трехмерной подрешетке (по осям x, y и евклидового времени). Обобщая результат с учетом того что на решетке любая поверхность разбивается на участки, перпендикулярные осям x, y или z, итоговый рецепт можно сформулировать следующим образом: если мы хотим описывать на решетке идеальный проводник, то на его поверхности вектор-потенциал должен представлять собой чистую калибровку:

l,i = (x + ^) - (x) i
полевым конфигурациям, причем и действие

(8)

Физические величины на решетке вычисляются при помощи средних по

S

eucl. и наблюдаемая

F [Aч ]

-

калибровочно-инвариантные величины. Таким образом, мы к каждой конфигурации можем применять некоторые калибровочные преобразования (их решеточную реализацию) и результат останется неизменным. В то же время, поля на границе, как было показано выше, представляют собой чистую калибровку и могут быть соответствующим калибровочным преобразованием сведены к нулю. А так как при этом ни наблюдаемая, ни действие не изменяются, то можно изначально генерировать конфигурации, где на всех линках, попавших на границу идеального проводника, вектор-потенциал исчезает. Этот алгоритм и дает рецепт генерации полевых конфигураций в присутствии идеально проводящих тел.
8


В разделе 2.2 рассматривается генерация полевых конфигураций в присутствии диэлектрических тел. В отличие от идеального проводника здесь нужно учитывать не только поверхность, но и внутреннюю область тела. Пусть есть некоторый четырехмерный (учитывающий протяженность во времени) объем V, занятый диэлектриком с проницаемостью кой теории записывается следующим образом:

.

Действие та-

1 S= 4

? V

1 Fч F dV + ( 2V
ч

3 i=1

F0i F 0i +

i
Fij F ij )dV

При переписывании этого действия в решеточную теорию получается просто дополнительный множитель



перед плакетами с ориентацией, задавае-

мой индексами 4i (i=1,2,3), попавшими в объем диэлектрика.

S

lat.

= 2

xV



3 i=1



2 p,4i

(x) + 2
3



? xV



3 i=1





2 p,4i

(x) +

+ 2

x

2 p,ij (x) .

i,j =1,i
Однако в практических приложениях для диэлектрика весьма важен учет зависимости диэлектрической проницаемости от частоты. В этом случае мы работаем в калибровке

A4 = 0
и проводя фурье-преобразование в евклидовом времени

1 Ai = 2
[



~ Ai e-i d ,

i = 1, 2, 3,

представляем действие в виде интеграла по мнимым частотам:

S

eucl.

1 = 2

~2 ~2 ~2 ~ ~ ~ dd F12 + F13 + F23 + (i ) 2 (A2 + A2 + A2 ) . r 1 2 3

]

В такой формулировке, проводя вычисление континуального интеграла для каждой из мнимых частот по отдельности, можно явно учесть зависимость диэлектрической проницаемости материала от мнимой частоты. В разделе 2.3 строится решеточная наблюдаемая, с помощью которой вычисляется вакуумная энергия и проводится процедура ее перенормировки, позволяющая в непрерывном пределе получить конечное выражение для казимировской энергии взаимодействующих тел. Основной задачей является воспроизведение в решеточной теории вакуумных средних типа

9


V

0|T 00 |0d x.

(9)

Известно (Кройц, 1981), что если для любой квантовой системы рассматривать "решеточный"формализм для фейнмановского интеграла по путям(то есть когда траектория представляет собой набор значений координат в разные моменты времени:

x(ti ) = xi , i = 0...N


), то при генерации таких дискре-

тизованных "траекторий"с весом

exp
координата



-S

eucl

[ x]



h ?

