Семинар ``Геометрия, топология и математическая физика"
(руководители С.П.Новиков, В.М.Бухштабер)
Среда, 18:30, ауд. 16-22
Аннотации докладов (2015/2016 учебный год)
|
|
6 апреля 2016
|
М.В.Фейгин
О ПБВ-подалгебрах в алгебрах Чередника
Я планирую обсудить две подалгебры в рациональной алгебре Чередника, связанной с группой Кокстера. Эти подалгебры удовлетворяют свойству Пуанкаре-Биркгофа-Витта, и они задаются квадратичными соотношениями. Подалгебры деформируют полупрямое произведение факторов универсальных обертывающих алгебр so(n) и gl(n) с групповой алгеброй группы Кокстера, и они связаны, соответственно, с квантованием функций на грассманиане двумерных плоскостей и на пространстве матриц ранга не выше 1. Центральные генераторы этих алгебр определяют гамильтонианы, связанные с системами Калоджера-Мозера. Доклад основан на совместной работе с Т. Хакобяном.
|
|
30 марта 2016
|
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Языки Арнольда в модели эффекта Джозефсона
и голоморфные решения биконфлюентного уравнения Гойна
Рассматривается семейство динамических систем на торе,
моделирующее эффект Джозефсона в теории сверхпроводимости.
Языком Арнольда уровня n (n-ой зоной захвата фазы в эффекте Джозефсона),
называется множество параметров с непустой внутренностью,
на котором число вращения принимает значение n.
В нашем случае, в отличие от открытой В.И.Арнольдом картины языков,
зоны захвата существуют только для целых значений числа вращения (эффект
квантования числа вращения, открыт и доказан В.М.Бухштабером,О.В.Карповым и С.И.Тертычным
и чуть позднее доказан Ю.С.Ильяшенко).
Более того, каждая зона захвата представляет собой
бесконечную цепочку областей на плоскости, разделенных перемычками.
Эта цепочка уходит на бесконечность в направлении координатной оси.Границы её
имеют бесселеву асимптотику (замечено физиками С.Шапиро, А.Янусом и С.Холли
(1964 г.) и недавно доказано А.В.Клименко и О.Л.Ромаскевич).
Рассматриваемое семейство систем на торе эквивалентно семейству
биконфлюэнтных уравнений Гойна (доказано В.М.Бухштабером и С.И.Тертычным),
представляющему собой семейство линейных дифференциальных уравнений,
имеющих на сфере Римана только две особые точки, которые иррегулярны.
В докладе будет сделан обзор результатов о геометрии зон захвата, полученных
методами аналитической теории комплексных дифференциальных уравнений.
В центре внимания будет задача о координатах перемычек,в том числе результаты,
полученные недавно авторами в совместной работе, использующей идеи из гиперболической
теории динамических систем.
|
|
23 марта 2016
|
И.К.Бабенко
Площадь конечно представимых групп и их симплициальная сложность
С каждой конечно представимой группой естественным образом связан метрический
инвариант -- её систолическая площадь. Эта площадь обобщает обычную площадь поверхностей при некотором ограничении на длины замкнутых геодезических.
Оказывается, что такая площадь всегда положительна, если исходная группа не является свободной.
При естественном дополнительном условии число попарно неизоморфных групп
ограниченной сверху площади всегда конечно.
Кроме того, площадь группы тесно связана с чисто комбинаторным инвариантом,
называемым симплициальной сложностью группы.
Этому кругу вопросов, а также возникающим здесь открытым проблемам и будет
посвящён доклад.
|
|
16 марта 2016
|
М.В.Павлов
Интегрируемые системы типа "Калоджеро Голд Фиш"
Рассматриваются системы обыкновенных уравнений,
которые являются редукциями интегрируемых гидродинамических цепочек.
