Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://lmph.cs.msu.su/Lekcii_files/DE2.pdf Äàòà èçìåíåíèÿ: Mon Jun 1 12:08:13 2015 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Sat Apr 9 22:23:20 2016 Êîäèðîâêà:

180

VI

2 . VI x
§29. , , , ­ , . . , - y ( x ) y1 ( x ), y2 ( x ), ..., yn ( x ) :

dy dx

^ Ay
n

f ( x), 0

x l,
i

( y) ( y)

bij y j ( x cij y j ( x
ms

0) l)
n.

,i ,i

1, m , 1, s ,

i1 n i1

i


§ 29

181

n .

Ln ( y ) x
x

y (n ) ( x) 0, l
0

p1 y

( n 1)

( x ) ...

pn y ( x )

f ( x ),

i ( y)

n1

aij y ( j ) ( x 0) j0

i, i i, i

1, m 1, s ,

x

l

n1 ( y) bij y( j ) ( x l ) i j0 m s n.

a ij bij . n . , . , .. x 0 , x l :

L(u ) (u ) (u )

a( x)u ( x) b( x)u ( x) c( x)u ( x)
1

F ( x), x

0, l

u (x u (x

0) l)

1

u( x u( x

0) l)

u0 , ul .

2

2

x) u 0 ( 2 2 (l u ( x) y ( x) 1( 2 2l)

1

x
2

1

)u

1

1


182

VI

, y ( x)

L( y) a( x) y ( x) b( x) y ( x) c( x) y( x) ( y) 0, ( y) 0,
f ( x) F ( x)
20

f ( x), x

0, l

(29.1)

b( x)( 1ul

u ) c( x) (

2

2

(l x) u

0

( 1x

1

)u

l

1 2 2l ) 12 L ( y ) (29.1) M ( y ) , , z ( x) z ( x) L( y ) , M ( z ) 0 . :

z ( x) L( y )dx

(a ( x) y ( x) b( x) y ( x) c( x) y ( x)) z ( x)dx .

, :

z ( x) L( y ) a ( x)( z ( x) y ( x ) z ( x) y ( x )) (b( x) a ( x)) z ( x) y ( x) y ( x)((a ( x) z ( x)) (b( x) z ( x)) c( x) z ( x))dx.
, , L ( y ) . , M ( z ) (a( x) z ( x)) (b( x) z ( x)) c( x) z ( x) , :


§ 29

183

( z ( x) L( y) y( x) M ( z ))dx a( x)( z ( x) y ( x) z ( x) L( y ) d (a ( x)( z dx (b( x) a z ( x) y( x)) (b( x) a ( x)) z( x) y( x)
y ( x) M ( z ) ( x) y ( x) z ( x) y ( x)) ( x)) z ( x) y ( x))

(29.2)

. M ( y ) L( y ) , L ( y ) . . M ( y ) L( y )

(ay )

(by )

cy

ay

by

cy

a y 2 a y a y by b y a y b y 2( a b ) y ( a b ) y 0 y( x) C2 , b( x) a ( x). : L( y ) a ( x) y a ( x) y ( x) c( x) y ( x) d dy (a( x) ) c( x) y ( x) dx dx a( x) p( x) , q ( x) , , p ( x) 0 . c( x) :


184
L( y ) dy d p( x) q ( x) y ( x) dx dx ( y) 0 1 y ( 0) 1 y ( 0)
2

VI
f ( x), x 0, l , p ( x) 0

(29.3)

( y)

y (l )

2

y (l ) 0.

(29.2) b( x) a ( x), a( x) c( x) q ( x) :

p( x),

z ( x) L( y ) y ( x) L( z ) d ( p ( x)( z ( x) y ( x) z ( x) y ( x))) dx
(29.4)

, ( f ( x) 0 ). y1 ( x) y2 ( x) , : 1.L( y1 ( x)) 0, x [0, l ] 2.L( y2 ( x)) 0, x [0, l ] (29.5) y1 ( x 0) 1, y2 ( x 0) 0 , y1 ( x 0) 0, y2 ( x 0) 1. y( x) C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) C1 C2 . (29.3) ( y) 0, 1C2 1C1

( y)

2

(C1 y1 (l ) C2 y2 (l ))

2

(C1 y1 (l ) C2 y2 (l )) 0 .




§ 29

185
1

D

1

(

21 2

y (l )

2

y2 (l ))

(

21

y (l )

21

y (l ))

D 0 , C1 D 0.

C2 0. y ( x ) 0. , p ( x ) q( x) ,

C

1 2 1

C1 ,



y ( x)

0

( x)

C1 ( y1 ( x)

1 1

y 2 ( x)) . (29.6)

C1
l 2 0 0

( x)dx 1.

, , . , 0 ( x) 1 ( x) . x 0 : 0) 1 0 ( x 0) 0, 1 0 (x
11

(x

0)

11

(x

0) 0.

1 1 . , : D 0) 1 ( x 0) 0) 1 ( x 0) 0. 0 (x 0 (x . ,


186 ( x 0 ), x [0, l ]. , , ..
1

VI

( x) C 0 ( x),

.

§ 30 . .
(29.4), :
l

zL ( y )
0

yL( z ) dx

p( x) z

dy dx

y

dz dx

|
0

l

(30.1)

y ( x) z ( x ) dy dz y 0 , z dx dx x 0 x l .



l

zL( y )
0

yL( z ) dx
( y) 0;

0
( z) ( y) 0.

(30.2)



( z)











.


187 §30 30.1. y1 ( x) y2 ( x) - L( y ) 0 , C , (30.3) y1 , y2 p( x) y1 ( x) 0 , : x d (30.4) y( x) C1 y1 ( x) Cy1 ( x) p( ) y12 ( ) 0 . (29.4) L( y1 ) L( y2 ) 0 dy dy d ( p( x)( y 2 ( x) 1 y1 ( x) 2 )) 0. dx dx dx , dy dy p( x)( y 2 ( x) 1 y1 ( x) 2 ) C const. dx dx dy1 dy 2 .. ( y 2 ( x) y1 ( x) ( y1 , y 2 ) - dx dx y1 ( x), y 2 ( x) , ( y1 , y2 ) 0 , y1 ( x) y2 ( x) . (30.3) C ( y1 , y 2 ) . p( x) y1 ( x) 0 , (30.3) y12 ( x ) , ( y2 ( x) y( x) ) , ( y ( x) - y1)

y1 ( x) y ( x) y1 y ( x) y12 ( x)

C p( x) y12 ( x)


188

VI

d y ( x) C . dx y1 ( x) p( x) y12 ( x) ,
x

y ( x)

y1 ( x) C1

C
0

d , p( ) y12 ( )

.. (30.4), . (29.3) , G ( x, ) , x , 1 / p ( x). :

d dG p( x) q( x dx dx dG ( x 0, (G ) 1 dx dG ( x l , (G ) 2 dx G( x 0, ) G ( dG ( x dx 0, )

)G ) )

0, x [0, )
1

( ,l]

G ( x 0, ) 0, G ( x l , ) 0, 0, ); 0, ) 1 p( )
(30.5)

2

x

dG ( x dx


§30

189

, (30.5) G ( x, ) G ( , x) . ( ). : 30.2. , 0, l f ( x) :
l

y ( x)
0

G( x, ) f ( )d

.

(30.6)

: (29.3) . (29.3) y1 ( x) y2 ( x) . u( x) y1 ( x) y2 ( x) , , , . , y1 ( x) y2 ( x) . (30.6), , , , .. , . , y ( x) , (30.6), (29.3). y ( x) ... G ( x, ) x , (30.6)
x l

y ( x)
0

G ( x, ) f ( ) d
x

G ( x, ) f ( ) d ,

(30.7)


190

VI

(30.7) , x . : x x d K ( x, ) K ( x, )u ( )d K ( x, x 0) u ( x) u ( )d , dx 0 x 0

d K ( x, ) K ( x, )u ( )d K ( x, x 0) u ( x) u ( )d . dx x x x x (30.7) , x l dG x, dG x, y ( x) f d f d, dx dx 0 x
x

l

l

p( x) y ( x)
0

d dx

p

dG dx

l

f

d
x

d dx

p

dG dx

f

d

p( x ) f ( x )
,

dG x, dx

|
x0

f ( x ) p( x )

dG x, dx

|.
x0

dG dx x
d

dG dx

x

1 , p ( x)
d f ( x ).

xd dG p f dx 0 dx p( x) y ( x)
x l

ld dG p f dx x dx

L( y )
0

L(G ) f ( ) d
x

L(G ) f ( ) d
0

f ( x).
( x, l ] ,

, L (G )
L( y ) f.

