Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/research/files/parallelohedra-ru.pdf Дата изменения: Tue Mar 20 22:59:21 2012 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:47:52 2016 Кодировка: Windows-1251

Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Параллелоэдры
центральные проблемы и результаты

Алексей Гарбер
Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

20 марта 2012 г.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Параллелоэдры
Определение Выпуклый

d -мерный многогранник P называется параллелоэдром, если все пространство R можно параллельные копии P .
d

разбить на

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Параллелоэдры
Определение Выпуклый

d -мерный многогранник P называется параллелоэдром, если все пространство R можно параллельные копии P .
d

разбить на

Два типа двумерных параллелоэдров

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Трехмерные параллелоэдры

В 1885 году российский кристаллограф Е.С.Федоров классифицировал все пять типов трехмерных параллелоэдров.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Трехмерные параллелоэдры

В 1885 году российский кристаллограф Е.С.Федоров классифицировал все пять типов трехмерных параллелоэдров.

Параллелепипед и шестиугольная призма с центрально-симметричным основанием

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Трехмерные параллелоэдры

Ромбододекаэдр и удлиненный додекаэдр

Усеченный октаэдр
А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Свойства параллелоэдров
Теорема (Г.Минковский, 1897)

Любой d -мерный параллелоэдр P удовлетворяет следующим свойствам: P центрально-симметричен; Любая гипергрань P центрально-симметрична; Проекция P вдоль любой грани размерности d - 2 параллелограмм или центрально-симметричный шестиугольник.
1 2 3

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Свойства параллелоэдров
Теорема (Г.Минковский, 1897)

Любой d -мерный параллелоэдр P удовлетворяет следующим свойствам: P центрально-симметричен; Любая гипергрань P центрально-симметрична; Проекция P вдоль любой грани размерности d - 2 параллелограмм или центрально-симметричный шестиугольник.
1 2 3

Теорема (Б.А.Венков, 1954)

Три условия Минковского достаточны для того, чтобы многогранник P являлся параллелоэдром.
А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Разбиение грань-в-грань
В классическом понимании параллелоэдров разбиение всегда считалось разбиением

грань-в-грань

, когда пересечение двух

параллелоэдров грань каждого из них.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Разбиение грань-в-грань
В классическом понимании параллелоэдров разбиение всегда считалось разбиением

грань-в-грань

, когда пересечение двух

параллелоэдров грань каждого из них.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Разбиение грань-в-грань
В классическом понимании параллелоэдров разбиение всегда считалось разбиением

грань-в-грань

, когда пересечение двух

параллелоэдров грань каждого из них.

Теорема (П.МакМаллен, 1980)

Любой параллелоэдр (разбиение не обязательно грань-в-грань!) удовлетворяет трем условиям Минковского, а следовательно допускает и разбиение грань-в-грань.
А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Параллелоэдры и решетки
Рассмотрим разбиение параллелоэдра

P

TP

грань-в-грань на копии

. Оно единственно с точностью до движения.

Центры всех параллелоэдров образуют

d

-мерную решетку



P

.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

О количестве гиперграней параллелоэдров

Теорема (Г.Минковский, 1897)

Количество гиперграней d -мерного параллелоэдра не превосходит 2(2 - 1), причем эта оценка является неулучшаемой.
d

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

О количестве гиперграней параллелоэдров

Теорема (Г.Минковский, 1897)

Количество гиперграней d -мерного параллелоэдра не превосходит 2(2 - 1), причем эта оценка является неулучшаемой.
d

Доказательство. Для каждого класса четности решетки найдется на более двух точек, параллелоэдры которых имеют общую гипергрань с фиксированной копией

P

.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Стандартные грани
Определение Грань параллелоэдра

стандартной

P
.

(или разбиения

T( )

P

) называется

если она является пересечением двух

параллелоэдров в

T( )

P

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Стандартные грани
Определение Грань параллелоэдра

стандартной

P
.

(или разбиения

T( )

P

) называется

если она является пересечением двух

параллелоэдров в

T( )

P

Например, все гиперграни

P

стандартны.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Стандартные грани
Определение Грань параллелоэдра

стандартной

P
.

