Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://lib.mexmat.ru/pr/matan_gavr_3.ps Дата изменения: Tue Sep 14 22:24:47 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 14:44:09 2007 Кодировка: Windows-1251

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. 3 семестр. Гаврилов В. И. http://lib.math.msu.su
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
проф. В. И. Гаврилов
2 курс, 3 семестр.
1. Нижний и верхний пределы ограниченной числовой последовательности. Основное
свойство верхнего (нижнего) предела. Критерий сходящейся числовой последовательности.
Верхний (нижний) предел произведения последовательностей.
2. Сходимость числового ряда. Критерий Коши. Необходимый признак сходящегося ря-
да. Линейное свойство сходящихся рядов. Остаток ряда и свойство локальности сходящихся
рядов. Суммирование монотонной последовательности (a n ), a n = f(a+n), n # N. Эталонный
ряд # 1/n p ; сходимость, оценка остатка. Константа Эйлера.
3. Критерий сходимости положительного ряда; принцип сравнения положительных рядов.
Предельная форма принципа сравнения. Общий признак сравнения положительных рядов.
4. Признаки Даламбера, Коши и Раабе сходимости положительного ряда. Предельные
формы признаков Даламбера, Коши и Раабе.
5. Интегральный признак КошиМаклорена сходимости числового ряда. Признак Гаусса
сходимости положительных рядов.
6. Абсолютная сходимость числового ряда. Сходимость абсолютно сходящихся рядов. Ли-
нейное свойство абсолютно сходящихся рядов. Признаки Даламбера и Коши абсолютной схо-
димости числового ряда. Предельная форма признаков Даламбера и Коши. Свойства членов
условно сходящегося ряда.
7. Сочетательный закон для сходящихся рядов. Переместительный закон для абсолютно
сходящихся рядов. Теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.
8. Тождество Абеля. Признаки Дирихле и Абеля сходимости числового ряда. Признак
БернуллиЛейбница сходимости знакочередующего ряда; оценка остатка.
9. Критерий сходимости последовательности комплексных чисел. Свойства сходящихся и
абсолютно сходящихся рядов с комплексными членами. Теорема АбеляКоши об умножении
абсолютно сходящихся рядов. Произведение рядов по Коши и теорема Мертенса.
10. Сходимость бесконечного произведения. Остаточные произведения. Необходимый при-
знак сходящегося произведения. Свойства бесконечных произведений с положительными со-
множителями. Свойства абсолютно сходящихся бесконечных произведений.
11. Гамма-функция Эйлера. Функциональное уравнение для гамма-функции и гамма-
функция натурального аргумента. Формула Вейерштрасса.
12. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и функциональных
рядов. Критерии равномерной сходимости. Линейное свойство и свойство аддитивности рав-
номерно сходящихся рядов. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функциональ-
ного ряда.
13. Признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов. Признак
Дини равномерной сходимости функционального ряда и функциональной последовательно-
сти.
14. Предельный переход, свойства непрерывности, интегрируемости и дифференцируемо-
сти функциональных рядов и функциональных последовательностей.
15. Круг сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара и ее следствия. Равномер-
ная сходимость степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда. Вторая теорема
Абеля. Почленное интегрирование и дифференцирование степенного ряда. Единственность
разложения в степенной ряд.
16. Ряд Тейлора. Достаточное условие сходимости ряда Тейлора к порождающей его
функции. Разложение экспоненциальной и тригонометрических функций в степенные ря-
ды. Экспоненциальная функция комплексного аргумента. Формула Эйлера, связывающая
экспоненциальную и тригонометрические функции.
17. Разложение синуса в бесконечное произведение. Формула дополнения для гамма-
функции. Дифференцируемость гамма-функции.
18. Признаки Абеля и Дирихле сходимости несобственных интегралов. Интегралы Фрул-
лани. Несобственные интегралы и ряды. Главное значение несобственного интеграла; функ-
1

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. 3 семестр. Гаврилов В. И. http://lib.math.msu.su
ции, интегрируемые по Коши. Признак существования главного значения. Интегральный
логарифм.
19. Равномерное стремление к предельной функции по базе; критерий Коши, сведение к
функциональным последовательностям. Интегрируемость, непрерывность предельной функ-
ции. Перестановка двух предельных переходов.
20. Свойства собственных интегралов, зависящих от параметра: предельный переход под
знак интеграла, непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость по параметру.
21. Равномерная сходимость несобственного интеграла по параметру. Признаки Вейер-
штрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла. Связь с функ-
циональными рядами.
22. Свойства равномерно сходящихся интегралов: непрерывность, интегрируемость и диф-
ференцируемость по параметру. Аналог теоремы Дини для несобственных интегралов, зави-
сящих от параметра. Вычисление интеграла Дирихле. Разрывный множитель Дирихле.
23. Интеграл Эйлера первого рода. Непрерывность и симметричность бета-функции Эй-
лера. Функциональное уравнение для B(p, q) и B(p, q) от натуральных аргументов. Интеграл
Эйлера второго рода, гамма-функция. График гамма-функции при положительных значени-
ях аргумента. Интеграл ЭйлераПуассона.
24. Модуль непрерывности и классы непрерывных функций. Свойство положительных
тригонометрических многочленов. Многочлены # n (x) и # n (x). Свойства свертки тригоно-
метрических многочленов и непрерывных функций.
25. Оценка приближения непрерывной функции ее свертками с положительными три-
гонометрическими многочленами через модуль непрерывности функции. Теорема Фейера о
равномерной аппроксимации непрерывных функций тригонометрическими многочленами.
Теоремы Вейерштрасса о равномерной аппроксимации непрерывных функций тригономет-
рическими и алгебраическими многочленами. Первая теорема Джексона о равномерной ап-
проксимации тригонометрическими многочленами.
26. Определение ряда Фурье интегрируемой функции. Свойства равномерно сходящихся
тригонометрических рядов. Частные суммы ряда Фурье и многочлены Фейера. Необходимое
условие сходящегося ряда Фурье непрерывной функции.
27. Оценка констант Лебега и теорема ДиниЛипшица о равномерной сходимости ряда
Фурье.
28. Сходимость в среднем функциональной последовательности. Минимальное свойство
частных сумм ряда Фурье. Формула Бесселя. Неравенство Бесселя. Уравнение замкнутости
тригонометрической системы. Свойство единственности рядов Фурье.
29. Лемма Римана. Признак Дини поточечной сходимости ряда Фурье. Следствия при-
знака Дини. Принцип Римана локализации рядов Фурье и его реализации.
30. Лемма Дирихле. Признак ДирихлеЖордана поточечной сходимости ряда Фурье.
Признак Дирихле поточечной сходимости ряда Фурье.
31. Соотношения между коэффициентами Фурье функции и ее производных. Почленное
дифференцирование ряда Фурье. Почленное интегрирование ряда Фурье.
32 # . Эффект Гиббса.
33. Интеграл Фурье; признаки Дини и ДирихлеЖордана сходимости интеграла Фурье.
Простейшие свойства преобразования Фурье.
2