Простейшим примером является система Калоджеро Голд Фиш,
которая является редукцией цепочки Бенни (этот результат принадлежит
Ю.И. Манину). Мы показываем как такие системы могут быть проинтегрированы.
|
|
9 марта 2016
|
А.А.Гайфуллин
Гипотеза кузнечных мехов для изгибаемых многогранников в неевклидовых
пространствах
Изгибаемый многогранник в n-мерном пространстве -- это многогранная (n-1)-мерная поверхность, допускающая деформацию (изгибание), в процессе которой комбинаторный тип поверхности остаётся неизменным, её (n-1)-мерные грани остаются конгруэнтными себе, а двугранные углы при (n-2)-мерных гранях изменяются непрерывным образом. При этом представляют интерес как вложенные, так и самопересекающиеся изгибаемые многогранники. Примеры изгибаемых многогранников (в размерностях 3 и выше) строить не очень просто. Достаточно сказать, что, несмотря на то, что самопересекающиеся изгибаемые октаэдры -- так называемые октаэдры Брикара -- известны ещё с конца 19-го века, первый пример вложенного изгибаемого многогранника в трёхмерном пространстве
был построен Р. Коннелли только в 1977 году, а первые примеры (самопересекающихся) изгибаемых многогранников в пространствах размерностей 5 и выше были построены докладчиком только в 2015 году.
В конце 1970-х была выдвинута гипотеза, что объём любого изгибаемого многогранника постоянен в процессе изгибаения. Сейчас эта гипотеза известна как гипотеза кузнечных мехов. Одним из наиболее ярких достижений в теории изгибаемых многогранников стало доказательство И.Х. Сабитовым в 1996 году этой гипотезы для изгибаемых многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве
(первоначально гипотеза была выдвинута Р. Коннелли именно для этого случая). Гипотеза кузнечных мехов для евклидовых пространств старших размерностей была доказана докладчиком в 2012 году.
В докладе будет я постараюсь рассказать о своих более свежих результатах по гипотезе кузнечных мехов, а именно, о том, как гипотеза кузнечных мехов доказывается для ограниченных изгибаемых многогранников в нечётномерных пространствах Лобачевского и для изгибаемых многогранников с достаточно малыми длинами рёбер в сферических пространствах и пространствах Лобачевского всех размерностей. Доказательства основаны на изучении свойств аналитического продолжения функции объёма изгибаемого многогранника на комплексификацию его конфигурационного пространства.
|
|
2 марта 2016
|
С.К.Ландо (ВШЭ, НМУ)
О комбинаторике инваринатов Васильева
Около 1990 года В.А.Васильев ввел понятие инварианта узлов конечного порядка
и предложил описывать эти инварианты в терминах весовых систем.
Весовые системы представляют собой функции на хордовых диаграммах
(такая диаграмма - это окружность с набором хорд, не имеющих
общих концов), удовлетворяющие некоторым специальным линейным
соотношениям. Большой класс явных конструкций весовых систем строится
по полупростым алгебрам Ли. Однако до сих пор непонятно, какая
именно часть комбинаторной информации о хордовой диаграмме существенна
для определения и вычисления таких весовых систем.
В докладе будет рассказано о достигнутом за последние 2-3 года прогрессе
в выявлении существенной информации. Доклад основан на совместных
результатах докладчика с Г.Л.Рыбниковым, а также студентами факультета
математики ВШЭ В.Жуковым, Е.Кулаковой и Т.Мухутдиновой.
|
|
24 февраля 2016
|
П.Г.Гриневич (МГУ)
Преобразование Мутара для обобщенных аналитических функций и двумерная
обратная задача рассеяния при энергиях выше основного состояния
В работе П.Г.Гриневича и С.П.Новикова 1988 года при рассмотрении задачи
рассеяния для двумерного оператора Шредингера при фиксированной
отрицательной энергии выше основного состояния естественно возникают
обобщенные аналитические функции с особенностями полюсного типа на
контурах, причем, по-видимому, необходимо накладывать на особенности
данных d-bar задачи довольно жесткие условия вблизи этих контуров. До
недавнего времени не удавалось найти подхода к созданию теории обобщенных
аналитических функция с такими особенностями.
