Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/seminars/atsem11-12/lomonosov/bibikov4.pdf Дата изменения: Sat Mar 31 19:14:32 2012 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:12:26 2016 Кодировка: Windows-1251

Конференция ?Ломоносов 2012?

Секция ?Математика и механика?
Классификация рациональных гамильтонианов в симплектических

Аспирант Институт проблем управления им. Трапезникова РАН, лаборатория 6, Москва, Россия E-mail: tsdtp4u@proc.ru
Пусть C2n симплектическое пространство с координатами (q , p) и симплектической структурой . Рассмотрим следующее действие группы G := Sp(2n) Ч (Trans Ч T) на пространстве гамильтонианов, рационально зависящих от координат q и p: симплектическая группа Sp(2n) действует симплектическими заменами координат, подгруппа Trans C2n действует параллельными переносами на пространстве C2n , а подгруппа T C действует сдвигами функций: H H + c, где c T. Целью данной работы является классификация G-орбит рациональных гамильтонианов на симплектическом 2n-мерном пространстве. Отметим, что случай n = 1 был решен в [1]. Для решения проблемы классификации гамильтонианов мы применим метод, изложенный в [2]. Рассмотрим стандартную связность на пространстве C2n и модуль симметрических функций на пространстве кокасательного расслоения к C2n . Определим симметрический дифференциал ds := Sym d : по этой связности и его поднятие ds в пространства джетов (все необходимые определения, связанные с про странствами джетов, см. в [3]). s Предложение.Горизонтальные k -формы Q1 := du, Qk := d Qk-1 (где k 2) на пространствах k -джетов являются G-инвариантными. С помощью этих k -форм и симплектической структуры построим инвариантные дифференцирования и дифференциальные инварианты. Для этого с помощью превратим 1-форму Q1 в вектор 1 (являющийся инвариантным дифференцированием) и 2-форму Q2 в линейный оператор D (являющийся G-инвариантным). Пусть i-1 j ) коэффициенты i := D 1 (где i = 2, . . . , 2n) и Kij := Q2 ( i , j ) (где i квадрики Q2 в ?инвариантном базисе? { 1 , . . . , 2n }. Замечание. Под дифференциальным инвариантом мы понимаем G-инвариантную рациональную функцию на пространстве джетов. Теорема 1. Поле дифференциальных инвариантов действия группы G на пространстве гамильтонианов порождается дифференциальными инвариантами Kij по-

Бибиков Павел Витальевич

пространствах

рядка 2 и инвариантными дифференцированиями

1

Из этой теоремы получается описание G-орбит рациональных гамильтонианов. Для этого рассмотрим дифференциальные инварианты Kij , l (Kij ) порядка 3 и их ограничения на заданный гамильтониан H . Эти ограничения являются рациональными функциями от 2n переменных (q , p). Обозначим через SH множество алгебраических зависимостей между этими функциями. Теорема 2. Рациональные гамильтонианы H и H являются G-эквивалентными если и только если SH = SH . e 1

, ...,

2n

.


Конференция ?Ломоносов 2012?
Литература

1. Bibikov P.V. On ane classication of functions and foliations on the plane // Lobahevskii Journal of Mathematics. 2012. Vol. 33. No. 2, to appear. 2. Бибиков П.В., Лычагин В.В. Классификация линейных действий алгебраических групп на пространствах однородных форм // ДАН. 2012. Т. 442. Вып. 6, 732735. 3. Алексеевский Д.В., Виноградов А.М., Лычагин В.В. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии. Москва, ВИНИТИ, т.28, 1988.
Слова благодарности

Автор благодарит В.В. Лычагина за внимание к работе и ценные замечания.

2