Комментарии к гравитационной гипотезе А.Винтнера

Е. А. Гребеников, Н. И. Земцова

Вычислительный центр РАН, Москва

     В монографии [1] А.Винтнер развил теорию гомографических (и гомотетичных) решений ньютоновой проблемы многих тел. В соответствии   с его определениями можно утверждать, что общее решение задачи двух тел является гомографическим (или гомотетичным) решением. В задаче трех тел гомографическими решениями является лагранжев треугольник (при произвольных значениях масс), а гомотетичными являются коллинеарные (среди которых имеются эйлеровы) решения. В связи с этим Винтнер сформулировал и доказал ряд теорем, выражающих необходимые и достаточные условия существования центральных конфигураций и выдвинул гипотезу о существовании гомографических решений в задаче n >= 4 тел в барицентрической системе координат. Согласно его утверждению, в ньютоновой задаче n >= 4 тел могут существовать гомографические решения при различных значениях гравитирующих масс. Мы показали, что при n = 4 [2] существуют   гомографические решения только двух типов: типа квадратов  ( и тогда массы четырех тел обязательно равны между собой) или типа ромба, для которого есть жесткая зависимость между значениями масс и его диагоналями. Других гомографических решений в задаче n= 4 тел не существует. Наши вычисления для n>=5 показывают, что гомографические решения типа правильного многоугольника могут существовать только при условии равенства между собой гравитирующих масс. Из-за сложной нелинейности уравнений Винтнера ответ на вопрос, какие могут быть центральные конфигурации при заданных значениях масс, не решен до сих пор. Наша гипотеза состоит в том, что кроме гомографических решений типа правильных многоугольников при n > 5, которые реализуются только при условии равенства гравитирующих масс, другие гомографические решения не существуют. Наши исследования ставят под сомнение саму гипотезу Винтнера.

Список литературы:

1. Wintner A., The Analitical Foundations of Celestial Mechanics, -Princeton: Princeton Univ.Press,1941
2. Гребеников Е.А., Земцова Н.И., О существовании асимметричных решений функциональных уравнений Лагранжа-Винтнера, - Москва: Паимс,  сб. "Нелинейный анализ и гомографическая динамика", 1999, с.70-78