Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://phys.msu.ru/upload/iblock/b82/2009-00-00-davydov.pdf Дата изменения: Mon Sep 14 14:24:37 2009 Дата индексирования: Mon Oct 1 21:04:44 2012 Кодировка: Windows-1251

На правах рукописи

Давыдов Евгений Александрович

НОВЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИ НЕТРИВИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В СТРУННОЙ ГРАВИТАЦИИ И КОСМОЛОГИИ

Специальность 01.04.02 теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2009


Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского Государственного Университета им. М. В. Ломоносова. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Д. В. Гальцов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук в. н. с. В. И. Докучаев, доктор физико-математических наук профессор Ю. П. Рыбаков

Ведущая организация:

Объединенный Институт Ядерных Исследований, г. Дубна

Защита состоится



2009г. в

часов

минут на заседании диссер-

тационного совета Д.501.002.10 при Московском Государственном Университете им. М. В. Ломоносова (119992, Москва, Ленинские горы, физический факультет МГУ, ауд. ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ. Автореферат разослан: Ученый секретарь Диссертационного Совета Д.501.002.10 доктор физико-математических наук Ю. В. Грац 2009г.


Общая характеристика работы
Актуальность темы
Общая теория относительности Эйнштейна явилась основой теоретической астрофизики и космологии 20 века. Однако на ее ограниченность указывает целый ряд обстоятельств. Попытка включения ее в общую схему квантовой теории поля приводит не только к проблеме перенормируемости, но и к проблемам микроскопического истолкования энтропии черной дыры и квантовой когерентности. С точки зрения квантовой теории, черные дыры играют роль гравитационных солитонов, обусловливающих непертурбативные аспекты квантовой гравитации. Дальнейшее исследование гравитационных солитонов, в том числе, отличных от черных дыр, представляется весьма актуальной задачей. Астрофизические данные последних лет, в особенности обнаружение темной энергии, говорят не только о необходимости дальнейшего исследования полевых космологических моделей в эйнштейновской теории, но и изучении ее модификаций. При этом усиливается интерес к моделям струнной гравитации, которые основываются на теории суперструн, претендующей на роль объединенной квантовой теории, включающей гравитацию. Вместе с тем, теория суперструн еще далека от предложения убедительной альтернативной теории гравитации из-за неоднозначности ее предсказаний. Множество вариантов компактификации порождает многообразие моделей струнной гравитации в четырехмерном пространствевремени, среди которых еще предстоит сделать обоснованный выбор. В связи с этим, становится важным получение новых физических следствий в таких моделях для физики черных дыр и космологии, касающихся перечисленных выше фундаментальных проблем.

Цель работы
Целью диссертационной работы является получение новых физических предсказаний струнной гравитации, именно: 1) Исследование экстремальных черных дыр в теории гетеротической стру3


ны с однопетлевыми поправками, представимыми в виде члена Гаусса Боннэ в эффективном четырехмерном действии, построение и анализ решений; получение указаний на возможность квантового перехода черная дыра струна на основании свойств пространства решений. 2) Построение модели темной энергии, описывающей переход от стадии горячей вселенной к ее ускоренному расширению на более поздних этапах, на основе теории ЭйнштейнаЯнгаМиллса с дублетом хиггсовых полей, представляющей собой бозонный сектор теории ВайнбергаСалама. 3) Построение новых топологически нетривиальных солитонов цилиндрической симметрии в теории ЭйнштейнаЯнгаМиллса с группой S U (2).

Научная новизна
Результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми. К их числу относится построение новой модели экстремальных черных дыр в теории гетеротической струны с квантовыми поправками, вычисление энтропии с учетом этих поправок, указание на возможность квантового перехода струна черная дыра в данной модели. Новой является космологическая модель, основанная на классических решениях теории гравитации с конденсатами полей, входящих в бозонный сектор теории ВайнбергаСалама. Также новыми являются цилиндрически-симметричные солитоны в теории ЭйнштейнаЯнгаМиллса, интерпретируемые как сверхпроводящие струны.

