Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/phd/disser-limonchenko.pdf Дата изменения: Thu Feb 26 15:39:08 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:09:45 2016 Кодировка: Windows-1251

ФГБОУ ВПО МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ МF ВF ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКОEМАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Лимонченко Иван Юрьевич КОМБИНАТОРНАЯ КОММУТАТИВНАЯ АЛГЕБРА И ТОПОЛОГИЯ МОМЕНТ-УГОЛ КОМПЛЕКСОВ

HIFHIFHR E геометрия и топология

Диссертация на соискание уч? еной степени кандидата физикоEматематических наук

Научный руководительX дFфFEмFнFD профессор ТF ЕF Панов

Москва E PHIR


Оглавление

Введение

4

1

Обзор основных понятий и конструкций

24

IFI IFP IFQ
2

Симплициальные комплексы и простые многогранники F F F F F PR МоментEугол многообразия и полиэдральные степени F F F F F F QH Кольца СтенлиEРайснера F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QT

Граф-ассоциаэдры, их кольца граней и момент-угол многообразия 42

PFI PFP PFQ

НестоэдрыX графEассоциаэдры

F F F F F F F F F F F F F F F F F F F RP

Биградуированные числа Бетти графEассоциаэдров F F F F F F F RT Кручения и тройные произведения Масси в кольце когомологий моментEугол многообразий F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F SW

3

Обобщенные многогранники усечения, их кольца граней и момент-угол многообразия 63

QFI QFP QFQ
4

Многогранники усечения и их моментEугол многообразия F F F F TQ Обобщенные многогранники усеченияX кольца когомологий моментE угол комплексов F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F TV Дальнейшие обобщенияX биградуированные числа Бетти F F F F US

Минимально неголодовские комплексы и их момент-угол комплексы 78

RFI RFP RFQ RFR

Основные конструкции и результаты F F F F F F F F F F F F F F F F UV Обобщенные многогранники усечения F F F F F F F F F F F F F F F VH Циклические многогранники F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F VR Простые многогранники с m n + 3 F F F F F F F F F F F F F F F F VU
P


5

Связные суммы произведений сфер как момент-угол многообразия 90

SFI SFP SFQ

Случай m = n + 3 и маломерные комплексы F F F F F F F F F F F WH Симплициальные операции и минимальная неголодовость F F F WI Минимальная триангуляция CP 2 F F F F F F F F F F F F F F F F F F WR
97

A Операции на симплициальных комплексах

Литература

101

Q


Введение

Актуальность темы

В настоящее время на основе классических результатов комбинаторной комE мутативной алгебрыD алгебраической топологииD выпуклой геометрииD симE плектической геометрии и топологииD теории компактных групп преобрзоваE нийD активно развивается торическая топологияF В то же времяD актуальным разделом алгебраической геометрии стала торическая геометрияD изучающая свойства торических многообразийF Каждому выпуклому многограннику в

Rn с рациональными координатами вершин можно сопоставить алгебраичеE ское многообразие с действием алгебраического тора (C )n D являющееся экE вивариантной компактификацией тора (C )n относительно его стандартного действияF С одной стороныD эта конструкция дает обширный класс примеров
алгебраических многообразийD свойства которых можно эффективно описыE вать в терминах комбинаторных данныхF С другой стороныD конструкция торического многообразия позволяет доказывать сильные результаты о комE бинаторике многогранников при помощи методов алгебраической геометрииF Одним из таких результатов является классическая g EтеоремаD дающая полE ную характеризацию f Eвекторов простых многогранников PRF МF Дэвис и ТF Янушкиевич в работе RP ввели понятие квазиторического многообразияD являющееся топологическим аналогом торического многообE разияF На квазиторическом многообразии M
2n

определено действие компактE

ного тора T n D локально изоморфное стандартному действию T n на Cn D а проE странством орбит этого действия является выпуклый простой многогранник

P n F Квазиторические многообразия представляют обширный класс примеE
ров топологических пространств с богатой геометрией и топологиейD причем их свойства можно описывать в комбинаторных терминахF ВF МF БухштаберD
R


ТF ЕF Панов и НF Рэй IRD QQ показалиD что в размерностяхD больших двухD каждый класс комплексных кобордизмов содержит связное квазиторическое многообразие с естественной стабильно комплексной структуройD согласованE ной с действием тораF Для определения квазиторического многообразия над простым многогранE ником P n с m гипергранями МF Дэвису и ТF Янушкиевичу потребовалась конE струкция (m + n)Eмерного многообразия ZP с каноническим действием тора

T m D для которого многообразие над ютD гомеоморфно ствию некоторого

P является пространством орбитF Каждое квазиторическое простым многогранником P D в случае если они существуE факторEпространству многообразия ZP по свободному дейE подтора T m-n T m F ВF МF Бухштабер и ТF ЕF Панов предлоE

жили рассматривать многообразия ZP в качестве основного объекта исследоE ваний в торической топологии и развили различные подходы к изучению этих пространствD названных ими момент-угол многообразиями IHD IID IQD QQF В работе II показаноD что существует более общая алгеброEтопологичесE кая конструкцияD сопоставляющая каждому симплициальному комплексу K на m вершинах клеточное пространство ! момент-угол комплекс ZK (D2 , S 1 ) с действием тора T m F При помощи канонического разбиения простого многоE гранника на кубы ВF МF Бухштабер и ТF ЕF Панов показалиD что для простого многогранника P моментEугол многообразие ZP эквивариантно гомеоморфно моментEугол комплексу Z

(D2 , S 1 )D где P " граница двойственного к P симплициального многогранника IIF Термин ?моментEугол комплекс? отсылает к клеточному разбиению проE
P


странства ZK D которое может быть получено как результат склейки произE ведений полидисков и торовD причем последние параметризуются симплексаE ми комплекса K F МоментEугол комплексы были введены в работах QHD QI как клеточные разбиения торических пространствD возникающих в некоторых конструкциях алгебраической геометрииD симплектической геометрии и комE бинаторной топологииD на первый взглядD не связанных между собойF Среди них

ћ Пересечения специального вида вещественных и эрмитовых квадрикD изучавшиеся в топологии и голоморфной динамикеD смF QRD SWD THD
PSY
S


ћ Множества уровня отображения моментовD возникающие в конструкции гамильтоновых торических многообразий при помощи симплектической редукцииD смF SSD PHY ћ Ряд конструкций пространств орбит P Ч G/ D где P ! многогранникD а G ! конечная группа или торD источником которых является теория
групп Кокстера UTD RID RPY

ћ Дополнения конфигураций координатных подпространств в комплексE ном пространствеD возникающие в конструкции торических многообраE
зий как алгебраических факторов QWD и также изученные в общей теоE рии конфигураций плоскостей RWD SVF Исходя из существования естественной клеточной структуры на пространE стве ZK (D2 , S 1 ) ВF МF Бухштабер и ТF ЕF Панов II вычислили кольцо когомоE логий над Z моментEугол комплексов и моментEугол многообразий простых многогранниковF Они показали такжеD что для произвольного симплициальE ного комплекса K на m вершинах имеет место изоморфизм

H (ZK (D2 , S 1 ); Z) Tor =

Z[v1 ,...,vm ]

(Z[K ], Z),

где Z[K ] " алгебра Стенли!Райснера @кольцо гранейA симплициального комE плекса K F Их подход к исследованию когомологий получил развитие в рабоE тах ИF ВF Баскакова QD RF В диссертации исследована связь между комбинаторной структурой @чаE стично упорядоченным множеством гранейA простого многогранника P @или произвольного комплекса K D уже необязательно являющегося многогранной сферой K = K
P

= P AD комбинаторноEалгебраическими и гомологическиE
K

ми свойствами алгебры Стенли!Райснера Z[K ] и топологической структуE рой моментEугол комплекса ZK F В общем случае топология Z чрезвычайно сложнаD но в ряде примеров классических выпуклых простых многогранниE ков удается описать @по крайней мере аддитивнуюA структуру кольца когоE мологий H (ZK (D2 , S 1 ); Z)D а в некоторых случах и получить описание топоE логического типа ZK F Теория моментEугол комплексов тесно связана с торической геометриейF Торическое алгебраическое многообразиеD соответствующее выпуклому раE циональному многогранникуD можно определить при помощи конструкции
T


Батырева!Кокса QWF А именноD рациональному многограннику P с m гиE пергранями ставится в соответствие пространство C

\ AP " дополнение до конфигурации координатных подпространствD а торическое многообразие
m

определяется как категорный фактор этого дополнения по действию некотоE рой алгебраической подгруппы некомпактного тора (C )m F Алгебраическое многообразие Cm \ AP является алгебраическим аналогом моментEугол проE странства ZP F Между конфигурациями координатных подпространств проE странства Cm и симплициальными комплексами на m вершинах имеется естеE ственная биекцияD которая сопоставляет симплициальному комплексу K конE фигурацию {LI | I K }D где LI = {(z1 , . . . , zm ) C / Кокса соответствует нервEкомплекс KP F Согласно результатам IID RPD когомологии и эквивариантные когомолоE гии моментEугол пространства ZP выражаются в терминах алгебры Стенли! Райснера нервEкомплекса KP F Алгебры Стенли!РайснераD введенные в работе UID являются классическим объектом изучения в комбинаторной коммутаE тивной алгебреF Произвольному конечному симплициальному комплексу K ставится в соответствие градуированная алгебра Стенли!Райснера над полем

| zi = 0 при i I }F При такой биекции конфигурации плоскостей AP из конструкции Батырева!
m

kF Такое сопоставление позволило изучать комбинаторные свойства симплиE
циальных комплексов в терминах свойств их алгебр Стенли!Райснера при помощи развитой техники коммутативной и гомологической алгебрыF В слуE чае обобщенных многогранников усечения в диссертации дается описание их идеала Стенли!Райснера и вычисляются все их биградуированные @алгебраиE ческиеA числа БеттиF Биградуированными числами Бетти называются ранги модулей свободной резольвентыD
-i,2j -i,2j k[v1 ,...,vm ]



(K ) = rk Tor

(k[K ], k).

Согласно теореме Хохстера SRD биградуированные числа Бетти определяютE ся топологией полных подкомплексовX
-i,2j j -i-1



(K ) =
J [m],|J |=j

rk H

(KJ ; k).

В работах ВF МF Бухштабера и ТF ЕF Панова было приведено новое доказаE тельство этой формулыD основанное на интерпретации TorEалгебры как алE гебры когомологий моментEугол комплекса ZK (D2 , S 1 )F ИF ВF Баскаковым Q
U


было описано умножение в TorEалгебре в терминах полных подкомплексов симплициального комплекса K F Вычисление биградуированных чисел БетE ти моментEугол комплексов дает возможность оценить ранги групп гомолоE гий моментEугол комплексов и многообразий и вместе с этим дать оценку на дефект @разность между левой и правой частями неравенстваA в известной гипотезе Гальперина о торическом ранге для конечномерных клеточных проE странств с почти свободным действием тораD доказанной для моментEугол пространств в IWF В работах АF Постникова TW и ЕF Фейхтнер и БF Штурмфельса RQ был введен важный класс простых многогранниковD называемых нестоэдрамиF Как было показано АF Зелевинским UUD любой нестоэдр является многоE гранником ДельзантаF Наиболее известными и важными в геометрических и практических приложениях из них являются пермутоэдрыD стеллаэдрыD асE социаэдры @или многогранники СташефаA и циклоэдры @или многогранниE ки Ботта!ТаубсаAF В диссертации приводится общее определение нестоэдров как сумм Минковского симплексовD а также дается вычисление некоторых биградуированных чисел Бетти вида в нульD начиная с некоторого i = i
max -i,2(i+1)

и доказывается обращение их

D имеющего геометрическое описаниеF

Также в диссертации будет показаноD что серии пермутоэдров и стеллаэдров дают примеры моментEугол многообразийD в кольце когомологий которых моE жет быть произвольно сложное кручениеD причем оценка на минимальную размерностьD в которой возникает элемент данного конечного порядкаD моE жет быть полученаD если известны минимальные триангуляции пространств с соответствующим кручением в гомологиях @напримерD пространства МураD линзовые пространства и надстройки над нимиAF В то же времяD целочисE ленные когомологии Z
P

для некоторых графEассоциаэдров и других класE

сов простых многогранников свободны от крученийF В диссертации также исследован вопрос о нетривиальных произведениях Масси в когомологиях QEмерных графEассоциаэдровD где применяется конструкция Баскакова RF С помощью результатов RV в диссертации показаноD что в классе обобщенE ных многогранников усечения топологическая эквивалентность моментEугол многообразия связной сумме произведений сферD с двумя сферами в каждом произведенииD равносильна минимальной неголодовости алгебры Стенли!Райс!
V


нера k[P ]F Понятие кольца Голода возникло первоначально в гомологической алгебре в работе ЕF СF Голода IS для нетеровых локальных колецF Теорема Бухштабера и Панова о кольце когомологий Z
P

показываетD что свойство

голодовости алгебры k[K ] равносильно над полем тривиальности умножеE ния КолмогороваEАлександера и всех высших произведений Масси в кольце когомологий H (ZK (D2 , S 1 ); k) над любым полем kF Понятие минимальной неголодовости комплекса K @если основное поле k фиксированоA введено в работе АFБерглунда и МFЙолленбека PQD где доказана минимальная неголоE довость границ многогранников пирамидальной надстройки @двойственных к многогранникам усеченияAF С помощью методов и результатов торической топологии и комбинаторной коммутативной алгебры в диссертации обобщен этот результат и получен критерий минимальной неголодовости колец граE ней в случае срезок произвольного числа вершин произведений симплексов любых размерностейF Легко показатьD что любой выпуклый простой nEмерный многогранник с

m = n + 2 гипергранями проективно эквивалентен прямому произведению двух симплексовF Таким образомD первый нетривиальный случай возникаетD когда m = n + 3F Полная комбинаторная классификация таких многогранниE ков была получена в книге БF Грюнбаума SQ при помощи так называемых
?звездных? диаграммD а также МF Перлесом на основе диаграмм ГейлаD коE торый также получил формулу для числа комбинаторных типовF Результаты ВF МF Бухштабера и ТF ЕF Панова QQ позволяют применить теорему Лопез де Медрано SW о пересечении квадрик к моментEугол многообразиям и поE лучитьD что для многогранника P
n

с m = n + 3 многообразие ZP является

либо прямым произведением трех сфер нечетной размерностиD либо связной суммой прямых произведений сфер по две сферы в каждом произведенииD причем количество сфер и их размерности определяются диаграммой Гейла многогранникаF В диссертации исследованы кольца граней таких многогранE ников и получен критерийD когда они обладают свойством голодовости или минимальной неголодовостиF Последняя часть диссертации посвящена доказательству замкнутости класE са минимально неголодовских комплексов относительно некоторых симплиE циальных операцийD для которых в свою очередь имеется описание перестроE
W


ек и изменения топологического типа моментEугол многообразийF РассмотреE ния этой части диссертации мотивированы гипотезой СFГитлера и СFЛопез де Медрано о томD что если многообразие ZP гомеоморфно связной сумме проE изведений сферD с двумя сферами в каждом произведенииD то это же верно и для произвольной срезки вершин многогранника P RVF Вначале мы приE водим примерыD которые показываютD что для срезок граней положительE ной размерности это неверноF Основным результатом этой части является доказательство тогоD что операции срезки вершин иD более общаяD связной суммы двух простых многогранниковD не выводит кольцо Стенли!Райснера из класса минимально неголодовских градуированных колецF НаконецD мы приводим пример голодовского симплициального комплексаD свободного от кручений в гомологияхD моментEугол комплекс которого не является гомоE топическим букетом сферF Поскольку связная сумма произведений сфер поE лучается из букета сфер приклеиванием диска максимальной размерности по итерированному отображению УайтхедаD этот результат связан с поиском алгебраической аппроксимации случая связной суммы произведений сферF Он показываетD в частностиD что требование минимальной неголодовости и отсутствия кручений в целочисленных гомологиях полных подкомплексов K является необходимымD но не достаточным условием для тогоD чтобы Z ло связной суммой произведений сферF
Цель диссертации
K

быE

Целью работы является изучение связиD существующей между комбинаторноE алгебраическими свойствами выпуклых многогранников и симплициальных комплексовD коммутативноEалгебраическими свойствами их колец Стенли! Райснера и топологическими свойствами их моментEугол комплексовF
Методы исследования

В работе используются методы торической топологииD алгебраической топоE логииD теории многогранниковD комбинаторики и алгебрыF

IH


Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новымиD получены автором саE мостоятельно и заключаются в следующемX IF Дано описание биградуированных чисел Бетти графEассоциаэдровD в частE ностиD пермутоэдровD стеллаэдровD ассоциаэдров и циклоэдровF Пусть P = P ! графEассоциаэдр на связном графе F Тогда

0 для i > imax F Число i

max

(P ) = есть максимальное число связных подграфов

-i,2(i+1)

в графе D которое может нетрививально пересекать данный связный подграфF Последнее означаетD что у двух подграфов 1 и 2 либо есть общая вершина @но ни один из них не лежит в другомAD либо подграф на объединении их вершин снова связенF Назовем такой подграф выделенE нымF Число

(P ) равно числу выделенных подграфов в F Для четырех классических серий графEассоциаэдров мы имеемX
-imax ,2(i
max

+1)

ћ Пусть P = Asn есть nEмерный ассоциаэдрD n 3F Биградуированные числа Бетти многогранника P удовлетворяют соотношениям n + 3, если n четноY -q ,2(q +1) (P ) = n+3 , если n нечетноY
2



-i,2(i+1)

(P ) = 0 для i q + 1,

где q = q (n) определено такX

q = q (n) =



n(n+2) 4, (n+1)2 4,

если n четноY если n нечетноF

ћ Пусть P = C y n есть nEмерный циклоэдрD n числа Бетти многогранника P удовлетворяют 2n + 2, если n -q ,2(q +1) (P ) = n + 1, если n
-i,2(i+1)

3F Биградуированные соотношениям
четноY нечетноY

(P ) = 0 для i q + 1,
II


где q = q (n) определено такX

q = q (n) =



n(n+2)-2 , 2 (n+1)2 -2 , 2

если n четноY если n нечетноF

ћ Пусть P = P en есть nEмерный пермутоэдрD n 3F БиградуированE
ные числа Бетти многогранника P удовлетворяют соотношениям
-q ,2(q +1) -i,2(i+1)


где q = q (n) = 2
n+1

(P ) =

n+1 [ n+1 ] 2
]

(P ) = 0 для i q + 1,
]

-2

[

n+1 2

- 2[

n-1 2

+1

ћ Пусть P = S tn есть nEмерный стеллаэдрD n 3F Биградуированные числа Бетти многогранника P удовлетворяют соотношениям
-q ,2(q +1) -i,2(i+1)
n 2

(P ) =

n [n] 2
n+3 2

(P ) = 0 для i q + 1,
[
n+1 2

где q = q (n) = 2n - 2[

]

-2

]

+[

]F

PF Доказан критерий минимальной неголодовости колец граней для ряда важных классов простых многогранниковD таких как симплексы и их произведенияD четномерные двойственные к смежностным многогранниE киD а также простые многогранники с малым числом гиперганейF Пусть k ! полеF СкажемD что кольцо Стенли!Райснера k[P ] голодовскоеD если умножение и все высшие произведения Масси в его торEалгебре

= P A называется минимально неголодовскимD если оно не голодовскоеD но ограничение комплекса на все вершиныD кроме одной произвольнойD дает голодовское кольцо гранейF
P

тривиальны @над любым полем kAF Кольцо @или нервEкомплекс K

ћ ПоказаноD что усечения P = ским тогда и Это обобщает

кольцо Стенли!Райснера обобщенного многогранника

v ck (n1 Ч . . . Ч nr ) является минимально неголодовE только тогдаD когда либо r = 1, k 1D либо r = 2F результат Берглунда и Йолленбека PQ о минимальE
IP

ной неголодовости нервEкомплексов срезок симплексаF


ћ В классе четномерных смежностных многогранников P получен криE терий минимальной неголодовости их колец Стенли!РайснераX для минимальной неголодовости k[P ] необходимо и достаточноD чтобы P был отличен от симплексаF С помощью конструкции СFГитлера и СFЛопез де Медрано RV показаноD что в случае обобщенного мноE гогранника усечения с r = 2 моментEугол многообразие ZP дифE феоморфно связной сумме произведений сфер по P сферы в каждом
произведенииF

ћ В случае nEмерного простого многогранника P с m = n + 3 гиE пергранями доказан критерий минимальной неголодовости кольца
Стенли!РайснераF А именноD кольцо граней k[P ] минимально негоE лодовское тогда и только тогдаD когда многогранник P отличен от произведения Q симплексовF Последний случай изучен в разделе об обобщенных многогранниках усеченияF QF Вычислено кольцо целочисленных когомологий Z
P

для всех обобщенE

ных многогранников усечения P F Это обобщает результат о вычислении биградуированных чисел Бетти в работе НFТераи и ТFХиби USF В частE ностиD для биградуированных чисел Бетти многогранника P получен следующий результатF Пусть P есть (k ; n1 , . . . , nr )Eмногогранник с r 1F Обозначим через a число единичных элементов в наборе {n1 , . . . , nr }F Тогда биградуироE ванные числа Бетти многогранника P даются следующими формуламиX

(1 i k + r - 1, 1 < l < d - 1)F
@A @A
-i,2(i+l)

(P ) =
{ni1 ,...,nis }{n1 ,...,nr }: l=ni1 +...+n
is

k i-s

.

