Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://hit-conf.imec.msu.ru/2012/abstracts/Govorukhin.doc Дата изменения: Sun Jun 14 09:32:05 2015 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:39:46 2016 Кодировка: koi8-r

Селекция стационарных режимов однопараметрического семейства в задаче
плоской фильтрационной конвекции


В.Н. Говорухин, И.В. Шевченко


Южный федеральный университет, г.Ростов-на-Дону


Рассматриваемая задача фильтрационной конвекции обладает косимметрией
[1], и, как следствие, в ней происходят специфические бифуркационные
явления и нетривиальная динамика. При потере устойчивости состоянием покоя
возникает однопараметрическое семейство стационарных режимов [2]. При малых
надкритичностях все режимы семейства нейтральны в касательном к семейству
направлении, и асимптотически устойчивы в трансверсальных направлениях, а
семейство является глобально устойчивым [1]. При этом все стационарные
режимы семейства индивидуальны -- у каждого свой спектр устойчивости,
различные физические характеристики. В [3,4] показано, что разница в
физических характеристиках режимов особенно существенна в вытянутых по
вертикали контейнерах. При сосуществовании нескольких устойчивых
стационарных режимов, возникают естественные и важные вопросы селекции:
какой из стационарных режимов будет реализовываться в экспериментах; как
этот процесс зависит от начального состояния жидкости; какими факторами
определяется вероятность реализации режимов; возможно ли управления
селекцией. Изучение механизмов селекции в косимметричных системах началось
в [5]. Оказалось, что в трехмерной абстрактной модели фильтрационной
конвекции из удаленных от цикла равновесий начальных точек отбирается
окрестность единственного равновесия, а из близких к нулевому равновесию
точек равновероятна реализация двух режимов.
В докладе представлены результаты численного исследования селекции
режимов, принадлежащих глобально устойчивому однопараметрическому
семейству. Рассматривается прямоугольный контейнер [pic]. заполненный
пористой средой и насыщенный жидкостью. Математическая формулировка задачи
в терминах функции тока [pic] и температуры [pic] имеет вид:
[pic]
Анализ селекции конвективных режимов, принадлежащих
однопараметрическому семейству, проводились для случая, когда все семейство
является глобально устойчивым и имеет форму близкую к окружности. Численные
эксперименты состояли в многократном решении нестационарной начально-
краевой задачи на установление при разных начальных распределениях
температуры. Для решения начально-краевой задачи применялся метод Бубнова-
Галеркина. При выбранных значениях параметра галеркинское приближение
хорошо аппроксимирует исходную задачу даже при небольших размерностях
[3,4]. Для контроля численных результатов использовалось два набора
базисных функций, аппроксимации разных размерностей (от 40 до 5000) и
несколько методов решения задачи Коши. Для каждого случая была построена
функция распределения вероятности реализации режимов однопараметрического
семейства. Полученные результаты численных экспериментов позволяют
утверждать, что в рассмотренной задаче плоской фильтрационной конвекции в
прямоугольном контейнере реализация стационарных конвективных режимов
сильно зависит от начального состояния жидкости. При начальных данных
близких к состоянию покоя отбираются окрестности двух из бесконечного числа
режимов семейства. Окрестности двух других режимов реализуются при высоких
начальных температурах жидкости. В промежуточных ситуациях установление
любого из бесконечного числа стационарных режимов практически
равновероятно. Механизм такого отбора конвективных режимов обусловлен
структурой фазового пространства соответствующей динамической системы.
Можно предположить, что и в физических экспериментах картина селекции
стационарных режимов будет схожа с наблюдаемой в вычислениях.

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований
(проект 11-01-00708).

ЛИТЕРАТУРА.

1. В.И. Юдович Косимметрия, вырождение решений операторных уравнений,
возникновение фильтрационной конвекции. Математические заметки. 1991. Т.49.
вып.5. с.142-148.
2. Д.В. Любимов. О конвективных движениях в пористой среде, подогреваемой
снизу. ПМТФ. 1975. ?2. с.131-137.
3. В.Н. Говорухин. Анализ семейств вторичных стационарных режимов в задаче
плоской фильтрационной конвекции в прямоугольном контейнере. Изв. РАН. МЖГ.
1999. ?5. c.53-62.
4. В.Н. Говорухин, И.В. Шевченко И.В. Численное исследование второго
перехода в задаче плоской фильтрацилнной конвекции. Изв. РАН. МЖГ. 2003.
?5. с.115-128.
5. V.N. Govorukhin, V.I. Yudovich. Bifurcations and selection of
equilibria in a simple cosymmetric model of filtrational convection. Chaos.
1999. V.9. N.2. 403--412.