Разделы

• 3.1 Формулы Грина
• 3.2 Гармонические функции
• 3.3 Шаровые функции

Лекция 3. Основные формулы теории потенциала

Интеграл Дирихле, первая, вторая и третья формулы Грина. Гармонические функции и их свойства, теоремы о гармонических функциях. Шаровые и сферические функции. Дифференциальное уравнение для сферических функций и его решение.

В данном разделе перечислим без вывода основные формулы теории потенциала, которые находят применение в теории фигуры Земли. Остановимся лишь на некоторых, наиболее важных теоремах.

Введем векторный оператор набла :

, где -- единичные, взаимно ортогональные вектора. С векторным оператором можно обращаться, как с обыкновенным вектором. Например, скалярное произведение двух операторов набла дает оператор Лапласа: .

Допустим, что в нашем распоряжении имеется некоторая скалярная функция . Тогда

3.1 Формулы Грина

3.1.1 Формула Остроградского

С помощью оператора Лапласа интегрирование по объему можно заменить интегрированием по поверхности. В дальнейшем для обозначения пределов интегрирования мы будем использовать следующий прием. Все двукратные или трехкратные интегралы мы будем изображать однократным интегралом. Под интегралом будем использовать символ () если интегрирование ведется по телу, ограниченному поверхностью , или просто значком , если интегрирование ведется по поверхности . С этими где оговорками формула Остроградского (3.1) принимает вид

(3.1)

3.1.2 Первая формула Грина

Введем обозначение оператора

(3.2)

тогда первая формула Грина примет вид

(3.3)

Интеграл по объему от функции называется интегралом Дирихле:

(3.4)

Очевидно, что в формуле Грина функции и можно менять местами, то есть вместо (3.3) можно написать

(3.5)

3.1.3 Вторая формула Грина

Вычитая левые и правые части формул (3.3) и (3.5), получим вторую формулу Грина

(3.6)

3.1.4 Третья формула Грина

Рассмотрим частный случай, когда , где -- расстояние между двумя точками P(x,y,z) и Первая точка имеет фиксированные координаты, а вторая -- принадлежит телу и имеет текущие координаты, принадлежащие элементу объема. Тогда

Нетрудно убедиться, что для , имеет место равенство . Имеем

Проделаем следующие выкладки

Обратимся снова к второй формуле Грина. Перепишем ее для случая, когда . Возможны три варианта, когда точка лежит вне тела, внутри его и на поверхности, которое ограничивает это тело.

• Точка Р -- внешняя. В этом случае во всем внутреннем пространстве тела, по которому ведется интегрирование, радиус-вектор r не обращается в нуль и . Вторая формула Грина (3.6) принимает вид

  (3.7)

  
  
  Мы получили третью формулу Грина для внешней точки.

• Точка Р -- внутренняя. В одной точке внутреннего пространства радиус-вектор обращается в нуль и функция обращается в бесконечность. Опишем вокруг этой точки сферу с малым радиусом. Интегрирование по телу, ограниченному поверхностью , можно разбить на два этапа: интегрированию по всем точкам тела, исключая малую сферу, содержащую точку , и интегрирование по малому шару, ограниченному малой сферой :
  
  где -- тело с выколотой точкой . Поскольку во всем внутреннем пространстве , то первое слагаемое в правой части полученной формулы обращается в нуль, так как . Займемся вторым слагаемым. Будем считать, что радиус малой сферы настолько мал, что функцию внутри этой сферы -- постоянная величина. Тогда
  

  Воспользуемся формулой Остроградского, в которой положим , тогда вместо интегрирования по объему будем интегрировать по поверхности малой сферы

  

  Отношение есть элементарный телесный угол , под которым "виден" из точки элемент поверхности сферы. Понятно, что, если точка находится внутри этой сферы, то рассматриваемый интеграл будет равен полному телесному углу, по которым видна поверхность сферы изнутри. Очевидно, что он равен , то есть

  

  Перепишем формулу (3.6) в следующем виде

  
  В случае , для внешней точки получим

  (3.8)

  
  

• Точка P лежит на поверхности. Третий случай -- это когда точка не является ни внутренней ни внешней: она лежит на поверхности тела. Можно показать, что в этом случае
  
  noindent поэтому третья формула Грина принимает вид

  (3.9)

  
  

  Формулы (3.7), (3.8) и (3.9) можно записать одной формулой

  (3.10)

  
  

3.2 Гармонические функции

Гармонической функцией координат называется функция, непрерывная вместе со своими первыми и вторыми производными в некоторой области , удовлетворяющая во всех точках этой области уравнению Лапласа .

3.2.1 Свойства гармонических функций

1. Линейная комбинация двух и более гармонических функций есть функция гармоническая.

   Пусть U(x,y,z) и V(x,y,z) -- две гармонические функции, то есть и . Возьмем их линейную комбинацию . Очевидно, что . Поскольку , , то и , что и доказывает наше утверждение.

2. Если -- гармоническая функция, то все ее частные производные гармонические функции. Доказательство основано на взаимной переставимости оператора Лапласа и производных. Пусть
   
   тогда
   

3. Линейное преобразование координат (поворот осей, изменение масштаба) не нарушает свойство гармоничности.

   Пусть -- гармоническая функция. Введем новые координаты

   

   В матричном виде приведенное равенство выглядит следующим образом

   
   или
   

   Подставим в функцию линейные выражения для , , , для чего воспользуемся вторым из приведенных выше равенств, получим V( . Докажем, что если функция гармоническая, то и является гармонической функцией.

   Очевидно, что

   

   Аналогично

   
   

   Запишем полученные равенства в матричной форме

   

   Поскольку оператор Лапласа есть квадрат векторного оператора набла , то

   

   В правой части будем иметь

   

   Поскольку матрицы направляющих косинусов являются ортонормированными, их произведения равн