[0, x )

, y ( x) ,

(30.7), .


§ 31 . 191
y ( x) x 0

x l , ..

. § 31. . , (30.5) , . , G ( x, ) (30.5). , (30.5) G1 ( x, ) G2 ( x, ) .
U ( x, ) G1 ( x, ) G2 ( x, ) .


U (x dU ( x dx 0, ) U ( x 0, ) dU ( x dx 0, ); 0, )

.. p( x) C1 , q( x) C ,
d 2U . U C1 , , dx 2 , U ( x, ) L (U ) 0 x [0, l ] , (U ) 0 (U ) 0 . , U ( x, ) 0. , G1 ( x, ) = G2 ( x, ) . .


192 31.1. (30.5) . C1 y1 ( x), 0 x G ( x) C2 y2 ( x), x y1 ( x) y2 ( x) - . 0 x L( y1 ) 0 , y1 (0) , 1 y1 ( 0) 1. , ( y1 ) 0 ,
2 1 1 2

VI

, l,

(31.1)

.
L ( y2 ) y2 (l ) 0,

x

l

2

,

y2 (l )
( y2 )
2 2 2 2

2

.

0,
0.

0.

y1 ( x) y2 ( x) , . y1 ( x) y2 ( x) . , .. y1 ( x) = y2 ( x) , y1 ( x) ( y1 ) 0 , ( y1 ) C ( y2 ) 0 . , y1 ( x) - , . , (31.1) , : L(G ) 0 x [0, ), x ( , l ]. . x 0, x l (G) (G) 0 .


§ 31 . 193 , C1 x Gx C2 y2 ( ) C1 y1 ( ) 0 ,

C2 ,
:

dG dx
x

C2 y2 ( ) C1 y1 ( ) 1 p( ) .

y2 ( ) C1 ; p( ) ( y1 , y2 )

C2

y1 ( ) p( ) ( y1 , y2 )

(30.3), p ( ) ( y1 , y2 )==const. , C1 C2 (31.1), :

G ( x,

)

y1 ( x) y2 ( ) ,0 C y1 ( ) y2 ( x) , C
G ( x,

x

,

x l.



,

) = G ( , x) .

, , .


194

VI

§ 32. . 0 ( x) , .

L( 0 (x) ) 0 , x [0, l ], ( 0 ) 0, ( 0) 0

(32.1)

, , . .. 0 ( x ) , y( x) C 0 ( x) (32.1), :
l 2 0 0

( x ) dx 1 .

(32.2)

, . ,
L( y ) f ( x) , x [0, l ], ( y) 0

( y ) 0,

(32.3)

. . .


§ 32

195

32.1. ( x) . 0 .

L( y ) 0, ( y)
l 0 0

( y ) 0,

(32.4)

( x) y ( x)dx 0.

( x) . , 0
l

y ( x)

C

0

( x) .
l



y ( x)

,

y ( x) 0 (x)dx =C
0 0

2 0

( x) dx C =0 ,

y ( x )

0.

y ( x ) 0. .


196

VI

32.1. . .

L( y )
l

f ( x), x [0, l ]

( y ) 0, ( y ) 0 y ( x) 0 ( x)dx 0.
0

y1 ( x) y2 ( x) . u ( x) y1 ( x) y2 ( x)

L(u ) 0, x [0, l ] (u ) 0, (u ) 0
l

u ( x) 0 ( x)dx 0.
0

32.1, u ( x) 0 .
y2 ( x) y1 ( x) , .

,

y ( x) .


§ 32

197

32.2. f ( x ) 0 ( x) . . :

L( y ) ( y)

f ( x), 0, ( y) 0,

L( 0 ) 0, ( 0)
l 2 0 0

( 0 ) 0,

( x)dx 1,

, y ( x) 0 ( x) ,
l 0 0

( x) L( y ( x))

y ( x) L(

0

) dx

0.


l

f ( x)
0

0

( x) dx

0,

(32.5)

. , (32.5), 32.2, . , .


198

VI

, :

L( y ) ( y)
l

f ( x), x 0, ( y)

(0, l ), 0,
l

(32.6)
y ( x) 0 ( x) dx
0

f ( x) 0 ( x) dx
0

0,

0,

.. 0 ( x). , 0 ( x) 0 , , . § 33. , . (32.6) 0 ( x) G0 ( x, ) :
l

y ( x)
0

f ( )G0 ( x, )d ,

(33.1)

G0 ( x, ) - . (32.6), 0 ( x) . , .. 0 ( x) ,


§ 33 . 199
l

G0 ( x, ) 0 ( x)dx 0.
0

(33.2)

, 0 ( x) 0 . G ( x, ) (33.2) . , G0 ( x, ) (33.2) , G0 ( x, ) , , (30.5) :

dG d p( x) 0 q ( x)G0 ( x, ) dx dx (G0 ) 0; (G0 ) 0, G0 ( x dG0 ( x 0, ) G0 ( x 0, ) dG0 ( x 0, );

( x, ), x [0, )

( , l]

(33.3)

1 dx dx p( x) , (33.2). , ( x, ) , (33.2). G0 ( x, ) 0 ( x) x [0, ) x ( , l ]. :

0, )


200

VI

( 0 ( x) L(G0 ) G0 ( x, ) L( 0 )) dx
0

p ( )( 0 ( )
l

G0 x

G0 ( x, )
x 0

0

x

x

0

( 0 ( x) L(G0 ) G0 ( x, ) L( 0 )) dx p ( )( 0 ( ) G0 x G0 ( x, )
x 0 0

x

x

0

(33.3) G0 ( x, ) (32.1) 0 ( x) , :
l 0 0

( x) ( x, )dx p( )
l

dG0 ( x dx

0, )

dG0 ( x dx

0, )
0

()


0

0

( x) ( x, ) dx

0

( ).

, ( x, ) 0 ( x ) 0 ( ). :


§ 33 . 201

dG d p( x) 0 q( x)G0 ( x, ) dx dx (G0 ) 0; (G0 ) 0, G0 ( x dG0 ( x dx
l

0

( x) 0 ( ), x [0, ) ( , l ]

0, ) G0 ( x 0, ) dG0 ( x

0, ); 0, ) dx 1 p( )

(33.4)

G0 ( x, ) 0 ( x)dx 0
0

, G0 ( x, ) = G0 ( , x) . , 0 ( x) =0 ( ), G0 ( x, ) . G0 ( x, ) y ( x) x [0, ) x ( , l ]. :


202
( y ( x) L(G0 ) G0 ( x, ) L( y )) dx
0

VI

p ( )( y ( )
l

G0 x

G0 ( , ) y ( )),
x 0

( y ( x) L(G0 ) G0 ( x, ) L( y )) dx p ( )( y ( ) G0 x G0 ( , ) y ( )).
x 0

(33.4) (32.6), :
l l

( y ( x) 0 ( x) 0 ( )dx
0 0

G0 ( x, ) f ( x)dx

y( ) .

.. y ( x)
l

0

( x) ,

y( )
0

G0 ( x, ) f ( x) dx,

, G0 ( x, ) = G0 ( , x) , :
l

y ( x)
0

G0 ( x, ) f ( )d ,

(33.5)

33.1. 0 ( x ) .


§ 33 . 201 :
l

y ( x)
0

G0 ( x,
0

) f ( )d



( x) .

. , (33.5) (32.6):

L( y )
l

f ( x), x

0, l ,
,
l

( y ) 0, ( y ) 0, ( f ( x) 0 ( x)dx 0; y ( x) 0 ( x)dx 0.
0 0

( x) . .. 0 (33.5), G0 ( x, ) x , (33.5) :
x l

y ( x)
0

G0 ( x,

) f ( )d + G0 ( x,
x

) f ( )d .

