Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://lib.mexmat.ru/pr/urmf_gor_5-6.ps Дата изменения: Mon Oct 4 16:03:39 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 14:45:19 2007 Кодировка: Windows-1251

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. 56 семестр. http://lib.math.msu.su
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
доц. А. Ю.Горицкий
1 год, 3 курс, поток механиков
1. Задача Коши для квазилинейного уравнение в частных производных первого порядка.
Классические и обобщенные решения. Условие РанкинаГюгонио. Условие допустимости раз-
рыва типа условия возрастания энтропии. Решение задачи Римана о распаде произвольного
разрыва.
2. Линейное уравнение с частными производными произвольного порядка. Главный сим-
вол уравнения. Приведение линейного уравнения к каноническому виду в точке. Классифи-
кация линейных уравнений второго порядка.
3. Понятие характеристики для линейного уравнения с частными производными произ-
вольного порядка. Постановка задачи Коши. Теорема КошиКовалевской (доказательство
единственности).
4. Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных второго поряд-
ка: уравнение колебаний струны; уравнение теплопроводности. Постановка краевых задач.
5. Задача Коши для уравнения струны, формула Даламбера. Гладкость решения в зави-
симости от гладкости начальных данных. Полуограниченная струна, условия согласования.
6. Ограниченная струна. Метод Фурье. Обоснование метода Фурье для уравнения коле-
баний закрепленной струны.
7. Задача ШтурмаЛиувилля. Ортогональность собственных функций оператора
ШтурмаЛиувилля; вещественность, неположительность и однократность собственных зна-
чений.
8. Задача Коши для волнового уравнения. Энергетическое неравенство. Характеристи-
ческий конус. Теорема единственности и непрерывной зависимости решений от начальных
данных.
9. Формула Кирхгофа решения задачи Коши для волнового уравнения в R 3 . Распростра-
нение колебаний в R 3 . Передний и задний фронт волны.
10. Метод спуска. Формула Пуассона решения задачи Коши для волнового уравнения в
R 2 . Распространение волн в R 2 и R 1 . Области зависимости решений от начальных данных.
11. Уравнение теплопроводности. Смешанная краевая задача. Принцип максимума в ци-
линдре. Теорема единственности и непрерывной зависимости решения от начальных и гра-
ничных условий.
12. Постановка задачи Коши для уравнения теплопроводности. Принцип максимума в
слое. Теорема единственности и непрерывной зависимости решения задачи Коши от началь-
ных данных.
13. Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Обоснование формулы Пуас-
сона в случае произвольной ограниченной непрерывной начальной функции. Гладкость ре-
шения.
14. Решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности в случае од-
ной пространственной переменной методом Фурье. Обоснование метода Фурье для задачи с
нулевыми граничными условиями. Гладкость решения.
15. Первая формула Грина. Фундаментальное решение оператора Лапласа, его существо-
вание. Вторая формула Грина. Представление функции в виде суммы трех потенциалов.
16. Гармонические функции, их свойства: бесконечная дифференцируемость, теорема о
потоке, теоремы о среднем по сфере и по шару. Принцип максимума для гармонических
функций. Лемма о нормальной производной.
17. Основные краевые задачи для уравнения Лапласа. Единственность решения задачи
Дирихле в ограниченной области, условие существования решения задачи Неймана.
18. Функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа, ее симметрия. Представление
решения задачи Дирихле при помощи функции Грина.
19. Вывод формулы Пуассона для решения задачи Дирихле в шаре в R n . Обоснование
формулы Пуассона.
20. Теорема об устранимой особенности для гармонических функций. Теорема Лиувилля.
1

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. 56 семестр. http://lib.math.msu.su
21. Постановка внешних краевых задач Дирихле и Неймана. Исследование единственно-
сти решений внешних краевых задач.
22. Обобщенные производные в смысле Соболева. Пространство H 1 (#), его полнота.
23. Пространство H 0
1 (#). Неравенство Фридрихса. Нормы и скалярное произведение в
H 1 (#) и H 0
1 (#). Теорема о следах.
24. Обобщенное решение задачи Дирихле для уравнений Пуассона и Лапласа, доказатель-
ство единственности.
25. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа вариационным методом. Существо-
вание и единственность решения вариационной задачи.
26. Оператор усреднения и его свойства. Обобщенные гармонические функции, их регу-
лярность.
27. Общее понятие корректной задачи математической физики. Примеры корректных и
некорректных задач. Пример Адамара.
2