-i,2(i+1) k +r i

=k
@A
0,0

(P ) = -(k+r- -1 k - i+1 + a
-(m-d),2m

i),2(d+k +r-i-1) k i-1

(P ) =

.

(P ) =

(P ) = 1.
нулю

Остальные биградуированные числа Бетти равны
b c

@мы полагаем

= 0 при b < c илиD если одно из чисел отрицательноAF
IQ


RF ДоказаноD что свойство голодовости сохраняется при склейках симплиE циальных комплексов по общим симплексамF Это связано с топологичеE ским результатом ЕFГрбич и СFТерио о томD что результат склейки по общему симплексу двух комплексовD дающих гомотопические букеты сфер в качестве моментEугол комплексовD также дает @гомотопическиA букет сфер в качестве моментEугол комплексаF Доказано такжеD что есE ли многогранная сфера ! минимально неголодовский комплексD то она остается такой же после итерации пирамидальной надстройкиF

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характерF Полученные в диссертации реE зультаты представляют интерес для специалистов по торической и комбинаE торной топологииD теории многогранников и коммутативной алгебреF
Апробация диссертации

Результаты диссертации докладывались на следующих научноE исследоваE тельских семинарах и научных конференцияхX IF Семинар ?Алгебраическая топология и ее приложения? имF МF МF ПостE никова под руководством члFEкоррF РАН ВF МF БухштабераD профF АF ВF ЧерE навскогоD профF ИF АF ДынниковаD профF ТF ЕF ПановаD доцF ЛF АF Алания и доцF ДF ВF МиллионщиковаY кафедра высшей геометрии и топологии МеханикоEматематического факультета МГУ ! неоднократно с PHII по PHIR годY PF Семинар ?Дифференциальная геометрия и приложения? под руководE ством акадF РАН АFТFФоменкоY кафедра дифференциальной геометрии и приложений МеханикоEматематического факультета МГУ ! неодноE кратно с PHII по PHIR годY QF Семинар ?Геометрия в целом? под руководством профF ИF ХF СабитоваY кафедра математического анализа МеханикоEматематического факульE тета МГУ ! в PHIP годуY
IR


RF Семинар ?qeometry nd topology seminr? под руководством профF МFМасудыY Университет гFОсакаD Япония ! в PHII и PHIR годахY SF Семинар ?elgeri topology seminr? под руководством профF ЕFГрбич и профF СFТериоY Саутгемптонский университетD Великобритания ! в PHIR годуY TF Семинар ?opology seminr? под руководством профF НFРэяY МанчестерE ский университетD Великобритания ! в PHIR годуY UF Международная конференция ?Ломоносов PHII?D гF МоскваD IIEIS апреE ля PHII годаD МГУF VF РусскоEяпонская конференция ?Торическая топология в Осаке PHII?D гF ОсакаD ЯпонияD PUEQH ноября PHII годаF WF РусскоEяпонская конференция ?Торическая топология в Осаке PHIP?D гF ОсакаD ЯпонияD ITEIW ноября PHIP годаF IHF Международная конференция ?Ломоносов PHIQ?D гF МоскваD VEIP апреля PHIQ годаD МГУF IIF Международная конференция ?Алгебраическая топология и абелевы функE ции?D постерный докладD гF МоскваD IVEPP июня PHIQ годаF IPF Международная конференция ?Торические действияX топологияD геометE рия и теория чисел?D гF ХабаровскD PEU сентября PHIQ годаF IQF РусскоEяпонская конференция ?Торическая топология в Осаке PHIR?D гF ОсакаD ЯпонияD PIEPR января PHIR годаF IRF Международная конференция ?Ломоносов PHIR?D гF МоскваD UEII апреля PHIR годаD МГУF ISF Международная конференция ?IQEй Сербский Конгресс Математиков?D гF Врнячка БаняD СербияD PPEPS мая PHIR годаF ITF Международная конференция ?IVEй Геометрический Семинар?D гF ВрE нячка БаняD СербияD PSEPV мая PHIR годаF
IS


IUF сателлитная конференция Международного Конгресса Математиков в Сеуле ?Топология действий тора и приложения к геометрии и комбинаE торике?D гF ТэджонD республика КореяD UEII августа PHIR годаF IVF Международная конференция ?ГеометрияD топология и интегрируемость?D СколковоD PHEPU октября PHIR годаF
Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в V работах UWEVTD список которых приведен в конце диссертацииF
Структура и объем

Диссертация состоит из введенияD пяти глав и дополненияF Текст диссертаE ции изложен на IHU страницах и содержит I рисунокF Список литературы включает VT наименованийF
Содержание работы

Здесь мы кратко опишем структуру работыF Диссертация разбита на главыD главы " на разделыF ТеоремыD предложенияD примерыD замечания и тFдF нуE меруются в пределах разделаF В конце введения мы приводим список часто встречающихся обозначенийF
Глава 1. Обзор основных конструкций и понятий

В этой главе приведен обзор определений и известных результатовD которые используются в работеF Разделы IFI и IFP содержат общую информацию о симплициальных комплексахD выпуклых многогранникахD а также определеE ние и простейшие свойства моментEугол комплексов и полиэдральных степеE нейF ОпределенийD приведенных в этих разделахD достаточно для понимания глав P и Q диссертацииF В разделе IFQ приведены определение кольца Стенли! Райснера симплициального комплекса k[K ]D его торEалгебры Tor
IT
k[m]

(k[K ], k)


и биградуированных @алгебраическихA чисел Бетти

(K )F Показано такE жеD как связаны алгебраические числа Бетти комплекса @или простого многоE гранникаA с топологическими числами Бетти соответствующего моментEугол
-i,2j

пространстваF
Глава 2. Граф-ассоциаэдры, их кольца граней и момент-угол многообразия

В главе P вводится геометрический объект ! нестоэдр ! класс простых мноE гогранниковD получивший название обобщенных пермутоэдров в конце проE шлого века и объединивший в себе ряд классических многогранниковD таких как пермутоэдрD многогранник СташефаD многогранник Ботта!Таубса и дрF Их единообразное определение в терминах графического производящего мноE жества и сумм Минковского симплексов дается в разделе PFIF В следующем разделе доказывается точная оценка на число нулей в послеE довательности биградуированных чисел Бетти
-i,2(i+1)

D имеющихD благодаря

классическому результату Хохстера из гомологической алгебрыD естественE ное комбинаторноEгеометрическое описаниеF Кроме тогоD согласно результаE ту Теоремы RFQ SH

-i,2(i+1) (K ) есть мощность минимального набора мультипликативных образующих в алгебре Понтрягина H (ZK ; k) для всяE
кого флагового комплекса K F ГрафEассоциаэдры доставляют классическую серию простых флаговых многогранниковF В разделе PFQ доказываетсяD что кольцо целочисленных когомологий моментE угол многообразия в случае графEассоциаэдров на связном графе может соE держать произвольное кручениеD равно как и быть свободным от крученийF Также показываетсяD что в этих кольцах есть нетривиальные тройные произE ведения МассиF Случай несвязного графа получается из связногоD поскольку в этом случае графEассоциаэдр P является прямым произведением графE ассоциаэдровD соответствующих максимальным по включению связным подE графам в F

m-n i=1

IU


Глава 3. Обобщенные многогранники усечения, их кольца граней и момент-угол многообразия

Глава QD наряду с главой RD является центральной главой диссертацииF В разE деле QFI приведено исследование алгебраических чисел Бетти многогранниE ков усечения с точки зрения торической топологииD независимое от результаE тов НFТераи и ТFХиби USF Приведено также описание топологического типа моментEугол многообразий ZP D восходящее к статье ДFМакГаврана TQ @в терминах пересечений квадрик впервые у ФFБосио и ЛFМеерсманна PSAF В разделе QFP приводится описание колец когомологий моментEугол мноE гообразий Z
P

для произвольных обобщенных многогранников усеченияF В

частностиD из вычисления их алгебраических чисел Бетти следуетD что набор последних однозначно определяет топологический тип @но не комбинаторE ныйA моментEугол многообразия в этом классе многогранниковF НаконецD в разделе QFQ приводятся результаты о биградуированных чисE лах БеттиD позволяющие вычислять их для произвольных произведений обобE щенных многогранников усеченияD тем самым ставить вопрос о структуре их колец когомологий и топологических типах соответствующих моментEугол многообразийF Частичный ответ на эти вопросы дается в последующих глаE вахF
Глава 4. Минимально неголодовские симплициальные комплексы и их момент-угол комплексы

Глава R посвящена исследованию минимальной неголодовости колец Стенли! Райснера симплициальных комплексовF Раздел RFI содержит определения понятий голодовости и минимальной неголодовости кольца гранейD а также описание ИF ВF Баскаковым умножеE ния в H (ZP ) в терминах полных подкомплексовF В следующем разделе доказывается критерий минимальной неголодовости обобщенных многогранников усечения и приводятся примерыD когда удается явно указать топологический тип ZP F В разделе RFQ аналогично изучаются многогранники из класса четномерE ных @двойственноA смежностныхF Для них результаты RV дают нам описание
IV


гладкого типа ZP F Случай нечетномерных смежностных многогранников анаE логиченF Однако для топологических типов в этом случае мы имеем в той же работе только связную сумму тотальных пространств расслоений над сферой со слоем сфераF В последнем разделе этой главы изучаются простые многогранники с миE нимально возможными числами гиперграней n + 1 m n + 3F В этом случае доказывается двумя способами критерий минимальной неголодовости соотE ветствующих колец Стенли!РайснераD попутно мы используем связь с уже рассмотренным случаем четномерных циклических многогранниковD а также конструкцией подстановки комплексов в комплексD излагаемой в общем виде в Дополнении АF
Глава 5. Связные суммы произведений сфер как момент-угол комплексы

В главе S исследуется свойство сохранения минимальной неголодовости комE плексов при некоторых симплициальных операциях @раздел SFPAD а также приE водятся гомологическая @свойство ГолодаA и топологическая @связные сумE мы произведений сферA характеризации случая m = n + 3D рассматриваетE ся случай IEмерных симплициальных комплексовF В последнем разделе SFQ мы доказываемD что минимальная триангуляция CP 2 с W вершинами являE ется голодовским комплексомD свободным от кручений в гомологияхD но его моментEугол комплекс не гомотопически эквивалентен букету сферF
Дополнение А. Операции на симплициальных комплексах

В дополнении приведено определение полиэдральных операцийD введенное АFАFАйзенбергом I и независимо АFБариD МFБендерскиD ФFКоэном и СFГит! лером PID обобщающее операции джойна и толстого джойна на симплициE альных комплексахF Эта конструкция используется в главе R при работе с простыми многогранниками с числом гиперграней m = n + 3F Доказывается такжеD что свойство минимальной неголодовости комплекса K сохраняется при подстановке в него границ симплексов @операция подстановки в многоE гранникD симплициальный букетAF
IW


Соглашения и обозначения

ћ Все симплициальные комплексы имеют конечное множество вершинF ћ Мы не различаем абстрактные симплициальные комплексы и их геометE рические реализации тамD где это не вызывает путаницыF ТакD напримерD если K и L " два симплициальных комплексаD то запись K L ознаE чает гомотопическую эквивалентность геометрических реализаций этих
комплексовF

ћ Все многогранники предполагаются выпуклымиF ћ Буква m обозначает число вершин симплициального комплекса K или
число гиперграней простого многогранника P F

ћ [m] = {1, . . . , m} " множество из m элементовF Если J [m]D то символ J обозначает дополнительное подмножество [m] \ J F ћ Символ k обозначает основное полеF РезультатыD которые остаются верE ными при k = ZD специально оговариваютсяF ћ k[m] = k[v1 , . . . , vm ] " градуированная алгебра многочленовF ГрадуировE ка в алгебре многочленов четнаяX deg vi = 2F [u1 , . . . , um ] " внешняя алгебра от m переменныхD deg ui = 1F ћ Символ H (X ; k) обозначает сингулярные когомологии пространства X или симплициальные когомологии симплициального комплекса X F Если
поле k зафиксировано и понятно из контекстаD то будем для краткости писать H (X )F То же замечание относится к гомологиям H (X ) и их приведенным версиям H и H F

ћ Если [m] = I J " разбиение множества индексов на два подмножестваD а X, Y " топологические пространстваD то запись X I Ч Y J обозначает
пространство Z1 Ч . . . Ч Zm D где Zi = X D если i I и Zi = Y D если i J F

ћ Если компактная топологическая группа G действует на пространстве X D то эквивариантными когомологиями пространства X называются коE гомологии конструкции БореляX HG (X ; k) = H (E G ЧG X ; k)F
PH


Приведем теперь список основных обозначенийF

PI


|A| 2A BA BA R V (K ) KA n |K | Z2 F2 1 rk pt I S 1, D T S
m n 2

мощность множества AF множество всех подмножеств множества AF множество B содержится в множестве A и не совE падает с нимF множество B содержится в множестве A иD быть можетD совпадает с нимF множество неотрицательных вещественных чиселF множество вершин симплициального комплекса K F полный подкомплекс на множестве вершин A симE плициального подкомплекса K F

nEмерный симплекс без уточнения множества верE шинF геометрическая реализация симплициального комE плексаD либо частично упорядоченного множестваF
группа из двух элементов Z2 = Z/2ZF поле из двух элементовF ненулевой элемент поля F2 F ранг модуля или векторного пространства над kF точкаF отрезок [0, 1]F операция джойна топологических пространствD симE плициальных комплексов или многогранниковF единичная окружность и круг в CF компактный mEмерный торD T
m

(S 1 )m F =

nEмерная сфераF гомотопическая эквивалентностьF

PP


Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю дFфFEмFнFD профессору Тарасу Евгеньевичу Панову за постановку задачD за неоценимую помощь и советы на всех этапах написания работыF Автор благоE дарен члFEкоррF РАНD профессору Виктору Матвеевичу Бухштаберу за постоE янный интересD советы и многочисленные обсужденияF КFфFEмFнF АF АF Айзен! берга и кFфFEмFнF НF ЮF Ероховца автор благодарит за полезные обсуждения и помощь при подготовке диссертацииF Автор глубоко признателен всему колE лективу кафедры высшей геометрии и топологии МеханикоEматематичекого факультета МГУ за творческую атмосферуD постоянную поддержку и внимаE ниеF

PQ


Глава 1

Обзор основных понятий и конструкций

1.1

Симплициальные комплексы и простые многогранники

Здесь мы сформулируем определения и основные комбинаторноEгеометрические свойства симплициальных комплексов и простых многогранниковF Пусть V " конечное множествоF
Определение 1.1.1.

(Абстрактным) симплициальным комплексом мы бу-

дем называть такое множество K подмножеств V , что вместе с каждым подмножеством I K множество K содержит все подмножества множества I . В таком случае элементы K называются симплексами симплициального комплекса K .
Если некоторая вершина @одноэлементное подмножествоA не является симE плексомD то назовем ее призрачной F Будем предполагатьD что симплициальE ные комплексы не имеют призрачных вершинD если не оговорено противноеF Иными словамиD будем предполагатьD что {i} K для всех вершин i V F СитуацииD когда возникают симплициальные комплексы с призрачными верE шинами будут специально оговариватьсяF Множество вершин симплициальE ного комплекса K обозначим через V (K )F Таким образомD все симплициальE ные комплексы у нас имеют конечное множество вершинX V (K ) = [m] =

{1, 2, . . . , m}F
Для произвольного подмножества J [m] символ |J | обозначает мощE ность множества J F В частностиD определена мощность |I | любого симплекса

I K D которая равна количеству вершин симплексаF Размерностью dim I
PR


симплекса I K называется число |I | - 1F Таким образомD имеем dim = -1F Размерность симплициального комплекса определяется естественным обраE зом dim K = max{dim I | I K }F Если J [m]D то символом J мы будем обозначать дополнительное мноE жествоX J = [m] \ J F Если L и K " два симплициальных комплексаD V (L)

V (K ) и из условия I L следует I K D то L называется подкомплексом симплициального комплекса K F
Определение 1.1.2.

Пусть K симплициальный комплекс на множестве

вершин [m]. Линком симплекса J K называется подкомплекс linkK J =

{I K | I J = , I J K } на множестве вершин V (linkK J ) = {i K | i J, {i} J K }. Звездой симплекса J K называется подкомплекс / starK J = {I K | I J K } на множестве вершин V (starK J ) = {i K | {i} J K }. Джойном симплициальных комплексов K1 и K2 называется симплициальный комплекс K1 K2 на множестве вершин V (K1 ) V (K2 ), симплексы которого имеют вид {I1 I2 | I1 K1 , I2 K2 }.
Важнейшим для дальнейших рассмотрений является следующее понятие полного подкомплекса в комплексе K F
Определение 1.1.3.

Пусть K симплициальный комплекс на множестве

вершин [m] и J [m]. Полным подкомплексом KJ на множестве вершин J называется симплициальный комплекс KJ = {I K | I J }.
В свете сказанного вышеD символ KJ обозначает полный подкомплекс на дополнении к множеству вершин J F Таким образомD KJ получается из комE плекса K отбрасыванием всех симплексовD содержащих хотя бы одну вершину из множества J F ЗаметимD чтоD если K " чистый @тFе все максимальные симплексы имеют одинаковую размерностьA симплициальный комплекс размерности n и I

K D то linkK I является чистым симплициальным комплексом размерности n - |I | = n - dim I - 1F
Определение 1.1.4.

Пусть K и N симплициальные комплексы на мно-

жествах вершин V (K ) и V (N ) соответственно. Симплициальным отображением f : K N называется такое отображение f : V (K ) V (N ),
PS


что f (I ) N , если I K . Невырожденным симплициальным отображением называется такое симплициальное отображение f : K N , что для всякого симплекса I K выполнено |f (I )| = |I |.
Таким образомD невырожденное отображение переводит симплексы в симE плексы той же размерностиF Очевидным образом определяется композиция двух симплициальных отображенийF Композиция невырожденных отображеE ний является невырожденным отображениемF Если f : K L " отображениеD для которого существует обратноеD то f называется изоморфизмом симплициальных комплексовF ИзоморфизмD очеE видноD является невырожденным отображениемF Мы не будем различать изоE морфные симплициальные комплексы и считаем их равнымиF Приведем теперь основные конструкции и определения из теории выпукE лых многогранниковF Подробный обзор этих конструкций вместе с доказаE тельствами корректности определений можно найти в монографиях SPD UVF
Определение 1.1.5.

Выпуклым многогранником называется пересечение

конечного числа полупространств в Rn , являющееся ограниченным множеством. Пусть

P = {x Rn | ai , x + b
многогранник, заданный системой

i

0}
неравенств.