Практическая и научная ценность
Полученные результаты выявляют новые аспекты струнной гравитации, которые представляют интерес для приложений к теории черных дыр и космологии. Они позволяют продвинуться в понимании конечной стадии испарения черных дыр, открывают возможность неабелевых топологических дефектов нового типа в калибровочных теориях с учетом гравитации, а также указывают на существование режимов ускоренного расширения в космологии, непосредственно опирающихся на стандартную модель теории элементарных частиц.
4


Апробация диссертации и публикации
Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре кафедры теоретической физики Московского Государственного Университета, а также международных школах и конференциях ?Ломоносовские чтения 2005? (Москва 2005), ?12-я Российская гравитационная конференция? (Казань 2005), ?Научная сессия-конференция секции ЯФ ОФН РАН ?Физика фундаментальных взаимодействий? (Москва 2005), ?Международная конференция по гравитации, космологии, астрофизике и нестационарной газодинамике, посвященная 90-летию со дня рождения проф. К. П. Станюковича? (Москва 2006), ?Ломоносовские чтения 2007? (Москва 2007), ?13-я Российская гравитационная конференция? (Москва 2008). По теме диссертации опубликовано 9 работ.

Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 150 страниц. Список литературы содержит около 110 наименований.

Краткое содержание диссертации
Введение обосновывает актуальность решаемых в работе задач, а также
содержит обзор литературы и современных методов, используемых в решении. В частности, излагается история исследования термодинамики черных дыр, проблема статистической интерпретации энтропии и ее разрешение в рамках теории струн. Рассказывается о наиболее актуальных вопросах современной космологии и перечисляются основные модели темной энергии, предлагаемые для описания наблюдаемого процесса ускоренного расширения вселенной. Дается обзор гравитирующих солитонов и топологических дефектов во вселенной. Особое внимание уделяется решениям с цилиндрической симметрией в классической гравитации и описываются отличительные свойства конфигураций с полями ЯнгаМиллса.
5


Вторая глава ?Черные дыры в теории гетеротической струны? начинается с рассмотрения четырехмерного действия, содержащего дилатон S =

e

-2

и электромагнитное поле. Поправочный член ГауссаБонне добавляет-

ся в лагранжиан с некоторой дилатонной функцией (S ), которая может быть выбрана в виде, сохраняющем S -дуальность:


3 (S ) = - ln(2S | (iS )|4 ),

где ( ) e

2 i /24 n=1

(1 - e

2 in

).

Однако для сравнения важно получить и результат с классической поправочной функцией (S ) = S , поэтому конкретный вид будет фиксирован лишь на этапе численных расчетов. Далее осуществляется переход к эффективному одномерному действию и исследование его симметрий. Для полученных уравнений движения строится локальное решение с вырожденным горизонтом. В разделе 2.2 вводится полное действие, получаемое при компактификации десятимерного действия для гетеротической струны на S 1 Ч T 5 , и содержащее дополнительные дилатонные поля и два калибровочных поля. Раздел 2.3 посвящен построению и исследованию локального действия на горизонте. Оказывается, что пространство параметров допускает обращение в нуль струнных поправок, когда значение дилатонной функции на горизонте равно отношению электрического и магнитного зарядов: S0 = g /m. Тогда происходит переход к экстремальному решению ГиббонсаМаеды. Иными словами, регулярное экстремальное решение для дионной черной дыры с дилатоном без квадратичных поправок (экстремальное решение Гиббонса Маеды) существует только при выполнении приведенного выше соотношения для зарядов, но при наличии квадратичных поправок, возникающих в струнном действии, экстремальное решение может существовать и без дополнительного условия на заряды. В разделе 2.4 проводится подробный численный анализ существования регулярных асимптотически плоских решений, соответствующих локальным решениям, полученным в предыдущих разделах. Найденные регулярные решения представляются в графическом виде, а в пространстве параметров
6


выделяется область, порождающая подобные решения. Численно находится, что на границах этой области выполняется условие БПС для черной дыры. Мы показываем, что полученный ансамбль регулярных решений описывает процесс возникновения черной дыры при увеличении струнных поправок, при этом определяется диапазон фазового перехода в пространстве зарядов:

S0 g /m 1,8 S0 .
Таким образом, мы заключаем, что для рассматриваемой системы фазовый переход от черной дыры к струне возможен только для черной дыры с доминирующим электрическим зарядом. Численные расчеты показали, что в области решений с доминирующим магнитным зарядом решения типа черной дыры существуют, но они описывают конфигурацию с пренебрежимо малыми струнными поправками. В разделе 2.5 вычисляется энтропия для всех типов решений при помощи формализма энтропийной функции. В итоге, мы получили следующее выражение:

S =

2 E

1+

(S0 ) 2 - u2 2 S (S ) u0 0

,

2 где u2 = 1+S0 m2/g 2 параметр, описывающий баланс электрического и маг-

нитного зарядов, а E радиус горизонта в евклидовой метрике. Легко увидеть, что выражение для энтропии содержит член БекенштейнаХокинга и поправочное слагаемое. В случае подстановки классической поправочной функции (S ) = S , в отсутствие магнитного заряда поправочное слагаемое оказывается в точности равным первому слагаемому. Тогда получается удвоенное значение для хокинговой энтропии: S = 2 2 . E

В третьей главе ?Космология ВайнбергаСалама? проводится исследование космологических решений для однородной и изотропной вселенной, заполненной полями материи из бозонного сектора Стандартной модели. Раздел 3.1 начинается с построения полного анзаца и соответствующего одномерного действия. Мы показываем, что эффективный потенциал поля

7


Хиггса содержит различные по характеру слагаемые:

Vef

f

2 32 j2 22 2 (f ) = (f - v ) + 2 f (e(h - 1) + 2) + 6 2 , 4 4a af

что является отличительной чертой неабелевой модели. Этот потенциал, помимо стандартного хиггсовского члена, описывает взаимодействие скалярного и калибровочного полей, f и h, а также изоспиновый член, который появляется при возбуждении внутренней свободы скалярного дублета вращения в фазовом пространстве. Будучи кинетическим по природе, это изоспиновое слагаемое описывает не темную энергию, а темную материю с уравнением состояния w p/ = 1. В разделе 3.2 мы вначале находим аналитическое решение для масштабного фактора a, когда скалярное поле статично и играет роль космологической постоянной:

a=

e- t 2 (4 - 2 4 ) + 2 + C e t . 4 4 C

Здесь , и C параметры системы, зависящие от начальных условий. При наличии нетривиальной динамики скалярного поля в системе возникает хаос, что делает невозможным получение аналитических решений. Поэтому, мы проводим динамический анализ, исследуя поведение системы в окрестности особых точек. В отсутствие изоспинового потенциала можно в явном виде выписать два семейства особых точек:

f = 0,

h = 0,

l-1 , a = 2/ l и f 2 = h = l+1

a=2

2 , l+1

где параметр l =

8/3 выражается через константу Хиггса. Оказывается,

что второе семейство особых точек, возникающее именно благодаря взаимодействию скалярного и калибровочного полей, при l > 7, 5 описывает фокус, в то время как точки первого семейства всегда являются узловыми. Соответственно, в окрестности точек второго семейства при подходящем наборе параметров должно наблюдаться стационарное состояние вселенной, когда масштабный фактор будет осциллировать около некоторого значения.
8