Нами показано, что на обобщенных аналитических функциях действуют
преобразования Мутара, причем если регулярные решения переходят в особые,
то в случае общего положения возникают в точности особенности, описанные в
работе П.Г.Гриневича и С.П.Новикова. Верно и обратное - описанные в этой
работе особенности могут быть, по крайней мере локально, устранены
преобразованием Мутара.
|
|
17 февраля 2016
|
А.Е.Миронов (НГУ, Новосибирск)
Угловой бильярд и гипотеза Биркгофа
В докладе будет рассмотрена динамическая система "угловой бильярд" на дополнении к выпуклой области на плоскости. Оказывается, что эта динамическая
система в окрестности границы является двойственной к бильярду Биркгофа, в частности, в окрестности границы существует бесконечно много инвариантных кривых как
и в теореме Лазуткина (при некоторых ограничениях на гладкость и кривизну границы). С помощью этой динамической системы получены новые результаты, относящиеся к
гипотезе Биркгофа об интегрируемых бильярдах, которые дополняют известные результаты С.В.Болотина. Результаты, которые будут обсуждаться в докладе получены совместно
с М.Бялым.
|
|
23 декабря 2015
|
О.Р.Мусин (University of Texas, USA)
Гомотопические инварианты покрытий и леммы типа Шпернера-ККМ
В докладе будет рассказано об обобщениях леммы Шпернера и теоремы
Кнастера - Куратовского - Мазуркевича (ККМ), В частности, мы разберем два
обобщения, полученные выдающимися математиками и экономистами Д. Гейлом и
Л. Шепли. Лемма Гейла - это "цветная" версия ККМ, которая нашла применения в
теории игр и задачах справедливого распределения. Теорема Шепли (KKMS) -
важный инструмент в теории равновесия экономического анализа. Мы покажем,
что для этих теорем можно не накладывать жесткие "граничные условия ККМ".
Теоремы остаются верными, если на границе гомотопический инвариант покрытия
будет ненулевым.
|
|
9 декабря 2015
|
О.К.Шейнман (МИАН)
Алгебры операторов Лакса, интегрируемые системы и голоморфные расслоения
Связь интегрируемых систем с алгебрами Ли с одной стороны, и с голоморфными расслоениями на римановых поверхностях с другой стороны хорошо известна. Эти связи в разных комбинациях используются при рассмотрении большинства
интегрируемых систем. Фундаментальных идей здесь по большому счету две: 1) с интегрируемой
системой типа Лакса связано расслоение собственных подпространств лаксовой пары над
спектральной кривой (Кричевер); 2) интегрируемость большинства систем связана с явной или
скрытой симметрией относительно некоторой группы Ли (Переломов и Ольшанецкий). В
докладе будет сформулирован анзац, позволяющий связать все три в одно. Будут рассматриваться
конечномерные интегрируемые системы со спектральным параметром на римановой поверхности (в
частности, с рациональным спектральным параметром). Этот класс содержит системы Хитчина,
Калоджеро-Мозера, классические волчки, и другие.
|
|
25 ноября 2015
|
И.А.Дынников (МГУ)
Минимальность перекладываний отрезков с целочисленными линейными ограничениями на параметры
Известно, что перекладывание отрезков с неприводимой перестановкой и
параметрами общего положения минимально. Это доказал М.Кин почти 40 лет назад.
Несколько позже Х.Мазур и У.Вич независимо доказали, что неприводимые
перекладывания почти всегда строго эргодичны. Однако в некоторых задачах
естественным образом возникают перекладывания, в которых параметры связаны
целочисленными линейными соотношениями, и тогда эти общие результаты
неприменимы. В зависимости от того, какие именно наложены ограничения,
минимальность может быть как "типичным" свойством, так и "экзотическим". Мы
формализовали, в чем состит отличие этих двух ситуаций, введя понятие
устойчивости для минимальных перекладываний с ограничениями, и сформулировали
простое условие, которое согласно нашей гипотезе отвечает за устойчивость. Ряд
известных в литературе примеров, имеющих разное происхождение, подтверждает
нашу гипотезу.