@IFIFIA

аффинных

Здесь

ai Rn , i = 1, . . . , m нормальные векторы к гиперграням многогранника, bi R.
Мы предполагаемD что среди неравенств в выражении @IFIFIA нет лишнихD тFеF подмножество

Fj = P {x | aj , x = bj }
является гипергранью многогранника @гранью коразмерности IAF Также предE полагаетсяD что многогранник имеет размерность nD совпадающую с размерE ностью объемлющего евклидова пространстваF Всевозможные пересечения гиперграней задают грани многогранникаY чаE стично упорядоченное множество непустых граней многогранника P D пополE ненное самим многогранником P D будем обозначать P F Если два многогранниE ка имеют изоморфные частично упорядоченные множества гранейD то такие многогранники называются комбинаторно эквивалентными F
PT


Для выпуклого многогранника P Rn можно определить полярное мноE жество P

(Rn ) по правилу P = {l (Rn ) | l, x -1 для всех x P }F Если 0 лежит во внутренности многогранника P D то P являетE


ся выпуклым многогранникомF Кроме тогоD в этом случае частично упоряE доченное множество собственных граней многогранника P изоморфно чаE стично упорядоченному множеству собственных граней многогранника P с обращенным порядкомF Многогранник P называется двойственным к P мноE гогранникомF Отношение двойственности является корректно определенным на классах комбинаторной эквивалентности многогранников UVD SPF @КомбинаторныйA многогранник P
n

называется простым D если каждая

его вершина содержится ровно в n гипергранях @отсюда следуетD что каждая

iEмерная грань содержится в n-i гиперграняхAF @КомбинаторныйA многогранE ник P называется симплициальным D если каждая его собственная грань явE ляется симплексомF Двойственным к простому многограннику является симE плициальный многогранник и наоборотF
На множестве всех @комбинаторныхA многогранников также определены следующие операцииF
Определение 1.1.6.

(1) Произведением многогранников P1 R

n

1

и P2

Rn2 называется декартово произведение P1 Ч P2 Rn1 +n2 . (2) Расположим многогранники P1 , P2 в скрещивающихся аффинных плоскостях и рассмотрим их выпуклую оболочку. Полученный многогранник P1 P2 размерности

n1 + n2 + 1 называется джойном многогранников P1 и P2 .
Определение 1.1.7

@связная суммаA. Пусть P n и Qn простые многогран-

ники, у которых фиксированы вершины v P, w Q и порядки гиперграней в этих вершинах. Выберем проективные преобразования, переводящие выбранные вершины на бесконечность так, чтобы у получившихся многогранников выбранные гиперграни образовали бесконечный цилиндр с одинаковым ортогональным сечением симплексом n-1 . Отрежем получившиеся цилиндры ортогональными плоскостями и склеим оставшиеся многогранники по общему симплексу n
-1

в соответствии с порядками гиперграней. По-

лучившийся многогранник называется связной суммой многогранников P и

Q. Вообще говоря, он зависит от геометрических реализаций многогранников, выбора преобразований и срезки, но комбинаторный тип определяется
PU


только комбинаторными многогранниками P и Q, вершинами v и w и порядками гиперграней в них. Обозначим комбинаторный тип связной суммы через P #v,w Q. Если выбор определяется контекстом или же результат не зависит от этого выбора, то будем использовать сокращенное обозначение

P #Q. Qn2 имеет размерность n1 + n2 + 1 и его грани являE ются джойнами граней многогранников P и QF ОтметимD что в этом случае
n
1

Многогранник P

допускаются грани G и F F Для джойнов удобно считать гранью многогранникаD а в случае операции прямого произведения удобно рассматE ривать только непустые граниF
Пример 1.1.8.

Имеем n = pt n-1 F Таким образом n = pt pt ћ ћ ћ ptF
n+1

Определение 1.1.9

@флаговый многогранникA. Простой многогранник P
i

называется флаговым, если любой набор его гиперграней Fi1 , . . . , Fik , которые попарно пересекаются: Fis F
t

= , имеет непустое пересечение:

Fi1 ћ ћ ћ Fik = . Простой многогранник P называется k -флаговым, если любой набор его гиперграней, из которых любые k пересекаются, имеет непустое пересечение.
Введенные операции корректно определены на комбинаторных многогранE никахF НапримерD это следует из описания частично упорядоченных мноE жеств граней многогранников P1 Ч P2 и P1 P2 F Важность операции джойE на и связь двух рассмотренных операций была подробно изучена в работах ВF МF Бухштабера и НF ЮF Ероховца VD WF Произведение простых многогранников и любая грань простого многогранE ника являются снова простыми многогранникамиF Если P " простой многоE гранникD тоD как уже отмечалось вышеD двойственным к нему будет симплиE циальный многогранник P F Граница P является симплициальной сферойF Если P имеет m гипергранейD то двойственный многогранник P имеет m вершинF ЗначитD симплициальный комплекс P также имеет m вершинF

Определение 1.1.10.

Определим симплициальный комплекс K
P

P

на мно-

жестве [m] следующим образом: {i1 , . . . , ik } K
PV

тогда и только тогда,


когда Fi1 . . . Fik = в многограннике P . Симплициальный комплекс K назовем нерв-комплексом многогранника P .
Предложение 1.1.11.

P

Если dim K

P

= dim P - 1, то многогранник P

простой.
Доказательство очевидно из определенияF
Предложение 1.1.12.

Если P простой многогранник, то симплициаль-

ный комплекс KP изоморфен комплексу P .
Доказательство вытекает из определения двойственного симплициального многогранникаF
Лемма 1.1.13.

Пусть P1 и P2 произвольные многогранники. Тогда, если

оба многогранника не равны точке, то

K

P1 Ч P

2

=K

P

1

K P2 .

Доказательство этого утверждения следует из описания гиперграней мноE гогранников P1 Ч P2 и определения комплекса KP F Гиперграни прямого проE изведения P1 Ч P2 имеют вид F1 Ч P2 , . . . , F

Ч P2 , P1 Ч F1 , . . . , P1 Ч Fm2 D где F1 , . . . , Fm1 " гиперграни многогранника P1 D а F1 , . . . , Fm2 " гиперграни многогранника P2
m1
Замечание 1.1.14.

Каждому рациональному многограннику P можно соE

поставить нормальный веер P и соответствующее этому вееру торическое многообразие X
P

@смF RTD RHAF Имеется конструкция Батырева!Кокса QWD
P

описывающая многообразие X

как категорный фактор дополнения к коE
P

ординатной конфигурации Cm \ A ника P F По определению

по действию некоторой алгебраической

подгруппы тора (C )m F ЗдесьD как и ранее m " число гиперграней многогранE

AP = {(z1 , . . . , zm ) Cm | для каждого конуса I P :
iI /

zi = 0}

Для точки z = (z1 , . . . , zm ) C Тогда z A
P

m

положим (z ) = {i [m] | zi = 0}F

в том и только том случаеD когда (z ) не является подмноE
PW

жеством одномерных конусов никакого конуса I P D что эквивалентно


условию

Fi = F Значит z AP (z ) KP F Следовательно / z Cm \ AP (z ) KP F Таким образом дополнение до координатной конфигурации Cm \ AP совпадает с пространством ZKP (C, C )F
i (z )

1.2

Момент-угол многообразия и полиэдральные степени

Основным объектом нашего исследования будет простой nEмерный многоE гранник P F Каждой его гиперграни Fi F соответствует одномерная коорE динатная подгруппа T
Fi

в торе
i1

TF = T

m

= {(e2

,...,e

2 im

) Cm , i R}

Rm /Zm .
G

Грани G сопоставим координатную торическую подгруппу T щую q D то есть G(q ) =
Fi q
Определение 1.2.1.

= Fi G T Fi F Для каждой точки q P обозначим через G(q ) наименьшую граньD содержаE Fi D если q P и G(q ) = P D если q intPF

Пусть P n простой многогранник. Момент-угол мно-

гообразием называется факторпространство

ZP = (T F Ч P n )/
где (t1 , p) (t2 , q ) p = q и t1 t
На пространстве Z
P -1 2

T

G(p)

.

имеется каноническое действие тора T m D индуцироE
m

ванное очевидным действием тора T стабилизатор точки [(t, q )] есть T
G(q )

на T

m

Ч P n F При этом ZP /T

m

=P и

F

Легко видетьD что эквивариантный топологический тип моментEугол мноE гообразия зависит только от комбинаторного типа многогранникаF Из опреE деления легко получить следующее утверждениеF
Предложение 1.2.2.

Имеет место эквивариантный гомеоморфизм

Z

P ЧQ

ZP Ч ZQ .

Пусть P Rn " многогранник размерности n с m гипергранямиD заданный выражением @IFIFIAF Рассмотрим аффинное отображение jP : Rn Rm D
QH


jP (x) = (y1 , . . . , ym ), где yi = ai , x + bi .

@IFPFIA

Образ многогранника при этом вложении лежит в неотрицательном коE нусе Rm F Более тогоD имеем jP (P ) = jP (Rn ) Rm D а отображение jP имеет максимальный рангD равный nF Значит образ многогранника задается как пеE ресечение nEмерной плоскости с неотрицательным конусомF Плоскость jP (Rn ) зададим системой m - n аффинных уравненийX

jP (Rn ) = {y = (y1 , . . . , ym ) Rm | | cj 1 y1 + cj 2 y2 + . . . + cj m ym = dj ; j = 1, . . . , m - n}. @IFPFPA
Тогда пространство ZP может быть определено как обратный образ в следуE ющей диаграммеX

Z

p

/

C
ч /

m

@IFPFQA

P

j

P

R

m

то есть ZP = ч-1 (jP (P ))F Вертикальная стрелка есть отображение моментовD которое задается формулой ч : (z1 , . . . , zm ) (|z1 |2 , . . . , |zm |2 )F Пространство

ZP называется момент-угол пространством многогранника P QQD PF Согласно @IFPFPA имеем ZP = {z = (z1 , . . . , zm ) Cm | | cj 1 |z1 |2 + cj 2 |z2 |2 + . . . + cj m |zm |2 = dj ; j = 1, . . . , m - n}, @IFPFRA
то есть моментEугол пространство ZP задается как пересечение вещественных квадрик в Cm F На пространстве C тора T
m m

определено каноническое покоординатное действие

= {(t1 , . . . , tm ) | ti C, |ti | = 1}X (t1 , . . . , tm )(z1 , . . . , zm ) = (t1 z1 , . . . , tm zm ).

ФакторEпространством Cm /T пространство Z
P

m

является неотрицательный конус Rm F ПодE
m

инвариантно относительно указанного действия тораF ТаE на пространстве

ким образомD определено каноническое действие тора T

ZP F Из диаграммы @IFPFQA видноD что фактором этого действия является сам многогранник P F
QI


Аналогичным образом вещественное моментEугол пространство R Z P опреE деляется как обратный образ в соответствующей диаграммеD то есть R Z ный аналог отображения моментовX чR : (z1 , . . . , zm ) (|z1 |2 , . . . , |zm |2 )F Согласно @IFPFPA имеем
R

= - чR 1 (jP (P ))F Вертикальная стрелка в этой диаграмме обозначает вещественE
P

Z P = {z = (z1 , . . . , zm ) Rm | | cj 1 |z1 |2 + cj 2 |z2 |2 + . . . + cj m |zm |2 = dj ; j = 1, . . . , m - n}, @IFPFSA

то есть моментEугол пространство R Z

P

задается как пересечение квадрик в

Rm F На пространстве Rm определено каноническое действие группы Zm покоE 2 ординатными инволюциямиX (1 , . . . , m )(z1 , . . . , zm ) = (1 z1 , . . . , m zm ).
ФакторEпространством Rm /Zm также является неотрицательный конус Rm F 2 Подпространство R Z на пространстве многогранник P F
Пример 1.2.3.

P

инвариантно относительно указанного действия этих

инволюцийF Таким образомD определено каноническое действие группы Zm 2
R

Z P F ФакторEпространством этого действия является сам

Пусть

n

Rn " nEмерный выпуклый симплексD заданный

неравенствами
n

= {(x1 , . . . , xn ) Rn | x

i

0, x1 + . . . + xn

1}.
n

Всего имеется m = n + 1 гиперграней и определено отображение j

: Rn

R

n+1

D заданное согласно @IFPFIA формулой

j
Плоскость

n

((x1 , . . . , xn )) = (x1 , . . . , xn , 1 - x1 - . . . - xn ). Rn+1 задается единственным уравнениемX Rn+1 | y1 + . . . + yn+1 = 1}F Таким образомD |z1 |2 + . . . + |zn+1 |2 = 1} S 2n+1 иD аналогичноD = 2 2 | |z1 | + . . . + |zn+1 | = 1} S n F =
QP

j n (Rn ) j n (Rn ) = {(y1 , . . . , yn+1 ) Z n = {(z1 , . . . , zn+1 ) Cn+1 | n+1 R Z n = {(z1 , . . . , zn+1 ) R


Теорема 1.2.4

@Бухштабер!Панов QQA. Если P простой многогранник,

то пересечения квадрик в выражениях @IFPFRA и @IFPFSA невырождены. Пространство ZP является гладким (m + n)-мерным подмногообразием в Cm с тривиальным нормальным расслоением, а пространство R Z P гладким nмерным подмногообразием в R Действие тора T
m m

с тривиальным нормальным расслоением.

на R Z

P

является гладким.

Теория моментEугол пространств возникла в работе Дэвиса и ЯнушкиE евича RP и получила дальнейшее развитие в работах ВF МF Бухштабера и ТF ЕF Панова IIDQQDIQF Во всех этих работах исследовался случай простых многогранниковD который является наиболее важным для торической тополоE гииF Невырожденные пересечения квадрик типа @IFPFRA исследовались с точки зрения комплексной геометрии в работах Босио и Меерсмана PSF КонструкE ция @IFPFQA для простых многогранников была предложена в работе QQ и в связи с теоремой IFPFR моментEугол пространства назывались моментEугол многообразиямиF С другой стороныD как обобщение этих конструкцийD в работе P было предложено рассмотреть конструкцию @IFPFQA в том числе и для непростых многогранниковF В этой ситуации пространства ZP и R Z странствоF В RP показаноD что эквивариантный топологический тип моментEугол проE странства зависит от комбинаторного типа многогранникаD но не зависит от его конкретной геометрической реализации @IFIFIAD и потому корректно опреE делен для комбинаторного многогранникаF Рассмотрим теперь общую конструкцию полиэдральной степени @или K E степениAF Каждому симплициальному комплексу K и паре топологических пространств Y X можно сопоставить новое топологическое пространство
P

уже не являются

многообразиямиD поэтому для них был предложен термин моментEугол проE

ZK (X, Y )F В литературе встречаются различные названия этого пространE
стваX K EстепеньD обобщенный моментEугол комплексD полиэдральная степень и различные обозначенияF
Определение 1.2.5.

Пусть (X, Y ) топологическая пара, Y X , а K
m

симплициальный комплекс на множестве [m]. Для каждого симплекса

I K определим подмножество (X, Y )I = Z1 Ч Z2 Ч . . . Ч Z
QQ

X m , где


Zi = X , если i I , и Zi = Y , если i I . Тогда полиэдральной степенью / пары (X, Y ) называется пространство ZK (X, Y ) =
I K

(X, Y )I X m .

Наиболее важными для торической топологии примерами полиэдральных степеней являются моментEугол комплексыF
Определение 1.2.6.

Момент-угол комплексом симплициального комплекса

K называется пространство ZK (D2 , S 1 ). Вещественным момент-угол комплексом симплициального комплекса K называется пространство ZK (D1 , S 0 ).
Предложение 1.2.7

@IQA. Имеет место эквивариантный гомеоморфизм

Z

P

ZKP .
Пусть симплициальный комплекс K " граница треугольниE
2 2 (D 2 5

Пример 1.2.8.

ка 2 F Тогда Z

, S 1 ) = (D2 Ч D2 Ч S 1 ) (D2 Ч S 1 Ч D2 ) (S 1 Ч D2 Ч D2 ) = (D2 Ч D2 Ч D ) = S F АналогичноD Z 2 (D1 , S 0 ) = (D1 Ч D1 Ч D1 ) S 2 F =
Диск D2 можно рассматривать как единичный диск в CF Каноническое дейE ствие окружности T

= {t C | |t| = 1} на CD очевидноD сохраняет едиE ничный дискF Таким образомD на топологической паре (D2 , S 1 ) естественным образом определено действие окружностиF Это действие индуцирует покоE
1

ординатное действие тора T

m

на полидиске (D2 )m F Нетрудно видетьD что
m

пространство ZK (D2 , S 1 ) (D2 )m инвариантно относительно этого покоE ординатного действияF Таким образом определено действие тора T пространстве ZK (D2 , S 1 )F
Пример 1.2.9.

на

Пусть как и ранее K = 2 F Поскольку пара точек {1, 2}

является симплексом комплекса K D то точка (0, 0, 1) D2 Ч D2 Ч S 1 леE жит в пространстве ZK (D2 , S 1 )F С другой стороныD стабилизатором этой точки относительно покоординатного действия тора T 3 является подгруппа

T 1 Ч T 1 Ч {1} T 3 F Это наблюдение показываетD что действие не является свободнымF
Аналогично определяется действие группы Zm на вещественном моментEугол 2
QR


комплексеF Группа Z

m 2

действует покоординатными инволюциями на кубе

(D1 )m D при этом подмножество ZK (D1 , S 0 ) (D1 )m инвариантно относиE тельно этого действияF ЗначитD определено действие R группы Zm на проE 2
странстве ZK (D1 , S 0 )F Это действие также не является свободнымF Исторически понятия моментEугол пространств многогранников и моментE угол комплексов симплициальных комплексов появились одновременно в свяE зи со следующим результатомF
Теорема 1.2.10

@Бухштабер!Панов IID QQA. Пусть P простой много

гранник с m гипергранями, а P гда многообразие Z
P

симплициальный комплекс, являю-

щийся границей двойственного к P симплициального многогранника. Тоэквивариантно гомеоморфно момент-угол комплексу

Z P (D2 , S 1 ) относительно действия тора T m . Многообразие R Z P эквивариантно гомеоморфно комплексу Z P (D1 , S 0 ) относительно действия группы Zm . 2
В качестве следствия получаемD что для простого многогранника P моментE

(D2 , S 1 ) и Z P (D1 , S 0 ) являются замкнутыми топологиE ческими многообразиямиF Верен также более общий результатX пространства ZK (D2 , S 1 ) и ZK (D1 , S 0 ) являются замкнутыми топологическими многообE разиямиD если K " симплициальная сфера IID Лемма QFPFPF
P


угол комплексы Z

При помощи общего определения полиэдральной степени можно задавать дополнения к конфигурациям координатных подпространствF Пусть K " симплициальный комплекс на множестве [m]F Каждому множеству J [m] сопоставим координатное подпространство LJ = {(z1 , . . . , zm ) C координатных пространств
m

| zi = 0

при i J }F Симплициальному комплексу K сопоставлена конфигурация

LJ F Несложно проверитьD что дополнение Cm \ J K LJ совпадает с полиэдральной степенью ZK (C, C )F На пространE / стве ZK (C, C ) покоординатно действует компактный тор T m F Согласно IPD
J K /

Лемма PFIQD дополнение к координатной конфигурации ZK (C, C ) эквивариE антно гомотопически эквивалентно моментEугол комплексу ZK (D2 , S 1 )F

QS


1.3

Кольца Стенли-Райснера

В этом разделе приведены основные определения из комбинаторной коммуE тативной алгебрыD используемые для исследования комбинаторики симплиE циальных комплексов и ассоциированных с ними пространствF Пусть k " основное полеF Некоторые результаты этой работы верны при

k = ZD но эти случаи будут оговариваться отдельноF В тексте предполагаE етсяD что все алгебры и модули градуированы целыми числами и конечноE порожденыF Алгебры являются @градуированноA коммутативными и связныE миD то есть A0 kF =
Пусть K " симплициальный комплекс на m вершинахD dim K = n - 1F Обозначим через k[m] = k[v1 , . . . , vm ] градуированную алгебру многочленов от m переменных с коэффициентами в k и градуировкой deg vi = 2F
Определение 1.3.1

@Алгебра Стенли!РайснераA. Алгеброй СтенлиРайсR

нера называется факторалгебра k[m]/IS R , где IS здесь попарно различны).

