Семинар ``Геометрия, топология и математическая физика"
(руководители С.П.Новиков, В.М.Бухштабер)
Среда, 18:30, ауд. 16-22
Аннотации докладов (2008/2009 учебный год)
|
|
20 мая 2009
|
М.М.Граев
Компактность множества инвариантных эйнштейновых метрик
на компактном однородном пространстве с простым спектром представления
изотропии.
В 2004 г. в виде приложения своей вариационной теоремы
М.Ван, В.Циллер и К.Бем доказали компактность множества E(G,H)
инвариантных положительно определенных эйнштейновых метрик с фиксированной
формой объема на любом компактном односвязном однородном пространстве G/H.
В докладе будет предложено простое доказательство компактности E(G,H)
для частного случая однородного пространства
G/H с простым спектром представления изотропии. Это именно тот случай,
когда все инвариантные римановы метрики на G/H в каждой точке x из G/H
можно совместно привести к главным осям, и многообразие всех этих метрик
является некомпактным тором R_+^k. Доказательство использует
торическую компактификацию многообразия метрик R_+^k ---
посредством многогранника Ньютона рациональной функции s(g),
сопоставляющей инвариантной метрике g ее скалярную кривизну во всех
точках x.
|
|
29 апреля 2009
|
П.Г.Гриневич, Кришна Кайпа
Многомасштабный предел конечнозонных решений уравнения Sine-Gordon и
топологический заряд конечнозонных решений.
Мы рассматриваем новое вырождение конечнозонных решений уравнения
Sine-Gordon, которое мы называем многмасштабным. В этом пределе кривая
распадается в сумму вырожденных кривых, а тета-функции -- в произведение
тета-функций одной переменной.
Используя данное вырождение удается вычислить топологический заряд
конечнозонных решений непосредственно из тета-функциональных формул.
|
|
22 апреля 2009
|
А.Г.Хованский (Toronto University)
Обобщение многогранников Ньютона, полугруппы целых точек, градуированные алгебры, теория пересечений и смешанные объемы.
В докладе будет рассказано о выпуклых телах Ньютона, обобщающих многогранники Ньютона. Выпуклое тело Ньютона определяется для полугруппы целых точек. Оно отвечает за асимптотическое поведение числа точек в полугруппе. Выделяется широкий класс градуированных алгебр, имеющих Z^{n+1}-значные нормирования. Каждой алгебре этого класса сопоставляется полугруппа в Z^n и ее выпуклое тело Ньютона. Эта конструкция показывает, что функции Гильберта широкого класса градуированных алгебр имеют степенные асимптотики, а их коэффициенты роста удовлетворяют неравенству Брунна-Минковского. Будет рассказано о новом бирационально инвариантном аналоге теории пересечений на неполных алгебраических многообразиях. В рамках этой теории находится широкое обобщение теоремы Кушниренко, алгебраические аналоги неравенств Александрова-Фенхеля, новый вариант теоремы Ходжа об индексе. Эти результаты дают элементарное и прозрачное доказательство классических неравенств Александрова-Фенхеля из выпуклой геометрии.
Для понимания доклада не требуется никаких специальных знаний.
|
|
15 апреля 2009
|
А.П.Веселов (Loughborough University)
Отображения Янга-Бакстера.
Отображение Янга-Бакстера - это отображение декартова квадрата множества Х
в себя, удовлетворяющее соотношению Янга-Бакстера. В докладе будет дан обзор
современного состояния теории таких отображений в контексте теории
дискретных интегрируемых систем.
|
|
2,8 апреля 2009
|
С.П.Новиков, П.Г.Гриневич (МГУ)
Сингулярные конечнозонные операторы и индефинитные метрики.
Во многих случаях вещественные спектральные данные для периодических конечнозонных операторов (риманова поверхность с отмеченной точкой, локальным параметром и дивизором полюсов) порождают операторы с вещественными, но сингулярными коэффициентами. Эти операторы не являются самосопряженными в обычных (положительных) гильбертовых пространствах функций переменной x. В частности, такая ситуация имеет место для специального случая операторов Эрмита с эллиптическим потенциалом n(n+1)\wp(x), собственные функции которых были найдены Эрмитом в 19 веке. В то же самое время именно функции Бейкера-Ахиезера этих операторов, в соответствии с идеями работ Кричевера-Новикова (1989), Гриневича-Новикова(2001) служат правильными аналогами дискретных и непрерывных базисов Фурье на римановых поверхностях. Оказывается, что для рода, отличного от нуля, эти операторы симметричны в некоторой индефинитной метрике. Аналог непрерывного преобразования Фурье в этой метрике является изометрией.
|
|
25 марта 2009
|
В.Овсиенко (Лион)
Отображение-пентаграмма: дискретная интегрируемая система.
