Спецкурс "Комбинаторная топология многообразий"
(В.М.Бухштабер, А.А.Гайфуллин, Т.Е.Панов, среда, 16:45-18:20, ауд. 15-04)
Спецкурс возобновляется в весеннем семестре 17 февраля.
Спецкурс по выбору кафедры
Комбинаторная топология - важнейший раздел топологии, изучающий
топологические пространства методами разбиений их на части,
имеющие простое комбинаторное строение. В классической
комбинаторной топологии рассматриваются разбиения на симплексы или
кубы. В последнее время появились глубокие результаты,
использующие разбиения на так называемые простые многогранники.
Исследование взаимосвязи между комбинаторной топологией
многообразий и теорией гладких многообразий было одним из главных
направлений развития топологии во второй половине XX века.
Каждому триангулируемому многообразию можно сопоставить
пространство его триангуляций. Интерес к изучению таких
пространств стимулирован тем, что они естественно возникают в ряде
современных задач, в том числе в задачах, пришедших из
теоретической и статистической физики. Пространство триангуляций
многообразия трудно обозримо, но на нём имеются естественные
метрики, определяемые элементарными преобразованиями триангуляций
- звёздными и бизвёздными преобразованиями. В
спецкурсе будет рассказано о замечательных свойствах этих
преобразований. Мы обсудим как классические результаты, начиная с
теорем Александера (30-е годы XX века), так и самые современные.
Другой подход к изучению пространства триангуляций использует
естественные функции на нём. Ключевыми функциями на пространстве
триангуляций являются функции f_i, сопоставляющие триангуляции
число её i-мерных симплексов. Нахождение триангуляций, на которых достигаются минимумы этих функций, является одной изцентральных задач развиваемой теории. Уже в случае двумерных многообразий условие минимальности триангуляций формулируется в
терминах важных алгебро-топологических инвариантов многообразия.
Теория минимальных триангуляций привлекательна богатыми
связями с различными разделами математики, такими как
алгебраическая топология, комбинаторная геометрия, теория
кристаллографических групп.
В спецкурсе планируется обсудить задачу вычисления алгебро-топологических инвариантов многообразия, в том числе его
характеристических классов, непосредственно по его триангуляции.
Особое внимание будет уделено результатам, основанным на связи
комбинаторной топологии с торической топологией -
новой, активно развивающейся областью математики, на стыке
алгебраической топологии, алгебраической и симплектической
геометрии и комбинаторики.
Темы первого семестра:
1. Основные понятия комбинаторной топологии: симплициальные и
кубические комплексы, комбинаторные сферы и многообразия.
2. Преобразования триангуляций: звёздные подразделения и
бизвёздные преобразования. Теоремы Александера и Пахнера.
3. Минимальные триангуляции многообразий.
4. Комбинаторные характеристические классы.
5. Триангуляции и кубильяжи трёхмерных многообразий. Теорема
Купер-Тёрстона.
6. Приложения торической топологии к комбинаторной топологии.
Теория момент-угол комплексов.
Спецкурс рассчитан на студентов 2-5 курсов.
Приглашаются все желающие.
|