Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://lib.mexmat.ru/pr/matan_sedl_3.ps Дата изменения: Tue Sep 14 22:25:02 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 14:44:26 2007 Кодировка: Windows-1251

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. 3 семестр. СедлецкийА.М. http://lib.math.msu.su
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
проф. А.М. Седлецкий
2 курс, 3 семестр.
Числовые и функциональные ряды. Интегралы, зависящие от параметра. Ряды Фурье.
1. Числовой ряд. Сходимость и сумма. Пример: # q n . Критерий Коши. Необходимое усло-
вие сходимости. Простейшие свойства рядов. Теоремы сравнения для знакоположительных
рядов.
2. Эквивалентное определение lim и lim. Признаки Коши и Далабера. Интегральный при-
знак; оценка остатка ряда.
3. Признак Раабе. Знакоположительные ряды с монотонными членами: необходимое усло-
вие сходимости, необходимое и достаточное условие сходимости.
4. Знакочередующиеся ряды; признак Лейбница. Преобразование Абеля. Знакоперемен-
ные ряда: признаки Дирихле и Абеля. Пример: # b n sin nx, b n # 0.
5. Понятие абсолютной сходимости ряда. Сходимость абсолютно сходящегося ряда. Связь
между поведением ряда и поведением рядов из его положительных и отрицательных членов.
Признаки Даламбера и Коши абсолютной сходимости.
6. Сочетательное свойство сходящихся рядов. Перестановки рядов. Переместительное
свойство абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана о перестановках условно сходящего-
ся ряда.
7. Умножение рядов; теорема Коши. Произведение рядов по Коши. Теорема Мертенса
(формулировка). Суммирование рядов методом Чезаро. Ряда с комплексными членами; усло-
вие сходимости. Бесконечные произведения; сходимость. Связь с рядами. Абсолютная схо-
димость. Теорема Абеля о расходящихся знакоположительных рядах.
8. Двойной ряд; сходимость, сумма. Критерий Коши. Необходимое условие сходимости.
Условие сходимости двойного знакоположительного ряда. Повторный ряд. Линейная пере-
становка двойного ряда. Связь между сходимостью двойного ряда, повторного и линейной
перестановки (случай amn # 0). Связь между абсолютной сходимостью двойного ряда, по-
вторного и линейной перестановки. Изменение порядка суммирования.
9. Функциональные последовательности и ряды. Сходимость, равномерная сходимость.
Пример неравномерной сходимости. Критерии Коши. Признаки Вейерштрасса, Дирихле и
Абеля равномерной сходимости. Пример: # b n sin nx, b n # 0.
10. Признак Дини равномерной сходимости. Равномерная сходимость и предельный пе-
реход. Непрерывность суммы функционального ряда.
11. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
12. Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости. Свойства степенных рядов. Теоре-
ма Абеля. Пример # # n=1
(-1) n /n. Суммирование рядов методом Абеля. Степенные ряды в
комплексной плоскости. Радиус и круг сходимости.
13. Единственность разложения функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Пример функ-
ции, не разлагающейся в ряд Тейлора. Необходимое и достаточное условие разложимости
функции в ряд Тейлора; достаточное условие. Разложение элементарных функций в ряд
ТейлораМаклорена. Элементарные функции комплексного переменного.
14. Равномерная сходимость функции двух переменных по базе. Сведение к функцио-
нальной последовательности. Критерий Коши. Свойства равномерной сходимости (непрерыв-
ность предельной функции, аналог теоремы Дини, переход к пределу под знаком интеграла).
15. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность интеграла по пара-
метру, дифференцирование и интегрирование по параметру под знаком интеграла.
16. Более сложная зависимость собственного интеграла от параметра. Непрерывность н
дифференцируемость.
17. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость, крите-
рий Коши. Признаки равномерной сходимости Вейерштрасса, Абеля, Дирихле, Дини.
18. Предельный переход под знаком несобственного интеграла. Непрерывность по пара-
метру.
1

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. 3 семестр. СедлецкийА.М. http://lib.math.msu.su
19. Интегрирование несобственного интеграла по параметру (случай отрезка и полупря-
мой). Дифференцирование по параметру.
20. Гамма-функция Эйлера. Определение, сходимость соответствующего произведения.
Функциональное соотношение для #(s). Формула дополнения. Формула ЭйлераГаусса. Фор-
мула Гаусса. Интегральное представление #(s).
21. Эйлеров интеграл 2 рода. Исследование #(s), s > 0. Эйлеров интеграл 1 рода. Связь
между эйлеровыми интегралами 1 и 2 рода. Примеры:
# 1
0
x p-1 (1 - x m ) q-1
dx, # #/2
0
sin a-1 t cos b-1 t dt.
22. Метод Лапласа асимптотической оценки интегралов. Асимптотика функций Бесселя
целого порядка. Асимптотика гамма-функции Эйлера (формула Стирлинга).
23. Ортогональные системы непрерывных функций на отрезке. Тригонометрическая си-
стема, е? ортогональность на отрезке длины 2#. Единственность разложения функции в три-
гонометрический ряд. Ряд Фурье. Оценки коэффициентов Фурье. Простейшие результаты о
сходимости тригонометрического ряда Фурье. Разложение синуса в бесконечное произведе-
ние.
24. Ядра Дирихле и Фейера. Теорема Фейера и е? следствия.
25. Аппроксимация в нормированных пространствах. Теоремы Вейерштрасса о плотности
тригонометрических полиномов в C 2# и о плотности алгебраических многочленов в C[a, b].
Плотность тригонометрических полиномов в пространстве L # 2 [-#, #].
26. ОНС в предгильбертовом пространстве. Ряд Фурье. Наилучшее приближение. Мини-
мальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя. Стремление к нулю коэф-
фициентов Фурье. Условия разложимости произвольного элемента в ряд Фурье. Критерии
базиса для ОНС.
27. Тригонометрический ряд Фурье; сходимость в среднем, равенство Парсеваля. Ряды
Фурье по синусам и ряды Фурье по косинусам на (0, #). Комплексное пространство L # 2 [-#, #];
ряд Фурье в комплексной форме.
28. Принцип локализации и признак Дини.
29. Признак Жордана.
2