В разделе 3.3 наличие подобных стационарных состояний подтверждается численно, и демонстрируется смена этапов эволюции системы. Мы показываем, что после этапа первоначального расширения может наступить замедление, но даже полная остановка расширения не приводит к коллапсу вселенной. Напротив, возможен новый этап экспоненциального ускоренного расширения. Между этими этапами замедленного и ускоренного расширения вселенная может достаточно долго находиться в стационарном состоянии. Подключение изоспинового потенциала увеличивает продолжительность стационарного состояния за счет уменьшения осцилляций амплитуды скалярного поля: большая часть кинетической энергии уходит на вращение в фазовом пространстве хиггсового дублета. Особенностью рассматриваемой модели закрытой вселенной является неизбежное сжатие на поздней стадии эволюции, но оно не обязательно сопровождается коллапсом. Как известно, в подобных системах есть возможность циклического поведения вселенной, когда сжатие завершается не космологической сингулярностью, а отскоком и новым циклом расширения. При помощи численных решений мы демонстрируем, что такое поведение действительно реализуется, хотя и не при всех значениях параметров. Наличие дополнительной степени свободы калибровочного поля приводит к существенному отличию характеристик этих циклов эволюции, поскольку скалярное и калибровочное поля оказываются динамически слабо связанными, что обнаруживается при помощи численного преобразования Фурье для решений. Это позволяет выдвинуть идею о реализации ансамбля состояний вселенной, отличающихся по характеристикам, по аналогии с Мета-вселенной.

Четвертая глава ?Неабелевы космические струны? посвящена исследованию статической магнитной конфигурации поля ЯнгаМиллса S U (2) с цилиндрической симметрией. Неабелевы калибровочные поля изучены, в основном, для сферически-симметричных систем, в то время как в абелевом случае исследованы и конфигурации с цилиндрической симметрией. В разделе 4.1 выводится наиболее общий анзац для рассматриваемой конфигурации поля:

eAч dxч = T R()dz + Tz P ()d,
9


где Ti цилиндрические генераторы S U (2), получаемые умножением матриц Паули на орты цилиндрической системы координат. Мы показываем, что этот анзац содержит только две функции, R и P , описывающие продольную и азимутальную компоненты векторного потенциала. Обнаруживается, что уравнения движения инвариантны относительно дискретной симметрии, меняющей местами одновременно пространственные и цветовые индексы:

z . Также мы находим, что в системе присутствуют два нетеровских
тока, возникающие из-за инвариантности системы относительно сдвигов во времени и вдоль оси симметрии. В разделе 4.2 формулируются уравнения движения. Для системы в плоском пространстве удается представить решение в виде формального степенного ряда. Параметры этого решения полностью характеризуются значениями полей на оси симметрии: k P (0), q R
(k )

(0) и B -P (0), где последний

параметр совпадает с величиной напряжения магнитного поля на оси симметрии. Пространство решений оказывается вырожденным в том смысле, что любые два решения, параметры которых удовлетворяют соотношению

q q

1 2

2

=

B B

1 2

k +1

,

отличаются лишь растяжением вдоль осей. В разделе 4.3 проводится исследование асимптотических решений для системы при наличии гравитации. Здесь параметрами выступают интегральные величины M , W и X , формально определяемые как интегралы от нуля до от правых частей уравнений Эйнштейна (tt), () и (z z ). На эти параметры налагается условие существования асимптотического решения, что позволяет найти те значения параметров, при которых их формальное определение приобретает реальный смысл, и не возникает противоречий в системе уравнений движения. В результате, мы получили соотношение

M - W



= 2k B ,

совпадающее (с точностью до множителя) с условием существования решения Мельвина в модели абелевой космической струны. Оказалось, что
10


если для решения в плоском пространстве из компонент тензора энергииимпульса построить формальную разность M - W , то она будет удовлетворять этому же соотношению. Асимптотическую метрику, которая для цилиндрической системы в калибровке g ства:


= 1 характеризуется параметрами

Казнера (a, b, c), можно представить в виде однопараметрического семей-

gtt = 2a , g = 2b , g
zz

a = (1 - 3 + b = (1 + 3 + c = (1 - 2

1 - 3 2 )/3, 1 - 3 2 )/3,

= 2c ,

1 - 3 2 )/3.

