Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/seminars/atsem10-11/lomonosov/Gorsky3.pdf Дата изменения: Wed Apr 6 09:40:58 2011 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:10:45 2016 Кодировка: Windows-1251

Конференция ?Ломоносов 2011?

Секция ?Математика и механика?
Обобщ?нные ассоциаэдры, нестоэдры и гипотеза Гала

Горский Михаил Александрович
Студент E-mail: mike.gorsky@gmail.com

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, Москва, Россия
В теории кластерных алгебр определяются ([3]) обобщ?нные ассоциаэдры - простые флаговые многогранники, двойственные к кластерным комплексам алгебр конечного типа. Каждый такой многогранник канонически соответствует несвязному объединеn нию диаграмм Дынкина. Диаграммам An соответствуют обычные ассоциаэдры As ; n диаграммам Bn и Cn - циклоэдры C y . Для каждого n-мерного многогранника P рассматриваются f -полином f (P )(t) = n i i=0 fi t , где fi - число граней P размерности i, и h-полином h(P )(t) = f (P )(t - 1). Для простых многогранников выполнены соотношения Дэна-Соммервиля, равно[n] i n-2i 2 . Полином сильные возвратности h-полинома, поэтому h(P )(t) = i=0 i t (1 + t) [n] i 2 (P )( ) = i=0 i называется -полиномом. В работе [4] была сформулирована известная гипотеза:
Гипотеза Гала.

Пусть многогранник

P

простой и флаговый, тогда

i (P ) 0.

Рассмотрим множество

P

cube

многогранников, получающихся из куба последова-

тельными срезками граней коразмерности 2. В работе [2] гипотеза Гала была доказана cube для всех многогранников из P , включая все флаговые нестоэдры. Доклад будет посвящ?н следующим результатам работы [1]:
Теорема 1.

Обобщ?нные ассоциаэдры, соответствующие диаграммам Дынкина

Dn ,

не являются нестоэдрами (при

n 4). AB C D
лежат в

Теорема 2.

Обобщ?нные ассоциаэдры серий

P

cube

.

Следствие 1.

Для обобщ?нных ассоциаэдров серий

AB C D

верна гипотеза Гала.

Теорема 1 да?т новый интересный пример серии простых флаговых многогранников, возникающих естественным образом, но не являющихся нестоэдрами. Теорема 2 была частично доказана в [2], однако наше доказательство иное и работает для всех 4 серий. Помимо следствия 1, оно да?т также новые, свободные от вычитаний, рекуррентные соотношения на

h-

и

-

полиномы обобщ?нных ассоциаэдров серии
Литература

D.

1. М. А. Горский, Доказательство гипотезы Гала для обобщенных ассоциаэдров серии D, УМН, 65:6(396) (2010), 185186 2. В. Д. Володин. Кубические реализации флаговых нестоэдров и доказательство гипотезы Гала для них. УМН, 65:1(391) (2010), 183184. 3. S. Fomin and A. Zelevinsky. Y-systems and generalized asso ciahedra. Annals of Math. 158 (2003), no. 3, 977-1018, arXiv:hep-th/0111053. 4. S. R. Gal. Real ro ot conjecture for ve- an higher-dimensional spheres. Discrete Comput. Geom., 34:2 (2005), 269284, arXiv:math/0501046.

1