Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/seminars/atsem12-13/lomonosov/krutov2.pdf Дата изменения: Fri Apr 5 11:34:46 2013 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:11:05 2016 Кодировка: Windows-1251

Конференция ?Ломоносов 2013?

Секция ?Математика и механика?
Неабелевы алгеброиды Ли над пространствами бесконечных струй

Крутов Андрей Олегович
E-mail: krutov@math.ispu.ru

Ивановский государственный энергетический университет, Факультет информатики и вычислительной техники, Иваново, Россия

В докладе показано, что представления нулевой кривизны для дифференциальных уравнений в частных производных (например, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния) образуют естественный класс неабелевых алгеброидов Ли. Ниже мы указываем все компоненты данных структур (в частности, якорь) и реализуем их в терминах гомологических векторных полей дифференциалов на суперрасслоениях. Пусть g конечномерная алгебра Ли c базисом e1 , . . . , ed (всякое g-значное предk ставление нулевой кривизны есть дифференциальная 1-форма = i ek dxi , удовлеk творяющая уравнению МаурераКартана, здесь i гладкие функции на уравнеi нии, x независимые переменные, задающие точки базы M n ). Возьм?м расслоения : (M n ) g M n и со слоем g над M n ; определим суперрасслоение как расслоение над той же базой, получаемое заменой ч?тности координат в слоях . Теперь рассмотрим сумму Уитни J () ЧM n J ( ) расслоений бесконечных струй сечений расслоения и неч?тного расслоения . Всякому g-значному представлению нулевой кривизны соответствует теория когомологий, дифференциал в которой есть реализация [1,2] неабелева алгеброида Ли в терминах неч?тного эволюционного поля Q. Утверждение. Гомологическое векторное поле Q, задающее структуру неабелева алгеброида Ли, равно

Q=

() ? [b,]+dh b

1 (b) + [b,b] , 2

[Q, Q] = 0



Q2 = 0,

k где ч ч?тные координаты вдоль сло?в , соответствующие g-значным 1-формам; bk неч?тные координаты вдоль сло?в в ; ck структурные константы в g, [bi , bj ]k = ij ? ck bi bj ; dh горизонтальный дифференциал, наследуемый с базы M n ; оператор = ij j ? dh + [ћ, ] якорь, [b, ]k = ck bi a dxa ; () и (b) эволюционные производные. ij 2 Доказательство. Антикоммутатор [Q, Q] = 2Q неч?тного векторного поля Q с самим собой это также векторное поле, значит достаточно доказать равенство нулю коэффициентов перед / и / b в

Q2 =

() ? [b,]+dh b

+ 1 2

(b) ck bi b ij

j

[

() ? b,]+dh b

1 + 2 c

(b) k bi bj ij

.

В силу того, что g алгебра Ли [4], ( 1 c 2 как [b, b] не зависит от , то (
() ? [b,]+dh b

)(

(b) 2 k bi bj ) ij 1 (b) 2 ck b i b j ij

= 0. По определению, [b, b]k = ck bi bj . Так ij ) = 0. Отсюда + 1 2
() ? [[b,b],]+dh ([b,b]) ( ) 1? 1 ? -[b,[b,]-dh b]+ [[b,b],]+ dh ([b,b]) 2 2

Q2 = [

() ? b,]+dh b

+ 1 c 2

(b) k bi bj ij

[

( ) ? b,]+dh b

= -[

() ? b,[b,]+dh b]

=

.
1


Конференция ?Ломоносов 2013?

1? ? Рассмотрим выражение -[b, [b, ] - dh b] + 1 [[b, b], ] + 2 dh ([b, b]). Равенство нулю этого 2 выражение при произвольных b эквивалентно равенству нулю его значения на паре сечений p1 , p2 ( ) (бер?тся альтернированная сумма по всем перестановкам). Для 1 [[b, [b, ] - [b, [b, ]]) (p1 , p2 ), имеем 2 1 2 1 [[p1 , p2 ], ] - 2 [[p2 , p1 ], ] - [p1 , [p2 , ]] + [p2 , [p1 , ]] = [[p1 , p2 ], ] - [p1 , [p2 , ]] - [p2 , [, p1 ]] = -[, [p1 , p2 ]] - [p1 , [p2 , ]] - [p2 , [, p1 ] = 0.

1? ? Значение выражения 2 dh ([b, b]) - [b, dh b] на паре сечений p1 , p2 равно 1? d 2h 1? ? ? ? ? ? ([p1 , p2 ]) - 2 dh ([p1 , p2 ]) - [p1 , dh p2 ] + [p2 , dh p1 ] = dh ([p1 , p2 ]) - [p1 , dh p2 ] - [dh p1 , p2 ] = 0.

В итоге получаем

Q2 =

() 1 1? ? -[b,[b,]-dh b]+ [[b,b],]+ dh ([b,b]) 2 2

= 0

()

= 0,

что и требовалось доказать. ? Замечание. Якорь = dh + [ћ, ] является тем самым дифференциалом, который построил М. Марван [3] при исследовании неустранимости калибровочными преобразованиями спектрального параметра в представлениях нулевой кривизны. Мы же показали, что этот дифференциал естественен потому, что поставляет пример классической конструкции алгеброида Ли в неабелевом случае.
Литература

1. Вайнтроб А. Ю., Алгеброиды Ли и гомологические векторные поля // УМН. 1997. No. 52:2(314). C. 161162. 2. Кисел?в А. В., ван де Л?р Й. В., Вариационные алгеброиды Ли и гомологические эволюционные векторные поля // ТМФ. 2001. No. 167:3. C. 432447. 3. Marvan M., On the horizontal gauge cohomology and non-removability of the spectral parameter // Acta Appl. Math. 2002. No. 72:12. C. 5165. 4. Voronov T., Graded manifolds and Drinfeld doubles for Lie bialgebroids // Quantization, Poisson Brackets, and Beyond (Contemp. Math., Vol. 315, T. Voronov, ed.), Amer. Math. Soc., Providence, RI. 2002. C. 131-168.
Слова благодарности

Автор выражает благодарность своему научному руководителю А. В. Кисел?ву за постановку задачи, многочисленные обсуждения и содействие на всех этапах исследования.

2