, :


204
x

VI

y ( x) G0 x, G0 x,

x 0 f ( x)
0 l

dG0 x, dx f

f

d

x 0 f ( x)
x

dG x, dx

d.
,

x
x

y ( x)
0

dG0 x, dx

l

f

d
x

dG x, dx

f

d.

y y x 0 x l ,
l l

( y)
0

(G0 (0, )) f

d , ( y)
0

(G0 (l , )) f

d.









.

,

y ( x) , (33.5),

.


§ 33 . 205

p( x) y ( x)
l

d dx

x

p ( x)
0

dG0 ( x, ) dx

f

d

d dG ( x, ) p( x) 0 f dx x dx
dG x, p( x) 0 dx |
x0

d=
x

f( )
0

d dG p( x) 0 f dx dx

d-

dG x, p( x) 0 dx


l

|
x0

f( )
x

d dG p ( x) 0 f dx dx

d.

dG0 x, dx

|
x0

dG0 x, dx

|
x0

1 , p ( x)


x

p( x) y ( x)
0 l

d dx

p ( x)

dG0 ( x, ) f dx

d d +f ( x).

d dx

p ( x)

x

dG0 ( x, ) f dx


x l

L( y )
0

L G0 f

d
x

L G0 f

d

f ( x ).


206

VI

L(G0 ) ( ) 0 ( x), x [0, ) x ( , l ] , ,
l

L( y )

0

( x)
0

0

( )f

d

f ( x).

(33.6)

(33.6) , y ( x) , (33.5), (32.6), f ( x ) 0 ( x) . y ( x) 0 ( x) . G0 ( x, ) 0 ( x) :
l l l

yx
0

0

( x)dx
0

f

d
0

G x,

0

( x )dx

0,

. (33.4). . 33.2. (33.1) . .

g ( x, ) ,



0

(33.4)



( x ) , ..


§ 33 . 205

L( g ) ( g ) 0; g(x dg ( x dx

0

( x) 0 ( ), x [0, ) (g) 0 g(x dg ( x dx 0, );

( ,l]
(33.7)

0, ) 0, )

0, )

1

p( )

, (33.4), :

G0 ( x, )

g ( x, ) C 0 ( x ) .

G0 ( x, ) 0 ( x ) .
l 1

g x,
0

0

x dx

C
0

2 0

x dx

0


l

C( )
0

g x,

0

x dx

,
l

G0 ( x, )

g ( x, )

0

( x) g ( x, ) 0 ( x)dx
0

(33.8)


208 g ( x, ) .

VI (33.4). G0 ( x, )

y1 ( x ) y2 ( x ) , :

L( y1 ) y1 ( x y1 ( x L ( y2 ) y2 (l ) y1 (l )
2

0

( x) , x [0, l ],
1

0) 0)
0

,
1

(33.9)

,

( x) , x [0, l ],
(33.10)

,
2

,

,

( y1 ) 0


( y2 )

0 .

y1 ( x )


y2 ( x )
,

.



. , y1 ( x ) y2 ( x )

( y1 ) y1 ( x )
L( y1 ) ( y1 ) 0,
0

Cy2 ( x ) . , (Cy2 ) C ( y2 ) 0 . ,
( x), ( y1 ) 0.

.. y1 ( x )

, .. , 0 x - .


§ 33 . 207 . , y1 ( x ) y2 ( x ) - . y1 ( x ) y2 ( x ) , g x, :
x

g x,

y1 ( x) 0 ( )

[0, ),

y2 ( x) 0 ( ) C 0 ( x) x ( , l ].

(33.11)

g x, ) (33.7), . (33.11) , x

y2 ( x ) 0 ( ) C 0 ( ) y2 ( x ) 0 ( ) C 0 ( )
C

y1 ( ) 0 ( ) 0 y1 ( ) 0 ( ) 1 / p( )
y1 ( ) y2 ( )

(33.12)

. : (33.13) (33.13) , (33.12 ( y2 ( x ) y1 ( )) 0 ( ) ( y1 ( x ) y2 ( )) 0 ( ) 1 / p( ) (33.14) , (33.14) . y1 ( x ) 0 ( x ) [0, ] . :

( y1 ( x) L
0

0

0

( x ) L y1 )dx = y1 ( ) 0 ( x)) p(0)( y1 (0) 0 (0) y1 (0) 0 (0))

p ( )( y1 ( ) 0 ( )


210 ..

VI

( y1 ) 0 ( 0 ) 0 , y1 (0) 0 (0) y1 (0) 0 (0) 0 . 0, L y1 , L 0 0 ( x)) ,

2 0 0

( x ) dx

p ( )( y1 ( ) 0 ( )

y1 ( ) 0 ( ))

(33.15)

, y2 ( x )
0 l

( x ) [ , l ] ,
2 0

( x)dx

p ( )( y2 ( ) 0 ( )

y2 ( ) 0 ( ))

(33.16)
0

(33.15) (33.16) :
1

( x) ,

p ( )(( y1 ( ) y2 ( )) 0 ( ) ( y1 ( ) y2 ( )) 0 ( )) , (33.17) , (33.17) (33.14), .. (33.12) , . (33.13) (33.11), , ,

g x,

y1 ( x) 0 ( ), y2 ( x) 0 ( ) ( y1 ( ) y2 ( )) 0 ( x)

(33.18)

g x, , , , G0 ( x, ) , g x, (33.8). § 34. x 0 , p ( x 0) 0. , p ( x) 0 . p ( x ) x0 ,


§ 34 209 . x0 x0 , x0 , . , x0 0 . x 0 . , . , x 0 . x 0 , p ( x ) . x 0 , p ( x ) . , .. p( x) x ( x), ( x) 0. :

L( y )

d dy p( x) q ( x) y ( x) 0, x 0, l , dx dx y (l ) y (l ) 0, p( x) x ( x), ( x) 0. (34.1)




212

VI

34.1 (34.1) q( x) , y1 ( x) (34.2) lim p( x) y1 ( x) 0
x 0

. (34.1) y .
x1

y1 ( x) , y1 -

x

d dy p ( x ) 1 dx dx dx

x1

q ( x) y1 ( x)dx, 0
x

x

x1 l.



p ( x ) y1 ( x) Q ( x)
x1

Q( x)

p ( x1 ) y1 ( x1 )
x

q ( ) y1 ( )d .

(34.3)

q( x) Q ( x) , lim p( x) y1 ( x) lim Q( x) C .
x 0 x 0

, =0. (34.3)

y1 ( x)

Q( x) p ( x)
y1 ( x1 )

Q( x) . x ( x)
x1

x x1 ,

y1 ( x)

x

Q( )d , ( x) 0 ()

(34.4)

.. y1 ( x) - , x (34.4) , ..
x1

0

lim
x 0 x

Q( )d ()

y1 ( x1 ) lim y1 ( x) C0 .
x 0


§ 34

213

0 . , ,

lim p( x) y1 ( x) lim Q( x) 0.
x 0 x 0

. 34.1 x 0 , . 34.1 y1 ( x), y2 ( x) L ( yi )
0, i

[1, 2] ,

x ( x), ( x) 0, x [0, l ] , y1 ( x ) lim y1 ( x) C , y 2 ( x ) x (30.4), y2 ( x) y1 ( x) .
x0
x 0

p ( x)

y2

y1 C1 C
x

d ,0 x p( ) y12 ( )

x0

(34.5)

y1 ( x

0) const
x0

0 . p( x)

x ( x)
x

(34.5),
x

d ( ) y1 ( )
x

0,

, , y2 ( x)

0 . , y2 ( x)

.


214

VI , y1 ( x )
0

x 0 , .. (34.5) x 0 . .
(34.5)
x0

y

2

C1 C
x

d 1 : ( ) y1 ( ) y1 ( x)



lim y2 ( x) lim
x 0 x 0

d C1 C dx

x0

x

d ( ) y1 ( )

d 1 dx y1 ( x) C lim
x 0

lim
x 0

C / p( x) y12 ( x) y1 / y12 ( x)

1 . p ( x) y ( x)



lim
x 0

C / p( x) y12 ( x) y1 / y ( x)
2 1

C lim
x 0

1 p ( x) y ( x)

34.1,


§ 34

215

lim p( x) y ( x) 0 ,
x 0

,

lim y2 ( x)
x 0

,

. . , (34.1) , .. . , (34.1) y ( x ) 0 .

