Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/seminars/atsem10-11/lomonosov/Shnurnikov2.pdf Дата изменения: Wed Apr 6 09:40:59 2011 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:17:58 2016 Кодировка: Windows-1251

Конференция ?Ломоносов 2011?

Секция ?Математика и механика?
О конфигурациях прямых на плоскости

Шнурников Игорь Николаевич
Аспирант E-mail: shnurnikov@yandex.ru

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, Москва, Россия

Пусть конечный набор из n 2 различных прямых на вещественной двумерной проективной плоскости. Обозначим через f () число областей компонент связности дополнения в проективной плоскости к объединению прямых из . Как устроено множество всех возможных чисел f () для фиксированного n и произвольного расположения прямых? Этот вопрос изучали Б. Грюнбаум (1972), Г. Пурди (1980), Н. Мартинов (1990, 1993), В.И. Арнольд (2007) и др. Явная формула для множества чисел f () была получена Н. Мартиновым в [1]. В.И. Арнольд предложил другую схему доказательства формулы Н. Мартинова, в которой ключевую роль играют оценки снизу числа f (). К настоящему моменту подход В.И. Арнольда реализован и автором получены оценки числа f () следующего вида.
Теорема 1. Пусть максимальное число прямых из
ке, равно



, пересекающихся в одной точ-

m

и

n>m

2.

Тогда

f ()

2

Для конфигурации прямых через ti обозначим число точек пересечения, принадлежащих ровно i прямым для i = 2, . . . , n. Совокупность чисел t2, . . . , tn до некоторой степени описывает набор прямых . Например, можно найти число областей
n

n2 - n + 2 m . m+3

f () = 1 +
i=2

(i - 1)ti .

В свою очередь, числа t2, . . . , tn не могут быть произвольными целыми неотрицательными числами. Известен ряд соотношений между числами ti, которые доказали Е. Мельхиор (1940), П. Эрдош и Г. Пурди (1978), Ф. Хирцебрух (1986), Дж. Сцима и Е. Сойер (1993, 1995) и др. Следующее новое соотношение имеет вид линейного по ti неравенства типа неравенства Ф. Хирцебруха [2].
Теорема 2. Пусть

tn = tn-1 = t 3 t2 + t 2
3

n-2

= 0.

Тогда

8+
i4

2i - 7

1 2

ti .

Литература

1. Martinov N. Classication of arrangements by the number of their cells // Discrete and Comput. Geometry, 1993. V. 9, iss. 1. pp. 39-46. 2. Hirzebruch F. Singularities of algebraic surfaces and characteristic numbers // Contemp. Math., 1986. V. 58. pp. 141-155. 1