Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://lib.mexmat.ru/pr/matan_sedl_1.ps Дата изменения: Tue Sep 14 22:25:02 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 14:44:22 2007 Кодировка: Windows-1251

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. 1 семестр. СедлецкийА.М. http://lib.math.msu.su
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
проф. А.М. Седлецкий
1 курс, 1 семестр.
Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
1. Множества. Операции над множествами и их свойства. Отображения. Простейшая
классификация отображений. Обратное отображение. Композиция отображений. Компози-
ция биекций.
2. Аксиоматика и свойства вещественных чисел. Верхняя и нижняя грани числового мно-
жества. Лемма о верхней грани.
3. Натуральные числа. Принцип математической индукции. Неравенство Бернулли. Би-
ном Ньютона. Принцип Архимеда и его следствия. Геометрическая интерпретация веще-
ственных чисел. Модуль числа и его свойства. Множества точек на прямой.
4. Лемма о вложенных отрезках. Лемма о конечном покрытии. Лемма о предельной точке.
5. Эквивалентные множества. Счетные множества и их свойства. Несчетность множества
[0, 1] и ее следствия. Мощность континуума. Сравнение мощности множества и мощности
множества всех его подмножеств.
6. Предел последовательности. Определения и примеры. Ограниченность сходящейся по-
следовательности. Предел и предельная точка. Единственность предела. Переход к пределу
в неравенстве. Арифметические операции над пределами.
7. Критерий Коши сходимости последовательности. Теорема о пределе монотонной после-
довательности. Число e.
8. Частичный предел последовательности. Теорема БольцаноВейерштрасса. Верхний
и нижний пределы последовательности. Их существование у ограниченной последователь-
ности. Условия сходимости ограниченной последовательности. Бесконечно большие после-
довательности. Расширение множества вещественных чисел. Расширенный вариант теоре-
мы БольцаноВейерштрасса. Верхний и нижний пределы произвольной последовательности
условия сходимости произвольной последовательности в широком смысле.
9. Предел функции в точке. Определение, примеры, отрицание. Локальная ограничен-
ность функции, имеющей предел. Предел функции в точке по Гейне. Эквивалентность поня-
тий предела по Коши и по Гейне. Единственность предела. Бесконечно малые функции и их
свойства. Арифметические операции над пределами.
10. Переход к пределу (функции) в неравенстве. Предел промежуточной функции. Пер-
вый замечательный предел. Критерий Коши существования предела функции в точке. Пре-
дел монотонной функции.
11. Предел функции по базе. Наиболее употребительные базы. Бесконечно большие функ-
ции и их связь с бесконечно малыми. Односторонние пределы. Предел композиции функций.
Второй замечательный предел.
12. Непрерывность функции в точке. Определения, примеры (y = const, y = x, y = sin x).
Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва, примеры. Локальные свой-
ства непрерывных функций. Непрерывность многочлена рациональной и тригонометриче-
ских функций.
13. Глобальные свойства непрерывной функции на отрезке. Теорема о нуле непрерывной
функции, промежуточные значения. Теоремы Вейерштрасса об ограниченности и о дости-
жимости точных граней.
14. Точки разрыва монотонной функции, их характер и мощность. Критерий непрерыв-
ности монотонной функции. Теорема об обратной функции. Обратные тригонометрические
функции.
15. Построение показательной функции на основе теории пределов и непрерывности. Ло-
гарифмическая и степенная функции. Гиперболические функции. Обратные гиперболиче-
ские функции.
16. Понятие равномерной непрерывности. Примеры. Равномерная непрерывность функ-
ции, непрерывной на отрезке. Модуль непрерывности функции и его свойства.
1

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. 1 семестр. СедлецкийА.М. http://lib.math.msu.su
17. Сравнение функций. Символы O и o, их свойства. Примеры. Критерий эквива-
лентности функций. Таблица эквивалентных бесконечно малых. Замена эквивалентных при
вычислении пределов. Примеры.
18. Понятие производной функции. Механический и геометрический смысл. Дифференци-
руемость функции в точке, необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Непре-
рывность функции, имеющей производную. Дифференциал и его геометрический смысл.
Производная композиции функций. Инвариантность формы дифференциала. Производная
обратной функции. Правила дифференцирования.
19. Таблица производных. Логарифмическое дифференцирование. Производные и диф-
ференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Параметрическое дифференцирование.
Пример.
20. Теорема Ферма, Ролля, их геометрический смысл. Односторонние производные, гео-
метрический смысл, связь с односторонней непрерывностью. Бесконечные производные. Тео-
рема Дарбу.
21. Теорема Лагранжа и ее следствия: постоянство функции с нулевой производной, рав-
номерная непрерывность функции с ограниченной производной, достаточное условие моно-
тонности, доказательства неравенств, предел производной, характер точек разрыва произ-
водной.
22. Теорема Коши. Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей вида 0/0 и #/#).
Сравнение роста показательной, степенной и логарифмической функций.
23. Формула Тейлора. Остаточный член в общей форме. Остаточный член в форме Ко-
ши, Лагранжа, Пеано. Разложения элементарных функций по формуле ТейлораМаклорена.
Применения.
24. Исследование монотонности и экстремумов функции с помощью первой производ-
ной. Краевой экстремум, достаточное условие. Наибольшее и наименьшее значение функции,
непрерывной на отрезке.
25. Выпуклые функции. Необходимое и достаточное условие выпуклости дифференциру-
емой функции. Геометрический эквивалент выпуклости. Вогнутые функции.
26. Точки перегиба функции. Необходимое условие точки перегиба, достаточное условие.
Исследование функции с помощью высших производных. Асимптоты графика функции.
27. Классические неравенства (Йенсена, Юнга, Гельдера, Минковского, сравнение сред-
него геометрического со средним арифметическим).
28. Первообразная. Неопределенный интеграл Таблица интегралов. Интегрирование за-
меной переменной и по частям. Обобщенная первообразная.
2