Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://lib.mexmat.ru/pr/matstat_pr_5.ps Дата изменения: Mon Oct 4 14:06:48 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 14:45:01 2007 Кодировка: Windows-1251

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. 5 семестр. Прохоров А. В. http://lib.math.msu.su
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
доц. А. В. Прохоров
1/2 года, 3 курс
1. Основные понятия: статистическая модель, выборка, выборочные характеристики, ста-
тистики; повторная выборка, параметрическая модель и функция правдоподобия.
2. Вариационный ряд, порядковые статистики, распределение порядковых статистик.
3. Квантили распределения и эмпирические квантили. Доверительный интервал для кван-
тилей.
4. Эмпирическая функция распределения, ее свойства как функции распределения и как
случайного элемента (распределение и числовые характеристики).
5. Сходимость эмпирической функции распределения. Теорема ГливенкоКантелли.
6. Теорема Колмогорова. Доказательство независимости статистики Колмогорова от вида
непрерывной функции распределения.
7. Условные математические ожидания и условные распределения относительно #-алгебр.
Свойства условных математических ожиданий. Аналоги формулы полной вероятности для
условных математических ожиданий и распределений.
8. Достаточные статистики. Теорема НейманаФишера (критерий достаточности).
9. Статистические оценки. Свойства оценок параметров в параметрической модели: со-
стоятельность, несмещенность, эффективность. Задача оптимального статистического оце-
нивания.
10. Улучшение оценок с помощью достаточных статистик. Теорема Колмогорова
БлекуэлаРао.
11. Полные достаточные статистики и их использование для нахождения несмещенных
оценок с минимальной дисперсией.
12. Неравенство КрамераРаоФреше. Эффективные оценки в регулярном случае. Ин-
формация Фишера, ее свойства.
13. Экспоненциальное семейство распределений и эффективные оценки.
14. Метод моментов. Свойство состоятельности оценок метода моментов.
15. Метод максимального правдоподобия. Свойства оценок. Оценки максимального прав-
доподобия для параметров нормального распределения.
16. Асимптотические свойства статистических оценок: состоятельность и асимптотиче-
ская нормальность.
17. Состоятельность и асимптотическая нормальность эмпирических моментов и функций
от эмпирических характеристик.
18. Основные понятия общей теории статистических решений. Байесовский и минимакс-
ный подходы к задачам статистического оценивания.
19. Байесовские оценки при квадратичной функции риска. Априорный и апостериорный
риск, априорное и апостериорное распределение. Построение байесовских оценок для пара-
метров биномиального и нормального распределений.
20. Нормальное распределение в R n , эквивалентность различных определений и свойства.
Распределение линейных и квадратичных форм от независимых нормальных случайных ве-
личин.
21. Независимость среднего арифметического и среднего квадратического для независи-
мых нормально распределенных случайных величин.
22. Распределения хи-квадрат, Стьюдента и ФишераСнедекора как распределения ста-
тистик для выборок из нормального распределения.
23. Интервальное оценивание. Понятие доверительного интервала. Построение точных
доверительных интервалов на основе точечных статистических оценок. Асимптотические до-
верительные интервалы.
24. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения.
25. Точный и асимптотический доверительные интервалы для параметра биномиального
распределения.
1

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА. 5 семестр. Прохоров А. В. http://lib.math.msu.su
26. Проверка статистических гипотез. Общие понятия: простые и сложные гипотезы, ста-
тистический критерий, критическая область, вероятности ошибок I и II рода, размер и мощ-
ность критерия, функция мощности критерия.
27. Проверка двух простых гипотез. Лемма НейманаПирсона. Критерий отношения прав-
доподобия как наиболее мощный критерий.
28. Равномерно наиболее мощный критерий. Семейства распределений с монотонным от-
ношением правдоподобия.
29. Проверка гипотез о параметрах нормального распределения.
30. Критерий согласия Колмогорова.
31. Теорема Пирсона и критерий согласия хи-квадрат.
32. Критерии однородности для нормальных выборок. Критерий Стьюдента равенства
средних нормальных выборок. Критерий Фишера равенства дисперсий нормальных выборок.
33. Однофакторная модель. Дисперсионный анализ выборок из нормального распределе-
ния. Множественное сравнение.
34. Анализ линейной модели. Оценивание и проверка гипотез о параметрах нормальной
линейной модели.
2