,

x

n в каждом временном слое распределена с плотностью вероят-

ности, соответствующей вакуумному состоянию. Поэтому если мы подсчитаем среднее, например, от потенциала по какому-либо временному слою:



V (xn ) =

conf

V (xn )e-S


(x)/? h

e

-S (x)/? h

,

conf
то получим вакуумное среднее потенциала

0|V |0.
Вакуумное ожидание для кинетической энергии вычисляется несколько сложнее и в конце концов приводит к следующей наблюдаемой:

m (x 0|T |0 = - 2

n+1

- xn )2 h ? + . a2 2a

(10)

Среднее от первого слагаемого в данной формуле в непрерывном пределе расходится. Однако второе слагаемое явным образом выделяет и сокращает расходящуюся часть. Данная формула, собственно, и дает рецепт к вычислению кинетической энергии любых квантово-механических систем в решеточном формализме. Этот метод легко обобщается на полевую систему, так как в решеточном формализме полевая система представляет из себя ни что иное, как квантовую систему с большим числом степеней свободы. В некомпактной КЭД на решетке получаем следующую наблюдаемую для вакуумной энергии:

0|H |0 = 2



( x,i

-

2 p,4i

(x) +

)

x,i
2 p,ij (x).
(11)

По сути дела, аналогично вычислению кинетической энергии, меняется знак у плакетов, растянутых по евклидовому времени. После определения

10


наблюдаемой встает вопрос о перенормировке вычисленной величины. Вопервых, надо учесть существование константы

1/2t

в выражении для ки-

нетической энергии. Это делается в первом этапе перенормировки. Так как в действительности физический смысл имеет лишь разность энергий, то для того, чтобы эта константа сократилась, мы смещаем уровень отчета энергии, вычитая из полученного распределения

0|T 00 ( )|0 x

это же распределение в

отсутствие внешних тел, вычисленное на достаточно большой решетке. Кроме того, в рассматриваемых задачах представляет интерес только та составляющая плотности гамильтониана, что ответственна за взаимодействие тел. Между тем, после первого этапа перенормировки каждое уединенное тело по-прежнему будет обладать еще некоторой энергией, которую поэтому тоже следует вычесть. Итоговая процедура вычисления вакуумной энергии взаимодействия тел состоит, таким образом, из 3-х этапов. 1) Вычисление распределения

0|T 00 ( )|0 x

для нужной нам конфигурации

взаимодействующих тел и вычитание из получившихся значений константы плотности гамильтониана на свободной решетке (в отсутствии тел или, другими словами, если эти тела раздвинуты достаточно далеко). 2) вычисление распределений

0|T 00 ( )|0 x

для каждого из тел по отдель-

ности, тоже с вычитанием "свободного"значения плотности энергии. 3) вычитание из первого распределения суммы вторых распределений для всех тел и интегрирование получившегося распределения по объему решетки. В результате получится конечное перенормированное значение вакуумной энергии для данной конфигурации взаимодействующих тел.
Глава 3 посвящена описанию оригинального комплекса программ, разра-

ботанного автором диссертации для проведения вышеописанных вычислений. Для генерации конфигураций выбран известный метод тепловой бани. Он заключается в систематическом обходе всей решетки, и изменении значения каждого линка в соответствии с плотностью вероятности, определяемой как

exp(-Si,x (l,i (x))),
где

S

i,x - та часть действия, в которой участвует этот линк. После достаточ-

ного количества циклов (когда достигается так называемая термализация, то есть все средние стабилизируются) получается нужный нам набор конфигураций, распределенный с плотностью вероятности

e-S

eucl

, по которому

надо усреднять определенные выше наблюдаемые. Основной трудностью, с которой приходится сталкиваться в работе с некомпактной теорией, является бесконечный объем калибровочной группы. В силу этого любая калибровочно неинвариантная величина не стабилизируется, а наоборот, расходится с уве-

11


личением числа шагов. В конце концов это приводит к тому, что линковые переменные становятся слишком большими и возрастают ошибки округления. Решением проблемы, помимо работы только с калибровочно инвариантными величинами, является остановка генерации и сброс конфигурации в ноль после некоторого числа итераций. Кроме того, в этой главе сформулирован формализм деформированной решетки, позволяющий произвольно изменять соотношение шагов по разным направлениям, что может быть полезно для более точного описания геометрии взаимодействующих тел. В главе 4 приводятся результаты вычислений и обсуждается непрерывный предел сформулированной решеточной процедуры вычисления вакуумной энергии. Сначала в разделе 4.1 обсуждается непрерывный предел и иллюстрирующие его результаты вычислений. Показано, что непрерывный предел для новых наблюдаемых в некомпактной решеточной КЭД несколько отличается от традиционных методов, используемых, например, в решеточной квантовой хромодинамике. Единственной стадией непрерывного предела является предел "большой решетки"



N

, а от константы



в действии в отличие от компактных теорий ничего не

зависит.