При = 0 метрика приобретает бустовую симметрию в плоскости (t, ), в то время как ранее были известны только решения с метрикой, обладающей бустовой симметрией в плоскости (t, z ). Здесь же мы исследуем топологию полученных решений и находим, что через поперечное сечение (поверхность

z = const) течет ток:

где константа C = R|



I M - X =- , 2 2C определяется из асимптотики продольной компо-

ненты анзаца для поля. Поток магнитного поля оказывается квантованным:

= 2 k ,
как и для вихря НильсенаОльсена. В разделе 4.4 при помощи численных методов осуществляется построение интерполирующих регулярных решений. Они демонстрируют наличие двух взаимодействующих солитонов, которые можно назвать ?струнами по аналогии со ?струной Мельвина. Наличие двух струн соответствует наличию найденной дискретной симметрии z , отсутствующей для абелевых решений. Плотность энергии имеет два отчетливых локальных максимума на некоторых расстояниях от оси. На графиках ближний к оси пик совпадает с максимумом продольной компоненты магнитного поля, а дальний пик с максимумом азимутальной компоненты поля. В связи с этим, удоб-

11


но говорить о взаимодействующих z - и -струнах, где чистая z -струна это решение Мельвина. При увеличении продольной компоненты магнитного поля происходит отдаление -струны на пространственную бесконечность, поскольку потенциал самодействия поля ЯнгаМиллса порождает эффект отталкивания двух струн. При достижении конечного критического значения на оси симметрии Bz (0) Bcr = 2/k отрицательное давление z -струны уже не позволяет сформироваться -струне, и мы имеем решение Мельвина. Предельный переход не является плавным, поскольку происходит смена асимптотик метрики. Асимптотика для решения Мельвина известна, это

(a = c = 2/3, b = -1/3). Предельной асимптотикой для системы ЯнгаМиллса
при Bz (0) Bcr будет (a = 6/7, b = 3/7, c = -2/7). При этом, масса -струны остается конечной и стремится к M = (2G)-1 , что в два раза больше массы

z -струны, известной для решения Мельвина.
В разделе 4.5 мы исследуем систему без гравитации, но в присутствии поля дилатона. При выключении азимутальной компоненты магнитного поля (R = 0) получается система ЭМД, решение для которой известно. Если же, наоборот, оставить только азимутальную компоненту, то решением будет:

B S/,

S (C1 +

-C

1

)-2 ,

где C1 константа, зависящая от начальных условий. Мы видим, что благодаря взаимодействию с дилатоном азимутальная компонента поля теперь может быть не сингулярна в нуле. Потенциал поля на бесконечности стремится к константе, а не расходится логарифмически, как в плоском случае. Иными словами, наличие дилатона приводит к ? динамическому обрезанию асимптотики калибровочного поля, также как и при наличии гравитации.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Основные положения, выносимые на защиту
1. Построены решения для экстремальных черных дыр в теории гетеротической струны с учетом поправок по кривизне. Показано, что квадратичные поправки делают возможным существование черных дыр с го12


ризонтом AdS2 Ч S 2 без наложения дополнительного условия на заряды, характерного для ранее известного решения без поправок. Оказалось, что такое условие на заряды эквивалентно требованию требованию инвариантности решения относительно преобразования S -дуальности. 2. Проведено исследование пространства параметров локального решения с точки зрения существования глобальных асимптотически плоских решений. Ранее исследования в литературе, в основном, ограничивались локальными решениями. Мы показали, что в данной теории наличие локальных решений на горизонте не гарантирует существования глобальных регулярных решений. Однако в рамках данной конфигурации нами была найдена область в пространстве параметров, которой соответствует набор состояний, допускающий интерпретацию как переход струна черная дыра. 3. Построена космологическая модель с темной энергией на основе полей, присутствующих в бозонном секторе теории ВайнбергаСалама. Предлагаемая модель описывает переход от горячей вселенной к экспоненциально расширяющейся и позволяет избежать космологической сингулярности типа схлопывания в точку за счет отскока и образования новых циклов. Ускоренное расширение возникает за счет квазисфалеронной конфигурации поля Хиггса, когда скалярное поле играет роль космологической постоянной. При этом, его взаимодействие с калибровочным полем ЯнгаМиллса порождает стационарное состояние вселенной на ранней стадии эволюции, что позволяет задержать ускоренное расширение до более позднего этапа. Учет внутренних степеней свободы хиггсового дублета приводит к доминированию материи над темной энергией на ранней стадии эволюции вселенной. 4. В рамках исследования космологии построен полный однородный и изотропный анзац для поля ЯнгаМиллса S U (2) со скалярным дублетом Хиггса. Проведен динамический анализ и продемонстрирована квазипериодическая смена инфляционного периода и этапов сжатия вселенной.

