Дифференциальная топология и топология многообразий
Исследования в данном направлении ведутся акад. РАН
С.П.Новиковым,
проф. И.К.Бабенко,
В.М.Бухштабером,
доц. Л.А.Алания,
Д.В.Миллионщиковым,
Т.Е.Пановым, а также
студентами и аспирантами В.М.Бухштабера.
-
Теория кобордизмов: формальные группы, гладкие периодические отображения,
характеристические классы.
Применения теории кобордизмов и формальных групп для изучения действий
конечных групп и торов на многообразиях. Изучение и вычисление топологических
инвариантов многообразий (в частности, характеристических чисел и родов
Хирцебруха) методами теории кобордизмов и теории индекса. Данные методы
основаны, с одной стороны, на применении теоремы Атьи-Зингера об индексе
эллиптического оператора и обобщенной теоремы Лефшеца о неподвижных точках
(Атья-Ботт), а с другой стороны, на применении развитой школой С.П.Новикова
в 1960-70 гг. техники формальных групп в теории кобордизмов (С.П.Новиков,
В.М.Бухштабер, С.М.Гусейн-Заде, Г.Г.Каспаров, И.М.Кричевер, А.С.Мищенко
и др.). В работе [Pa1] Т.Е.Пановым используя формальную групп "геометрических
кобордизмов" получено полное описание классов кобордизмов многообразий,
несущих действие группы Z/p, множество неподвижных точек
которого имеет тривиальное нормальное расслоение. В работе [Pa2] получены
формулы для вычисление различных важных топологических инвариантов (в частности,
xy-рода
и эллиптического рода) Z/p-многообразий в терминах неподвижных
точек. В работе [Pa2] получены комбинаторные формулы для родов Хирцебруха
торических многообразий и их топологических аналогов (так называемых квазиторических
многообразий).
[Pa1] Т.Е.Панов,
Классификация с точностью до кобордизма многообразий, несущих простое
действие группы Z/p,
Матем. заметки 63
(1998), вып.2, стр.260-268.
[Pa2] Т.Е.Панов,
Вычисление родов Хирцебруха многообразий, несущих действие группы
Z/p через инварианты действия,
Известия РАН (Серия математическая)62
(1998), вып.3, стр.87-120.
[Pa3] Т.Е.Панов,
Роды Хирцебруха многообразий с действием тора,
принято к печати в Известия
РАН (Серия математическая) 65 (2001).
tex file (LaTeX
2e)
ps file
-
Торические и квазиторические многообразия
Квазиторические многообразия могут рассматриваться как естественный
топологический аналог торических многообразий, изучаемых в
алгебраической геометрии. Квазиторические многообразия представляют
собой многообразия с действием компактного тора T^n; при этом требуется,
чтобы действие было локально эквивалентно стандартному действию T^n
на
n-мерном комплексном пространстве, а пространство орбит было n-мерным
шаром, снабженным структурой простого многогранника при помощи множеств
неподвижных точек торических подгрупп. Построено семейство
квазиторических многообразий, дающих полный набор образующих кольца
комплексных кобордизмов. Соответствующие стабильно комплексные
структуры на этих многообразиях описаны в чисто комбинаторных терминах.
Дан положительный ответ на квазиторический аналог проблемы Хирцебруха
(о
существовании набора связных алгебраических образующих кольца
комплексных кобордизмов), т.е. доказано, что в каждом классе комплексных
кобордизмов содержится связное квазиторическое многообразие.
|