идеал, порожденный
k

мономами без квадратов vi1 . . . vik при {i1 , . . . , ik } K (индексы i1 , . . . , i /

Кольца Стенли!Райснера являются удобным и хорошо изученным средE ством для исследования комбинаторики симплициальных комплексовF СоE гласно теореме Брунса!Губеладзе PV симплициальный комплекс однозначно определяется своим кольцом Стенли!РайснераF Иными словамиD если сущеE ствует изоморфизм алгебр k[K ] k[L] @не обязательно сохраняющий градуE = ировкуAD то симплициальные комплексы K и L изоморфныF Алгебры Стенли!Райснера возникают естественным образом также в топоE логии как алгебры эквивариантных когомологий моментEугол комплексовF
Теорема 1.3.2

@Теорема Дэвиса!Янушкиевича RPD hFRFVA. Пусть K

симплициальный комплекс на множестве [m], а k поле, либо кольцо Z. Тогда имеет место изоморфизм градуированных алгебр
HT m (ZK (D2 , S 1 ); k) k[K ]. =

Кольца Стенли!Райснера также позволяют описывать неэквивариантные когомологии моментEугол комплексовD что составляет содержание оставшейся части этого параграфаF
QT


Естественное отображение проекции p : k[m] k[K ] снабжает алгебру

k[K ] структурой градуированного k[m]EмодуляF Пусть M " градуированный конечноEпорожденный модуль над градуироE
ванной коммутативной конечноEпорожденной связной алгеброй A над полем

kF Рассмотрим свободную резольвенту ... R
в которой R
-i -i

... R

-1

R0 M 0,

@IFQFIA

является свободным градуированным модулем над алгеброй

AF Пусть N " другой градуированный AEмодульF Применяя функтор A N к цепному комплексу ... R
получим цепной комплекс
-i

... R

-1

R 0 0,

@IFQFPA

... R

-i

A N . . . R

-1

A N R0 A N 0,
-i,j A

@IFQFQA

градуированных AEмодулейF Градуированный модуль (-i)Eх когомологий поE лученного комплекса обозначается Tor-i (M , N ) = A биградуированный модуль TorA (M , N ) =
i,j j

Tor

(M , N )F СтанE

дартная теорема гомологической алгебры @смFD напримерD TIA гласитD что

Tor

-i,j A

(M , N ) не зависит от выE

бора свободной резольвенты @IFQFIAF Нас будет интересовать частный случай этой конструкцииD когда A =

k[m]D M = k[K ] " модуль Стенли!РайснераD а N = kD где поле k снабжеE но структурой k[m]Eмодуля при помощи естественной сюръекции k[m] kD vi 0F Для k[m]Eмодуля k[K ] в таком случае определен TorEмодульX
m

Tor

, k[m]

(k[K ], k) =
i,j =0

Tor

-i,2j k[m]

(k[K ], k),

где градуировка 2j индуцирована четной градуировкой в модуле Стенли! РайснераD а градуировка -i соответствует членам резольвентыF Известная теорема гомологической алгебры TI утверждаетD что
TorA, (M , N ) TorA, (N , M ). =

(k[K ], k) Tor,[ ] (k, k[K ])F У k[m]Eмодуля k имеется = km каноническая резольвентаD называемая резольвентой КошуляF Ниже привеE ден обзор этой конструкцииF
Таким образомD Tor
, k[m]

QU


Рассмотрим внешнюю kEалгебру [u1 , . . . , um ] от образующих степени 1D которая определена соотношениями u2 = 0 и ui uj = -uj ui F Превратим тенE i зорное произведение E
m

= [u1 , . . . , um ] k[v1 , . . . , vm ] в биградуированную

дифференциальную алгебруD полагая

bideg ui = (-1, 2),

bideg vi = (0, 2),

dui = vi ,

dvi = 0,

@IFQFRA

и требуяD чтобы дифференциал d удовлетворял градуированному тождеству ЛейбницаF Дифференциальная биградуированная алгебра [Em , d] определяет коцепной комплекс k[m]Eмодулей

0 m [u1 , . . . , um ] k[v1 , . . . , vm ] . . . . . . 1 [u1 , . . . , um ] k[v1 , . . . , vm ] k[v1 , . . . , vm ] k 0, @IFQFSA
где i [u1 , . . . , um ] " подпространство в [u1 , . . . , um ]D порожденное мономами длины iF Утверждается @смFD напримерD IQD КонстрFQFIQA что коцепной комE плекс @IFQFSA является точной последовательностью свободных k[m]EмодулейD а значит является свободной резольвентой k[m]Eмодуля kF Резольвента @IFQFSA называется резольвентой КошуляF
d d

d

(k, k[K ]) H , (([u1 , . . . , um ] k[m]) k[m] k[K ], d) = = H , ([u1 , . . . , um ] k[K ], d)F Таким образомD Tor,[ ] (k[K ], k) является биграE km
Имеем Tor
, k[m]

дуированной

алгебройD

изоморфной

биградуированной

алгебре

H , ([u1 , . . . , um ] k[K ], d)D дифференциал и градуировка которой опредеE , лены равенствами @IFQFRAF Биградуированная алгебра Tork[m] (k[K ], k) назыE вается TorEалгеброй симплициального комплекса K F
Опишем клеточную структуру на ZK F Пусть K " симплициальный комE плекс на множестве [m]F Рассмотрим клеточную структуру на паре (D2 , S 1 )D состоящую из нульмерной клетки c0 D одномерной клетки c1 и двумерной c2 F Эта клеточная структура индуцирует клеточную структуру на полидиске

(D2 )m и его подмножестве ZK (D2 , S 1 )F Общая клетка комплекса ZK (D2 , S 1 ) имеет вид 1 Ч . . . Ч m , @IFQFTA
где i = c0 , c1 либо c2 D причем {i [m] | i = c2 } K F Чтобы задать обE щую клетку комплекса ZK (D2 , S 1 ) необходимо указать на каких позициях
QV


в @IFQFTA стоят клетки c2 D а на каких " c1 F Пусть I K и J [m]D приE чем J I = F Определим клетку c(I , J ) = 1 Ч . . . Ч m D где i = c2 при

i I D i = c1 при i J и i = c0 при i I /

J F Все клетки моментEугол

комплекса ZK (D2 , S 1 ) описываются таким образомF Пусть C (ZK (D2 , S 1 )) " коцепной комплекс над полем kD индуцированный указанным клеточным разбиениемF Снабдим этот коцепной комплекс двойной градуировкойD задав ее на образующих bideg c(I , J ) = (-|J |, 2|I | + 2|J |)D где c(I , J ) " коцепьD двойственная к клетке c(I , J )F Можно проверитьD что стандартный когомолоE гический дифференциал является однородным бистепени (1, 0)D значит такая двойная градуировка индуцирует двойную градуировку на кольце когомолоE гийX H
,

(ZK (D2 , S 1 ); k)F
@Бухштабер!Панов IQD ТеорFVFTA. Пусть K симплициаль-

Теорема 1.3.3

ный комплекс на m вершинах, а k поле или кольцо Z. Тогда имеет место изоморфизм биградуированных алгебр

H , (ZK (D2 , S 1 ); k) Tor =
Определение 1.3.4.

, k[m]

(k[K ], k).

Определим биградуированные числа Бетти симпли-i,2j k[m]

циального комплекса K как



-i,2j

(K ) = rkk Tor

(k[K ], k) = rkk H
-i, k[m]

-i,2j

(ZK (D2 , S 1 ); k).
j

Определим также -i (K ) = rkk Tor
Замечание 1.3.5.

(k[K ], k) =



-i,2j

(K ).

Вообще говоряD биградуированные числа Бетти симплиE

циального комплекса зависят от основного поляF Мы не используем запись
- k i,2j (K ) ввиду ее громоздкостиF Далее в работе везде предполагаетсяD что числа Бетти рассматриваются над фиксированным полем kF

Для биградуированных чисел Бетти верно следующее утверждение IQD ЛемE ма VFIQF
Предложение 1.3.6.

Пусть K непустой симплициальный комплекс с

m вершинами размерности n - 1. Тогда 1) -i,2j (K ) = 0 при j > m или i > j ; 2) -i,2j (K ) = 0 при i j > 0 или j - i > n; 3) 0,2j (K ) = 0 при j > 0; 0,0 (K ) = 1
QW


Теорема 1.3.7

@ХохстерA. Имеет место формула



-i,2j

(K ) =
J [m],|J |=j

rkk H

j -i-1

(KJ ; k),

где KJ полный подкомплекс в K на множестве вершин J . Здесь принято соглашение H
-1

(; k) = k.

Первое доказательство этой формулы содержится в работе SR и используE ет комбинаторную и алгебраическую техникуF ВF МF Бухштабером и ТF ЕF Пановым IQ было дано другое доказательство этой формулыD а Баскаковым QD ТеорFID кроме тогоD было описано умножение в TorEалгебре комплекса K в терминах топологии полных подкомплексов комплекса K F
Определение 1.3.8.

Определим биградуированные числа Бетти многогран-

ника P соотношением



-i,2j

(P ) =

-i,2j

(KP ).

Имеется формулировка теоремы Хохстера IFQFU для многогранниковF
Предложение 1.3.9

@Теорема Хохстера для выпуклых многогранниковA.

Пусть F1 , . . . , F

m

гиперграни многогранника P . Тогда


где FJ =

-i,2j

(P ) =
J [m],|J |=j

rkk H

j -i-1

(FJ ; k),

iJ

Fi P . Здесь и далее принято соглашение rk H -1 (; k) = 1.

Доказательство. Из определения и формулы Хохстера для симплициальных
комплексов получаем



-i,2j

(P ) =

-i,2j

(KP ) =
[m],|J |=j

rkk H

j -i-1

((KP )J ; k).

УтверждаетсяD что симплициальный комплекс (KP )J гомотопически эквиваE лентен пространству FJ F ДействительноD имеем локально стягиваемое покрыE тие пространства FJ =

Fi P подмножествами Fi F Легко видетьD что нервом этого покрытия является симплициальный комплекс (KP )J F СледоE вательноD (KP )J FJ и H j -i-1 ((KP )J ; k) H j -i-1 (FJ ; k)D что завершает = доказательствоF
iJ

RH


Из теоремы IFQFQ следует соотношение

rk H p (ZP , k) = rk H p (Z

K

P

(D2 , S 1 ), k) =
-i+2j =p



-i,2j

(P ).

@IFQFUA

АFАFАйзенберг I ввел Eмногочлен комплекса K X

K (s, t) =
i,j



-i,2j

(K )s-i t2j Z[s-1 , t2 ]

и доказал следующее важное для нас утверждениеX
Предложение 1.3.10.

Пусть K и L симплициальные комплексы. Тогда

K L (s, t) = K (s, t)L (s, t)
Доказательство. Утверждение следует из мультипликативности биградуиE
рованных чисел Бетти @это можно доказать напрямую с помощью резольвенE ты модуля k[K L] = k[K ] k[L]AF

RI


Глава 2

Граф-ассоциаэдры, их кольца граней и момент-угол многообразия

2.1

Нестоэдры: граф-ассоциаэдры

Более полную информацию о нестоэдрах можно найти в работе UHF В этой части мы кратко излагаем основные факты о нестоэдрах и граф!ассоциаэдрахF
Определение 2.1.1.

Пусть S = {1, 2, . . . , n + 1}. Производящим множе-

ством называется система подмножеств B = {Bk S }, такая что: 1) {i} B для всех i = 1, . . . , n + 1. 2) Если Bi Bj = , то Bi Bj B .
Примером производящего множества является множество всех подмноE жеств Bk множества вершин графа без кратных ребер и петельD таких что индуцированный подграф |Bk связенF Такие производящие множества мы будем обозначать B ()F Каждому множеству Bk сопоставим выпуклую оболочку соответствующих базисных векторов Bk = conv {ej |j Bk } R
Определение 2.1.2.

n+1

F

Нестоэдром называется выпуклый многогранник - сум-

ма Минковского симплексов PB =
Bk B

Bk .

Рассмотрим один примерF
Определение 2.1.3.

Для чисел a1 < a2 < ћ ћ ћ < an

+1

пермутоэдром
n+1

P (a1 , a2 , . . . , a

n+1

) называется многогранник
(1)

conv {(a

, a(2) , . . . , a

(n+1)

)| Sn+1 } R

.

RP


Пермутоэдр является простым nEмерным многогранникомD его вершины E это в точности точки a = (a

, a(2) , . . . , a(n+1) )D причем вершины a и a соединены ребром тогда и только тогдаD когда = (i, i + 1) для некоторого iF
(1)

ОказываетсяD сумма Минковского всех ребер симплекса S = n есть пермутоэдр P (0, 1, 2, . . . , n) @таким образомD пермутоэдр является примером зонотопаD тFе суммы Минковского отрезковAD а для полного графа K вершиной нестоэдр P
B (K
n+1

)

является пермутоэдром P (1, 2, 22 , . . . , 2 )F

n+1 n

n+1

ЗаметимD что все пермутоэдрыD имеющие одинаковую размерностьD комE бинаторно эквивалентны между собойF Всюду дальше мы будем считатьD что S B F Такие производящие мноE жества называются связнымиF Иначе P
B

=P

B

1

ЧP

B

2

Ч ћ ћ ћ Ч PBs D где Bl D

l = 1, 2, . . . , s E максимальные по включению множестваD принадлежащие B F ЗаметимD что если S B D то нестоэдр PB является nEмерным многогранниE комD так как он содержит в качестве слагаемого n и лежит в гиперплоскости
n

xi = C D где C ! количество элементов в множестве B F
Гиперграни многогранника P взаимно однозначно соответствуют множеE

i=0

ствам Bk B \ Bmax D где Bmax E набор всех максимальных по включению множеств из производящего множества B F При этом набор гипергранейD отE вечающих множествам Bi1 , . . . , Bis пересекается тогда и только когдаD когда множества удовлетворяют условиямX @IA Для любых двух множеств Bik , Bil либо они не пересекаютсяD либо одно лежит в другомY

2 попарно не пересекаютсяD то их объединение не принадлежит производящему множеству B F
Предложение 2.1.4

@PA Если множества Bik1 , Bik2 , . . . , Bikl , l

@TWD Теорема UFRA. Нестоэдр P

B

является простым

многогранником.
С точки зрения торической геометрии особенно интересно следующее свойE ство нестоэдровX
Предложение 2.1.5

@UUD SA. Нестоэдр P

B

может быть реализован как

многогранник Дельзанта.
Оно означаетD что существует такая реализация нестоэдраD что его норE мальный веер неособыйD а это значитD что соответствующее ему проективE
RQ


ное торическое многообразие X

P

также неособоеF Его числа Бетти четной

размерности равны соответствующим компонентам hEвектора нестоэдра P X

2k (XP ) = hk (P )F На соответствующем моментEугол многообразии ZP своE
бодно действует торическая подгруппа ранга m - nD где m ! число гиперганей

P D n ! его размерностьF
Пример 2.1.6.

@числа Штифеля!УитниA Из определения моментEугол мноE

гообразияD как пространстваD делающего коммутативной диаграмму с отобE ражением моментовD следуетD что нормальное расслоение вложения моментE угол многообразия в C
m

тривиальноF ЗначитD моментEугол многообразие Z

P

всегда является границей гладкого многообразияF Как известноD это равноE сильно отсутствию ненулевых характеристических чисел Штифеля!УитниF С другой стороныD легко видетьD что число wn (XP ) равно четности числа вершин f0 (P ) простого дельзантова многогранника P F Таким образомD чисE ла Штифеля!Уитни торических многообразий могут не обращаться в нуль @напримерD если P ! PEмерный пермутоэдрAD но могут и все обращаться в нульF НапримерD это так для случая нечетномерных циклоэдровD как показаE ли ХFАбе и МFХатанака @не опубликованоAF Нестоэдр является флаговым многогранником тогда и только тогдаD когда условие @PA пересечения гиперграней можно заменить условием @P9AX для люE бых двух множеств Bik , Bil D таких что Bik Bil = D множество Bik Bil не лежит в производящем множестве B F То есть гиперграниD соответствующие множествам Bi1 , . . . , Bis B \ Bmax D пересекаются тогда и только тогдаD коE гда выполнены условия @IA и @P9AF Несложно заметитьD что любой нестоэдрD построенный по графуD является флаговым многогранникомF Как показывает следующая леммаD нестоэдр может быть получен из симE плекса последовательной срезкой его гранейF Пусть B0 B1 два связных производящих множества на [n + 1]F Определим разложение элемента S из

B1 по элементам из B0 как минимальный набор элементов из B0 D попарно не пересекающихся и дающих в объединении S F Тогда имеет место следующий
фактF
Предложение 2.1.7.

[32] Тогда P

B

1

может быть получен из P
RR

B

0

последо-


i вательностью срезок граней Gi = k=1 FSji , соотвествующим разложениям j

Si = S

i 1

...

i Ski , занумерованным в порядке, обратном включению.

Для флаговых нестоэдров ВF МF Бухштабер и ВF ДF Володин U доказали следующее утверждениеF
Предложение 2.1.8.

В обозначениях предыдущего предложения, если несто-

эдр P флаговый, то он может быть получен (с точностью до комбинаторной эквивалентности) последовательностью срезок граней только коразмерности 2 из куба.
ГрафEассоциаэдры ! центральный объект изучения в этой главеF Впервые они появились в работе МFКарра и СFДевадосса QS в связи с комплексами КокстераF
Определение 2.1.9.

Графическое производящее множество B () для дан-

ного графа имеет совими элементами все подмножества вершин,такие,что индуцированный на них граф связен. Граф-ассоциаэдром P называется нестоэдр, построеный по графическому производящему множеству.
Пример 2.1.10.

ћ Пусть ! полный граф на [n + 1]F Тогда мы получаем пермутоэдр P = P en @иную аффинную реализациюD как было указано в начале параграфаAF ћ Пусть ! звездаD тFе граф одной выделенной вершиной @напримерD {n + 1}AD все ребра которого суть исходящие из выделенной вершины в
каждую из n оставшихся вершинF Тогда P ! стеллаэдр S tn F

ћ Пусть ! цикл на множестве [n + 1] вершинF Тогда P ! циклоэдр C y
с изучением инвариантов зацепленийF

n

или многогранник БоттаEТаубсаF Он впервые возник в работе PU в связи

ћ Пусть ! цепь на множестве [n + 1] вершинD тогда мы получаем в качеE стве P ассоциаэдр или многогранник Сташефа Asn D впервые возникший в работе ДжFСташефа UR как пространство параметров для высшей ассоциативности (n + 2)Eместных произведений в H -пространствеF Об
RS


этом многограннике и его моментEугол многообразии мы будем подробно говорить в следующем параграфеF
2.2 Биградуированные числа Бетти граф-ассоциаэдров

Теорема Бухштабера!Панова о кольце когомологий моментEугол многообраE зия ZP D а также формула Хохстера для биградуированных чисел БеттиD поE казываютD что топологические числа Бетти ZP D а значитD аддитивная струкE тура кольца когомологий @если группы когомологий свободныA полностью определяется биградуированными числами Бетти многогранника P F В общем случаеD эти последние зависят от приведенных когомологий всех полных подE комплексов @тFе индуцированных комплексов в KP на всевозможных подмноE жествах вершин I [m]AF Поэтому найти все биградуированные числа Бетти в случае произвольного простого многогранника P как правило эффективно не удаетсяF

(P ) зависят только от чисел компонент связности объединений гиперграней мноE
гогранника P F Так наборы гипергрнанейD дающие связное множество в объE единенииD не дают вклада в соответствующее алгебраическое число БеттиF Таким образомD числа
-i,2(i+1)

Легко видеть однакоD что алгебраические числа Бетти вида

-i,2(i+1)

с одной стороны дают оценки на числа Бетти

моментEугол многообразия ZP D а с другой стороны отражают комбинаторноE геометрическую структуру многогранника P @точнееD его чFуFмF гранейAF ЭтиE ми последними мы и будем интересоваться в этом подразделеF Сформулируем основной результат этого параграфа и следствия из негоF
Теорема 2.2.1.

Пусть P = P граф-ассоциаэдр на связном графе . То-

(P ) = 0 для i > imax . Число imax есть максимальное число связных подграфов в графе , которое может нетрививально пересекать (в смысле описания ?гнездового комплекса? в работе А.Зелевинского [77]) данный связный подграф. Таким образом, этот подграф либо нетривиально
-i,2(i+1)

гда

пересекает данный подграф, либо у них нет общих вершин, но подграф на объединении их вершин связен. Назовем такой подграф выделенным. Число



-i

max

,2(imax +1)

(P ) равно числу выделенных подграфов в .
RT

Для четырех классических серий графEассоциаэдровD определенных в конE


це предыдущего параграфаD мы имеемX

Следствие 2.2.2.

ћ Пусть P = Asn есть n-мерный ассоциаэдр, n 3. Биградуированные числа Бетти многогранника P удовлетворяют соотношениям



-q ,2(q +1)

n + 3, если n четно; (P ) = n+3 , если n нечетно; 2

-i,2(i+1)

(P ) = 0 для i q + 1,

где q = q (n) определено так: q = q (n) =

n(n+2) 4, (n+1)2 4,

если n четно; если n нечетно.

