Применение рядов Депри-Хори для исследования периодических решений задачи Хилла

Н. В. Батхина, А. Б. Батхин

Волжский гуманитарный институт ВолГУ, г. Волжский


     Переход к переменным действие-угол в задаче Хилла (предельный случай плоской круговой ограниченной задачи трсх тел),   описанный в [1], позволяет применить метод рядов Депри-Хори (см., например,[2, Глава 2.5])  для получения усредненного гамильтониана в окрестности резонансного семейства g, исследованного в статье 3.
Наличие еще одного первого интеграла усредненной задачи позволило  свести проблему поиска периодического решения исходной задачи к проблеме поиска стационарного решения "приведенного" гамильтониана. Методами теории возмущений удалось получить такие характеристики периодического решения как частота, начальные условия резонанса, устойчивость, а также определить бифуркационное значение параметра задачи. Эти характеристики согласуются с  полученными ранее и анонсированными, например, в [3,4]  численными результатами.
     Наличие усредненного гамильтониана позволяет получить приближенное уравнение сепаратрисной поверхности для гиперболической точки, а это даст возможность применить метод Мельникова для выяснения условия расщепления сепаратрис.
     Аналогично исследуются и другие семейства периодических решений задачи Хилла.

Список литературы:

1. Сумароков С.И., Батхин А.Б. Переменные действие-угол задачи Хилла. Вестник ВолГУ. Серия 1: Математика. Физика, 1999,  4, 131--139.
2. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая механика. М.: "Мир", 1984.
3. Henon M. Numerical Exploration of the Restricted Problem. V. Hill's Case: Periodic Orbits and their stability. Astron.& Astrophys., 1969, 1, 223--238.