(или разбиения

T( )

P

) называется

если она является пересечением двух

параллелоэдров в

T( )

P

Например, все гиперграни Среди граней размерности

P d

стандартны.

-

2 стандартны только те,

проекция вдоль которых есть параллелограмм.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Стандартные грани
Определение Грань параллелоэдра

стандартной

P
.

(или разбиения

T( )

P

) называется

если она является пересечением двух

параллелоэдров в

T( )

P

Например, все гиперграни Среди граней размерности

P d

стандартны.

-

2 стандартны только те,

проекция вдоль которых есть параллелограмм. Все грани

d

-мерного куба являются стандартными.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Стандартные грани
Определение Грань параллелоэдра

стандартной

P
.

(или разбиения

T( )

P

) называется

если она является пересечением двух

параллелоэдров в

T( )

P

Например, все гиперграни Среди граней размерности

P d

стандартны.

-

2 стандартны только те,

проекция вдоль которых есть параллелограмм. Все грани

d

-мерного куба являются стандартными.

Стандартные грани параллелоэдра центрально-симметричны и соответствуют полуцелым точкам решетки.
А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Пояс параллеллоэдра
Определение

Поясом

параллелоэдра

размерности

d

параллельных

F

-
.

P

, соответствующим грани

F

2, называется множество гиперграней,

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Пояс параллеллоэдра
Определение

Поясом

параллелоэдра

размерности

d

параллельных

F

-
.

P

, соответствующим грани

F

2, называется множество гиперграней,

В любом поясе 4 или 6 граней, так как все грани пояса проецируются в стороны соответствующего многоугольника. Пояс стандартной грани нестандартной из 6.

F

состоит из 4 гиперграней, а

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Теорема об индексе
Определение

Индексом 1 число n(F

стандартной грани

)

сходятся в

F

, где .

n(F

F

параллелоэдра

)

количество копий

P

P

называется

в

T ( ),

P

которые

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Теорема об индексе
Определение

Индексом 1 число n(F

стандартной грани

)

сходятся в

F

, где .

n(F

F

параллелоэдра

)

количество копий

P

P

называется

в

T ( ),

P

которые

Теорема (Н.Долбилин, Теорема об индексе, 2009)

ст. грани

n(F

1

)

=

2

d

- 1.

Из этой теоремы следует оценка на количество гиперграней, так как каждая грань дает вклад
А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

1 2

в сумму.
МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Параллелоэдры и решетки 2
Рассмотрим произвольную произвольную точку

O

d

-мерную решетку



и ее

.

O

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Параллелоэдры и решетки 2
Рассмотрим произвольную произвольную точку

O

d

-мерную решетку



и ее

.

Рассмотрим многогранник, состящий из всех точек, которые ближе к (

O чем к другим многогранник Дирихле-Вороного

точкам решетки решетки

).

O

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Параллелоэдры и решетки 2
Рассмотрим произвольную произвольную точку

O

d

-мерную решетку



и ее

.

Рассмотрим многогранник, состящий из всех точек, которые ближе к (

O чем к другим многогранник Дирихле-Вороного Многогранник DV параллелоэдр,

точкам решетки решетки а точки

).

центры

многогранников разбиения.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Гипотеза Вороного

Гипотеза (Г.Вороной, 1909)

Любой параллелоэдр аффинно эквивалентен многограннику Вороного для некоторой решетки .

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Малые размерности

Случай Случай

d d d

= =

2 считается фольклорным. 3. Все трехмерные параллелоэдры

перечислены Федоровым, для каждого из них несложно проверить гипотезу Вороного. Случай

=

4. В 1929 Б.Делоне перечислил 51

четырехмерный паралллеоэдр; в 1973 Штогрин добавил последний 52-й параллелоэдр и тем самым завершил классификацию в случае

d

=

4.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Дуальные клетки
Определение

Дуальной клеткой

для грани

F

разбиения

T( )

P

называется

множество всех центров паралллелоэдров, сходящихся в Клетка называется

k -мерной

если размерность

F

равна

F. d -k

.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Дуальные клетки
Определение

Дуальной клеткой

для грани

F

разбиения

T( )

P

называется

множество всех центров паралллелоэдров, сходящихся в Клетка называется

k -мерной

если размерность

F

равна

F. d -k

.