ћ Пусть P = C y n есть n-мерный циклоэдр, n 3. Биградуированные
числа Бетти многогранника P удовлетворяют соотношениям 2n + 2, если n четно; -q ,2(q +1) (P ) = n + 1, если n нечетно;



-i,2(i+1)

(P ) = 0 для i q + 1,

где q = q (n) определено так: q = q (n) =

n(n+2)-2 , 2 (n+1)2 -2 , 2

если n четно; если n нечетно.

ћ Пусть P = P en есть n-мерный пермутоэдр, n 3. Биградуированные
числа Бетти многогранника P удовлетворяют соотношениям


где q = q (n) = 2n
+1

-q ,2(q +1) -i,2(i+1)
n+1 2

(P ) =

n+1 [ n+1 ] 2

(P ) = 0 для i q + 1,
[
n-1 2

-2

[

]

-2

]

+1

RU


ћ Пусть P = S tn есть n-мерный стеллаэдр, n 3. Биградуированные числа Бетти многогранника P удовлетворяют соотношениям
где q = q (n) = 2n - 2
-q ,2(q +1) -i,2(i+1)

(P ) =

n [n] 2

(P ) = 0 для i q + 1,
]

[n] 2

- 2[

n+1 2

+[

n+3 2

].

Мы предъявим комбинаторноEгеометрическое построение в случае ассоциE аэдраD из которого будет ясен общий случай с помощью результата АFФенна RRD который мы приведем в конце параграфаD арифметические выкладки мы опускаемF Для большей наглядности геометрической природы границы i гранника СташефаF Различные выпуклые реализации многогранников Сташефа были найдены ДжFМилнором и другимиD смF PWF Мы обозначаем nEмерный многогранник Сташефа через Asn F Тогда iEмерные грани Asn @0 i n - 1A взаимноEоднозначно соответствуют множествам из
max

мы пользуемся одним из эквивалентных комбинаторных определений многоE

n - i попарно не пересекающихся диагоналей в (n + 3)Eугольнике Gn+3 @мы считаем здесьD что диагоналиD исходящие из одной вершиныD не пересекаютE
сяAF Грань H содержится в грани H тогда и только тогдаD когда множество диагоналейD соответствующее H D содержит множество диагоналейD соответE ствующее H F ТакD вершины Asn соответствуют полным триангуляциям Gn
+3

диагонаE

лямиD а гиперграни Asn соответствуют диагоналям Gn+3 F Таким образомD мы отождествляем множество диагоналей Gn+3 с множеством гиперграней

{F1 , . . . , Fm } многогранника Asn и отождествляем оба этих множества с [m]D когда это удобноF Нам понадобится выпуклая реализация Asn из PWD veture ssD
hF SFIX
Предложение 2.2.3.

Многогранник Asn может быть представлен как пе-

ресечение параллелепипеда

y Rn : 0 yj j (n + 1 - j ) для 1 j n
RV


с полупространствами

y Rn : yj - yk + (j - k )k 0
для 1 k < j n.
Предложение 2.2.4.

Имеем:
Asn

b3 (Z

)=

-1,4

(Asn ) =

n+3 . 4

Доказательство. Число

(P ) равно количеству мономов vi vj в идеале Стенли!Райснера многогранника P D смF IQD QFQD а также количеству пар
-1,4

непересекающихся гиперграней P F В случае P = Asn D последнее равно коE личеству пар пересекающихся диагоналей (n + 3)Eугольника Gn+3 D смF PWD veture ssD gor TFPF Остается заметитьD что для каждой четверки вершин многоугольника Gn
+3

существует в точности одна пара пересекающихся диаE

гоналейD концами которых будут эти R вершиныF ВычислениеD проведенное вышеD может быть проделаноD такжеD при поE мощи общей формулы смF PWD veture ssF В дальнейшем мы предполагаемD что никакие Q диагонали многоугольника
-1,4 f0 2

(P ) =

- f1 D смF IQD Лемма VFIQD где fi есть

число (n - i - 1)Eграней многогранника P F Числа fi для Asn хорошо известныD

Gn

+3

не проходят через одну точкуD что может быть достигнуто малым шевеE

лением его вершинF Выберем и фиксируем циклический порядок на вершинах

Gn+3 такD что P последовательные вершины соединены ребром многоугольниE каF Будем называть диагонали Gn+3 D соединяющие iEую и (i + 2)Eую вершины @modulo n + 3A для i = 1, . . . , n + 3 короткими Y остальные диагонали " длиннымиF
Назовем точки пересечения диагоналейD находящиеся внутри Gn+3 D отме-

ченными точкамиD а всякий отрезок диагоналиD соединяющий P отмеченные
точкиD лежащие на этой диагоналиD назовем отмеченным отрезкомF НакоE нецD будем называть отмеченным треугольником треугольникD вершинами которого являются Q отмеченных точкиD а сторонами " Q отмеченных отрезE каF
RW


Предложение 2.2.5.

Имеем:
Asn

b4 (Z

)=

-2,6

(Asn ) = 5

n+4 6

Доказательство. Нам нужно найти число порождающих REой группы когоE
мологий H [u1 , . . . , um ] KP ], d D смF Теорему RFIFQ @заметимD что здесь (n+3)n " число диагоналей Gn+3 AF Эта группа порождена когомолоE m= 2 гическими классами коциклов вида ui uj vk D где все Q индекса попарно разE личныD и ui vk D uj vk суть QEкоциклыF Эти QEкоциклы соответствуют парам

{i, k } и {j, k } пересекающихся диагоналей многоугольника Gn+3 D а такжеD паре отмеченных точекD лежащих на k Eой диагоналиF Таким образомD всякий коцикл ui uj vk представляется отмеченным отрезкомF Равенство d(ui uj uk ) = ui uj vk - ui vj uk + vi uj uk показываетD что когомологические классыD представE ленные коцикламиD стоящими в его правой частиD являются линейно зависиE
мымиF Каждое такое равенство взаимноEоднозначно соответствует отмеченE ному треугольникуF Таким образомD мы получилиD что число отмеченных отрезковD а Tn
+3

(Asn ) = Sn+3 - Tn+3 D где Sn+3 есть есть число отмеченных треугольников
-2,6

внутри Gn+3 F Эти два числа находятся при помощи следующих трех леммF
Лемма 2.2.6.

Число отмеченных треугольников внутри Gn

+3

есть

Tn

+3

=

n+3 6

Доказательство. ЗаметимD что для TEугольника существует ровно один отE
меченный треугольник @смF РисF PFIAY таким образомD всякие T вершин мноE гоугольника Gn
+3

дают нам ровно один отмеченный треугольникF
4t 4 t 4 4 2 4 t 2Е 2 r r22Е

РисF PFIX

Пусть d есть диагональ Gn+3 Y обозначим через p(d) число отмеченных тоE чекD лежащих на dF Определим длину диагонали d как наименьшее из двух чиселD равных количеству вершин Gn+3 D лежащих в одной из двух открытых
SH


полуплоскостейD определяемых диагональю dD соответственноF Таким обраE зомD короткие диагонали имеют длину ID и все диагонали имеют длины
n+1 2

F

Будем называть диагонали максимальной длины максимальнымиF ОчевидE ноD что p(d) зависит только от длины диагонали dD поэтому мы обозначим через p(j ) число отмеченных точек на диагонали длины j F
Лемма 2.2.7.

Если n = 2k - 1 нечетное число, то

Sn

+3

n+3 = 2

k -1

4l2 k 2 - 2k (2l3 + l) +
l=1

n+3 2 2 k (k - 1). 4

Если n = 2k - 2 четное число, то

Sn

+3

n+3 = 2

k -1

4l2 k 2 - 2k (2l3 + 2l2 + l) + (l4 + 2l3 + 2l2 + l) .
l=1

Доказательство. ПредположимD сначалаD что n = 2k - 1F ТогдаX

Sn

+3

=
d

p(d)(p(d) - 1) = 2
n+1 2

= (n + 3)
j =1

p(j )(p(j ) - 1) 2

-

n + 3 p( 2

n+1 2

)(p( n+1 ) - 1) 2 , 2

поскольку число отмеченных отрезков на максимальных диагоналях посчиE тано в сумме дваждыF Обозначим через v (n + 3)Eю @для определенностиA вершину многоугольниE ка Gn
+3

и занумеруем диагоналиD исходящие из v D их длинамиF Будем обознаE
n+1 2

чать через c(i, j ) суммарное число точек пересечения j Eой диагоналиD исходяE щей из v D с диагоналямиD исходящими из iEой вершины для 1 i j ПоложимDтакжеD c(i, j ) = 0 при i > j F Тогда будем иметьX
n+1 2

F

p(j ) =
i=1

c(i, j ),

(2.1)

Для тогоD чтобы вычислить c(i, j )D заметимD чтоX

c(1, 1) = n; n+1 ; 2 n-1 c(i + 1, j + 1) = c(i, j ) - 1 для 1 i j . 2 c(i, j - 1) = c(i, j ) + 1 для 1 i < j
SI


Отсюда следуетD чтоX

c(i, j ) = c(1, j - i + 1) - (i - 1) = c(1, 1) - (j - i) - (i - 1) = n - j + 1, (2.2)
при i j F ЗаметимD что c(i, j ) не зависит от iF Подставляя это в (2.1) а затемD подставляя результирующее выражение для p(j ) в сумму для Sn получаем требуемую формулу в этом случаеF Случай n = 2k - 2 рассматривается аналогичноF Единственное различие заключается в томD что теперь из каждой вершины исходят две максимальные диагонали Gn+3 D так что вычитание в сумме для Sn
Лемма 2.2.8.

+3

вышеD мы

+3

не требуетсяF
+3

Число отмеченных отрезков внутри Gn

есть

Sn

+3

= (n + 3)

n+3 . 5

Доказательство. Это может быть получено из Леммы PFPFU суммированиемD
если использовать известные формулы для сумм n nEых степеней первых

(k - 1) натуральных чиселX k (k - 1) , 2 k 2 (k - 1)2 3 = , 4 1 = 2 = k (k - 1)(2k - 1) , 6 k (k - 1)(2k - 1)(3k 2 - 3k - 1) 4 = . 30

Теперь утверждение предложения PFPFS следует из результатов Леммы PFPFU и Леммы PFPFVF Отметим следующий важный для дальнейшего факт @смF PWD veture ssD gorF TFPAX
Предложение 2.2.9.

Две гиперграни F1 и F2 многогранника Asn не пересепересекаются (в отмеченной точке).

каются тогда и только тогда, когда соответствующие диагонали d1 и d2 многоугольника Gn
Лемма 2.2.10.

+3

Число отмеченных точек на максимальной диагонали мноравно

гоугольника Gn

+3

q = q (n) =



n(n+2) 4, (n+1)2 4,

если n четно; если n нечетно.

SP


Доказательство. В случае n = 2 утверждение очевидноF Если n нечетноD
полагая j =
n+1 2

в (2.1) и используя (2.2) получим
n+1 2

p(j ) =
i=1

c i,

n+1 (n + 1)2 = . 2 4
n 2

Если n четноD то максимальная диагональ имеет длину j = детьD что в этом случае p(j ) = сохраняетсяF ПоэтомуD
n 2

F Легко виE

n/2 i=1

c(i, j ) вместо (2.1)D а соотношение (2.2)

p(j ) =
i=1

c i,

n n(n + 2) = . 2 4

Будем доказывать теорему для Asn индукцией по nF База индукции n = 3 проверяется непосредственным вычислениемD смF таблички биградуированE ных чисел Бетти нижеF По следствию из теоремы ХохстераD для тогоD чтоE бы вычислить
-i,2(i+1)

(P )D мы должны найти все подмножества I [m]D

|I | = i + 1D для которых соответствующие PI имеют более одной связной компонентыF В случае i = q D мы докажемD что cc(PI ) 2 для |I | = q + 1D и опишем явно все I D для которых cc(PI ) = 2F В случае i > q D мы докажемD что cc(PI ) = 1 для |I | = i + 1F Эти утверждения будут доказаны как отдельные
леммыY переход индукции будет следовать из них в конце рассужденияF Будем нумеровать вершины Gn
+3

целыми числами от I до n + 3F Тогда

всякая диагональ d соответствует упорядоченной по возрастанию паре (i, j ) целых чисел такихD что i < j - 1F Нам будет удобно рассматривать диагоE нальD соответствующую паре (i, j )D как целочисленный отрезок [i, j ] внутри отрезка [1, n + 3] на вещественной прямойF Тогда Предложение PFPFW может быть переформулировано следующим образомX
Предложение 2.2.11.

Гиперграни F1 и F2 многогранника P = Asn не пере-

секаются тогда и только тогда, когда соответствующие отрезки [i1 , j1 ] и

[i2 , j2 ] перекрываются, т.е F1 F2 = i1 < i2 < j1 < j2
SQ

или

i2 < i1 < j2 < j1 .


Пусть I есть множество диагоналей многоугольника Gn будем писать I = I1

+3

@или целочисE

ленных отрезков на [1, n + 3]AD а PI " соответствующее множество (1.4)F Мы

I2 D как только PI имеет в точности две связные комE

понентыD соответствующие I1 и I2 F ОбозначимD такжеD через e(I ) множество концов отрезков из набора I Y это есть подмножество целых чисел от I до

n + 3F
Предложение 2.2.12.

Если I = I1

I2 , то подмножества e(I1 ) и e(I2 ) не

пересекаются. Доказательство. Непосредственное следствие Предложения PFPFIIF
Для данного целого числа m [1, n + 3] и набора отрезков I D обозначим через cI (m) число отрезков из I D исходящих из m @эквивалентноD число диаE гоналей из I D исходящих из вершины mAF Тогда 0 cI (m) nF
Предложение 2.2.13.

Если I = I1

I2 , то существует m такое, что

cI (m)

n+1 2

.
n+1 2

Доказательство. Предположим противноеF Выберем целые точки m1 e(I1 )
и m2 e(I2 )F Поскольку cI (m1 ) > D cI (m2 ) >
n+1 2 n+1 2

и e(I1 )D e(I2 ) не пересеE

каются по предыдущему предложениюD мы получаемD что общее число элеE ментов в множестве e(I ) большеD чем 2 +
Лемма 2.2.14.

+

n+1 2

= n + 3F ПротиворечиеF
n(n+2) 4

Имеем cc(PI ) 2 при |I | > l(n) =

.

Доказательство. Докажем эту лемму индукцией по nF
Положим n = 3 и докажем наше утверждение от противногоD тFе предпоE ложимD что существует множество I = I1 I2 I3 . . . диагоналей G6 D |I | 4D такоеD что cc(PI ) 3F Поскольку многоугольник G6 имеет лишь Q максимальE ных диагоналиD найдется короткая диагональ d I Y пусть d I1 F Так как

cc(PI ) 3D любые диагонали e I2 и f I3 пересекают dF ПоэтомуD e и f исE ходят из общей вершины A многоугольника G6 F Мы получили противоречие с темD что e(I2 ) и e(I3 ) не пересекаются @смF Предложение PFPFIPAF
Пусть теперь n > 3 и предположимD что существует множество I = I1

I2

+2) I3 . . . диагоналей Gn+3 D |I | > n(n4 D такоеD что cc(PI ) 3F Если найдется целая точка m [1, n + 3] такаяD что cI (m) = 0D то мы можем считатьD что m есть первая вершина и рассматривать I как множество

SR


диагоналей Gn

+2

@отрезок [2, n+3] не может принадлежать I D поскольку иначе

cc(PI ) = 1AF Так как l(n) > l(n - 1)D применение предположения индукции завершает доказательство леммы в этом случаеF
Пусть cI (m) 1 для всякой целой точки m [1, n + 3]F Тогда рассуждеE ниеD аналогичное приведенному в доказательстве Предложения PFPFIQD покаE зываетD что существует точка m такаяD что cI (m) n F Рассмотрим P случаяX 3
1.

Найдется точка m0 e(Ik )D для некоторого 1 k cc(PI )D с минимальным Можно считатьD что одна из таких m0 является первой вершинойF ВыбраE

значением cI (m) n D такаяD что |Ik | > cI (m0 )F 3

~ сывая из I все отрезкиD исходящие из ID мы получаем новое множество I
отрезков внутри [2, n + 3] @отрезок [2, n + 3] не может принадлежать I D тFк иначе cc(PI ) 2AF ИмеемX

n(n + 2) n (n - 1)(n + 1) -> = l(n - 1). 4 3 4 По предположению индукцииD 2 cc(PI ) cc(PI ) 3F ПротиворечиеF ~ 2. Для всякой вершины m0 с минимальной величиной cI (m) 1 имеем |Ik | = cI (m0 )D где m0 e(Ik )F ~ |I | = |I | - cI (1) >
Снова мы можем считатьD что одна из таких m0 является первой вершиной

1 Ik F Тогда cI (1) = 1D тFк иначе найдется 2 целых точек m внутри [2, n+3]D которые принадлежат e(Ik ) и имеют cI (m) = 1 @напомнимD что |Ik | = cI (m0 )AF Без потери общности рассуждения можно считатьD что k = 1F Тогда n2 n(n + 2) |I | = 1 + |I2 | + |I3 | + . . . 1 + (1 + q (n - 1)) 2 + . 4 4 ~ Первое из неравенств выше имеет местоD тFк I = I2 I3 . . . есть набор диагоналей Gn+2 @отрезок [2, n + 3] не может принадлежать I D поскольку ~ cc(PI ) 3AD и мы можем применить к набору I предположение индукции ~ в доказательстве основной Теоремы PFPFID что дает нам |I | 1 + q (n - 1)F n(n+2) Получили противоречие с предположением |I | > 4 F I2 , |I | q + 1, |I1 | 2 и |I2 | 2. Тогда найдется другой набор I такой, что I = I1 I2 , |I1 | = 1 и |I | > |I |.
Лемма 2.2.15.

Пусть I = I1

Доказательство. Доказательство проводится индукцией по nF Случаи n =

3, 4, 5 проверяются непосредственным вычислением @смF таблички в конце этого разделаAF
SS


ИзменяяD если необходимоD нумерацию вершин Gn+3 D мы можем считатьD что первая вершина имеет минимальное значение cI (m)F Тогда cI (1)
n+1 2

по Предложению PFPFIQF Без потери общности можем считатьD что 1 e(I1 )F / ДокажемD что отрезок [2, n + 3] не принадлежит I F В самом делеD в проE тивном случае cI (1) > 0 @иначе cc(PI ) = 1AD 1 e(I2 )D [2, n + 3] I1 F Если

cI (1) 2D то найдется целая точка m e(I2 ) внутри [2, n + 3] такаяD что cI (m) = 1 < cI (1)D что противоречит выбору первой вершиныF Тогда cI (1) = 1
и [2, n + 3] I1 дают нам |I2 | = cI (1) = 1D что противоречит предположению

|I2 | 2 в утверждении леммыF ~ Выбрасывая из I все отрезкиD исходящие из ID мы получим новый набор I целочисленных отрезков внутри [2, n + 3]F ЗаметимD что ~ |I | = |I | - cI (1) |I | -
n+1 2

.

