Общие закономерности колебательных и волновых процессов. Примеры математических моделей, описывающих простое и сложное поведение реальной системы.
Дискретно-разностные уравнения волн в одномерных решетках твердого тела и электрическом фильтре нижних частот. Приближение непрерывной среды, низкочастотная дисперсия. Дисперсионный и диссипативный механизмы ограничения спектра ударной волны в нелинейной среде. Стационарные волны уравнения КдВ. Аналогия солитонного решения с движением нелинейного маятника. Свойства солитонов КдВ, их взаимодействие, условия излучения. Стационарные волны уравнения Синус-Гордона, аналогия с вращающимся маятником. Взаимодействие кинков.
Динамика радиоимпульса в среде с дисперсией групповых скоростей и самовоздействием, фазовый механизм ограничения спектра импульса. Стационарные волны нелинейного уравнения Шредингера в форме светлых и темный солитонов, колебательная аналогия. Пространственные солитоны, их устойчивость. Основные характеристики волоконных волноводов. Одномодовые и многомодовые режимы распространения световых импульсов. Оптические солитоны, их свойства и применения в системах связи.
Колебания и волны в связанных системах. Расщепление нормальных мод, быстрые и медленные волны. Обмен энергией при прямом и встречном синхронизмах. Метод связанных волн, его применение в электронных лампах СВЧ с продольным взаимодействием. Эффект самопереключения в нелинейных волокнах.
Особенности распространения волн в периодических структурах. Пространственная структура и дисперсионные свойства электромагнитных волн в одномерной среде с периодическим изменением диэлектрической проницаемости. Уравнения для амплитуд связанных волн в области брэгговского резонанса. Бистабильность и брэгговские солитоны в этой области для сред с кубической нелинейностью. Фотонные кристаллы, их характеристики и области применения.
Параметрическое взаимодействие трех волн при попутном и встречном синхронизме. Обмен энергией при низкочастотной и высокочастотной накачках. Самовозбуждение субгармоники при синфазной накачке. Возбуждение спиновых волн в ферритах и капиллярных волн на поверхности жидкости. Параметрическое взаимодействие волн при регулярной и флуктуирующей расстройках. Кинетическое уравнение. Решение в форме равномерного распределения энергии по модам Релея-Джинса. Основные черты слабой турбулентности.
Роль нелинейных механизмов в формировании стохастического поведения систем со многими степенями свободы. Перекрытие нелинейных резонансов. Условия возникновения хаотических колебаний в системах с малым числом степеней свободы. Описание колебательных и волновых процессов с помощью нелинейных динамических систем. Виды устойчивости особых точек динамической системы. Структурная устойчивость и бифуркационных значения параметров. Аттракторы в диссипативных системах. Основные теоретические и практические критерии случайного поведения динамической системы.
Системы с дискретным временем. Неподвижные точки и циклы отображений (сдвиг Бернулли, часы Неймарка). Универсальные пути возникновения хаотических колебаний в диссипативных системах. Бифуркации удвоения периодов. Переход через перемежаемость. Физические примеры. Фрактальная структура странных аттракторов. Хаотические сигналы и их применение в широкополосных системах связи.
Автоколебания в системах с распределенными параметрами (лазер, туннельный диод). Автосолитоны. Переходы к хаосу в волновых системах. Странные аттракторы и сильная турбулентность.