L( y ) y (l )

f ( x), x

0, l , x ( x), ( x) 0.
(34.6)

y (l ) 0, p( x)

§31, (34.6) :
l

y ( x)
0

f ( )G ( x, ) d

,

G ( x, ) , :


216

VI

L(G ) dG dx G( x dG ( x

d dG ( p ( x) ) q ( x)G 0, x [0, ) dx dx G 0, x l 0, ) G ( x 0, ) dx dG ( x dx 0, ) 0 0, ) 1 p( )

( ,l]

(34.7)



G ( x, )

C1 y1 ( x) y2 ( ), x[0, ), C1 y2 ( x) y1 ( ), x ( , l ],

(34.8),

y1 ( x) y2 ( x) :

L( y1 ) 0 , x [0, l ], y1 ( x 0) y2 ( x l ) (0), y (x 0) , y 2 (x l ) q ( 0) L( y2 ) 0 , x [0, l ],

(34.9) (34.10)

(34.10) , y2 ( x) x l (34.9) , L( y ) 0 x 0 :

( p ( x) y

p ( x) y ( x) q( x) y ( x))

x0

(0) y (0) q(0) y (0) 0


§ 34 (34.8) x .

217

C1 ( y2 ( ) y1 ( )

y1 ( ) y2 ( ))
C1

1 p( )
(34.11)



1 , ( y1 , y2 ) p ( )



( y1 , y2 ) - .

§ 35. . . , . , ,
p( x) x, q ( x ) x:

d dy ( x ) xy ( x) 0 dx dx


(35.1)

xy ( x)

y ( x)

xy ( x) 0

(35.2)


218

VI



y ( x)
k0

ak x

k

(35.3)

(35.1), :

(k 2 x
k0

k1

x

k1

)ak

0



a1
m1

((m 1) 2 am

1

am 1 ) x

m

0



a1

0; am

1

am 1 ; m [1, ) (m 1)2

,

a2

k1

0; a2

a2
k

4k

( k 1) 2

; k [1, )

(35.4)

(35.4) ,

a2

k

( 1)

k

a0 ; k [1, ) 22 k (k !)2

(35.5)


§ 35 217 (35.5) . (35.5) (35.3), :

y ( x)
k0

( 1)

k

a0 x 2 k ; 0! 1. 2 2 (k !)
2k

y ( x 0) 1 a0 1 . y( x) J 0 ( x) -

J 0 ( x)
k0

( 1) k (k !) 2

x 2

2k

(35.7)

.

VI .
1. 1.1.

y

y

0, x [0,

/ 2]

y (0) 0, y ( / 2) 1
y y
0, x [0,1]

1.2.

y (0) 0, y (1) y y

y (1) 1

1.3.

2 x, x [0,1] 1

y (0) 0, y (1)

2.


220 2.1.

VI

y

y

f ( x ), x [0, ]

y (0) 0, y ( ) 0
x2 y 2 xy f ( x), x [1, 2]

2.2.

y (1) 0, y ( 2) 0 y y f ( x), x ( ,)

2.3.

y ( x) x
y 1, x [0,1]

3.

y

y (0) 0, y (1) 0
? 4. 4.1.

y

y sin 2 x, x [0, ]

y (0) 0, y ( ) 0 y y 2e x , x [0,1]

4.2.

y (0) 0, y (0) 0

VII .


§36 ­ § 36. ­ .

221

, , 0 ( x) .

L( y ( x))

d dy ( p( x) ) q( x) y ( x) 0, x [0, l ] (36.1) dx dx ( y ) 0; ( y ) 0

y ( x) 0 . : q( x) , . ( x) , q q ( x ) ( x) , .. q( x) . :

L( y )

( x) y ( x), x [0, l ]

( y ) 0; ( y ) 0; p ( x) 0; ( x) 0

(36.2)

­

i , (36.2) y ( x) . i
,

i

( )


222

VII yi ( x) ­ (36.2). , -: , y ( x )

k

,

(36.2)

k

- . ,



0 .

. 36.1. k ­ -, yk ( x ) . . , y k ( x ) zk ( x ) . . x 0
1 yk 1

(0)

1 yk 1

(0)

0 0.

z k (0)

z k (0)

(36.3)

.. ( 1 , 1 ) (36.3), , . , ( yk , zk ) 0 x 0 . , ( yk , zk ) 0 x (0, l ) . ,


§36 ­ 223 yk ( x ) , zk ( x ) - , .. zk ( x) Cyk ( x) . , k. 36.2. ym ( x ) ( x ) , ..
l

yk ( x )
k m

( x) yk ( x) ym ( x)dx
0

0k

m.

(36.4)

. .. y k ( x ) ym ( x ) ,
l

yk ( x) L ym ( x)
0

ym ( x) L yk ( x) dx

0.

L( ys )
l k m 0

s

( x) ys ( x) ,
0,

( x) yk ( x) ym ( x) dx 0,

k

m

.

36.3. I II y ( 0) 0 ( y (0) 0 ); y ( l ) 0 ( y (l ) 0) q ( x ) 0 - ,
n

0.


224 . - yn ( x ) x .
l

VII

n



yn ( x )
0

d dy pn dx dx

q ( x ) yn ( x )

n

( x) yn ( x) dx 0 .

:
l 0 l 0

q ( x) yn 2 ( x)dx

l 0

dy d pn dx dx
2

yn ( x)dx
.

n

( x) yn ( x)dx
, ;

ld 0 dx

p

dyn dx

l

yn ( x)

p ( x ) yn ( x ) y n ( x ) |

l

p ( x)

dyn dx

2

dx .

0

0

y ( x ) x

0 x l ,


§37 -
l l

225

p( x)[ yn ( x)] dx
n 0 l 2 0

2

q ( x) yn 2 ( x)dx
. (36.5)

( x) yn ( x)dx
0

( x ) 0, q .. p ( x ) 0, .

( x)

0 ,

k

0.

. 36.3

k

0

( y)
1 1

1

y ( 0)

1

y ( 0)
2 1

0,

0,
2

2 1
2

0
0 ,

( y)
2 2

y (l )

y(l )
2 2

0,

2 2

0.

§37. .

-




226 VII - :

L( y) f , f ( y) 0 (y)=0.

y
(37.1)

.. 0 , (37.1) . , 30.2, G ( x , ) :
l

y ( x)
0

G ( x,

) f ( ) d , x [0, l ]

( ) y( ) , f ( ) :

y ( x)

l 0

G( x, ) ( ) y( )d

0, x [0, l ] (37.2)

. (37.2).

y( x)

u( x ) , ( x)
l

( x)

0.

(37.2) :

u ( x)
0

K ( x, )u ( )d

0

(37.3)


§37 -

227

K ( x, ) ( x ) ( )G ( x , ) . .. G ( x , ) = G ( , x ) , K ( x , ) K ( , x ) ,
.. (37.3) - , . (37.3) , -: , (37.3). -. u ( x) (35.3), ..

i ui ( x) 0 ,

i

0

i

ui ( x) yi ( x) l

l i 0

K ( x, )ui ( )d , x [0, l ] .

(37.4). i G( x, ) yi ( ) ( )d , x [0, l ] 0 yi ( x) , ,

(37.4), . (37.4)

yi ( x)

(35.4) (35.5) ­ ,

l G( x, ) yi ( ) ( )d . i x 0

(37.5)


228

VII

( yi ) ( yi )
(G) 0

l i i 0 l

(G ( x, )) yi ( ) ( )d
(37.6)

0

(G ( x, )) yi ( ) ( )d 0
(30.5)



(G) 0 . , (37.6) y ( x) : i

( yi ) 0; ( yi ) 0

(37.7)

, yi ( x) -. ( p( x) y ( x)) . .. G ( x, ) , :

i

( p( x) yi ( x))
i

x dG ( x, ) d p( x) yi ( ) ( )d i dx dx 0 .

l dG ( x, ) d p( x) yi ( ) ( )d dx dx x

,


§37 -

( p( x) yi ( x)) i p ( x)

xd dG( x, ) yi ( ) ( )d i dx p( x) dx 0 0) 0) yi ( x ) (x) yi ( x ) (x)

229

dG( x, x dx dG( x, x + i p ( x) dx ld dG i x dx p( x)

( x, ) yi ( ) ( )d . dx
q( x) yi ( x) ,
l i x

(37.4), :
x

L( yi )
i

i 0

L(G ) yi ( ) ( )d

L(G ) yi ( ) ( )d

p( x)

dG ( x, x 0) dx

dG ( x, x 0) yi ( x ) (x). dx

G ( x, ) , (30.5): L(G) 0 x [0, ) x ( , l ]

p ( x)

dG( x, x 0) dG( x, x 0) dx dx

1,



­ (36.2). , (36.2) (37.3).