"Отображение-пентаграмма" определено на пространстве полигонов на (проективной) плоскости: образ полигона - выпуклая оболочка точек пересечения коротких диагоналей. Мы построим скобку Пуассона на пространстве полигонов и покажем интегрируемость этого отображения в классическом смысле Арнольда-Лиувилля. Доклад основан на совместной работе с С.Табачниковым и Р.Шварцем.
|
|
4 марта 2009
|
О.И.Мохов
Совместность на кубических решетках детерминантов произвольных порядков.
Рассматривается специальный класс двумерных дискретных уравнений,
задаваемых соотношениями на элементарных квадратах NxN, N>2, квадратной
решетки Z^2, предлагается новый тип условий совместности на кубических
решетках для таких уравнений и для произвольного N доказывается такая
совместность на кубических решетках для двумерных дискретных уравнений,
задаваемых условием равенства нулю детерминантов значений поля в узлах
элементарных квадратов NxN квадратной решетки Z^2.
|
|
25 февраля 2009
|
П.Г.Гриневич, С.П.Новиков
Непрерывные аналоги базисов Кричевера-Новикова и спектральное
преобразование для сингулярных конечнозонных потенциалов.
При построении непрерывных аналогов базисов Кричевера-Новикова на
римановых поверхностях возникают конечнозонные потенциалы с особенностями
на вещественной оси. Простейщий пример, отвечающий роду 1, -- потенциал
Ламе без сдвига на мнимый полупериод. Показано, что в разложении по
собственным функциям естественно возникают гильбертовы пространства с
индеффинитной метрикой.
|
|
28 января 2009
|
П.Г.Гриневич, Кришна Кайпа
Вычисление топологического заряда конечнозонных решений уравнения
Синус-Гордон с использованием тета-функциональных формул.
Одна из наиболее важных характеристик конечнозонных решений Синус-Гордона
-- топологический заряд. Задача его вычисления была поставлена практически
сразу после того, как были выписаны явные формулы для решений. Ответ для
части пространства параметров был получен Б.А.Дубровиным и С.П.Новиковым в
1982 году, однако формулу для общего случая удалось найти лишь в 2001
году С.П.Новиковым и П.Г.Гриневичем. При этом использовался так называемый
алгебро-топологический подход, а явные тета-функциональные решения никак
не использовались. В связи с этим С.П.Новиковым был поставлен вопрос о
вычислении топологического заряда с использованием тета-функций, ответ на
который мы и даем.
|
|
17 декабря 2008
|
М.Фейгин
Интегрируемые системы типа Калоджеро-Мозера и представления алгебр Чередника.
В докладе будет показано, как можно получить обобщеннные квантовые
интегрируемые системы Калоджеро-Мозера, рассматривая специальные
представления рациональной алгебры Чередника связанной с группой Кокстера.
Эти представления являются радикальными идеалами в полиномиальном
представлении, и они задаются полиномами, обнуляющимися на параболических
стратах. Соответствующие параболические подгруппы группы Кокстера можно
указать явно. Коммутирующие дифференциальные операторы получаются с помощью
ограничений операторов Данкла на эти страты. Подход позволяет получить
известные и новые интегрируемые системы.
|
|
10 декабря 2008
|
А.Буряк
Функция Конвея от нескольких переменных. Мотивный ряд Пуанкаре фильтрации.
В первой части доклада мы приведем явные формулы, выражающие первые два ненулевых коэффициента разложения в ряд Тейлора в единице функции Конвея от нескольких переменных произвольного зацепления через индексы зацеплений компонент. Во второй части мы расскажем про мотивный ряд Пуанкаре фильтрации и его связь с топологией разрешения плоской кривой.
|
|
22 октября 2008
|
Д.Звонкин
Теория пересечений на пространстве r-спин структур.
r-спин структура на римановой поверхности - это тензорный
корень степени r из кокасательного расслоения на этой поверхности.
Пространство r-спин структур - это, на самом деле, пространство
всех пар (риманова поверхность, r-спин структура на ней).
Мы расскажем о двух теоремах и одной гипотезе, описывающих
теорию пересечений на этом пространстве. Они параллельны
трём главным теоремам о теории пересечений на пространстве
модулей кривых: формуле Мамфорда, гипотезе Виттена и
формуле ELSV.
|
|
15 октября 2008
|
С.М.Гусейн-Заде
О рядах Пуанкаре и полиномах Александера алгебраических узлов
|
|
1 октября 2008
|
С.М.Натанзон
Числа Гурвица накрытий Смита-Дольда
Определение чисел Гурвица переносится на произвольные накрытия Смита-Дольда. Доказывается, что эти числа являются корреляторами алгебры сплетающих операторов представления симметрической группы.
|
|
17 сентября 2008
|
В.М.Бухштабер
Кольцо простых многогранников и дифференциальные уравнения
Простые многогранники - классический объект выпуклой геометрии.
Они играют ключевую роль в ряде современных областей исследований таких, как
алгебраическая и
симплектическая геометрия, торическая топология, перечислительная
комбинаторика и математическая физика.
В работе описаны результаты нового подхода, основанного на введении
дифференциального кольца простых многогранников. Это подход позволяет для исследования
комбинаторных
инвариантов использовать теорию дифференциальных уравнений.
|