(2.3)

~ Мы хотим применить предположение индукции к набору I целочисленE
ных отрезков внутри [2, n + 3]D рассматриваемых как диагонали (n + 2)E угольника Gn+2 F Чтобы сделать этоD мы должны проверить предположения

~ леммы для набора I F ~ I2 D тFе PI имеет в точности две ~ связные компонентыF В самом делеD это множествоD очевидноD имеет не менее
двух компонентD и число компонент не может быть больше двух по ЛемE ме PFPFIRD поскольку

~ ~ ВоEпервыхD мы утверждаемD что I = I1

~ |I | |I | -

n+1 n + 1 (n + 1)2 n + 1 q+1- > - = l(n - 1). 2 2 4 2

~ ~ ~ ВоEвторыхD |I1 | = |I1 | 2 и |I2 | |I2 | 1F Если |I2 | = 1D то мы имеем либо ~ cI (1) = 1D либо cI (1) = 2F @В самом делеD если cI (1) = 0D то |I2 | = |I2 | = 1D что противоречит предположениям леммыD а cI (1) не может быть больше PD тFк
иначе cI (1) не является минимальнымFA Таким образомD |I2 | 3F МыD такжеD

~ ~ имеем |I1 | = |I1 | p(d)D где d I2 = {d}D тFк d пересекает всякую диагональ
из I1 F В силу Леммы PFPFIHD p(d) q (n - 1)
n2 4

F ПоэтомуD

n2 (n + 1)2 +3 < q (n) + 1 |I | |I | = |I1 | + |I2 | p(d) + 3 4 4
при n 6F ПротиворечиеF ИтакD |I2 | 2F
ST


~ Осталось проверитьD что |I | q (n - 1) + 1F Если n нечетноD то
2 ~| |I | - n + 1 (n + 1) + 1 - n + 1 = (n - 1)(n + 1) + 1 = q (n - 1) + 1. |I 2 4 2 4

Если n четноD то

n n2 n n(n + 2) ~ +1- = + 1 = q (n - 1) + 1. |I | |I | - 2 4 2 4 ~ ТеперьD применяя предположение индукции к набору I D находим новый ~ ~ ~ ~ набор целочисленных отрезков J внутри [2, n + 3] с |J | > |I | и |J1 | = 1F ~ Тогда J1 = {d}D где d есть диагональ многоугольника Gn+2 F Таким образомD ~ ~ ~ |J | = |J1 | + |J2 | 1 + p(d)F Имеем p(d) q (n - 1)D и равенство имеет место
тогда и только тогдаD когда d = dmax есть максимальная диагональ в Gn+2 F

~ ПоэтомуD мы можем заменить J набором J = J1 J2 D где J1 = {d
множество всех диагоналей Gn+2 D которые пересекают d точкахF ДействительноD мы имеем
max

} и J2 есть в ее отмеченных
max

~ ~ |J | = 1 + q (n - 1) 1 + p(d) |J | > |I |.
Выбирая в качестве d
max

(2.4)

в Gn

+2

диагональD соответствующую отрезку

[2, k ]D где k = n+7 D мы замечаемD что она являетсяD такжеD и максимальE 2 ной диагональю для Gn+3 F Теперь положим I1 = {dmax } и берем в качестве I2 объединение J2 и всех диагоналейD исходящих из I и пересекающих dmax F Поскольку число внутренних целых точек на dmax есть n+1 D мы получаем 2
из (2.4) и (2.3)
n+1 2 n+1 2

|I | = 1 + |I2 | = 1 + |J2 | +

= |J | +

~ > |I | +

n+1 2

|I |,

что завершает переход индукцииF
Лемма 2.2.16.

Пусть cc(PI ) = 2, I = I1

I2 и |I | q + 1. Тогда либо

|I1 | = 1, либо |I2 | = 1.
Доказательство. Предположим противноеD тFе |I1 | 2 и |I2 | 2F По ЛемE
ме PFPFISD мы можем найти другой набор I = I1

I2 такойD что |I1 | = 1 и

|I | > |I | q + 1F С другой стороныD |I1 | = 1 дает I1 = {d} и |I | 1 + p(d) 1 + q F ПротиворечиеF
SU


Лемма 2.2.17.

Пусть cc(PI ) = 2, I = I1 I2 и |I | = q + 1. Тогда I1 состоит

из одной максимальной диагонали dmax , а I2 состоит из всех диагоналей

Gn+3 , пересекающих dmax .
Доказательство. Согласно Лемме PFPFITD мы можем считатьD что I1 состоит
из одной диагонали dF Тогда

1 + q = |I | = |I1 | + |I2 | 1 + p(d) 1 + q ,
что дает нам p(d) = q и |I2 | = p(d)F
Лемма 2.2.18.

Пусть |I | > q + 1. Тогда cc(PI ) = 1.

Доказательство. Имеем |I | > q + 1 > l(n)F ПоэтомуD cc(PI ) 2D в силу
Леммы PFPFIRF ПредположимD что cc(PI ) = 2 и I = I1 предположению |I | > q + 1F Теперь мы можем закончить переход индукции в доказательстве ТеореE мы PFPFIF В силу следствия из теоремы Хохстера и Леммы PFPFIUD мы поE лучаемD что число многоугольника Gn Леммы PFPFIVF ПриведемD такжеD результаты вычисления биградуированных чисел Бетти для ассоциэдров Asn при n 5D полученные с использованием компьютерной программы Macaulay 2D смF TPF Таблички ниже имеют n - 1 строк и m - n - 1 столбцовF ЧислоD стоящее на пересечении k Eой строки и lEго столбца равно равны нулюD за исключением
0,0 -q ,2(q +1) +3

I2 F Тогда |I1 | = 1D

по Лемме PFPFITD тFе I1 = {d} и |I | 1 + p(d) 1 + q F Но это противоречит

(P ) равно количеству максимальных диагоналей F Последнее равно n + 3D если n четноD и n+3 D если n 2
-i,2(i+1)

нечетноF Тот фактD что

(P ) равно нулю при i q + 1D вытекает из

(Asn )D где 1 l m - n - 1 и 2 l + k m - 2F Остальные биградуированные числа Бетти
-l,2(l+k )

(Asn ) = -(m-n),2m (Asn ) = 1D смF ?D ghFVF Биградуированные числа БеттиD которые даются Теоремой PFPFID отмечены жирным шрифтомF 1. n = 2D m = 5F
5 5

2.

n = 3D m = 9F
SV


15

35

24 24

3
35

0
15

0
3.
35 0

3
140 28

n = 4D m = 14F
217 266 154 784 49 1094 49

7
784 154

0
266 217

0
28 140

0
0 35

0
4.
70 0 0

0
420 144 0

0
1089 1796 12

7
1544 8332 264

n = 5D m = 20F
1300 20924 2053 680 32309 8480 226 32184 20798 44 44 20798 32184 226

4
8480 32309 680

0
2053 20924 1300

0
264 8332 1544 . . .

0

0

0

0

0

4

Общий случай теперь получается переходом от ассоциаэдра к пермутоэдE ру и от последнего ! к любому графEассоциаэдруD если применить резульE тат АFФенна RRX @напомнимD что для нестоэдраD построенного по связному производящему множествуD гиперграням взаимнооднозначно соответствуют собственные элементы производящего множестваA
Предложение 2.2.19.

Пусть P произвольный нестоэдр, подмноже-

ство элементов его производящего множества B . Рассмотрим следующее множество

= {V [n + 1] \ B | 1 . . . k = V },
где i B . Тогда P e
2.3
n n и P гомотопически эквивалентны.

Кручения и тройные произведения Масси в кольце когомологий момент-угол многообразий

Прежде всего заметимD что задача о наличии нетривиального кручения в кольце целочисленных когомологий Z
K

эквивалентна задаче о поиске всех

возможных кручений @конечных порядковA в группах приведенных когомоE логий полных подкомплексов KI в K = KP F Многогранники P D для которых кольцо когомологий ZP свободно как абелева группаD будем называть свободE ными от крученияF

Предложение 2.3.1.

Многогранники размерности, не превосходящей 4, своSW

бодны от кручений.


Доказательство. Нетривиальным является случай размерности RF Но поE
скольку нервEкомплекс в случае многогранника есть симплициальная сфераD то наличие кручений в некотором подкомплексе KI приводит к наличию круE чений в гомологиях двойственного по Александеру комплексаD но эти гомоE логии свободны уже по размерностным соображениям @n - 1 = 3AF Последнее можно также увидеть из формулы универсальных коэффициентовF Далее мы формулируем основной результат данного параграфаF
Предложение 2.3.2.

В целочисленных когомологиях момент-угол много-

образия для граф-ассоциаэдра имеется кручение, начиная с размерности

n = 5, если ограничение B () на некоторое подмножество I из |I | 6 элементов содержит все подмножества I .
Следствие 2.3.3.

Серии пермутоэдров и стеллаэдров содержат произволь-

но сложное кручение.
ЗаметимD что условие теоремы геометрически означаетD что гиперграни графEассоциаэдра являются произведениями графEассоциаэдров меньших разE мерностей @это верно в силу результатов АFФенна RRAD хотя бы один из коE торых ! пермутоэдрF Докажем нашу теоремуF Воспользуемся Леммой о срезке граней симплекса из QFID чтобы получить нестоэдр P из симплекса той же размерностиD последовательно срезая грани размерностей 0 d n - 2F Условие теоремы равносильно томуD что в граE нице двойственного комплекса одна из граней симплекса размерности d 2 будет в конце концов барицентрически разбитаF Но для любого симплициальE ного комплекса K с m вершинамиD его барицентрическое подразбиение можE но вписать в барицентрическое подразбиение симплекса размерности m - 1 так чтоD K будет полным подкомплексом на своих вершинах в границе баE рицентрического подразбиения симплексаF Но последнее есть KP D когда P ! пермутоэдрF Таким образом взяв произвольную конечную @минимальнуюA триангуляцию K пространства с нужным нам конечным кручениемD мы найE дем по формуле Хохстера размерность группы когомолгий ZP в которую она даст соответствующий вкладF
TH


gFЧой и ХFПарк QV доказалиD что в кольце когомологий малых накрытий @вещественных аналогов квазиторических многообразийA над графEассоциаэд! рами нет нечетных кручений и показали пример в классе нестоэдровD дающий такое кручение @вписали в нервEкомплекс многогранника триангуляцию проE странства Мура M (q , 1)D где q ! нечетное положительное число с помощью конструкции симплициального букетаD как полный подкомплексAF
Пример 2.3.4.

Рассмотрим минимальную триангуляцию K проективной

плоскости RP 2 F Мы можем вложить ее барицентрическое разбиение в качестве полного подE комплекса на j = 6 + 15 + 10 = 31 вершинах в границу барицентрического подразбиения 5 F В случае P = P e5 мы имеем m = 26 - 2 = 62 и n = 5F По формуле ХохстеE ра получаем PEкручение в группе когомологий размерности q = -i + 2j D где

j = 31 и j - i - 1 = 2F ) и H (ZS tn+1 ) при n 5F Перейдем теперь к вопросу о наличии нетривиальных тройных произвеE дений Масси в когомологиях графEассоциаэдровF Наш основной результат
P en

Таким образомD существует PEкручение в H (Z

таковX
Замечание 2.3.5.

ЗаметимD что по теореме Данилова!Юркевича кольцо

целочисленных сингулярных когомологий проективных торических многообE разий VP свободно от крученийF Таким образомD в случае флагового дельзанE това многогранника P D удовлетоворяющего условию предложенияD мы имеE ем пример гладкого PEсвязного многообразия ZP с произвольным кручением в целочисленных когомологиях и с эффективнымD гладким действием комE пактного тораD такого чтоD после факторизации по действию максимального свободно действующего подтораD факторEпространство V группы целочисленных когомологийF
Теорема 2.3.6.

P

имеет свободные

Для любого связного графа на [n+1] вершинах, n 3 в

когомологиях ZP есть нетривиальные тройные произведения Масси. Доказательство. ВспомнимD что по теореме Бухштабера и Володина любой
TI


флаговый нестоэдрD в том числе граф!ассоциаэдрD может быть комбинаторE но получен как результат последовательной срезки граней коразмерности только P из куба соответствующей размерностиF Воспользуемся конструкE цией Баскакова R нетривиальных тройных произведений Масси в когомолоE гиях ZK F Баскаков рассматривает джойн трех IEсфер @окружностейA и в нем делает два IEзвездных преобразованияD так чтобы звезды получившихся симE плексов не пересекалисьF Затем в получившемся комплексе K берутся классы трех исходных сфер и доказываетсяD что их произведение Масси не содержит тривиального когомологического элемента @нет кограницAF Но двойственный простой многогранник P получается в этом случае из QEкуба срезкой двух скрещивающихся реберF В QEмерном случае для связных графов на R вершиE нах утверждение проверяется на коциклах непосредственно @имеется всего T различных графEассоциаэдров в размерности Q на связном графеAF Для связного графа на 5 вершинах ограничение на всякие R вершиныD являE ющееся связным подграфом @оно очевидно существуетA дает подкомплекс с нетривиальными QEпроизведениями Масси в когомологиях ZP F Примеры этой главы показываютD что топология моментEугол многообраE зий может быть чрезвычайно сложнойD в общем случае она далека от полного эффективного описанияF В следующей главе мы приведем пример семейства многогранниковD для которых ситуация противоположнаX они не флаговыеD и кольцо когомологий @а в некоторых случаях и топологический тип ZP A могут быть описаны полностьюF

TP


Глава 3

Обобщенные многогранники усечения, их кольца граней и момент-угол многообразия

3.1

Многогранники усечения и их момент-угол многообразия

В этом параграфе мы развиваем алгебраическую и топологическую технику для работы со срезками вершин данного многогранника P F В этом параграE фе это симплексF Пусть P " простой nEмерный многогранникD и v P " его вершинаF Выберем гипергрань H такуюD что H отделяет v от остальных вершин и v принадлежит положительному полупространству H D определяE емому H F Тогда P H будет nEмерным симплексомD а P H " простым многогранникомD который мы назовем усечением P F В том случаеD если выбор срезаемой вершины ясен из контекста или неваженD мы будем использовать обозначение vc(P )F МыD такжеD будем обозначать через vck (P ) многогранникD получающийся из P последовательным усечениемD примененным k разF В качестве примера описанной выше процедуры рассмотрим многогранE ник vck (n )D где n есть nEмерный симплексD n 2F Будем называть vck (n )

многогранником усечения Y у негоD очевидноD m = n + k + 1 гипергранейF ЗамеE
тимD что комбинаторный тип vck (n ) зависит от выбора срезаемых вершин при k 3D однако это обстоятельство не отразится на наших обозначенияхF Рассмотрим также симплициальный многогранник QD двойственный к мноE гограннику усечения vck (n )F Он известен под названием многогранника пиTQ


рамидальной надстройки и получается из n последовательным добавлением
пирамид над гипергранямиF Числа Бетти для многогранников усечения были вычислены в USD но граE дуировкаD использованная тамD отлична от нашейF Мы формулируем этот результат ниже и даем его доказательство с несколько отличающейся от US аргументациейD используя нашу топологическую градуировку и обозначенияF
Теорема 3.1.1.

Пусть P = vck (n ) многогранник усечения. Тогда для

n 3 биградуированные числа Бетти даются следующими формулами:
-i,2(i+1)

(P ) = i

k+1 , i+1 k+1 , k+2-i

-i,2(i+n-1) -i,2j

(P ) = (k + 1 - i)

(P ) = 0,

для i + 1 < j < i + n - 1.

Остальные биградуированные числа Бетти нулевые, кроме

0,0 (P ) =

-(m-n),2m

(P ) = 1.

Замечание 3.1.2.

Первая из формул выше была доказана в работе QU

комбинаторноF

Доказательство. Начнем с анализа поведения биградуированных чисел БетE
ти при одном усеченииF Пусть P " произвольный простой многогранник и

P = vc(P )F Обозначим через Q и Q двойственные симплициальные многоE
гранникиD соответственноD а через K и K " их граничные симплициальные комплексыF Тогда Q получается с помощью добавления пирамиды с вершиE ной v над гипергранью F многогранника QF Мы также введем обозначения

V D V и V (F ) для множества вершин QD Q и F соответственноD так что V = V vF Доказательство первой формулы основано на следующей леммеX
Лемма 3.1.3.

Пусть P простой n-мерный многогранник с m гипергра-

нями, и P = vc(P ). Тогда:



-i,2(i+1)

(P ) =

m-n + i
TR

-(i-1),2i

(P ) +

-i,2(i+1)

(P ).


Доказательство. Применяя формулу Хохстера при j = i + 1D мы получаемX



-i,2(i+1)

(P ) =
W V , |W |=i+1

dim H0 (KW ) dim H0 (KW )
W V , v W, |W |=i+1

= +
W V , v W, |W |=i+1 /

dim H0 (KW ).

(P ) по той же формулеF Для первой суммы получимX во множестве W имеется i ?старых? вершин и одна ?новая? v F Поэтому число связных компонент KW @на единицу большее размерности H0 (KW )A либо остается тем же @если W F = AD либо увелиE
-i,2(i+1)

Вторая сумма равна

чивается на I @если W F = D иD в этом случаеD новая связная компонента есть новая вершина v AF Количество подмножеств W последнего типа равно числу способов выбрать i вершин из m - n ?старых? вершинD не лежащих в F F Первая суммаD таким образомD дается формулой

dim H0 (KW ) +
W V ,|W |=i

m-n i

=

-(i-1),2i

(P ) +

m-n , i

в которой мы снова использовали формулу ХохстераF Теперь первая из формул Теоремы QFIFI следует по индукции по числу усеченийD если использовать тот фактD чтоD очевидноD всех i и Лемму QFPFPF Вторая формула в утверждении основной теоремы вытекает из биградуиE рованной двойственности ПуанкареF Доказательство третьей формулы основывается на следующей леммеX
Лемма 3.1.4.

-i,2(i+1)

(n ) = 0 для

Пусть P многогранник усечения, K симплициальный

комплекс двойственного симплициального многогранника, V множество вершин K , и W непустое, собственное подмножество V . Тогда:

Hi (KW ) = 0 для i = 0, n - 2.
TS


Доказательство. Доказательство проводится индукцией по числу m = |V |
вершин комплекса K F Если m = n + 1, то P " nEмерный симплексD и KW являE ется стягиваемым для всякого непустогоD собственного подмножества W V F Для тогоD чтобы сделать шаг индукцииD рассмотрим V = V v D и V (F ) " то жеD что и в начале доказательства основной Теоремы QFIFIF ПредполоE жимD что утверждение доказано для V D и пусть W " непустоеD собственное подмножество V . Рассмотрим следующие S возможных случаевF

Case 1: v W, W V (F ) = .
Если V (F ) W D то K
W

подразбиение K

W -{v }

F

Если же W V (F ) = V (F )D то имеемX

K

W

=K

W -{v }

K

W V (F ){v }

,

KW

-{v }

K

W V (F ){v }

=K

W V (F )

,

а тогда и K

W V (F )

DиK

W V (F ){v }

являютсяD очевидноD стягиваемымиF С поE

мощью точной последовательности Майера!ВьеторисаD получаемX

Hi (KW ) Hi (K =
Case 2: v W, W V (F ) = .
В этом случаеD легко видетьD чтоX K
W

W -{v }

).

=K

W -{v }

{v }. Отсюда имеемX

H (K i Hi (KW ) = H (K i
Case 3: W = V - {v } = V .
В этом случаеD K Мы имеемX
W

W -{v } W -{v }

) k, при i = 0; ),
при i > 0.

" симплициальный (n - 1)EдискD и потому стягиваемF

Case 4: v W, V (F ) W, W = V .

KW = K

W

F,

KW F = F,

где F обозначает границу гиперграни F F ПосколькуD очевидноD F есть симE плициальная (n - 2)EсфераD а F есть симплициальный (n - 1)EдискD точная последовательность Майера!Вьеториса даетX

при i < n - 2; Hi (KW ), Hi (KW ) = H (K ) k, при i = n - 2. i W
TT


Case 5: v W, V (F ) W. В этом случае мы получаем сразуD что K
ИтакD во всех рассмотренных случаях мы получилиX

W

KW . =

Hi (KW ) Hi (K =
ской индукцииF

W -{v }

) = 0 для 0 < i < n - 2,

чем и заканчивается доказательство нашей леммы по принципу математичеE Теперь третья из формул Теоремы QFIFI следует формулы Хохстера и ЛемE мы QFPFQF Последнее утверждение Теоремы QFIFI следует из IQD СледF VFIWF Для полноты изложения мы включили в этот раздел вычисление биграE дуированных чисел Бетти в случае n = 2D тFеFD когда P есть многоугольникF
Предложение 3.1.5.

Если P = vck (2 ) есть (k + 3)-угольник, то



-i,2(i+1)

(P ) = i

k+1 k+1 + ( k + 1 - i) , i+1 k+2-i (P ) = 1,
иначе.

0,0 (P ) =
-i,2j

-(k +1),2(k +3)

(P ) = 0,

Доказательство. Это вычисление было проделано в IQD Пример VFPIF РеE
зультат может быть полученD такжеD из рассмотрения точной последовательE ности Майера!ВьеторисаD как в доказательстве Теоремы QFIFIF
Следствие 3.1.6.