L( yi )

i (x) yi ( x ) ,


230

VII , . 1. . 2. (37.3) , :

K ( x, )

n m1

um ( x)um ( )
m

.

(37.8)

, , ­ . , () .

37.1. K ( x , ) (37.3) , , , - () k yn ( x) . . , K ( x , ) , ..

K ( x, )

n

1 m

m1

um ( x)um ( ) ,

. , (35.3),

G( x, )

n um ( x)um ( ) 1 . ( x) ( ) m 1 m


§37 -

231

um ( x) ( x) ym ( x), , ym ( x ) -,

G( x, )

n

1

m1 m

ym ( x) ym ( )
2

ym ( x) , .. ym ( x) C . , ..

G( x, ) C2 .
, , .. . , K ( x , ) ­ , k uk .

u ( x)um ( x)dx 0k

l

0 , m k 1 , m k

, ­ , , ­
k


( x) :

y k

u ( x) k , ( x)
(37.11)



y ( x) ym ( x) ( x)dx 0k
.

l

0, k m 1, k m


232 VII §38. . . - . , .

f ( x) K ( x, ) , h( x) C, x [0, l ] ,

f ( x)

l 0

K ( x, )h( )d .

(38.1)

­. f ( x ) K ( x , ) ,

um ( x)

m K ( x, )um ( )dx 0 , 0

l

(38.2)

f ( x)

m1

f mum ( x); f m

l 0

f ( x)um ( x)dx . (38.3)

-, :


§38

233 (38.4)

u ( x)

l 0

K ( x, )u( )dx

f ( x), x [0, l ] ,

, .. (38.3). , (38.4) um 0 l ,
l l

cm
0

um ( x)dx K ( x, )u ( )dx
0
l 0

fm ,

(38.5)



cm

u ( x)um ( x)dx .

(38.6)

, ,

l 0

K ( x, )um ( x)dx
l

l 0

K ( , x)um ( x)dx

um ( ) . m

(38.5),

c


m m0

u ( )u m ( )d

f

m

cm (1

m

)
f

f

m.

cm

m m

fm .

(38.7)

cm , :


234

VII

ux
m1

cm um x

fx

f mum x .
m1 m

(38.8)

(38.8) , . , x 0, l . . . 0, l zx z 0 z 0 , 0, l -. . z x ­ , L( z ) ,

f , f ­ .
x z x ­
.

K x, .. z x


§38 235 , G x,
l

: (38.9)

z( x)
0

G ( x, ) f ( )d .

,

K ( x, ) G ( x, )

( x) ( ) (38.9)

( x) z ( x)


l

0 h( ) f ( )

K ( x, )h( )d ,

()

­

.

( x) z ( x) ­ , , , o -, (38.2):

( x) z ( x) Cn l 0

Cnun ( x) n1

,

(38.10)

( x) z ( x)un ( x)dx

un ( x) ­ yn ( x) un ( x) ( x) yn ( x) . (38.10), , , z ( x) ­ :


236

VII

z ( x) Cn
l 0

Cn yn ( x), n1 l 0 z ( x) yn ( x) ( x)dx,

(38.11)



( x ) yn 2 ( x ) d x 1 ,

. §39. . , p( x) 1, q( x) 0 , . - (36.2) :

d 2 y ( x) y ( x), x [0, l ] dx 2 y (0) 0; y (l ) 0
(39.1) :

(39.1)

y ( x) C1 sin

x C2 cos
,

x

(39.2)

, :

C2

0 l 0; C1 0

C1 sin

l n , n [1, 2, 3,... ) .


§39
n

237

(

n ) l

2

,

,

yn ( x) C1 sin

l 0

nx . l


(39.3)

C1





yn 2 ( x)dx 1. C1

2 , l
(39.4)



yn ( x)

2 nx . sin l l

-

d 2 y ( x) y ( x), x [0, l ] dx 2 y (0) 0; y (l ) 0
C1 0 0

(39.5)

(39.2) ,



n

C2 sin l 0; C2 n ( ) 2 l 2 yn ( x) cos l

,



nx . l

(39.6)

, , ..


238

VII

d 2 y ( x) y ( x), x [0, l ] dx 2 y (0) 0; y (l ) 0
C 0

(39.7)

. (39.2) ,
2

C1 cos l 0; C1 0 (2n 1) 2 ) , n ( 2l


(2n 1) x . 2l 2 C1 . l yn ( x) C1 sin

(39.8)

. , -

d 2 y ( x) y ( x), x [0, l ] dx 2 y (0) 0; y (l ) y (l )
C2 0; C1 cos


(39.9)

(39.2) , :

0 l sin l

.



tg

l

.

(39.10)


§39

239 (39.11)

l

tg x

x x.

1

l

,

xn , n [1, ), 2 n xn l 2

yn ( x)

2 xx sin n . l l

(39.12)

xn x , x . y tg x y . n , x .
n

1, xn

(2n 1) , 2



§40. .







§35

d d ( x ) xy ( x) 0 , dx dx


240 VII

J 0 ( x)
k0

( 1) k (k !) 2

x 2

2k

.

- : n

d ( dx y( x

x

dy ) dx l) 0

xy ( x), x [0, l ]

,

(40.1)

(40.1). t (40.1)

x,

d dZ (t ) tZ (t ) 0, t [0, dt dt Z( l ) 0; Z (t ) y( x
t

l] )

(40.2)

(40.2) Z (t ) J 0 (t ) . , (40.1) :

yn ( x)

n

J0 (
n

n

x) ,

(40.3) (40.4)
n



J0 (
J0 (

l) 0 .
,


n

) 0, n [1, ) ,

(40.5)

(40.1) :


§

40

241

yn ( x )

J0 (

n

x

l

).

:

J 0 ( x)

2 cos( x x

4

) O( 1

x

3

2

).

(40.6)

, x

cos(

n

n

4

) 0;

n

4

2

(n 1) ,
(40.7)
n

n
.

4
n

,

n [1, ).

40.1



40.1 n
n n

1 2,4048 2,3562

2 5,5201 5,4978

3 8,6537 8,6394

4 11,7915 11,781

5 14,9309 14,9226

, n 2 4 2 0,4 %, n 0, 09 %. , n 4 , (40.7) n .


242 VII .

VII

1. 1.1.

y

y

0, x [0, ]

y (0) 0, y ( ) 0 y y
0, x [0, ]

1.2.

y (0) 0, y ( ) 0 y y
0, x [0, ]

1.3.

y (0) 0, y ( ) 0

1.4.

y

y

0, x [0, ]

y (0) 0, y ( )

y( )


§41

243

VIII .
§41. . . . 41.1 y Y . , . . , , , .. , , ( ). y y ( x ) , v ( x, y ) - , T , ( x0 , y0 y ( x0 )) ( x1 , y1 y ( x1 )) ,
x1

T
x0

1 y 2 ( x) dx; v ( x, y )

y0

y ( x0 ) , y1

y ( x1 )

(41.1)


244

VIII ( ) . , . , . . 41.2. , y ( x ) ( ) y y ( x ) y1 ( x ) , y1 ( x ) , y ( x ) - Y, . . , y ( x0 ) y ( x1 ) 0 . 41.3 [ y ( x )] , y ( x ) . , , y y ( x ) y1 ( x ) . 41.4. y ( x ) y1 ( x ) - , y ( x ) Ck
k

y

Ck

x [ x0 , x1 ]

max

y ( x) y1 ( x), ..., y ( k ) ( x) y1( k ) ( x)

1

(41.3)


§41

245

41.5 [ y ( x )] y y1 ( x ) - , 0 , , k ( y) ( y1 ) 41.6. , L( y1 y2 ) L( y1 ) L ( y 2 ), (41.5) , const. ,
x1

L( y )
x0

( p( x ) y q( x ) y )dx ,


x1

L( y1

y2 )
x0 x1

( p( x )( y1

y2 ) q( x )( y1

y2 ))dx

( p( x )( y1 ( x )) q( x )( y1 ( x ))dx
x0 x1

( p( x )( y2 ( x )) q( x )( y2 ( x ))dx
x0

L( y1 )

L( y 2 ).

