Семинары "Некоммутативная геометрия и топология"
и "Топология и анализ"
(рук. А.С.Мищенко, И.К.Бабенко, Е.В.Троицкий, В.М.Мануйлов, А.А.Ирматов)
четверг, 16:45-20:05, ауд. 16-04
Аннотации докладов (2011/2012 учебный год)
|
|
22 марта 2012
|
Бабенко И.К.
О топологии группы формальных степенных рядов.
Будут рассказаны некоторые новые результаты о строении группы формальных
степенных рядов с коэффициентами в некотором коммутативном кольце с
единицей.
|
|
29 марта 2012
|
М.Б.Скопенков
Когда множество вложений конечно?
Доклад посвящен классической проблеме классификации вложений многообразий. Явно описать множество вложений очень трудно, и мы пытаемся найти ответ на следующий более простой вопрос: является ли множество вложений данного многообразия в сферу данной размерности с точностью до изотопии конечным?
Ответ на данный вопрос был получен Хефлигером в 1966
для случая вложений сфер (узлов) в коразмерности >2, а Д. Кроули, С. Ферри и докладчиком в 2011 - для случая вложений несвязного объединения сфер (зацеплений).
В докладе данная проблема будет решена для случая вложений произведения сфер (заузленных торов) в некотором диапазоне размерностей. Приведем точную формулировку одного очень частного случая полученного результата.
Теорема. Пусть p+4q/3+2 < m < p+3q/2+2 и m > 2p+q+2. Тогда множество гладких вложений произведения p-мерной и q-мерной сфер в m-мерную сферу с точностью до изотопии конечно если и только если q+1 или p+q+1 делится на 4.
Рассматриваемый подход к классификации вложений основан на использовании аналога точной последовательности Кошорке из теории сингулярных зацеплений. Точность последовательности устанавливается с помощью применения вложенной хирургии и метода Хабеггера-Кайзера исследования дополнения к погружению.
|
|
29 марта 2012
|
Г.И.Шарыгин
Высшие кручения Франца-Рейдемейстера и характеристические классы
(по книжке Игусы "Higher_Franz-Reidemeister Torsion", AMS, 2002)
Как известно, одним из важных инвариантов цепного комплекса являются его гомологии.
В общем случае (если не делать дополнительных предположений) можно сказать,
что этот инвариант весьма грубый, в частности, все ацикличные комплексы над
полем характеристики ноль эквивалентны между собой в этом смысле.
Однако, если в комплексе выбран базис, то можно определить дополнительный,
более "тонкий" инвариант ацикличного (и не только) комплекса -- кручение Рейдемейстера.
Этот инвариант аналогичен детерминанту линейного отображения. В цитированной книге
описываются далеко идущие обобщения кручения Рейдемейстера, которые в результате
позволяют получить целую последовательность инвариантов такого рода (во многих случаях совпадающих,
с точностью до констант, с обычными классами Понтрягина). Конструкции, используемые
автором объединяют такие разные понятия, как конструкцию Володина алгебраической
К-теории, циклические гомологии, скручивающие коцепи и значения кратных дзета-функций.
Я попытаюсь описать хотя бы основные идеи, используемые в книге и ее главные результаты.
В конце я попробую рассказать о том, как я пытаюсь использовать некоторые из конструкций
Игусы для построения характеристических классов комбинаторных расслоений. |
|
05 апреля 2012
|
А.А. Гайфуллин (МИАН, МГУ)
Многочлены Сабитова для объемов четырёхмерных многогранников
Классическая формула Герона выражает площадь треугольника через длины его сторон.
Очевидно, что для многоугольников с большим количеством сторон не существует формулы
такого типа, так как площадь многоугольника может меняться непрерывно при его изгибании
с сохранением длин сторон. Ситуация кардинальным образом изменяется при переходе
к размерности 3. В 1996 году И.Х. Сабитов доказал, что объём V любого симплициального
многогранника в трёхмерном евклидовом пространстве является корнем некоторого многочлена
со старшим коэффициентом 1, зависящего от комбинаторного типа многогранника и длин
его ребер; в настоящее время такие многочлены называются многочленами Сабитова для
многогранников данного комбинаторного типа. Одним из основных приложений этой теоремы
является доказательство так называемой "гипотезы о кузнечных мехах", утверждающей,
что объём любого изгибаемого многогранника в трёхмерном евклидовом пространстве
постоянен. С тех пор, как были получены эти результаты, оставался открытым вопрос
о возможности их обобщения на многогранники старших размерностей. В докладе будет
рассказано о недавно полученных докладчиком аналогах теорем Сабитова для многогранников
в четырёхмерном евклидовом пространстве. Будет доказано, что для любого четырёхмерного
симплициального многогранника существует многочлен Сабитова и что объём любого
изгибаемого четырёхмерного многогранника постоянен.
|
|
12 апреля 2012
|
Шарыгин Г.И.
Доказательство гипотезы Каруби (по Суслину и Водзицкому).
Гипотеза Каруби, высказанная им в 1979 году, состояла в том, что
алгебраическая и аналитическая К-теория произвольной С*-алгебры, тензорно
умноженной на алгебру компактных операторов, изоморфны. Эта гипотеза была д
оказана в 1991 году в совместной работе Андрея Суслина и Мариуша Водзицкого.
В докладе я постараюсь изложить основные конструкции и идеи этого доказательства.
|
|
19 апреля 2012
|
С. И. Максименко (Институт математики НАН Украины)
Стабилизаторы и орбиты гладких функций на поверхностях.
Пусть M - гладкая связная компактная поверхность, P - числовая прямая, или окружность.
Рассмотрим стандартное правое действие ∙ группы диффеоморфизмов Diff(M) на пространстве гладких отображение C∞(M,P): f ∙ h = f o h для
f∈C∞(M,P) и h∈Diff(M).
Тогда для каждого отображения f:M → P можно определить его стабилизатор
S(f)={h∈Diff(M) | f = f o h}
и орбиту
O(f)={f o h | h∈Diff(M)}
относительно этого действия.
Пусть Sid(f) - тождественная компонента связности S(f) и Of(f) - компонента связности орбиты O(f) содержащая f.
Предположим, что f:M→ P обладает следующими двумя свойствами:
- f принимает постоянные значения на компонентах края M и все критические точки f лежат во внутренности M;
- в каждой своей критической точке отображение f эквивалентно однородному многочлену двух переменных без кратных множителей.
Отметим, что второе условие выполняется для невырожденных критических точек.
Автором доказано, что тогда, за исключением нескольких случаев, компонента Sid(f) стягиваема,
πnOf(f)=πnM, для n≥3, π2Of(f)=0,
и имеет место точная последовательность
1 → π1Diff(M) ⊕ Zk→ π1Of(f) → G → 1,
для некоторого k≥0, и конечной группы G.
В частности, Of(f) асферична для всех поверхностей кроме сферы и проективной плоскости.
Группа G является подгруппой группы f-автоморфизмов графа Кронрода-Риба f и отвечает за некоторые "дискретные" симметрии f.
В частности, если f - отображение "общего положения", в том смысле, что на каждом критическом уровне находится ровно одна критическая точка,
то група G тривиальна и, следовательно, π1Of(f) изоморфна π1Diff(M).
Если же f обладает некоторыми симметриями, то группа G нетривиальна и и возникает вопрос о вычислении π1Of(f).
Цель доклада - дать примеры вычисления π1Of(f) для конкретных функций и показать,
что для поверхностей отрицательной эйлеровой характеристики вычисление π1Of(f) сводится
к вычислению фундаментальных групп орбит функций на 2-диске, цилиндре и листе Мёбиуса.
|
|