Биградуированные числа Бетти многогранников усече-i,2(i+1)

ния P = v ck (n ) зависят только от их размерности и числа гиперграней

P и не зависят от комбинаторного типа P . Более того, числа зависят и от размерности n.
сывается следующим образомX
Теорема 3.1.7

не

Топологический тип соответствующих моментEугол многообразий ZP опиE @смFPSD heorem TFQA. Пусть P = vck (n ) есть многогран-

ник усечения. Тогда соответствующее момент-угол многообразие ZP диффеоморфно связной сумме произведений сфер:
k 2n+k -j -1 #j
+1 (k+1) j

#S
j =1

j +2

ЧS

,

где через X

#k

обозначена связная сумма k копий X .
TU


Легко видетьD что числа Бетти связной суммыD смF вышеD согласованы с биградуированными числами Бетти многогранника P F
3.2 Обобщенные многогранники усечения: кольца когомологий момент-угол комплексов

Здесь мы значительно расширим класс многогранниковD рассмотренный в предыдущем параграфеF Вначале напомним определение срезки вершиныF Пусть P выпуклый простой многогранник размерности d и v P ! его верE шинаF Выберем гиперплоскость H такуюD что H отделяет v от остальных вершин и v лежит в положительном полупространстве H D определенном H F Тогда P H является dEмерным симплексомD а P H ! простым многоE гранникомD который мы будем называть усечением вершины (срезкой) мноE гогранника P F В случаеD когда выбор срезаемой вершины ясен из контекста или неваженD мы используем обозначение vc(P )F Мы также обозначаем чеE рез vck (P ) многогранникD полученный из P последовательным применением операции срезки вершины k разF Комбинаторный тип многогранника vck (P ) может зависеть от выбора срезаемых вершинD но в данной работе это не игE рает ролиF ПримеромD иллюстрирующим эту конструкциюD является рассматриваеE мый нами далее многогранник P = vck (n1 Ч . . . Ч nr )D при n1 . . .

nr 1, r 1, k 0D где n есть nEмерный симплексF P является многоE гранником усечения @двойственным к многограннику пирамидальной надE
стройкиA тогда и только тогдаD когда r = 1 или r = 2, n2 = 1D здесь мы называем P обобщенным многогранником усечения типа (k ; n1 , . . . , nr ) или

(k ; n1 , . . . , nr )EмногогранникомY у него m = n1 + . . . + nr + r + k гиперграней и размерность равна d = n1 + . . . + nr F
Как было указано в предыдущем параграфеD биградуированные числа Бетти многогранников усечения были впервые полностью вычислены в раE боте USF Мы начинаем этот раздел с теоремыD дающей полное вычисление биградуированных чисел Бетти в случае r = 2X
Теорема 3.2.1.

Для обобщенного многогранника усечения P = v ck (n1 Ч
P

n2 ) с n1 n2 > 1, k 0, биградуированные числа Бетти Z
TV

даются


следующими формулами (1 i k + 1). (a) (b) (c)
-i,2(i+n)

(P ) = 2 (P ) =

k i-1

, при n1 = n2 = n

-i,2(i+n1 ) -i,2(i+1)

-i,2(i+n2 )

(P ) =

k i-1

, при n1 > n2

(P ) =

-(k +2-i),2(k +1-i+n1 +n2 )

(P ) = i

k +2 i+1

-

k i-1

(d) 0,0 (P ) =

-(m-d),2m

(P ) = 1

Остальные биградуированные числа Бетти равны число гиперграней P , а d его размерность.

нулю, где m обозначает

Доказательство. Чтобы воспользоваться индукцией по числу срезаемых верE
шин k D мы должны изучить изменение биградуированных чисел Бетти в слуE чае срезки одной вершиныF Пусть P есть произвольный простой многогранE ник и P = vc(P )F Обозначим через Q и Q двойственные к ним симплиE циальные многогранники соответственноD а через K и K ! их граничные симплициальные комплексыF Тогда Q получается добавлением пирамиды с вершиной v над гипергранью F многогранника QF Обозначим также через V D

V и V (F ) множества вершин QD Q и F соответственноD так что V = V v F Доказательство утверждения @A основано на следующей леммеX
Лемма 3.2.2

@USDUWA. Пусть P простой d-мерный многогранник с m ги-

пергранями и P = vc(P ). Тогда



-i,2(i+1)

(P ) =

m-d + i

-(i-1),2i

(P ) +

-i,2(i+1)

(P ).

Доказательство. Прямое применение теоремы Хохстера при j = i + 1F
Теперь формула @A из теоремы QFPFI следует по индукции по числу срезаеE мых вершинD если воспользоваться тем фактомD что

(n1 Ч n2 ) = 0D n1 n2 > 1 при всех iD леммой QFPFPD а также биградуированной двойственноE стью ПуанкареF Формула @dA имеет место для всех простых многогранниковF
-i,2(i+1)

В формуле @A первое равенство также следует из биградуированной двойE ственности ПуанкареF Остается доказать @A и второе равенство в утверждеE нии @AF Для этого докажем следующую леммуX
TW


Лемма 3.2.3.

Пусть P есть (k ; n1 , n2 )-многогранник, K его граничный ком-

плекс, V множество вершин K , а W непустое собственное подмножество V . Тогда (i) Hi (KW ) = 0, при i = 0, n1 - 1, n2 - 1, d - 2; (ii) При i = n1 - 1 или n2 - 1 группа приведенных гомологий Hi (KW ) нетривиальна (и k) если и только если W = V (n1 ) N V1 или =

W = V (n2 ) N V2 , где N Vt N V , t = 1, 2 и N V есть множество ?новых? вершин в двойственном симплициальном многогранике, |N V | = k .
Доказательство. Индукция по числу k срезок вершинF Докажем утверждеE
ние @iAF

S n 2 -1 = S n1 +n2 -1 F ПоэтомуD по определению джойнаD KW является либо стягиваемым симплициальным комплексомD либо гомотопически эквивалентен сфере разE
При k = 0 имеем P = n1 Ч n2 D и KP = ( n1 ) ( n2 ) S =
n 1 -1

мерности n1 - 1 или n2 - 1D для всякого собственного подмножества W V F Чтобы доказать переход индукцииD рассмотрим V = V v D V1 = V (n1 )D

V2 = V (n2 ) и V (F ) ! те жеD что и в начале доказательства теоремы QFPFIF
ПредположимD что наше утверждение доказано для V D и пусть W ! собственE ное подмножество V F Рассмотрим следующие S случаевF

Случай 1: v W, W V (F ) = .
Если V (F ) W D то K
W

есть подразбиение K

W -{v }

F Следовательно Hi (KW ) =

Hi (K

W -{v }

)F

Если W V (F ) = V (F )D то мы имеем

K

W

=K

W -{v }

K

W V (F ){v }

,

KW

-{v }

K

W V (F ){v }

=K

W V (F )

,

и как K

W V (F )

D так и K

W V (F ){v }

стягиваемыF Из точной последовательности
UH


Майера!Вьеториса мы снова получим Hi (KW ) Hi (K =

W -{v }

)F

Случай 2: v W, W V (F ) = .
В этом случае легко видетьD что K
W

=K

W -{v }

{v }. Следовательно

Hi (K Hi (KW ) = H (K i
Случай 3: W = V - {v } = V .
Тогда K гиваемF

W -{v } W -{v }

) k, при i = 0; ),
при i > 0.

W

есть триангулированный (d - 1)Eмерный дискD и потому он стяE

Случай 4: v W, V (F ) W, W = V .
Мы имеем

KW = K

W

F,

KW F = F,

где через F обозначена граница гиперграни F F Поскольку F есть трианE гулированная (d - 2)Eмерная сфераD а F есть триангулированный (d - 1)E мерный дискD гомологическая последовательность Майера!Вьеториса дает следующие изоморфизмыX

при i < d - 2; Hi (KW ), Hi (KW ) = H (K ) k, при i = d - 2. i W

Случай 5: v W, V (F ) W.
В этом случае мы имеем KW KW . = Во всех случаях мы получаем

Hi (KW ) Hi (K =

W -{v }

) = 0 при i = 0, n1 - 1, n2 - 1, d - 2,

чем доказательство утверждения @iA и заканчивается по индукцииF
UI


Для доказательства утверждения @iiA заметимD что из доказательства @iA и определения джойна следуетD что группа Hn

(KW ) нетрививальна тогда и только тогдаD когда V (W ) = V1 N V1 для некоторого подмножества N V1 N V , |N V1 | 0D тFеD V1 W и V2 W = F В последнем случае Hn1 -1 (KW ) = kF Случай приведенной (n2 - 1)Eмерной группы гомологий аналогиченF
1

-1

Теперь утверждения @A и @A теоремы QFPFI следуют из теоремы Хохстера @если KJ имеет j = i + n1 вершинD тоD замечаяD что |V1 | = n1 + 1D получимD что любые j - |V1 | = i - 1 подкомплекс KJ AF Обращение в нуль остальных биградуированных чисел Бетти в формулиE ровке теоремы QFPFI следует из теоремы Хохстера и леммы QFPFQF Главный результат этого раздела дает полное вычисление биградуированE ных чисел Бетти для всех обобщенных многогранников усеченияX
Теорема 3.2.4. новых

вершин однозначно определяют такой полный

Пусть P есть (k ; n1 , . . . , nr )-многогранник с r 1. Обозна-

чим через a число единичных элементов в наборе {n1 , . . . , nr }. Тогда биградуированные числа Бетти многогранника P даются следующими формулами:

(1 i k + r - 1, 1 < l < d - 1).
(a) (b)
-i,2(i+l)

(P ) =
{ni1 ,...,nis }{n1 ,...,nr }: l=ni1 +...+n
is

k i-s

.

-i,2(i+1) k +r i

=k

(P ) = -(k+r- -1 k - i+1 + a
-(m-d),2m

i),2(d+k +r-i-1) k i-1

(P ) =

.

(c) 0,0 (P ) =

(P ) = 1.

Остальные биградуированные числа Бетти равны

нулю (мы полагаем

b c

=

0 при b < c или, если одно из чисел отрицательно).
Доказательство. Мы используем обозначения из доказательства теоремы QFPFIF
Чтобы доказать утверждение @AD сформулируем утверждение леммы QFPFQ для общего случая следующим образомF Из доказательства леммы QFPFQ и теоE ремы Хохстера ясноD что
-i,2j

(P ) = 0 для всех j : j - i = ni1 + . . . + nis D приE
UP

чем {ni1 , . . . , nis } {n1 , . . . , nr }F Для остальных значений 1 < l = j -i < d-1D


полные подкомплексы K

W

с W = V (np ) N Vp D N Vp N V D для некоторого

1 p rD а также все их джойны дают все нетривиальные группы гомолоE гий вида Hl-1 (KW )F Здесь мы пользуемся темD что S p S q S p+q+1 F Отсюда =
следуетD что j = i + l = (n1 + 1) + . . . + (ns + 1) + (i - s) иD таким образомD всякие (i - s)
новых

вершин дают вклад CI в сумму из утверждения @AD

где i и l фиксированыF Чтобы доказать утверждение @AD заметимD что третье слагаемое в сумме появляется из соображенийD аналогичных темD которые использовались в доE казательстве формулы @A @мы имеем a слагаемых типа заемых вершин k F Оставшиеся утвердения теоремы QFPFR вытекают из теоремы ХохстераF
k i-s

с s = 1AY первые

два члена появляютсяD если применить лемму QFPFP и индукцию по числу среE

Замечание 3.2.5.

Формула QFPFR @A в случае a = 0D r = 2 дает
k +2 i+1

-i,2(i+1)

(P ) =

k

k +r -1 i

-

k i+1

=i

-

k i-1

D что согласуется с результатом теоремы QFPFI

@AF Для удобства дальнейших ссылокD мы также приводим здесь результаты о биградуированных числах Бетти для многогранников усечения @n 3A и для многоугольников @n = 2AX
Предложение 3.2.6.

Пусть P = vck (n ) есть многогранник усечения. То-

гда при n 3 биградуированные числа Бетти даются следующими формулами: (a) (b) (c)
-i,2(i+1) k +1 i+1

(P ) = i

,
k +1 k +2-i

-i,2(i+n-1) -i,2j

(P ) = (k + 1 - i)

,

(P ) = 0,

при i + 1 < j < i + n - 1.

(d) 0,0 (P ) =

-(m-n),2m

(P ) = 1.

Остальные биградуированные числа Бетти равны нулю.
UQ


Предложение 3.2.7

@смF IQD Пример VFPIA. Пусть P = vck (2 ) есть (k +

3)-угольник, тогда
(a)
-i,2(i+1)

(P ) = i

k +1 i+1

+ ( k + 1 - i) (P ) = 1.

k +1 k +2-i

,

(b) 0,0 (P ) =

-(k +1),2(k +3)

Остальные биградуированные числа Бетти равны нулю.
Следствие 3.2.8.

Биградуированные числа Бетти обобщенных многогран-

ников усечения P зависят только от размерностей симплексов и количества гиперграней P и не зависят от его комбинаторного типа. Более того, числа
-i,2(i+1)

(P ) не зависят от размерности d многогранника P .
В классе обобщенных многогранников усечения P все-

Следствие 3.2.9.

возможных типов (k ; n1 , . . . , nr ) множество всех биградуированных чисел Бетти {
-i,2j

(P )} однозначно определяет топологический тип ZP . Для
,

двух произвольных обобщенных многогранников усечения P и Q биградуиро-

(ZP ) и H , (ZQ ) изоморфны тогда и только тогда, когда множества биградуированных чисел Бетти для P и Q совпадают.
Пример 3.2.10.

ванные кольца когомологий H

Рассмотрим простой многогранник P = v c1 (4 Ч 3 Ч 2 )D

для которого d = 9D m = 13F Мы приводим здесь результат вычисления биградуированных чисел Бетти P D полученный с помощью пакета Macaulay

2D смF TPF
Таблица ниже состоит из d - 1 строк и m - d - 1 столбцовF ЧислоD наE ходящееся на пересечении lEой строки и iEго столбцаD равно

(P )D где 1 i m - d - 1 и 2 j = i + l m - 2F Остальные биградуированE ные числа Бетти равны нулюD за исключением 0,0 (P ) = -(m-d),2m (P ) = 1D смF IQD ГлFVX
-i,2(i+l)

UR


i, l l=1 l=2 l=3 l=4 l=5 l=6 l=7 l=8

i=1
3 1 1 1 0 0 0 1

i=2
3 1 1 1 1 1 1 3

i=3
1 0 0 0 1 1 1 3

Теорема Бухштабера!ПановаD результат и доказательство теоремы QFPFRD а также тот фактD что KP свободно от кручений в гомологияхD дают нам полE ное описание кольца когомологий ZP для всех (k ; n1 , . . . , nr )Eмногогранников

P F Мы используем этот результат в следующем разделе при изучении свойE ства минимальной неголодовости KP и рассмотрим некоторые топологичеE ские свойства ZP для обобщенных многогранников усеченияF
3.3 Дальнейшие обобщения: биградуированные числа Бетти

Вначале напомним основное определение данного параграфаF
Определение 3.3.1.

Определим биградуированные числа Бетти многогран-

ника P соотношением



-i,2j

(P ) =

-i,2j

(KP ).

Имеется формулировка теоремы Хохстера IFQFU для произвольных многоE гранниковF
Предложение 3.3.2

@Теорема Хохстера для выпуклых многогранниковA.

Пусть F1 , . . . , F

m

гиперграни многогранника P . Тогда


где FJ =

-i,2j

(P ) =
J [m],|J |=j

rkk H

j -i-1

(FJ ; k),

iJ

Fi P . Здесь и далее принято соглашение rk H -1 (; k) = 1.

US


Доказательство. Из определения и формулы Хохстера для симплициальных
комплексов получаем



-i,2j

(P ) =

-i,2j

(KP ) =
[m],|J |=j

rkk H

j -i-1

((KP )J ; k).

УтверждаетсяD что симплициальный комплекс (KP )J гомотопически эквиваE лентен пространству FJ F ДействительноD имеем локально стягиваемое покрыE тие пространства FJ =

Fi P подмножествами Fi F Легко видетьD что нервом этого покрытия является симплициальный комплекс (KP )J F СледоE вательноD (KP )J FJ и H j -i-1 ((KP )J ; k) H j -i-1 (FJ ; k)D что завершает = доказательствоF
iJ

Из теоремы IFQFQ следует соотношение

rk H p (ZP , k) = rk H p (Z

K

P

(D2 , S 1 ), k) =
-i+2j =p



-i,2j

(P ).

@QFQFIA

Следуя АFАFАйзенбергу ID введем Eмногочлен комплекса K X

K (s, t) =
i,j



-i,2j

(K )s-i t2j Z[s-1 , t2 ]

и приведенный Eмногочлен

~ K (s, t) = K (s, t) - 1.
ОчевидноD что приведенный Eмногочлен " это Eмногочлен без свободноE

= 1 @предложение IFQFTAF Для многогранников E ~ многочлен определяется естественным образом P (s, t) = KP (s, t) и P (s, t) = ~ K (s, t)F
0,0
P

го членаD так как

Замечание 3.3.3.

Введенные многочлены зависят от основного поля k @смF

замечание IFQFSAF
Пример 3.3.4.

Рассмотрим границу симплексаF Имеем

s-1 t2(n+1) F ЗначитD если рассматривать многогранник P = KP (s, t) = 1 + s-1 t2(n+1) F
UT

n

(s, t) = 1 + D то P (s, t) =
n


Пример 3.3.5.

Пусть P = ptF Биградуированные числа Бетти многогранE

ника pt равны биградуированным числам Бетти симплициального комплекE са на одной призрачной вершинеF Последние можно вычислить по опредеE лениюD либо при помощи формулы ХохстераX



-1,2

(pt) = rk H -1 (; k) = 1D (pt) = H -1 (; k) = 1F ЗначитD pt (s, t) = 1 + s-1 t2 F
0,0

Предложение 3.3.6.

Пусть K и L симплициальные комплексы. Тогда

K L (s, t) = K (s, t)L (s, t)
Это утверждение позволяет вычислить биградуированные числа Бетти гоE раздо более общего семействаD чем рассмотренное ранееD а именноD мы можем рассмотреть многогранникиD являющиеся конечными произведениями обобE щенных многогранников усеченияF Тогда предыдущее утверждение позволяE етDпользуясь нашей основной теоремойD находить все их биградуированные числа Бетти
-i,2j

F Очевидно такжеD что нервEкомплексы K

P

поEпрежнему

свободны от кручений в гомологияхF Однако топология @и гомологические свойства колец Стенли!РайснераA таких моментEугол многообразий уже доE статочно сложныF В следующей главе мы сможем убедиться в этомF

UU


Глава 4

Минимально неголодовские комплексы и их момент-угол комплексы

4.1

Основные конструкции и результаты

Эта глава одна из основных в диссертации и посвящена связи между гомоE логическими характеристиками кольца Стенли!Райснера k[P ] и топологией моментEугол многообразия ZP F Основное определение таковоX
Определение 4.1.1.

Кольцо граней k[K ] называется кольцом Голода или

голодовским, если умножение и все высшие операции Масси в

Tor

k[v1 ,...,vm ]

k[K ], k тривиальны.

В этом случае комплекс K мы также называем голодовским F Понятие кольE ца Голода первоначально введено в работе IS для нетеровых локальных коE лецF Согласно согласно результату АFБерглунда и МFЙолленбека PQD Теорема SFI над любым полем k кольцо граней k[K ] является голодовским тогда и только тогдаD когда умножение в его orEалгебре тривиальноF
Определение 4.1.2.

Если K не является голодовским, но удаление любой

вершины v из K превращает индуцированный комплекс Kv = K - v в голодовский, то k[K ] и K называются минимально неголодовскими.
Примерам таких комплексов будет посвящена эта главаF Сформулируем теперь теорему Бухштабера!Панова о кольце когомологий моментEугол комE плексаD приводя одновременно описание Баскакова умножения в немF

UV


Теорема 4.1.3

@IQD Теорема VFT или TRD Теорема RFUA. Алгебра когомологий
K

момент-угол комплекса Z

дается изоморфизмом

H (ZK ; k) Tork[v1 ,...,vm ] (k[K ], k) = H [u1 , . . . , um ] k[K ], d = H (KI ), =
I [m]

где биградуировка и дифференциал в когомологиях дифференциальной биградуированной алгебры определены следующим образом:

bideg ui = (-1, 2), bideg vi = (0, 2);

dui = vi , dvi = 0.

В третьей строке H (KI ) обозначает приведенные симплициальные когомологии полного подкомплекса KI комплекса K (т.е ограничения K на множество I [m]). Последний изоморфизм есть сумма изоморфизмов

H p (ZK ) =
I [m]

H

p-|I |-1

(KI ),

и кольцевая структура задается отображениями

H

p-|I |-1

(KI ) H

q -|J |-1

(KJ ) H

p+q -|I |-|J |-1

(K

I J

),

()
J

индуцированными каноническими симплициальными отображениями KI



KI KJ (джойн симплициальных комплексов), если I J = , и

нуль

иначе.