41.7 , y .


246
y y yx

VIII

L y ( x), y y x , y max
yx, y 0

y

(41.6)



max y( x)

0,

L y ( x ), y -
y( x) L y ( x ), y

y ,

(41.7)

(41.6) (41.7) , . y. y , (41.6) (41.7), :

y L y ( x), y

y

yx yx,

() y max y

(41.8)

L y ( x ), y , y , L y ( x ), y L y ( x ), y

-

,


§41
L y ( x ), y yx, y max y

247



L y, y
0

[ y]

, (41.8),

[ y]

[ y( x)

y]
0

(41.9)

(41.9) . ,

[ y( x)

y]
0

.

, , . . 41.8 ( y ) y y0 ( x ) max ( min), ( y ) y y0 ( x ) ( ) , ( y0 ) , ..
y
0

0 (

y

0

0 ).


248 , y y0 ( x )

VIII 41.1 ( y ) , ( ) , y0 ( x ) - , y0 ( x )
y y0

0

(41.10)

. y0 ( x ) y ( y0 ( x ) y) ( ). ( ) max ( min) 0 . , (0) 0 . , (41.10) ,
[ y0 ( x ) y]
0

0.









y(x),





y0 , ,

y0 ( ) , .


§42 §42. . .
x1

249







[ y ( x )]
x0

F ( x, y ( x ), y ( x ))dx, y0 , y ( x1 ) y1

(42.1)

y ( x0 )

y ( x ) - (.. y ( x ) [ y ] ). y ( x, ) y ( x ) y, y ( x0 ) y( x1 ) 0. (42.2) . (41.9)
x1

[ y ( x)]
0 x0 x1

F ( x, y Fy
x0

y, y Fy y ( x, )

y )dx

y ( x, )
F . y

,
dx,
0

Fy

F , Fy y

y ( x, ) (42.2),


250
x1

VIII
( Fy y Fy y )dx
x0

[ y ( x)]

Fy y

x1 x0

x1

Fy
x0

Fy x

y ( x)dx,

,

y ( x0 )
x1

y ( x1 )

0 ,

[ y ( x )]
x0

Fy

Fy x

y ( x )dx .

(42.3)

, (42.3), ( y ) , . . 42.1 . [ x0 , x1 ] ( x )[ ( x0 ) ( x1 ) 0]
x1

( x ) ( x )dx
x0

0,
( x) 0

( x ) - [ x0 , x1 ] , x [ x0 , x1 ] .

. x [ x0 , x1 ] , ( x ) 0 . ( x )


§42 251 , [ x0 , x1 ] x , ( x ) . ( x ) ,

( x)

x1 x3

0, x [ x2 , x3 ] 0, x [ x2 , x3 ]

( x ) ( x )dx
x0 x2

( x ) ( x )dx

0
( x) 0,

. ,

, , , .

42.1
x1

( y)
x0

F ( x, y, y )dx

y ( x0 ) y0 , y ( x1 ) y1


252
Fy d ( Fy ) dx 0

VIII (42.4)

. 41.1, 0. (42.3) , x1 Fy y ( x1 ) 0 . [ y ( x)] Fy y ( x)dx 0, y ( x0 ) x x0 ,
Fy d ( Fy ) dx 0,

. (42.4)

Fy

Fxy

y Fyy y0 , y ( x1 )

y Fy y1.

y

0, x [ x0 , x1 ]

y ( x0 )


(42.5)

,









F ( x, y, y ) ,


§42 (42.5).

253

, ,
/2

[ y ( x)]
0

(y 2) y

2

dx,

(42.6)

y (0) 0, y ( ) 1. 2

Fy

2 y; Fxy
y ( x)

0; Fyy

0; Fy

y

2. ,



y ( x) y ( 0)

0, x[0, ], 2

0, y ( ) 1. 2

y ( x) , y ( x) sin x
/2 /2

sin x .
(42.6)

(sin x)
0

(cos x sin x) dx
0

2

2

cos 2 xdx 0.

§43., . .


254 VIII , y ( x ) y ( x ) . , :
x1

( y)
x0

F ( x, y, y , ..., y ( n ) )dx

(43.1)

, y ( x) [ x0 , x1 ] . , n , , (n-1) :

y ( x0 ) y ( x1 )

y0 , y ( x0 ) y1 , y ( x1 )

y0 , ..., y y1 , ..., y

( n 1)

( x0 )

y y1(

( n 1) 0

,

( n 1)

( x1 )

n 1)

.

(43.2)

43.1 (43.1) (43.2) y ( x ) -
n k0

( 1)

k

dk ( F k ) 0. dx k y

. (43.1). (41.9),


§43
0 x1 0 x0 x1

255

(y

y) y, ..., y ... Fy
(n)

F ( x, y Fy y

y ( n ) )dx

(43.3)

{Fy y
x0

(n)

y ( n ) }dx

x0 x1

y 0, y
x1

0,..., y
x1 x0 x1

( n 1)

0.
y ( x)dx.

(43.3) ,

Fy
x0

y ( x) [ Fy

y ( x)]

x0

d ( Fy ) dx

,
x1 x1

Fy
x0

y dx
x0

d ( Fy ) dx

y ( x)dx.

(43.4)

, ,


256
x1

VIII

Fy
x0

y ( x)dx d ( Fy ) y dx
x1
x1 x1

[ Fy
x1

y]

x1 x0

x0

x0

d2 ( Fy ) dx 2

y ( x)dx.

, ,

Fy
x0

y dx
x0

d2 ( Fy ) dx 2

y ( x)dx.

(43.5)


x1

Fy
x0

(n)

y dx ( 1)

(n)

n

x1

x0

dn ( Fy ( n ) ) y ( x)dx. (43.6) dx n

(43.4-43.6) (43.3),
x1

( Fy
x0

d ( Fy ) dx ( 1)
n n

d2 ( Fy ) ... dx 2 y ( x)dx.

(43.7)

. , (43.7),
x1

d ( Fy ( n ) )) dx n

[
x0

n k0

dk ( 1) ( F k )] y ( x)dx 0. dx k y
k

(43.8)


§43 257 (43.8) , .. y ( x ) . , -
n k0

dk ( 1) ( F k ) =0, dx k y
k

(43.9)

.

y ( x) 2n - (43.8) (43.2).

1

( y 2 ( x) 2( y ( x)
0

2

y ( x) 2 ) dx
1

(43.10)

:

y(0) 0; y (0) F ( x, y, y , y )


2; y(1) 0; y (1) e e y
2

.

(43.11)

,

2y

(y ) 2y .

2

Fy

2 y; Fy

4 y ; Fy

(43.9), :

Fy


d ( Fy ) dx

d2 ( Fy ) 0 dx 2


258

VIII

y

( IV )

( x) 2 y ( x)

y( x) 0.

:

M( )

4

2

2

1( xe x ; y3

x

1)2 ( e x ; y4

1)

2

0.

:

y1 ( x) e x ; y2
,

xe x .
(43.12)


x

y ( x) (c1 c2 x)e

(c3 c4 x)e

.

(43.12) (43.11), (c1 , c2 , c3 , c4 ) :
y ( 0) y ( 0) c1 c1 c3 c
2

0; y (1) c3 c
4

(c1

c2 ) e

(c3 (c1

c4 ) e

1

0
1

2; y (1)

2c2 )e c3e

ee

1

:

c1

1; c2 1; c3 1; c4

1.
x

, (43.12), :

y( x) ( x 1)(e

e x)

(43.13)

§44. . . , ( y1 , y2 , ..., yn ) y :


§44
x

259 (44.1)

[ y ( x)]
x0

F ( x, y , y )dx.

