Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/seminars/atsem11-12/lomonosov/neustroev3.pdf Дата изменения: Sat Mar 31 19:14:33 2012 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:16:29 2016 Кодировка: Windows-1251

Конференция ?Ломоносов 2012?

Секция ?Математика и механика?
Представление классических ортогональных криволинейных систем координат на плоскости квадратичными формами и характеризация

Неустроев Роберт Николаевич
Студент ФГАОУ ВПО Северо-Восточный федеральный университет им. М.К.Аммосова, Институт математики и информатики, Якутск, Россия

эллиптических координат

В статье [1] изучался предельный случай конструкции Кричевера [2] построения ортогональных криволинейных системы координат на сингулярных спектральных кривых. В работе [1] были найдены спектральные кривые в явном виде, отвечающие декартовой, полярной, параболической и другим системам координат. Для эллиптической системы координат спектральные кривые не были найдены. В этой работе доказана следующая теорема, характеризующая эллиптические координаты. Декартову систему координат на плоскости при x, y > 0, полярную систему координат и параболическую систему координат на плоскости при x > 0 можно задать с помощью квадратичных форм
Теорема 1.

E-mail: rebok@inbox.ru

x= y=

e

u1 +чu2 u1 + u2

e

a1 b 1 b1 c 1 a2 b 2 b2 c 2

eu 1 eu eu 1 eu
1

1

+чu2 + u2

, .

eu

1

+чu2 u1 + u2

+чu2 + u2

e

Необходимым и достаточным условием ортогональности выписанных криволинейных координат является равенство
a1 e
2u1 +2u2

+ c1 e2u + c1 e

1

+2u2

+ b1 eu

1

(+ )+u2 ( + )

( + ) Ч ( + ) +

Ч a1 e a2 e Ч a2 e

2u1 +2u2

2u1 +2u2
1

+ b1 e

u1 (+ )+u2 ( + ) (+ )+u2 ( + )

2u1 +2u2

+ c2 e2u + c2 e2u

+2u2 +2u2

+ b2 eu + b2 e

1

( + ) Ч

2u1 +2u2

1

u1 (+ )+u2 ( + )

( + ) = 0,

которое должно быть выполнено для всех (u1, u2). Эллиптическая система координат на плоскости не допускает представление (1-2) с помощью приведенной квадратичной формы. 1. Миронов А.Е., Тайманов И.А. Ортогональные криволинейные системы координат, отвечающие спектральным кривым // Труды математического института им. В.А.Стеклова. 2006. Т. 255. С. 180-196. 2. Кричевер И.М. Алгебро-геометрические n-ортогональные криволинейные системы координат и решения уравнений ассоциативности // Функц. анализ и его приложения. 1997. No. 31. Т.1. С. 32-50. 1
Литература