Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://lib.mexmat.ru/pr/matan_luk_2.pdf Дата изменения: Mon Sep 13 23:20:14 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 14:45:50 2007 Кодировка: Windows-1251

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. 2 семестр. Лукашенко Т. П.

http://lib.math.msu.su

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
проф. Т. П. Лукашенко 1 курс, 2 семестр.

Определ?нные интегралы Римана, Мак-Шейна и КурцвейляХенстока. Основная лемма о существовании разбиений. Простейшие свойства интегралов. Критерии Коши интегрируемости. Интегрируемость на подотрезках. Необходимое условие интегрируемости по Риману. Аддитивность интегралов по отрезкам. Интегрируемость производных по КурцвейлюХенстоку. Формула НьютонаЛейбница и следствия из не?. Верхняя мера Лебега и е? свойства. Множества меры нуль по Лебегу. Интегрируемость ограниченных и непрерывных почти всюду функций по Риману и по Мак-Шейну. Ограниченность и непрерывность почти всюду интегрируемых по Риману функций. Связь интегралов Римана и Мак-Шейна. Критерий Лебега интегрируемости по Риману и следующие из него дополнительные свойства интеграла Римана. Интегрируемость по Мак-Шейну функции, равной нулю почти всюду. Два определения измеримых на отрезке функций, их эквивалентность. Интегрируемость по Мак-Шейну ограниченных измеримых функций. Интеграл с переменным верхним пределом. Принадлежность классу Липшица при условии ограниченности. Дифференцируемость в точке. Существование первообразных. Леммы СаксаХенстока. Непрерывность интеграла КурцвейляХенстока с переменным верхним пределом. Интегрируемость по модулю функций, интегрируемых по Мак-Шейну. Покрытие в смысле Витали. Теоремы Витали. Дифференцируемость почти всюду интеграла КурцвейляХенстока с переменным верхним пределом. Определ?нные интегралы РиманаСтилтьеса, Мак-ШейнаСтилтьеса и Курцвейля ХенстокаСтилтьеса; их простейшие свойства. Критерии Коши интегрируемости. Интегрируемость на подотрезках. Аддитивность интегралов Стилтьеса по отрезкам. Функции ограниченной вариации и их свойства. Функции ограниченной вариации как разность неубывающих функций. Интегрируемость в смысле РиманаСтилтьеса непрерывных функций по функциям ограниченной вариации. Интегрирование по частям в интеграле РиманаСтилтьеса. Сведение интеграла РиманаСтилтьеса к интегралу Римана. Интегрирование по частям и замена переменной в интеграле Римана. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. Первая и вторая теоремы о среднем. Несобственные интегралы. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимости. Признаки сходимости. Метрические пространства. Нормированные пространства. Пространство Rn , норма и метрика в н?м. Открытые и замкнутые множества, их свойства. Компакты, их свойства. Критерий компактности в Rn . Теорема БольцаноВейерштрасса о существовании предельной точки. Последовательности в метрических, нормированных пространствах и в Rn , их пределы, свойства. Полные метрические пространства. Принцип вложенных шаров. Полнота Rn . Предел функции и его свойства (в метрических и нормированных пространствах). Непрерывные функции и их свойства (в метрических и нормированных пространствах). Принцип сжимающих отображений. Связные множества в метрических и нормированных пространствах и их свойства. Путь, длина пути и е? свойства в метрических, нормированных пространствах и в Rn . Дифференцируемость отображений нормированных пространств. Дифференцируемость функций нескольких переменных. Дифференциал. Частные производные. Геометрический смысл дифференцируемости функций нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости. Производная по направлению. Градиент. Правила дифференцирования. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных. Формула Тейлора функции нескольких переменных с остаточным членом в форме Лагранжа, интегральной и Пеано. Локальный экстремум функции нескольких переменных.

1


МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. 2 семестр. Лукашенко Т. П.

http://lib.math.msu.su

Необходимые и достаточные условия его существования. Теоремы о существовании и дифференцируемости неявной функции. Условный экстремум. Метод неопредел?нных множителей Лагранжа его отыскания.

2