13


5. Построено новое солитонное решение в теории ЯнгаМиллса S U (2) как при наличии гравитации, так и в плоском пространстве. Конфигурация такого решения представляет собой две взаимодействующие струны, одна из которых это известное ранее решение Мельвина (возникающее также и в модели абелевой космической струны). Вторая струна возникает только в рассмотренной нами неабелевой модели. Для найденных струнных солитонов построены сохраняющиеся токи. 6. Метрика этого струнного решения интерполирует между пространством Минковского вблизи оси симметрии и асимптотической казнеровской метрикой, а в переходной области представляет собой горловину цилиндрической кротовой норы. Поскольку калибровочная симметрия в данной модели не нарушена, поля убывают достаточно медленно, и конфигурация не может быть асимптотически плоской, как для абелевой космической струны. Тем не менее, энергия конфигурации конечна (на единицу длины), и асимптотическая метрика является Риччи-плоской. В отсутствие гравитации асимптотически поле не является вакуумным, однако в теории с дилатоном возможны решения с асимптотическим вакуумом для поля ЯнгаМиллса.

Основные публикации автора по теме диссертации
[1] Д. В. Гальцов, Е. А. Давыдов, В. В. Дядичев. Космологические решения с полями Хиггса // Ломоносовские чтения 2005. Секция Физики: сб. тезисов докладов. М.: Физический факультет МГУ, 2005. стр. 7680. [2] Д. В. Гальцов, Е. А. Давыдов. Цилиндрически-симметричные солитоны в теории ЭйншетейнаЯнгаМиллса // 12-я российская гравитационная конференция международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике: тезисы докладов. Казань: Рос. Грав. Общ., 2005. стр. 117118. [3] Д. В. Гальцов, Е. А. Давыдов. Цилиндрические сфалероны в теории ЭйншейнаЯнгаМиллса // Международная конференция по гравита14


ции, космологии, астрофизике и нестационарной назодинамике, посвященная 90-летию со дня рождения профессора К. П. Станюковича: тезисы докладов. М.: РУДН, 2006. стр. 2627.

D. V. Galtsov, E. A. Davydov. Cylindrically symmetric solitons in the
EinsteinYangMills theory // Prepared for International Conference on Gravitation, Cosmology and Astrophysics: Dedicated to the 90th Anniversary of K.P. Staniukovich, Moscow, Russia, 26 Mar 2006. Published in Grav. Cosmol. 2006. v. 12. p. 137139. [4] D. V. Gal'tsov, E. A. Davydov, M. S. Volkov. EinsteinYangMills strings // Phys. Lett. B 2007. v.648. p. 249253. [hep-th/0610183]. [5] D. V. Gal'tsov, E. A. Davydov. Cylindrically symmetric solitons in Einstein YangMills theory // Phys. Rev. D 2007. v. 75. p. 084016084037. [hep-th/0612273]. [6] Д. В. Гальцов, Е. А. Давыдов. Космология ВайнбергаСалама // Ломоносовские чтения 2007. Секция Физики: сб. тезисов докладов. М.: Физический факультет МГУ, 2007. стр. 112114. [7] Д. В. Гальцов, Е. А. Давыдов. Фазовый переход черная дыра струнный газ // 13-я российская гравитационная конференция международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике: тезисы докладов. М.: РУДН, 2008. стр. 6667. [8] D. V. Gal'tsov and E. A. Davydov. Curvature-corrected dilatonic black holes and black hole string transition // JETP Lett. 2009. v. 89. p. 102 107. [9] Д. В. Гальцов и Е. А. Давыдов. Космологическая модель с полями Янга МиллсаХиггса // Сборник статей, посвященный 70-летию профессора А. А. Гриба / Под редакцией В. Ю. Дорофеева, Ю. В. Павлова. СПб., 2009. стр. 2544.

15