Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/seminars/atsem13-14/lomonosov/astashov.pdf Дата изменения: Sun Apr 6 23:44:08 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:13:22 2016 Кодировка: Windows-1251

Конференция ?Ломоносов 2014?
Секция ?Математика и механика?
Об особенностях заданного типа на кривых и поверхностях фиксированной квазистепени и мультистепени

Асташов Евгений Александрович Аспирант Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, Москва, Россия E-mail: ast-ea@yandex.ru
Существует общая задача описания алгебраических многообразий с особенностями заданного типа и о связи степени многообразий с параметрами этих особенностей (см., например, [2]).

Определение 1

Пусть f : (Cn, a) (C, 0) росток голоморфной функции, k N. Говорят, что росток гиперповерхности {f = 0} Cn в точке a имеет особенность типа Ak , если в окрестности этой точки в Cn существуют локальные координаты z1 , . . . , zn , центрированные в точке a, в которых функция f имеет вид f (z1 , . . . , zn ) = k+1
z1
2 2 + z2 + . . . + zn .
В работах [1] и [3] изучаются особенности типа d в Cn .

Ak ,

которые встреаются на гиперпо-

верхностях фиксированной степени

В настоящей работе изучается вопрос о том, какие особенности типа

Ak

могут иметь

алгебраические кривые (соответственно, поверхности) фиксированной степени, квази2 3 степени или мультистепени в C (соответственно, в C ). Результаты настоящей работы частично является обобщением результатов работы [3]. Точные определения и формулировки результатов приведены ниже.

Пусть = (1, . . . , n) Zn 0 набор натуральных чисел, вза> имно простых в совокупности. Будем говорить, что моном xk = xk . . . xk имеет 1 n -квазистепень d, если выполнено равенство 1 k1 + . . . + n kn = d. При этом квазистепень нулевого монома по определению полагается равной +. Квазистепень многочлена определяется как наибольшая из квазистепеней его (ненулевых) мономов.
Определение 2
1 n

Обозначим через в какой-либо точке.

kn (; d)

наибольшее из таких

перповерхность, заданная многочленом

k N, для -квазистепени d в Cn , N

которых существует гис особенностью типа

Ak

Теорема 1

Для любых взаимно простых
lim
d

имеет место неравенство имеет место неравенство:

k2 ((, ); d) 112 1 ћ . 2 d 209 , , N

Для любых взаимно простых в совокупности
lim
d

k3 ((, , ); d) 56 1 ћ . 3 d 209
1


Конференция ?Ломоносов 2014? Мультистепенью многочлена P (x1, . . . , xn) называется набор чисел , где di наибольшая степень, в которой переменная xi входит в (d1 , . . . , dn ) мономы этого многочлена.
Определение 3
Zn 0
Обозначим через гиперповерхность точке.

Kn (d1 , . . . , dn ) наибольшее из n мультистепени (d1 , . . . , dn ) в C

таких

k N,

для которых существует

с особенностью типа

Ak

в какой-либо

Теорема 2

Имеют место неравенства
lim
d1 ,d2

7 K2 (d1 , d2 ) , d1 d2 11

lim
d1 ,d2 ,d3

7 K3 (d1 , d2 , d3 ) . d1 d2 d3 22

Литература
1. С. М. Гусейн-Заде, Н. Н. Нехорошев. Об особенностях типа 69-70. 2. G.-M. Greuel, C. Lossen, E. Shustin. Plane curves of minimal degree with prescrib ed singularities. Invent. Math. v.133, no. 3, 539-580 (1998). 3. E. Astashov. On algebraic hyp ersurfaces of xed degree in

Ak

на плоских кривых

фиксированной степени. Функциональный анализ и его прил., т. 34, вып. 3 (2000),

Cn

with prescrib ed

singularities. International miniconference Qualitative theory of dierential equations and applications (16 June 2012). Pro ceedings. M.: MESI, 2013. 5-19.

Слова благодарности
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ-13-01-00755.

2