играет роль лишь параметра, определяющего численное значение

линковых переменных. То есть мы должны ожидать тем лучшего приближения к непрерывной теории, чем больше наша решетка, то есть чем лучше (подробнее) она описывает геометрию взаимодействующих тел. Наступление непрерывного предела иллюстрируется рис. 2. В этом вычислении исследовалась казимировская задача о периодических граничных условиях, наложенных на электромагнитное поле.В качестве наблюдаемой здесь считалась среднее от плотности гамильтониана по методу, изложенному в предыдущей главе. Естественно, для поля, зажатого между большими по площади плоскостями, на которых наложены периодические граничные условия, эта плотность константа и должна зависеть от расстояния между плоскостями как

1/N

4

(это очевидно хотя бы из размерных соображений).

Поэтому произведение

0|T 00 ( )|0 Ч N x

4

должно выходить на константу при

тех размерах решетки, когда она начинает адекватно описывать непрерывную полевую систему. Легко видеть, что начиная с расстояния в 11 шагов решетки вычисленное произведение выходит приблизительно в окрестность аналитического ответа. Поэтому можно утверждать, что для данного вычисления непрерывный предел наступает с размера решетки в 11-12 узлов. Также нам не нужно устремление физического объема решетки к нулю для

12


-700

-800

-900

-1000

-1100

*N

4 00

-1200

-1300

-1400

-1500

-1600

2

4

6

8

10

12

14

16

18

N

Рис. 2: Вычисление

0|T 00 ( )|0 Ч N x

4

для ЭМ поля, с наложенными на него на двух па-

раллельных плоскостях периодическими граничными условиями.

N

- расстояние между

плоскостями в шагах решетки. Линия проведена на том аналитическом ответе, куда должно стремиться вычисленное произведение.

восстановления вращательной симметрии. В некомпактной электродинамике вращательная симметрия восстанавливается автоматически на достаточно больших решеточных расстояниях. В качестве иллюстрации восстановления вращательной симметрии мы построили эквипотенциальные поверхности для двух зарядов (рис. 3). Начиная с расстояний в 2-3 шага решетки, эти эквипотенциальные поверхности восстанавливают сферическую форму, несмотря на то, что они были вычислены в гиперкубической решетке. Дополнительная проверка состоятельности решеточной схемы осуществляется в первой секции раздела 4.2, где проводится вычисление казимировской энергии взаимодействия двух черн-саймонсовских плоскостей, и полученный ответ оказывается в согласии с аналитическим результатом (2). В заключительной части раздела проводится тестирование решеточных алгоритмов для идеального проводника (показано, что достигается согласие с аналитическим ответом для двух плоскопараллельных пластин), а затем выработанный формализм применяется для задачи о реечной передаче. Вычисление проводилось для двух идеально проводящих гребенок, со следующими параметрами: ширина зубца и расстояние между зубцами сота зубцов -

7a

, вы-

7a

z , расстояние между вершинами зубцов -

8a

z . Использовалась

деформированная решетка

az /a = 1/3.

Результат вычисления энергии для гребенок из трех зубцов представлен на рис. 4. Минимумы энергии наблюдаются, когда зубцы расположены точно

13


6

5

0,49

4

0,48 0,47

3

0,46
2

1

0,45

0 0 1 2 3 4 5 6

Рис. 3: Вычисленные на решетке эквипотенциальные линии для двух точечных зарядов.

