Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://lib.mexmat.ru/pr/terver_pr_4.ps Дата изменения: Wed Sep 29 16:34:37 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 14:43:22 2007 Кодировка: Windows-1251

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 4 семестр. Прохоров А. В. http://lib.math.msu.su
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
доц. А. В. Прохоров
1/2 года, 2 курс
1. Предмет теории вероятностей и основные этапы развития вероятностных понятий. Раз-
личные подходы к определению вероятности. Вероятностные модели экспериментов.
2. Классическое определение вероятности. Простейшие вероятностные модели: урновые
модели случайного выбора, модель размещения частиц по ячейкам, модель симметричного
случайного блуждания.
3. Дискретное вероятностное пространство. Свойства вероятностей. Формулы сложения
вероятностей. Примеры дискретных вероятностных распределений (распределение Бернул-
ли, биномиальное, гипергеометрическое, геометрическое распределения).
4. Условная вероятность и ее свойства. Формулы умножения вероятностей. Формулы пол-
ной вероятности и Байеса.
5. Независимость случайных событий и классов событий. Независимость #-алгебр, по-
рожденных независимыми классами событий.
6. Прямое произведение вероятностных пространств. Схема Бернулли как вероятностная
модель.
7. Закон больших чисел для схемы Бернулли. Следствие  доказательство теоремы Вей-
ерштрасса о равномерном приближении непрерывных функций многочленами.
8. Биномиальное распределение и теорема о его приближении распределением Пуассона.
9. Распределение Пуассона, его определение как решения системы дифференциальных
уравнений.
10. Теорема МуавраЛапласа о приближении биномиального распределения.
11. Общая вероятностная модель. Вероятностное пространство в аксиоматике Колмого-
рова. Алгебры и #-алгебры событий. Свойства -аддитивности и непрерывности вероятности.
12. Леммы БореляКантелли. Закон "нуля или единицы"Бореля. Усиленный закон боль-
ших чисел для схемы Бернулли.
13. Функции распределения и их свойства. Задание вероятностной меры на R 1 с помощью
функции распределения.
14. Типы функций распределения на прямой. Теорема о разложении произвольной функ-
ции распределения. Примеры распределений с плотностью  равномерное, показательное,
нормальное.
15. Случайные величины как измеримые функции. Распределение вероятностей случай-
ных величин и функций от них. Функция распределения случайной величины.
16. Математическое ожидание случайной величины, определение для дискретного и абсо-
лютно непрерывного случая. Общее определение математического ожидания через интеграл
Лебега. Свойства математического ожидания.
17. Моменты случайных величин любого порядка. Неравенства для моментов (неравен-
ства КошиБуняковского, Иенсена, Ляпунова).
18. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Неравенство Чебышева.
19. Задание вероятностной меры в R n с помощью многомерной функции распределения.
Согласованные распределения в R n . Теорема Колмогорова о задании вероятностной меры в
R # .
20. Совместное распределение вероятностей нескольких случайных величин и его число-
вые характеристики. Ковариация. Коэффициент корреляции и его свойства.
21. Независимость случайных величин. Критерий независимости в терминах функций
распределения. Свойства математических ожиданий и дисперсий независимых случайных
величин.
22. Примеры совместных распределений. Полиномиальное распределение. Многомерное
нормальное распределение, эквивалентность независимости и некоррелированности компо-
нент.
1

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 4 семестр. Прохоров А. В. http://lib.math.msu.su
23. Марковская вероятностная модель. Определение однородной цепи Маркова. Уравне-
ние КолмогороваЧепмена. Эргодическая теорема и закон больших чисел для цепи Маркова
с двумя значениями. Стационарное распределение.
24. Сходимость последовательностей случайных величин. Соотношение различных типов
сходимости: по вероятности, с вероятностью 1, в среднем, по распределению. Критерий схо-
димости с вероятностью 1.
25. Закон нуля или единицы Колмогорова для последовательности независимых случай-
ных величин.
26. Распределение суммы независимых случайных величин. Формула свертки.
27. Закон больших чисел (теоремы Чебышева и Бернштейна).
28. Усиленный закон больших чисел (теоремы Кантелли и Колмогорова). Неравенство
Колмогорова.
29. Комплекснозначные случайные величины и их математические ожидания. Характе-
ристические функции и их свойства.
30. Теоремы непрерывности и единственности для характеристических функций. Форму-
лы обращения.
31. Метод характеристических функций.
32. Оценка близости биномиального и пуассоновского распределений с помощью харак-
теристических функций.
33. Закон больших чисел для независимых одинаково распределенных случайных величин
(теорема Хинчина).
34. Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных слу-
чайных величин.
2