Доклад основан на совместных работах с А.С.Скрипченко.
|
|
11 ноября 2015
|
Т.Е.Панов (МГУ)
Пересечения квадрик и гамильтоново-минимальные лагранжевы подмногообразия
Свойство гамильтоновой минимальность (Н-минимальности) лагранжевых
подмногообразий является симплектическим аналогом свойства
минимальности в римановой геометрии. Лагранжево вложение или
погружение назывется Н-минимальным, если вариации его объёма
вдоль всех гамильтоновых векторных полей равны нулю.
Используя ряд конструкций торической, симплектической и лагранжевой
топологии (момент-угол-многообразия, происходящие из пересечений
эрмитовых квадрик; симплектическая редукция; Н-минимальные
лагранжевы погружения в комплексное пространство), мы получаем
новые серии Н-минимальных лагранжевых подмногообразий в комплексном
пространстве, комплексном проективном пространстве и торических
многообразиях с весьма сложной и интересной топологией.
Доклад основан на совместных работах с А.Е.Мироновым.
|
|
21 октября 2015
|
В.Э.Адлер (ИТФ им. Л.Д.Ландау)
Разбиения множеств и интегрируемые иерархии
Показано, что статистика для некоторых специальных
типов разбиений множеств (B-type, non-overlapping
and atomic set partitions) описывается производящими
функциями, возникающими в теории интегрируемых уравнений.
|
|
14 октября 2015
|
А.И.Буфетов (МИАН, ВШЭ)
Quasi-Symmetries of Determinantal Point Processes
The classical De Finetti Theorem (1937) states that an exchangeable collection
of random variables is a mixture of Bernoulli sequences.
The first result of the talk is that determinantal point processes on Z
induced by integrable kernels are quasi-invariant under the action of the
infinite symmetric group. The Radon-Nikodym derivative is a regularized
multiplicative functional on the space of configurations. A key example is the
discrete sine-process of Borodin, Okounkov and Olshanski.
The second result is a continuous counterpart of the first: namely, it is
proved that determinantal point processes with integrable kernles on R, a class
that includes processes arising in random matrix theory such as Dyson's
sine-process, or the processes with the Bessel kernel or the Airy kernel
studied by Tracy and Widom, are quasi-invariant under the action of the group
of diffeomorphisms of the line with compact support.
While no analogues of these results in higher dimensions are known, in joint
work with Yanqi Qiu it is shown that for determinantal point processes
corresponding to Hilbert spaces of holomorphic functions on the complex plane C
or on the unit disk D, the quasi-invariance under the action of the group of
diffeomorphisms with compact support also holds.
|
|
23 сентября 2015
|
С.М.Гусейн-Заде (МГУ)
Новые симметрии между двойственными по Берглунду-Хюбшу-Хеннингсону обратимыми многочленами
Обратимые многочлены - это квазиоднородные многочлены, в которых количество мономов совпадает с количеством переменных. Они были введены в работе Берглунда и Хюбша как суперпотенциалы в моделях Ландау-Гинзбурга. Для обратимого полинома определяется двойственный к нему полином, порождающий "зеркально симметричную" модель Ландау-Гинзбурга.
Для построения симметричных орбифолдных моделей Берглунд и Хеннингсон предложили продолжить двойственность на пары, состоящие из обратимого многочлена и некоторой абелевой группы его симметрий. Между такими парами имеются, в частности, симметрии, описываемые в терминах, близких к теории особенностей (точнее, к некоторой ее орбифолдной версии). О некоторых таких симметриях будет рассказано в докладе.
|
|
16 сентября 2015
|
М.В.Павлов (ФИАН, НГУ)
Двумерные интегрируемые дисперсионные системы и многомерные квазилинейные уравнения
Мы показываем, что существуют (явно предъявляем) трехмерные, четырехмерные, пятимерные и шестимерные квазилинейные уравнения второго порядка, которые
имеют дисперсионные редукции, а именно интегрируемые уравнения: Кортевега де Фриза, система Ито, система Каупа-Буссинеска, и бесконечно много других.
|
|