На дуальных клетках задана структура клеточного комплекса.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Дуальные клетки
Определение

Дуальной клеткой

для грани

F

разбиения

T( )

P

называется

множество всех центров паралллелоэдров, сходящихся в Клетка называется

k -мерной

если размерность

F

равна

F. d -k

.

На дуальных клетках задана структура клеточного комплекса. Существует пять комбинаторных типов трехмерных даульных клеток: тетраэдр, октаэдр, четырехугольная пирамида, треугольная призма и куб.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Дуальные клетки
Определение

Дуальной клеткой

для грани

F

разбиения

T( )

P

называется

множество всех центров паралллелоэдров, сходящихся в Клетка называется

k -мерной

если размерность

F

равна

F. d -k

.

На дуальных клетках задана структура клеточного комплекса. Существует пять комбинаторных типов трехмерных даульных клеток: тетраэдр, октаэдр, четырехугольная пирамида, треугольная призма и куб.

Теорема (А.Магазинов, 2012)

Количество вершин в k -мерной дуальной клетке не больше 2 .
k
А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Подход Вороного канонические нормировки
Определение Функция

канонической нормировкой удовлетворяет следующим условиям на гиперграни F содержат (d - 2)-мерную грань G :
разбиения

n(F
T

),

определенная на множестве всех гиперграней если она
i

P

называется

, которые

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Подход Вороного канонические нормировки
Определение Функция

канонической нормировкой удовлетворяет следующим условиям на гиперграни F содержат (d - 2)-мерную грань G :
разбиения

n(F
T

),

определенная на множестве всех гиперграней если она
i

P

называется

, которые

F2 F
e2
2

e

e
1

2

e

1

G F
e3
3

F

F
1

3

G
e
3

F
e
4

1

F4

+ ( i )ei = 0
А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты МГУ

nF


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Каноническая нормировка

Как построить каноническую нормировку для данного разбиения

T

P

?

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Каноническая нормировка

Как построить каноническую нормировку для данного разбиения

T

P

?

Если две гиперграни нестандартную

( - 2)

d

F

1

и

F

2

содержат общую

-грань то значение канонической

нормировки на одной гиперграни однозначно определяет значение на другой.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Каноническая нормировка

Как построить каноническую нормировку для данного разбиения

T

P

?

Если две гиперграни нестандартную

( - 2)

d

F

1

и

F

2

содержат общую

-грань то значение канонической

нормировки на одной гиперграни однозначно определяет значение на другой. Если две гиперграни

( - 2)-то
2

d иF

F

1

и

F

2

содержат общую стандартную

единственное условие состоит в том, что если

F

1

противоположны, то значения нормировки равны.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Женератрисса Вороного

Допустим у нас есть разбиение

T

P

.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Женератрисса Вороного

Мы построим кусочно-линейную функцию женератриссу

G : Rd - R
А.Гарбер

.

МГУ

Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Женератрисса Вороного

Шаг 1: Положим

G

равной 0 на одном из многогранников.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Женератрисса Вороного

Шаг 2: Когда мы переходим через гипергрань, то градиент меняется в соответствии с канонической нормировкой.

G

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Женератрисса Вороного

Шаг 2: А именно, если мы переходим через гипергрань нормалью

e

, то к градиенту добавляется вектор

n (F

)e

F

с

.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Женератрисса Вороного

В результате получится кусочно-линейная функция женератрисса Вороного.

G



А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Женератрисса Вороного 2

На что похож график этой функции?
А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Свойства Женератриссы
График

G

похож на кусочно-линейный параболоид.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Свойства Женератриссы
График

G

похож на кусочно-линейный параболоид.

