|
|
Лаборатория
математической физики |
|
[ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА] [СОСТАВ
ЛАБОРАТОРИИ] [КАК НАС НАЙТИ] |
Содержание
Курса
Обыкновенные дифференциальные
уравнения
Часть I.
Обыкновенные дифференциальные
уравнения
п.1. Понятие
дифференциального уравнения.
Математические модели,
описываемые
обыкновенными дифференциальными
уравнениями.
п.2. Постановка
задачи с начальными
данными
(задача Коши).
Понятие корректной постановки
задачи. Лемма Гронуолла-Беллмана.
п.3. Теорема единственности
решения задачи Коши
для уравнения I-порядка,
разрешенного
относительно производной.
п.4. Теорема существования
решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешенного
относительно производной.
п.5. Дифференциальное уравнение
I-порядка,
неразрешенное относительно производной.
Теорема существования и
единственности решения.
п.6 Особые решения уравнения
I-го порядка,
неразрешенного относительно
производной.
п.7. Общий интеграл
уравнения I-го порядка.
Интегральный множитель.
п.8. Нормальные системы DУ.
Теорема существования
и единственности решения
задачи Коши для
нормальной системы и
уравнения n-го порядка.
п.9.
Непрерывность решений дифференциальных
уравнений по
начальным данным и
параметрам.
Регулярно возмущенные
системы дифференциальных уравнений. Понятие о сингулярном возмущении.
п.10. Линейное дифференциальное уравнение n-го
порядка и его свойства.
Сведение к нормальной
системе первого порядка.
Существование решения.
п.11. Линейное дифференциальное уравнение
2-го порядка. Понижение
порядка уравнения.
Уравнение Риккати.
п.12. Общая теория однородных
линейных систем
обыкновенных
дифференциальных уравнений.
п.13. Фундаментальная система решений и общее
решение для линейной системы
дифференциальных
уравнений.
п.14. Решение неоднородной
системы
дифференциальных уравнений.
п. 15. Построение Ф.С.Р. для системы уравнений с
постоянными коэффициентами в
случае некратных
корней характеристического
уравнения.
п.16. Построение Ф.С.Р. для системы уравнений при
кратных корнях характеристического
уравнения.
п.17. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами.
Исследование уравнения 2-го порядка.
Формула Остроградского-Лиувилля.
п.18. Основные понятия
теории устойчивости.
Устойчивость решения
линейной системы.
п.19.
Исследование устойчивости решения системы
по первому приближению.
п.20. Исследование траектории в окрестности точки
покоя.
Часть II.
Краевые задачи и вариационное
исчисление
п.21.
Постановка краевых задач для обыкновенных
дифференциальных
уравнений. Формула Лагранжа.
п.22. Формула Грина.
Построение решения краевой
задачи с помощью функции
Грина.
п.23. Существование функции Грина. Постановка
краевой задачи при
существовании решения
однородной задачи.
п.24. Обобщенная функция
Грина и представление
решения
с ее помощью.
п.25. Задача Штурма-Лиувилля
и ее свойства.
п.26. Редукция задачи
Штурма-Лиувилля к
интегральному
уравнению.
п.27.
Решение неоднородного интегрального уравнения
с симметричным ядром.
Теорема Стеклова.
п.28. Поведение решения
задачи Штурма-Лиувилля
при 
, если 
.
п.29.
Уравнение Бесселя. Построение решения в
виде степенных рядов.
п.30.
Собственные функции краевой задачи
для уравнения Бесселя.
п.31 Линейные уравнения в
частных производных
первого по-рядка.
п.32.
Постановка обратных задач для дифференциального уравнения второго порядка.
Неустойчивость задачи
определения правой части
уравнения.
п.33. Понятие функционала и вариации.
Постановка вариационной
задачи.
Необходимые условия экстремума.
п.34. Основная лемма
вариационного исчисления.
Уравнения Эйлера.
п.35. Функционалы, содержащие производные порядка
выше первого и зависящие от
нескольких функций.
Необходимые условия
экстремума.
п.36. Многомерные
вариационные задачи.
Уравнение
Эйлера-Остроградского.
п.37. Вариационные задачи на условный экстремум.
Метод неопределенных
множителей Лагранжа.