, .. y ( x0 ) y0 , y ( x1 ) y1 . (44.2) , (44.144.2) - y ( x ) . 44.1 ­ 0 y ( x)

y ( x) yi ( x)

y 0 ( x) ( y1, y2 ,..., yn ) , yi ( x) yi0 ( x) , yi ( x ) . y ( x)

44.2 , ­, ( 41.9),

[ y ( x)]

0

[ y ( x)

y) .

(44.3)

, ­, , , .. [ y ( x)] 0 . (44.4)


260 VIII (44.1). , (44.3), (44.1):
x1

[ y]
x0 x1 n i1

0

F ( x, y

y, y

y )dx
.

x0

F ( x, y , y ) yi yi

F ( x, y , y ) yi dx yi

y ( x0 ) 0; [y
n x1

, , y ( x1 ) 0 , ]

F ( x, y , y ) yi

d dx

(

F ( x, y , y ) yi

)

yi ( x) dx

(44.5)

i1x 0

(44.5) (44.4), (44.1):
n x1

F ( x, y , y ) y
i

d dx

F ( x, y , y ) y
i

yi ( x ) dx

0. (44.6)

i1x

0

yi ( x ), i [1, n] - ,

yi ( x)

0, i

m, i [1, n] m

ym ( x), i

.

(44.6)


§44
x1

261

F ( x, y , y ) y
m

d dx

F ( x, y , y ) y
m

ym ( x)dx

0, m [1, n]

x0

,

F ( x, y , y ) ym

d F ( x, y , y ) ( ) 0, m [1, n], dx ym

(44.7)

, (44.2), - y ( x ) - (44.1).
/2

( y)
0

( y12 ( x)

y12 ( x)

y22 )dx,
(44.8)

y1 (0) 0, y2 (0) 0, y1 ( ) 1, y2 ( ) 1. 2 2
:

y1

y1

0, x [0, ], y1 (0) 0, y1 ( ) 1, 2 2

y2 (0) 0, x [0, ], y2 (0) 0, y2 ( ) 1. 2 2 y ( x) ( y1 ( x), y2 ( x )) , 2 y1 sin x, y2 x. (44.9)


262

VIII

min

[ y1 , y2 ]

[sin x,

2

x]

2

.

(44.10)

, -, ( ):
x

[ y ( x)]
x0

F ( x, y , ..., y ( k ) )dx , y

( y1 , ..., yn ). (44.11)

y ( x ) -:

F y
m

d dx

F y
m

... ( 1)

k

d

k k

F y
(k ) m

dx

0, m [1, n] (44.12)

§45. . . 45.1. , [ y ] , y ( y1 , ..., yn ) . 45.2. , y ( y1 , ..., yn ) , [ y ] , , x y ( x ) :


§45
i

263

( x, y ( x)) 0, i [1, m], m n ,

, y ( x ) :
i

( x, y ( x), y ( x)) 0, i [1, m], m n .

:
x1

( y)
x0

F ( x, y , y )dx, y { y1 , ..., yn }


i

( x, y )

0, i [1, m], m y 0 , y ( x1 )

n, 0, i ( x1 , y 1 ) 0.

y ( x0 )

y 1 , i ( x0 , y 0 )

(45.1)

(45.1) , . , i ( x, y ( x)) 0, i [1, m], m n . yk , k [1, n] , (n>m), , i . , i ( x, y ( x ))

y1 , y2 , ..., ym . , m :

(45.2)

D( 1 , 2 , ... m ) D( y1 , y2 , ... ym )

0.


264 VIII , . , .. ( y1 , ..., yn ) .
i

( x, y ) 0, i [1, m] .

,

[ y ]




. . 45.1. -, (45.1),
i



( x), (i 1, ..., m) ,
x1



( y)
x0

( F ( x, y , y )

m i i1

( x) i ( x, y ))dx.



i

( x), i [1, m] y ( x)




§45

265 (45.3)

Fy
i

d ( Fy ) 0, k [1, n], dx k ( x, y ) 0, i [1, m],
k



F (x, y, y )

F (x, y, y )

m i i1

( x) i ( x, y ).

(45.4)

. :
x1



(45.1)



[y]
x1 n

0 x0

F ( x, y yi d dx (

y, y F ( x, y , y ) y y
k

y )dx yk dx yk ( x)dx 0.

F ( x, y , y ) y y
k

(45.5)

x0 x1 n

k1

F ( x, y , y )
k

F ( x, y , y )
k

)

x0

k1

(45.5) , yk , . , yk , k [1, n] . i ( x, y ) 0

yk , , 1: , .. yk

n i k1

( x, y ) yk yk

0, i [1, m].

(45.6)


266 (45.6)
m i k1

VIII
i

( x, y ) yk yk

n k m1

( x, y ) yk , i [1, m] yk

yk , k [1, m] , yk , k [m 1, n] . (45.2),
1 2





y1
1

y1
2

... ...

m

y1
m

y ...

2

y

2

y

2

... ... ...
1 2 m

D( 1 , 2 , ... m ) D( y1 , y2 , ... ym )

0.

y

y

...

m

m

y

m

, , yk , k [1, m] yk , k [m 1, n] . , yk , k [m 1, n] . : (45.6) i ( x), i [1, m] i.
m i i1

( x)

n i k1

yk

yk

n k1

yk

m i i1

( x)

i

yk

0.

,


§45
x1 n k1

267 (45.7)

yk (

m i i1

( x)

i

x0

y

)dx 0

k


x1 n k1

x0

y

(
k

m i i1

( x) i ( x, y )) yk dx 0.

(45.8)

(45.5) (45.7),
x1 n k1

x0

F yk

dF ( ) dx yk

m i i1

( x)

i

y

yk dx 0. (45.9)
( x ) ,

k

,

i

F yk

dF () dx yk

m i i1

( x)

i

yk

0, k [1, m] .

(45.10)

, (45.10) [1, m] i ( x ), i , (45.2). , (45.9), m+1 n
x1 n k m1

x0

F yk

dF ( ) dx yk

m i i1

( x)

i

y

yk dx 0.

k


268 yk , k [ m , . , , ,

VIII 1, n] ,

F yk

dF () dx yk

m i i1

( x)

i

yk

0, k [m 1, n] . (45.11)

(45.10), , (45.11) k [1, n] . :
m

y

( F ( x, y , y )
k i1

i

( x ) i ( x, y )) ) 0, k [1, n ]

d dx
i

(

F ( x, y , y ) y
k

(45.12)

( x, y )

0, i
0

[1, m ], y.
1

y ( x0 )

y , y ( x1 )


m

F ( x, y , y )

F ( x, y , y )
i1

i

( x ) i ( x , y ),

(45.13)

, , i y , (45.12)


§45

269 (45.14)

F yk

dF ( ) 0, dx yk



§46. . .
x1



( y)
x0

F ( x, y ( x), y ( x))dx

, - y ( x) y ( x )
i

(46.1)

( x, y , y ) 0, i [1, m], m n y 0 , y ( x1 ) y 1.



y ( x0 )


270
i



( x, y , y ), i y1 , y2 , ..., ym , .. D( 1 , 2 , ... m ) 0. D( y1 , y2 , ... ym )

, [1, m]

VIII

(46.2)

, m

yi ( x) y ( x0 )

fi ( x, y1 , y2 , ..., ym , y y 0 , y ( x1 ) y 1.

m1

, ..., yn ), i [1, m],

(46.3)

y

m1

( x), ..., yn ( x) ,

yk ( x0 )

0 yk , yk ( x1 )

y1 , k [m 1, n] , k

(46.3) . ( y1 ( x ), ..., ym ( x ))

( x), ..., yn ( x)) , .. ( ym 1 ( x ), ..., yn ( x)) .

m1

(y

(46.1), (45.5),
x1 n

F ( x, y , y ) y
k

d dx

(

F ( x, y , y ) y
k

)

yk ( x)dx

0 ,(46.4)

x0

k1


§46 271 ( ym 1 , ..., yn ) - y ( x ) .
n k1
i

( x, y , y ), i [1, m] ,
i

(

yk

yk

i

yk

yk ) 0, i [1, m]

(46.5)

(46.5) i i ,
n k1 m i i1

( x)(

i

yk

yk

i

yk

yk ) 0.