Найдется параболоид

y

= xT x

Q

для некоторой

положительной квадратичной формы

Q

, касающийся

G

в

центрах шестиугольных (в нашем случае!) кусочков.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Свойства Женератриссы
График

G

похож на кусочно-линейный параболоид.

Найдется параболоид

y

= xT x

Q

для некоторой

положительной квадратичной формы

Q

, касающийся

G

в

центрах шестиугольных (в нашем случае!) кусочков. Если мы рассмотрим аффинное преобразование переводящее этот параболоид в решетки.

y

A

= xT x,

,

то разбиение

TP

преобразуется в разбиение Вороного для некоторой

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Свойства Женератриссы
График

G

похож на кусочно-линейный параболоид.

Найдется параболоид

y

= xT x

Q

для некоторой

положительной квадратичной формы

Q

, касающийся

G

в

центрах шестиугольных (в нашем случае!) кусочков. Если мы рассмотрим аффинное преобразование переводящее этот параболоид в решетки.

y

A

= xT x,

,

то разбиение

TP

преобразуется в разбиение Вороного для некоторой

Следовательно, для доказательства гипотезы Вороного на достаточно показать существование канонической нормировки для данного разбиения
А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

T

P

.
МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Гипотеза Вороного в частных случаях

Теорема (Р.Эрдал, 1999)

Гипотеза Вороного верна для параллелоэдров, являюшихся зонотопами, то есть проекциями кубов высшей размерности.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Гипотеза Вороного в частных случаях

Теорема (Г.Вороной, 1909)

Гипотеза Вороного верна для примитивных d -мерных параллелоэдров, то есть для параллелоэдров, у которых каждая вершина разбиения T (P ) лежит в d + 1 копии P .
Теорема (О.Житомирский, 1929)

Гипотеза Вороного верна для параллелоэдров, у которых нет стандартных граней размерности d - 2.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Гипотеза Вороного в частных случаях 2

Теорема (А.Ордин, 2005)

Гипотеза Вороного верна для d -мерных параллелоэдров, среди трехмерных дуальных клеток которых встречаются только тетраэдры, октаэдры и четырехугольные пирамиды.
Теорема (А.Гаврилюк, А.Г., А.Магазинов, 2012)

Если поверхность параллелоэдра остается односвязной при выкидывании стандартных граней размерности d - 2, то для него верна гипотеза Вороного.
А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Гипотеза о размерности
Гипотеза

Аффинная оболочка точек k -мерной дуальной клетки имеет размерность k .

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Гипотеза о размерности
Гипотеза

Аффинная оболочка точек k -мерной дуальной клетки имеет размерность k .
Иногда называется широко известной, хотя никто не может дать ссылку на доказательство.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Гипотеза о размерности
Гипотеза

Аффинная оболочка точек k -мерной дуальной клетки имеет размерность k .
Иногда называется широко известной, хотя никто не может дать ссылку на доказательство. Выполнение этой гипотезы необходимо для гипотезы Вороного в силу того, что для каждого разбиения Вороного существует двойственная триангуляция Делоне. Грани многогранников Делоне и будут дуальными клетками.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Вторая гипотеза Вороного

Рассмотрим произвольный параллелоэдр

P

0

с центром

O

O

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Вторая гипотеза Вороного

Рассмотрим параллелоэдры

P

1

,...,

которые имеют общую гипегрань с

P P

n

с центрами

0

.

O

1

,...,

O

n

,

O

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Вторая гипотеза Вороного

Тогда векторы более того

,..., порождают
1

OO

- -

OO
.

- -
n

являются векторами решетки



и

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Вторая гипотеза Вороного
Гипотеза

Среди этих векторов можно выбрать d , которые образуют базис .

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

Другие задачи теории параллелэдров

Задача о единственности параллелоэдра Вороного для данного параллелоэдра; Задача о поясном диаметре.

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ


Параллелоэдры и их свойства

Грани параллелоэдров

Гипотеза Вороного

Нерешенные задачи

THANK YOU!

А.Гарбер Параллелоэдры: центральные проблемы и результаты

МГУ