Численно-аналитическое решение плоской круговой ограниченной задачи трех тел в системе MAPLE

В. П. Борунов, С. В. Миронов

Вычислительный центр РАН, Москва

Ю. А .Рябов

Московский автодорожный институт, Москва

      Рассматривается плоская ограниченная круговая задача трех тел: Солнце - Юпитер -астероид в нерезонансном случае. Задача описывается системой четырех обыкновенных дифференциальных уравнений, в следующих переменных: q (независимая переменная) - долгота астероида, отсчитываемая от некоторого постоянного направления, p - орбитальный параметр, e - эксцентриситет орбиты, G= q-g - истинная аномалия вдоль орбиты (разность между q и долготой перигелия орбиты g), L= q-nt - разность между долготой астероида q и долготой Юпитера, движущегося равномерно с угловой скоростью n. Решение ищется в виде двукратных рядов (полиномов) Фурье по двум фазовым переменным Ф1 и Ф2, соответствующим двум частотам. В [1] выведены явные итерационные выражения для коэффициентов искомых рядов Фурье. Решение построено так, что мы находим не каждый коэффициент поочередно, а сразу получаем ряды, также по итерационным выражениям. Построение решения проводится методом простых итераций, где каждое последующее приближение вычисляется только по предыдущему. Вычисления выполнены в системе символьных вычислений (ССВ) Maple [2]. Вычисление правых частей итерационных выражений значительно упростило применение квазимногомерного алгоритма быстрого преобразования Фурье, разработанного авторами в системе Maple. Вообще говоря, длина и точность коэффициентов получаемых рядов ограничиваются только мощностью ЭВМ и располагаемым временем. Нами получены двукратные полиномы Фурье длиной в тысячу и более членов. Абсолютная невязка решений пятой и шестой итераций, составляет 1/10 000 000. Время счета ЭВМ Pentium 166 составляет 48 часов. Хотя приведенные результаты достаточно скромны для задач небесной механики, и это говорит о необходимости применения более мощных ЭВМ, все же важно отметить реальную возможность решения подобных задач современными системами символьных вычислений.

Список литературы:

1. Гребеников Е.А., Митропольский Ю.А., Рябов Ю.А. Введение в резонансную аналитическую динамику, - Москва: Янус-К, 1999, 302 с.
2. Дьяконов В.П. Математическая система Maple V R3/R4/R5. -М.: Солон, 1998, 399 с.