(46.6)

(46.6) x0 x1 , ,

yk ( x0 )

yk ( x1 ) 0, k [1, n] .


x1 n k1 x n m i1 m i1

( i ( x) ( i ( x)

i

x0

y

y
i

k

i

( x)

i

k

y

yk )dx
(46.7)

k

x0 k 1

y

k

d ( i ( x) i )) yk dx 0 dx yk


272

VIII

(46.7) (46.4),
x1

n

x0 k 1

y

F ( x, y , y )
k

m i i1 m

( x) i ( x, y , y )) ( x) i ( x, y , y )) yk ( x) dx 0

d ( F ( x, y , y ) dx yk

i i1

, (45.13)
m

F ( x, y , y )

F ( x, y , y )
i1

i

( x ) i ( x, y , y ),

(46.8)


x1 n

F y
k

d dx

F y
k

yk ( x)dx

0.

(46.9)

x0

k1

yk , k [m 1, n] yk ( x0 ) yk ( x1 ) 0 . , [1, m] , i ( x ), i
F yk d F
k

dx y

0 k [1, m]

(46.10)

.


§46 273 (46.10) (46.9)
x1 n

x0 k m

. , (46.11)

FdF (46.11) ( ) yk ( x)dx 0 , yk dx yk 1 yk ( x), k [m 1, n]

F yk
k

d

F
k

dx y

0, k [m 1, n]
(46.12)

(46.12)

(46.10)



,



[1, n] .

i







y





( x), i [1, m]

(m+n) , n m
d y
i
k m

dx

y

F ( x, y , y )
k i1

i

( x ) i ( x, y , y )

0, k

[1, n]

( x, y )

0, i [1, m], y , y ( x1 )
0

y ( x0 )

y , x [ x0 , x1 ].

1


274 VIII §47. . . , .
x

( y)
x0

F ( x, y , y )dx


x

fi ( x, y , y )dx li , i [1, m] ,
x0

(47.1)

. m n. , 26.
x

zi ( x)
x0

fi ( x, y , y ) dx, i [1, m]
0, zi ( x1 ) li .

(47.2)

zi ( x0 )

(47.2),


§47
i

( x, y , y )

f i ( x, y , y ) zi ( x) 0, i [1, m] .

275 (47.3)

, (46.1), 46,

y ( x) ( y1 , ..., yn ) z ( x) ( z1 , ..., zm ) .
46,
x

( y, z )
x0

F ( x, y , y , z , z ) dx
m i i1

(47.4)



F

F ( x, y , y )

( x)( f i ( x, y , y ) zi ( x))

(47.5)



( y, z )

(47.6) (47.7)

F y
k

d d dx
F z
i

F
k

dx y

0, k [1, n] 0, i [1, m]
F zi
i

F zi
,

F zi

0,

( x) (47.7)


276

VIII

d

i

dx

0, i [1, m] .

(47.8)

(47.8) , . (47.6) y ( x ) x [ x0 , x1 ]
F ( x, y , y yk m i1i y ( x0 )
0

d dx

(

F ( x, y , y ) yk d

)

fi ( x , y , y ) yk y , y ( x1)
1

fi ( x , y , y ) dx yk y,k [1, n]

0,

(47.9)

(47.9) [1, m] , i, i (47.1). y ( x ) .

{ i} ,

F ( x, y , y )

F ( x, y , y )

m i1

ii

f ( x, y , y ) ,

i

=const,



F y
k

d dx

F y
k

0, k [1, n], x [ x0 , x1 ] y 1.

(47.10)

y ( x0 )

y 0 , y ( x1 )
i






§47
x1

277 (47.11)

f ( x, y , y )dx li , i [1, m]
x

:
1

( y)
0

y 2 dx , y ( 0)

y (1) 0


1

y ( x ) dx l .
0



F ( y, y )

y 2 ( x)

y ( x) .

, (47.10),

F y

d dx

F y

2 y ( x) 0, x [0,1]

y ( x 0)

y ( x 1) 0.



y ( x)

4

x

2

c1x c2 .
0, c1
4
.

c2


278 :

VIII

y ( x)

4

x(1 x) .

:
1


24l .

y ( x ) dx
0

24

l , ..

,

y( x) 6 l x(1 x) .

1

y ( x) ,
2

( y)

36l

2 0

(1 2 x) dx 12l

§48. . -. , . . , , « ».


§48 - 279 z ( x, y) , , .

z ( x, y ) x
( z ( x, y ))

p,

z ( x, y ) y

q .



F ( x, y, z , p, q )dxdy, ( x, y ) S
s

(48.1)

, z z ( x, y ) C , XOY . , z ( x , y ) x , y C z0 ( x, y ) (48.2)

z ( x, y)
z ( x, y ) z1 ( x, y ) ,
(48.3) (48.4)

z ( x, y )


z ( x, y )

C

0.

, , z

( z)

(z

z)

( z)


F ( x, y , z
0 S

z, p

p, q

q ) dxdy

(48.5)


280

VIII

( z ( x, y )) z

z ( x, y ) : ( z ( x, y )) z z ( x , y ) 0 ,

(48.6)

z ( x, y ) - . . S ( x, y ) , ( x , y ) C 0 , - , S f ( x, y ) ( x, y ) dxdy
S

0,

(48.7)

f ( x, y ) - S , (48.9) f ( x, y ) 0 ( x, y ) S . . ( x0 , y0 ) S f ( x0 , y0 ) 0 , S 0 . ( x, y ) , ( x, y ) 0 ( x, y )
f ( x, y )
S

S

0



( x, y ) 0 ( x, y ) S 0 .
f ( x, y )
S0

( x, y ) dxdy

( x, y ) dxdy

0.

(48.7)., (48.8). . (48.5):


§48 -
( z ( x, y ))
S

281

F z z

F p p

F q dxdy . (48.9) q

(48.9) ,

p

z x

q

z y Fp x Fq z Fp p

z.



x

( Fp z )

y

( Fq z )
F z Fp x

y

z Fq q
Fq y

(48.10)

(48.10) (48.9),

zdxdy
(48.11)

S

S

x

( Fp z )

y

( Fq z ) dxdy.

, (48.11) . , :

S

N x

M dxdy y

Ndy Mdx .
C




282

VIII

S

x

( Fp z )

y

( Fq z ) dxdy
(48.12)

Fp zdy Fq zdx
C

0

, .., (48.4), z . (48.12), , :

S

F z

Fp x

Fq y

zdxdy

0.

(48.13)

z - , , ,

F z

Fp x

Fq y
2

0.

(48.14)



( z( x, y ))
S

z x

z y

2

dxdy

(48.15)

,
F p 2 q2 . (48.14), -


§48 -
2 2

283

p q z z (48.16) 0. 2 x y x y2 .

VIII . 1. .
/2

1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

( y ( x))
0

(y
2

2

y ) dx; y (0)
2

2

0, y (

/ 2)

1

( y ( x))
0

y (1 x y ) dx; y (1) 1, y ( 2) 1
1

( y ( x))
0

( xy
(y
0

y ) dx; y (0) 1, y (1)
y
2

2

0
0, y ( ) 1

( y ( x))

2

2 y sin x) dx; y (0)

2. .
/2

2.1. 2.2. 2.3.

( y ( x))
0

(4 y
1

2

x

2

y ) dx

2

( y ( x ))
0

( 2 xy
/2

y ) dx
( 2 yz 2y
2

2

( y ( x), z ( x))
0

y

2

z 2 ) dx


284 VIII 3. - . 3.1.

[u ( x, y )]
S

u x

2

u y

2

dxdy
2

3.2.

[u ( x, y )]
S

u x

2

u y

k 2 ( x, y)u 2 dxdy

4. .
1

( y ( x ))

(y
0

2

x ) dx; y (0)

2

0, y (1) 1

4.1.

1

y dx
0

2

2

1

( y ( x ))

y dx; y (0)
0

2

0, y (1)

0

4.2.

1

y dx
0

l

const

0

1

( y ( x ))
4.3.
0

y ( x ) dx; y (0)

0, y (1) 1

1

1 y 2 dx l const 0

0