Спецкурс "Введение в алгебраическую топологию"
(А.С.Мищенко, Е.В.Троицкий, среда, 16:45-18:20, ауд. 13-03)
Спецкурс по выбору кафедры
Программа курса:
1. Теория гомотопий.
Гомотопные отображения, гомотопические класы отображений,
гомотопическая эквивалентность. Гомотопические группы топологических
пространств. Коммутативность гомотопических групп для больших размерностей.
Точная гомотопическая последовательность пары.
Фундаментальная группа топологического пространства. Пердставление
фундаментальной группы для полиэдров. Вычисление фундаментальной группы
двумерных поверхностей. Группа кос как
фундаментальная группа конфигурационного пространства системы точек.
Вычисление k-мерных гомотопических групп $n$-мерной сферы
для k<=n. Слабая гомотопическая эквивалентность.
H-пространства и группа гомотопических классов
отображений в H-пространство.
Коммутативность фундаментальной группы H--пространств.
2. Теория гомологий.
Группы сингулярных гомологий и когомологий. Симплициальные и клеточные
разбиения пространств. Симплициальные и клеточные гомологии и
когомологии, из связь с сингулярными. Гомотопическая инвариантность
групп гомологий. Эйлерова характеристика. Умножение в когомологиях.
Точные гомологическая и когомологическая последовательности пары.
Надстройки и теорема Фрейденталя. Гомоморфизм Гуревича. Связь
фундаментальной группы и группы одномерных гомологий. Теорема Гуревича.
Гомологии и когомологии с коэффициентами. Формула универсальных
уоэффициентов. Двойственность Пуанкаре для многообразий.
Теории гомологий и когомологий. Теорема единственности для гомологий и
когомологий. Обобщенные теории гомологий и когомологий.
Пространства Эйленберга-Маклейна. Группы когомологий
как группы классов отображений в пространства Эйленберга-Маклейна.
Кольцо когомологий H--пространства как алгебра Хопфа. Классификация
градуированных алгебр Хопфа над полем рациональных чисел.
Гомологии и кольца когомологий проективных пространств. Клетки Шуберта и
гомологии многообразий Грассмана.
3. Теория расслоенных пространств.
Накрытия. Лемма о накрывающей гомотопии. Регулярные накрытия.
Универсальное накрытие. Накрытие и фундаментальная группа.
Аксиома о накрывающей гомотопии и расслоение в смысле Серра.
Пространство путей и петель,
лемма о накрывающей гомотопии для расслоения путей.
Локально тривиальные расслоения. Сечения. Точная
гомотопическая последовательность расслоения.
Векторные расслоения. Прямая сумма и тензорное произведение
векторных расслоений. Многообразие Грассмана как база
универсального векторного расслоения. Пространства Тома и
изоморфизм Тома в гомологиях и когомологиях. Характеристические
классы векторных расслоений. Понятие группы K(X).
4. Вычислительные методы.
Основные понятия теории препятствий (препятствующий коцикл и первое
препятствие к сечению расслоения). Спектральная последовательность в
(ко)гомологиях расслоения. Формула Кюннета.
Когомологические операции. Оператор Бокштейна. Квадраты Стинрода.
Алгебра Стинрода. Спектральная последовательность Адамса.
5. Обобщенные теории (ко)гомологий.
Бордизмы и кобордизмы. Операции
Новикова-Ландвебера. Спектральная последовательность Адамса-Новикова.
Формальные группы в кобордизмах и K--теории.
Приглашаются студенты 3,4 курсов.
|