друг напротив друга. PFA - приближение (proximity force approximation, когда взаимодействующие поверхности разбиваются на бесконечно малые площадки, расположенные друг напротив друга и для них принимается закон взаимодействия такой же, как для бесконечно больших плоскостей), в котором до сих пор рассчитывались подобные системы, дает в данном случае просто пилу, составленную из прямых линий. Полученные в работе результаты показывают, что отклонения от PFA достаточно значительны, особенно для положений, когда зубцы одной гребенки находятся напротив впадин другой. Также была рассчитано распределение вакуумного ожидания плотности гамильтониана (рис.5). Картина плотности энергии позволила прояснить причины неадекватности PFA-приближения в данной геометрии. Дело в том, что этот подход учитывает лишь взаимодействие параллельных участков поверхностей, расположенных друг напротив друга. Однако на графике плотности вакуумной энергии ясно видны участки между углами гребенок, где наблюдается повышенная плотность энергии взаимодействия. Причем именно в этом положении, когда зубцы одной гребенки располагаться напротив впадин другой, PFA дает наибольшую погрешность. Из этого можно заключить, что основная причина неадекватности PFA - приближения для данной геометрии взаимодействующих тел заключается как раз в отсутствии учета этих специфических угловых казимировских сил. В Заключении приведены основные результаты, а также сформулированы основные направления приложений развитых в работе методов.

14


0,00 -0,05 -0,10 -0,15 -0,20 -0,25 -0,30 -0,35 -0,40 -0,45

PFA

,
-0,50 -0,55 -0,60 -0,65 -0,70 -0,75

a

-1

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

D

Рис. 4: Энергия двух гребенок, в зависимости от их касательного смещения друг относительно друга.

Основные результаты:

1. Разработано оригинальное решеточное представление черн-саймонсовского действия. Показано, что несмотря на запись в конечно-разностных решеточных переменных, это представление для черн-саймонсовского действия на произвольной замкнутой трехмерной поверхности будет калибровочным инвариантом. 2. Введена решеточная наблюдаемая для корректного вычисления энергии казимировского взаимодействия черн-саймонсовских поверхностей произвольной формы. Эта решеточная наблюдаемая представляет из себя Вильсоновский мешок прямое обобщение вильсоновской петли на трехмерные поверхности в четырехмерном пространстве-времени. 3. Определена решеточная наблюдаемая, позволяющая получать вакуумное ожидание плотности гамильтониана в присутствии проводников и диэлектрических тел. Также сформулирована процедура вычитания, в результате которой выделяется перенормированная энергия казимировского взаимодействия отдельных тел между собой. 4. Для монте-карловского вычисления континуальных интегралов определена процедура генерации полевых конфигураций в некомпактной решеточной электродинамике, позволяющая учитывать присутствие материальных тел (проводников и диэлектриков с произвольной зависимостью диэлектрической проницаемости от частоты).
15


5. Для используемой в работе некомпактной решеточной электродинамике разработана процедура непрерывного предела, в результате которой можно на конечной решетке получать численные значения физических величин, близкие к их значениям в непрерывной теории. Показано, что в данном случае эта процедура существенно отличается от разработанных к настоящему времени правил перехода к непрерывному пределу в неабелевых калибровочных теориях. 6. Разработанный в диссертации формализм применен к весьма актуальному с экспериментальной и технологической точки зрения случаю реечной передачи когда из-за специально подобранной формы взаимодействующих поверхностей между ними возникают касательные вакуумные силы. Впервые за рамками PFA-приближения получена энергия казимировского взаимодействия прямоугольных гребенок в зависимости от их касательного смещения. Показано, что в действительности для такой системы использование PFA приближения приводит к значительной погрешности, так как при этом не учитывается взаимодействие между непараллельными участками поверхностей.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах: 1. O. V. Pavlovsky, M. V. Ulybyshev. Casimir energy calculations within the

formalism of noncompact lattice QED. International Journal of Mo dern Physics A, vol. 25, No. 12 (2010), 2457-2473.
2. О. В. Павловский, М. В. Улыбышев. Энергия Казимира в некомпактной

электродинамике на решетке. ТМФ, т.164, Вып. 2 (2010), С. 262-278.
3. О. В. Павловский, М. В. Улыбышев. Вычисление казимировской энер-

гии для черн-саймонмовских поверхностей и диэлектрических пластин в формализме квантовой теории поля на решетке. Письма в ЭЧАЯ. 2010. т.7, Вып. 5 (161), С. 565-572.

16


Рис. 5: Распределение вакуумного ожидания плотности гамильтониана при различных относительных смещениях гребенок.

17