Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://lib.mexmat.ru/pr/angeom_gus_1.ps Дата изменения: Wed Sep 15 18:55:25 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 14:43:53 2007 Кодировка: Windows-1251

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1 семестр. Гусейн-Заде С. М. http://lib.math.msu.su
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
проф. С. М. Гусейн-Заде
1/2 года, 1 курс.
1. Координаты на плоскости и в пространстве. Координаты точек и координаты векторов.
2. Замена координат на плоскости и в пространстве.
3. Скалярное произведение векторов. Скалярное произведение в координатах (в ортого-
нальных и в произвольных аффинных координатах).
4. Ортогональные (сохраняющие ориентацию) замены координат на плоскости.
5. Деление отрезка в заданном отношении.
6. Прямая на плоскости. Параметрическое задание и задание уравнением.
7. Задание полуплоскости неравенством. Системы линейных неравенств на плоскости.
8. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Нормальное уравнение прямой.
9. Пучок прямых на плоскости. Собственные и несобственные пучки.
10. Плоскость в пространстве. Параметрическое задание и задание уравнением.
11. Расстояние от точки до плоскости. Нормальное уравнение плоскости.
12. Прямая в пространстве. Параметрическое задание и задание уравнениями.
13. Пучок плоскостей в пространстве. Условие принадлежности плоскости пучку, опреде-
ленному двумя плоскостями.
14. Связка плоскостей в пространстве. Условие принадлежности плоскости связке, опре-
деленной тремя плоскостями.
15. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства. Вычисление век-
торного произведения в ортогональных координатах.
16. Ориентированная площадь параллелограмма на плоскости и ориентированный объем
параллелепипеда в пространстве. Выражение ориентированной площади и ориентированного
объема через определитель.
17. Выражение объема параллелограмма через скалярное и векторное произведение (сме-
шанное произведение).
18. Свойства векторного произведения.
19. Матричная запись замен координат на плоскости и в пространстве.
20. Ортогональные замены координат и ортогональные матрицы.
21. Матрица Грамма системы векторов. Связь с площадью и с объемом.
22. Ортогональные замены координат в пространстве: углы Эйлера.
23. Алгебраические кривые на плоскости. Теорема "об отщеплении прямой".
24. Плоские кривые второй степени. Аффинная классификация.
25. Ортогональная классификация кривых второй степени. Приведение уравнения кривой
к каноническому виду.
26. Квадратичные формы от двух и от трех переменных. Матрица квадратичной формы
и ее изменение при замене координат.
27. Инварианты кривой второй степени.
28. Полуинвариант кривой второй степени.
29. Определение канонического уравнения кривой второй степени через значения инва-
риантов и полуинварианта.
30. Сопряженные диаметры кривой второй степени. Касательные к кривой второй степе-
ни.
31. Эллипс и его геометрические свойства.
32. Гипербола и ее геометрические свойства.
33. Парабола и ее геометрические свойства.
34. Задание кривой второй степени в полярных координатах. Рациональная параметри-
зация кривой второго порядка.
35. Поверхности второй степени. Аффинная классификация.
36. Ортогональная классификация поверхностей второй степени. Приведение уравнения
поверхности к каноническому виду.
1

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. 1 семестр. Гусейн-Заде С. М. http://lib.math.msu.su
37. Инварианты поверхности второй степени. Частичная классификация поверхностей
второй степени с помощью инвариантов.
38. Плоскость, сопряженная к направлению для поверхности второй степени. Касательные
плоскости к поверхности второй степени. Прямолинейные образующие поверхностей второй
степени.
39. Кривые второй степени как конические сечения.
40. Аффинные преобразования. Матричная запись аффинного преобразования. Ортого-
нальные аффинные преобразования.
41. Изменение матрицы аффинного преобразования при замене координат. Определитель
аффинного преобразования и его геометрический смысл.
42. Ортогональные преобразования (изометрии) плоскости.
43. Ортогональные преобразования (изометрии) пространства.
44. Представимость любого аффинного преобразования в виде композиции изометрии и
растяжений.
45. Соответствие между точками и пучками прямых на плоскости. Пополнение аффинной
плоскости. Проективная плоскость.
46. Проективные преобразования плоскости. Связь с проектированиями в пространстве.
47. Проективные инвариант четырех точек на прямой (двойное отношение).
48. Двойственность точек и прямых на проективной плоскости. Двойственные утвержде-
ния.
49. Проективные (однородные) координаты на проективной плоскости. Прямая на проек-
тивной плоскости.
50. Кривые второй степени на проективной плоскости. Классификация.
51. Проективное пространство. Проективные координаты в пространстве.
52. Прямые в проективном пространстве. Плюккеровы координаты.
2