Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://lib.mexmat.ru/pr/terver_sen_4.ps Дата изменения: Wed Sep 29 16:35:27 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 14:46:25 2007 Кодировка: Windows-1251

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 4 семестр. Сенатов В. В. http://lib.math.msu.su
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
проф. В. В. Сенатов
1/2 года, 2 курс, отделение математики
Основное внимание в курсе уделено вопросам сходимости в пространствах случайных
величин и их распределений.
1. Вероятностное пространство как математическая модель эксперимента со случайными
исходами. Операции над реальными событиями. Частота события, ее свойства. Устойчивость
частот реальных случайных событий. Операции над множествами. Алгебры и #-алгебры мно-
жеств. Измеримые пространства. Меры, их свойства. Пространства с мерами. Вероятностные
пространства. Свойства вероятности.
2. Дискретные вероятностные пространства. Классическое определение вероятности. По-
строение простейших вероятностных пространств. Элементы комбинаторики.
3. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Независимые
события. Независимость попарная и в совокупности. Построение вероятностных пространств
для сложных экспериментов; прямое произведение вероятностных пространств.
4. Дискретные случайные величины. Распределение вероятностей случайной величины
(вектора). Функция распределения. Примеры распределений (вырожденное, Бернулли, Пуас-
сона). Совместное распределение. Маргинальные распределения. Независимость случайных
величин (эквивалентные определения). Распределение суммы двух независимых целочислен-
ных случайных величин. Биномиальное распределение.
5. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его вычисление через
распределение вероятностей. Свойства математического ожидания. Дисперсия, ее свойства.
Ковариация, коэффициент корреляции. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел в фор-
ме Чебышева. Закон больших чисел в форме Бернулли.
6. Вероятностная модель эксперимента с произвольным множеством исходов. Аксиома-
тика Колмогорова. Аксиомы и основные свойства вероятности. Связь между счетной ад-
дитивностью и непрерывностью вероятности. Минимальная #-алгебра. Продолжение меры.
Теорема Каратеодори (без доказательства). Борелевские множества в R 1 и в R n .
7. Случайные величины. Замкнутость множества случайных величин относительно ариф-
метических операций и предельного перехода. Функции от случайных величин. Распреде-
ление вероятностей, порожденное случайной величиной. Функция распределения. Взаимно
однозначное соответствие между распределениями и функциями распределения. Абсолют-
но непрерывные распределения; плотности распределений. Примеры абсолютно непрерыв-
ных распределений (равномерное, экспоненциальное, Коши, нормальное). Сингулярные и
дискретные распределения. Пример сингулярного распределения (распределение Кантора).
Теорема Лебега (без доказательства). Совместное и маргинальные распределения случайных
величин. #-алгебра, порожденная случайной величиной. Независимость случайных величин.
8. Интеграл Лебега; математическое ожидание, основные свойства. Предельный переход
под знаком интеграла, формула замены переменных под знаком интеграла. Вычисление ма-
тематического ожидания функции от случайной величины по распределению вероятностей
случайной величины. Интеграл РиманаСтилтьеса. Моменты старших порядков. Связь меж-
ду существованием моментов и поведением хвостов функции распределения.
9. Сходимость по вероятности. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Сходимость
почти наверное. Критерий сходимости почти наверное. Неравенство Колмогорова. Усилен-
ный закон больших чисел. Связь между сходимостью по вероятности и сходимостью почти
наверное.
10. Сходимость в основном и слабая сходимость. Теорема Хелли. Метризуемость слабой
сходимости. Критерий относительной компактности для слабой сходимости. Эквивалентные
определения слабой сходимости. Связь между сходимостью по вероятности случайных вели-
чин и слабой сходимостью их функций распределения. Связь между слабой и равномерной
сходимостями функций распределения.
11. Суммы независимых случайных величин. Формула свертки. Поведение распределений
ненормированных сумм случайных величин при росте числа слагаемых (независимые одина-
1

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 4 семестр. Сенатов В. В. http://lib.math.msu.su
ково распределенные случайные величины с конечной дисперсией). Нормированные суммы.
Формулировка центральной предельной теоремы. Теорема МуавраЛапласа.
12. Характеристические функции. Примеры характеристических функций. Взаимная од-
нозначность соответствия между распределениями и характеристическими функциями; фор-
мула обращения (для функций распределения и для плотностей, без доказательства). Взаим-
ная непрерывность соответствия между распределениями и характеристическими функция-
ми. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин. Другие свойства
характеристических функций.
13. Доказательство центральной предельной теоремы для независимых одинаково рас-
пределенных величин (метод характеристических функций). Закон больших чисел в форме
Хинчина.
14. Различия в законе больших чисел и в центральной предельной теореме для одинаково
и различно распределенных слагаемых. Условие Ляпунова (без доказательства). Теорема
ЛиндебергаФеллера (без доказательства). Оценка БерриЭссена (без доказательства).
15. Теорема Пуассона.
2