ДжFВуD ЕFГрбичD ТFЕFПанов и СFТерио SH доказали следующую теоремуF
Теорема 4.1.4.

Если K

флаговый

комплекс, то следующие условия рав-

носильны:

ћ sk 1 (K ) является хордовым графом; ћ ZK имеет гомотопический тип букета сфер; ћ K голодовский комплекс.
Если нервEкомплекс KP флаговыйD то они доказалиD что его минимальная неголодовость равносильна томуD что P многоугольникF В этой же работе быE ла поставлена проблемаX верно лиD что если ZP гомеоморфно связной сумме произведений сферD по дву сферы в каждом произведенииD то комплекс K
UW
P

минимально неголодовскийc Этот вопрос мы обсуждаем в следующей главеF


4.2

Обобщенные многогранники усечения

Начнем с важной технической леммыF
Предложение 4.2.1.

Пусть K = K1 K2 есть симплициальный комплекс,

полученный из двух голодовских комплексов K1 и K2 приклеиванием по двум их изоморфным симплексам. Тогда K также является голодовским. Доказательство. Используя описание умножения в кольце H (ZK ) из теоE
ремы RFIFQ @BAD а также формулу QPD Предложение QFPFIHD @QFIIAD обозначим через L базисную коцепь в C p (KI )D соответствующую ориентированному pE мерному симплексу L I D I V (K )F Тогда произведение двух базисных коцепей L и M D M J D J V (K )D I J = нетривиально тогда и только тогдаD когда L

M является симплексом в KI J F Введем также обозначения Ik = I V (Kk ) и Jk = J V (Kk )D при k = 1, 2F ПредположимD что для фиксированной пары непересекающихся подмноE жеств I , J V (K ) мы имеем нетривиальное произведение по формуле @BA
теоремы RFIFQF Из предыдущегоD для некоторых симплексов L I и M J мы получимD что L

M также является симплексом в KI J F Но по определеE нию операции склейки двух комплексов будем иметьX либо L I1 D M J1 D L M K1 D либо L I2 D M J2 D L M K2 F
Пусть пара подмножеств I , J дает нетривиальное умножение в когомолоE гиях ZK F Для любых двух коциклов C p (KI ) и C q (KJ )D p, q > 0D

(KI J )D мы можем считатьD что = 1 + 2 и = 1 + 2 D где k C (Ik ) и k C (Jk ) суть коциклыD k = 1, 2 @достаточно перейти к барицентрическому подразбиению
p+q +1

произведение которых не является кограницей в C

вK

I V ( )

иK

J V ( )

соответственноAF В силу описания умножения в H (ZK )D

используя предыдущие аргументыD а также голодовость комплексов Kk при

k = 1, 2D получимX = 1 1 + 2 2 = 1 (1 ) + 2 (2 ) = (1 + 2 ),
где k суть кодифференциалы в коцепных комплексах для K
Ik Jk

F

Мы пришли к противоречиюD значитD комплекс K является голодовскимF Теперь докажем главный результат этого разделаX
VH


Теорема 4.2.2.

Для многогранника P = vck (n1 Ч . . . Ч nr ) с n1 . . .

nr 1, r 1, k 0, его граничный комплекс KP является минимально неголодовским тогда и только тогда, когда r = 1, 2 и P не является симплексом.
Доказательство. Индукция по числу новых вершин k F
Пусть r = 2F Мы используем обозначения из доказательства теоремы QFPFRF

= ( n1 ) ( n2 )F ПредположимD что мы удалили из комплекса K = KP вершину v D которая принадлежаE ла множеству вершин n2 F Тогда имеемX K = K - v = ( n1 ) n2 -1 и
P

Если k = 0D то P = n1 Ч n2 и K

ZK = Z n1 Ч Zn2 -1 = S 2n1 +1 Ч D2n2 D что гомотопически эквивалентно сфеE реD иD таким образомD K является голодовским по теореме RFIFQF
При k 1D введем обозначения Q = vc(P )D K = KQ D K K = KP D V1 =

V (n1 )D V2 = V (n2 ) и используем описание умножения из теоремы RFIFQ @смF формулу @BAA и лемму QFPFQ для обобщенных многогранников усеченияF
A.

ПредположимD что мы удаляем вершину v N V D являющуюся вершиной

ровно одной пирамиды @над гипергранью F многогранника P AF В силу описания умножения @BA из теоремы RFIFQD нетривиальное произвеE дение в кольце когомологий Z
K

@K = K - v A происходит из пары подмноE

жеств I , J V (K )D I J = и I

J = V (KP )D и мы можем предположитьD что @Лемма QFPFQA V1 I D V2 J F Рассмотрим следующие P случаяX
Случай 1: I , J V (F ) = F
Мы знаемD в силу предположения индукцииD что K K является минимальE но неEголодовскимD кроме тогоD всякое нетривиальное умножение в H (ZK ) происходит из H (Z
KP

) @используем теорему RFIFQD формула @BAAF Однако

колные подкомплексы KI = K KI и KJ = K KJ не могут давать нетривиE альное произведение в когомологияхD иначе по формуле @BA мы имели бы
VI


(n1 - 1) + (n2 - 1) + 1 = (d - 1)Eмерный класс в когомологиях некоторого полного подкомплекса из K D которыйD очевидноD должен быть тривиальнымF
Случай 2: V (F ) целиком содержится в одном из множеств вершин I , J D скаE
жемD V (F ) I F

(KI ) k и потому мы имеем p - |I | - 1 = d - 2 в формуле @BA = теоремы RFIFQD поэтому p + q - |I | - |J | - 1 d - 1 в @BAD что дает только тривиальные классы когомологийF
Тогда H
d-2
B.

ПредположимD что v либо лежит в V1 V2 D либо v новая вершинаD не являE

ющаяся вершиной ровно одной добавленной пирамиды над гипергранью P F Тогда мы можем использовать минимальную неEголодовость для многоE гранников усечения @смF PQA и индукцию по k для случая r = 2X заметимD что

K представляется в видеX (K1 - v1 ) 1 . . . l (Kl - vl )D склейка вдоль изоE морфных симплексов i D где Ki есть либо граничный комплекс vcp (n1 Ч n2 ) с p < k D либо граничный комплекс vcp (n )F ПоэтомуD используя предложеE ние RFPFID мы получаемD что K голодовскийF
Поскольку KP сам не является голодовскимD и мы доказалиD что K =

KP - v является голодовским для любой вершины v D отсюда следуетD что K является минимально неEголодовским при r = 2F

P

Случай r = 1 может быть доказанD используя то же рассуждениеD что и при r = 2F Единственная разница в томD что больше не возникает обобщенE ный многогранник усечения vcp (n1 Ч n2 ) в случае Остается рассмотреть случай r 3F При k = 0 ясноD что Z
KP - v
B

F

будет гомотопически эквивалентен произведеE

нию 2 сфер для любой удаляемой вершины v D поэтому K = KP больше не является минимально неEголодовским комплексомF
VP


При k 1 рассмотрим v V (n1 )F Тогда произведение коциклов ( n2 ) и ( n3 ) @по теореме RFIFQA остается нетривиальным в когомологиях K =

K - v D таким образомD K не является голодовскимF
Замечание 4.2.3.

Минимальная неголодовость в случае многогранников

усеченияD отличных от симплексаD @r = 1 в теореме RFPFPA была впервые докаE зана в работе АFБерглунда и МFЙолленбека PQD Теорема TFIWY важной частью доказательства этой теоремы в работе PQ был комбинаторный вывод свойE ства ?strong gd? для комплексов KP - v D где P есть многогранник усеченияF В этом доказательстве существенно использовался тот фактD что многогранE никD двойственный к многограннику усеченияD @многогранник пирамидальE ной надстройкиA получается объединением цепочки ?пирамид? @максимальE ных симплексовAF Для обобщенных многогранников усечения это уже не имеE ет местаF
Пример 4.2.4.

Для срезки одной вершины QEмерного куба P = vc1 (1 Ч

1 Ч 1 )D пусть v7 " новая вершина граничного комплекса KP F Тогда комE плекс K = KP - v7 не является голодовскимD так как индуцированный
цикл длины R содержится в его одномерном остове @графеA sk 1 (K )F ПоследE ний не является хордовым графомD ! необходимое условие для тогоD чтоE бы K был голодовским комплексом @PQD Предложение TFRAF Согласно RVD Теорема PFPD моментEугол многообразие ZP D соответствующее обобщенному многограннику усечения P с r = 2, n1 n2 > 1, k 0D диффеоморфно связной сумме произведений сферD по P сферы в каждом произведенииD если

m = n1 + n2 + 2 + k < 3(n1 + n2 ) = 3dD тFе для всех 0 k < 2(n1 + n2 - 1)F Легко видетьD что числа Бетти ZP D полученные из описания диффеоморфного типа в работе RVD совпадают с вычисленными по теореме QFPFI и формуле (1.3)F
Пример 4.2.5.

1.

Рассмотрим P = vc1 (4 Ч 3 ) с d = 7, m = 10F Тогда мы

имеемX

ZP 2S 3 Ч S 14 #S 4 Ч S 13 #S 7 Ч S 10 #S 8 Ч S 9 . =
В этом примере b5 (ZP ) = b6 (ZP ) = 0 и Z
VQ
P не

гомотопически эквивалентно

никакому ZP для многогранников усеченияD смF ниже теорему RFPFTF


2.

Рассмотрим P = vc1 (1 Ч 1 Ч 1 )F Используя теорему RFIFQD в PSD ПриE
P не

мер IIFS доказаноD что соответствующее моментEугол многообразие Z

гомотопически эквивалентно связной сумме произведений сфер ни для какоE го числа сфер в произведенияхF СмF также пример на ссF PT!PU из работы RVF Топологические типы моментEугол многообразий для многогранников усеE чения полностью описаны следующим результатомD впервые полученным ДFМакГавраном в работе TQX
Теорема 4.2.6

@смF PSD Теорема TFQA. Пусть P = vck (n ), n 2 есть

многогранник усечения. Тогда соответствующее момент-угол многообразие

ZP диффеоморфно связной сумме произведений сфер:
k

#S
j =1

j +2

ЧS

2n+k -j -1 #j

+1 (k+1) j

,

где X
4.3

#k

обозначает связную сумму k копий X .

Циклические многогранники

Определение 4.3.1.

Симплициальный многогранник P называется

q -смежностным, если любые q его вершин образуют некоторую грань. Аналогично, простой многогранник называется двойственно q -смежностным, если любые q его гиперграней имеют непустой пересечение (которое в этом случае является гранью коразмерности k ).
Можно показатьD что если многогранник P
n

является q EсмежностнымD

q > [ n ]D то P = n F В то же время существуют многогранникиD которые явE 2 ляются [ n ]EсмежностнымиF Такие многогранники называются просто смеж2
ностнымиF Аналогично определяется двойственно-смежностный простой
многогранникF
Предложение 4.3.2

@смFD напримерD IQA. Если P двойственно q -смежнос
m-n+k -1 k

тный многогранник, то hk (P ) =
Следствие 4.3.3.

,k

q.

Условие (двойственной) смежностности однозначно опре-

деляет f -вектор.
VR


Определение 4.3.4

@Циклический многогранникA. Рассмотрим кривую мо-

ментов t x(t) = (t, t2 , . . . , tn ) Rn . Выберем на ней m

n + 1 точек, отвечающих значениям параметра t1 < ћ ћ ћ < tm . Выпуклая оболочка C n (t1 , . . . , tm ) = conv {x(t1 ), . . . , x(tm )} называется циклическим многогранником.
Можно показать @смFD например IQAD что он является симплициальным и его комбинаторный тип не зависит от выбора значений t1 , . . . , tm X точки x(ti )

являются вершинамиD а nEэлементное подмножество = (i1 , . . . , in ) [m] соответствует множеству вершин некоторой гиперграни тогда и только тогдаD когда выполнено ?условие четности Гейла?X

Если элементы i < j не содержаться в , то число элементов k между i и j четно.
Из этого условия можно легко получитьD что любые [ n ] вершин образуют 2 граньD то есть циклический многогранник является смежностнымF ОбознаE чим его комбинаторный тип через C n (m)F В дальнейшем нам потребуется двойственный простой многогранник C n (m) D который является двойственно-

смежностнымD то есть любые [ n ] его гиперграней имеют непустое пересечеE 2
ниеF Обозначим гиперграни многогранника C n (m) D двойственные к вершиE нам x(ti ) через Fi F Пользуясь условием четности Гейла легко получить следующий фактF
Лемма 4.3.5.

Для n = 2l циклический многогранник имеет циклическую

симметрию: если сопоставить вершинам x(t1 ), . . . , x(tm ) подряд идущие вершины w1 , . . . , wm правильного m-угольника, то подмножество = (i1 , . . . , in )

[m] соответствует множеству вершин некоторой гиперграни тогда и только тогда, когда для любых двух вершин wi , wj , i, j , число вершин wk , / k , между ними четно.
Следствие 4.3.6.

Каждая гипергрань многогранника C 2n (m) комбинатор2n-1

но эквивалентна C

(m - 1) .

В RVD Теорема IFQ доказаноD что моментEугол многообразие соответствуюE щее
четномерному

простому многогранникуD двойственному к смежностноE

му и отличному от симплексаD диффеоморфно связной сумме произведений
VS


сферF Ниже мы докажем минимальную неголодовость нервEкомплексов для этих многогранниковF
Теорема 4.3.7.

Если P является n-мерным простым многогранником, двойP

ственным к смежностному многограннику, а n четно, то K личен от симплекса.

является

минимально неголодовским комплексом тогда и только тогда, когда P отДоказательство. Если P симплексD KP D очевидноD является голодовским комE
плексомF ПредположимD что P не является симплексом и двойственный к нему симплициальный многогранник смежностныйD четной размерностиF ТоE гда существует множество вершин I V (KP )D |I | = [ n ] + 1D такоеD что K 2
n 2 I

есть граница [ ]Eмерного симплексаF В силу двойственности АлександераD паE ра подмножеств вершин I и V (KP ) - I дает нетривиальное произведение в когомологиях ZP D таким образомD KP сам не является голодовскимF Для любой вершины v V (KP )D по определениюD всякий набор [ n ] верE 2 шин KP - v образует в этом комплексе симплексF ПоэтомуD по теореме RFIFQD всякая нетривальная группа когомологий полного подкомплексаD имеющая положительную размерностьD имеет размерность [ n ] - 1F Если KP - v не 2 является голодовскимD произведение коциклов в формуле @BA дает нетривальE ный когомологический класс в размерности 2([ n ] - 1) + 1 = (n - 1) для 2 четных nF Мы приходим к противоречиюD поскольку (n - 1)Eмерная групE па когомологий всякого полного подкомплекса из K D очевидноD тривиальнаF ПоэтомуD KP является минимально неEголодовским комплексомF
Пример 4.3.8.

По теореме QFPFR @A мы получаемD что для обобщенных мноE
-1,4

(P ) = 0F С другой стороныD если простой многогранник P двойственен к смежностному nEмерному мноE гогранникуD n 4D то по IQD Предложение UFQRFP и теореме Гуревича мы n имеем b3 (ZP ) = . . . = b2[ 2 ] (ZP ) = 0F ПоэтомуD ZP для обобщенных многоE гранников усечения P с k 1 не гомотопически эквивалентны никаким ZP
для двойственных к смежностным многогранников P F Следующее утверждение легко следует из результатов теоремы RFIFQD теоE ремы QFPFID теоремы RFPFT и замечания P вышеX
VT

гогранников усечения P с k 1X b3 (ZP ) =


Следствие 4.3.9.

В классе всех многогранников P , являющихся либо обоб-

щенными многогранниками усечения с r = 1 или r = 2, 0 k < 2(n1 + n2 - 1), либо четномерными простыми многогранниками, двойственные к которым являются смежностными, множество всех биградуированных чисел Бетти для P определяет кольцо когомологий Z физма.
Пример 4.3.10.

P

с точностью до кольцевого

изоморфизма и тип гладкого многообразия ZP с точностью до диффеомор-

Эта ситуация в некотором смысле противоположна интеE

ресному примеруD построенному СFЧоем в работе QTF В ней с помощью проE граммы wulyP TP были построены два QEмерных простых многогранника

P и QD такие что их биградуированные числа Бетти попарно совпадаютD но
кольца целочисленных когомологий неизоморфны @а значитD их моментEугол многообразия не гомотопически эквивалентыAF Эти многогранники получаE ются из TEугольной призмы каждый последовательной срезкой трех попарно несмежных реберF
4.4 Простые многогранники с

mn+3

ЗаметимD что простой nEмерный многогранник с n + 1 гипергранью аффинно эквивалентен симплексуD а с m = n + 2 гипергранями проективно эквиваленE тен произведению P симплексовF В первом случае в качестве нервEкомплекса получаем голодовский комплекс и сферу нечетной размерности в качестве

ZP D во втором ! минимально неголодовский комплекс и произведение двух нечетномерных сфер соответственноF
Рассмотрим случай m = n + 3F Имеет место следующее предложениеD смF SPF
Предложение 4.4.1.

Любой простой многогранник P n , m = n + 3, комби-1

наторно описывается при помощи правильного (2k - 1)-угольника M2k

и сюръективного отображения : F v ert(M2k-1 ), причем гиперграни

F1 , . . . , Fr , . . . , Fs , . . . , Fr , . . . , Fn+3 пересекаются в вершине тогда и только тогда, когда 0 { (Fr ), (Fs ), (Ft )}. Простой многогранник с m = n + 2
VU


комбинаторно эквивалентен i Ч j и соответствует треугольнику с числами (1, i + 1, j + 1) в вершинах. Простой многогранник с m = n + 1 является симплексом и соответствует треугольнику с числами (1, 1, n + 1) в вершинах.
Таким образомD простые многогранники с m

n + 3 описываются при

помощи правильных (2k - 1) ! угольников с числами в вершинахD отвечаE ющими количеству гиперграней заданного типаF В треугольнике вершине с числом 1 не соответствует никакая гиперграньD но гиперплоскостьD не пеE ресекающая многогранникF Мы будем писать P (a1 , . . . , a

(M2k-1 , a1 , . . . , a
гранник (M2
k -1

2k -1

) или P )F Из диаграмм Гейла также следуетD что любой многоE
2k -1

, a1 , . . . , a2k-1 ) реализуетсяF НFЮFЕроховец доказал следующую комбинаторную классификацию проE стых многогранников с m = n + 3F (2k - 1)1 ,...,a2k a 3, и a Ч b Ч c (2 , a + 1, b + 1, c + 1).
Имеем: C
2k -4
-1

Предложение 4.4.2.

(M2

k -1

, a1 , . . . , a

2 k -1

),

k

Это означаетD что любой многогранник с m = n + 3 получается с помощью операции подстановки P D где = a1 , . . . , a
2k -1

из четномерного циклическоE

го многогранникаD либо же он является комбинаторно произведением трех симплексовF В дополнении мы докажемD что операция подстановки сохраняE ет свойство минимальной неголодовостиF Отсюда имеемX
Теорема 4.4.3.

При m = n + 3 либо P комбинаторно эквивалентен про-

изведению трех симплексов (обобщенный многогранник усечения), либо его нерв-комплекс минимально неголодовский.
Другое доказательство получается из вычисления НFЮFЕроховцом биграE дированного кольца когомологий ZP в данном случаеX
Теорема 4.4.4.

Пусть P (a1 , . . . , a

2 k -1

). Тогда Z2k
-1

H , (ZP ) = Z Z2k

-1

Z

с образующими: {1, Xi , Yj , Z : i, j = 1, . . . , 2k - 1},

bideg Xi = (-1, 2i ), bideg Yj = (-2, 2j ), bideg Z = (-3, 2(n + 3)).
Для k = 2 имеем: Xi2 = 0, Для k

Xi X

i+1

= Yi ,
VV

X1 X2 X3 = Z . Z, Yi Yj = 0.

3 имеем: Xi Xj = 0,

Xi Yj = i

+k -1,j


Образующая Z отвечает фундаментальному классу многогранной сферыF ЗначитD при удалении любой вершины оставшиеся образующие будут иметь тривиальное произведениеF В начале следующей главы мы приведем утверждение о топологическом строении ZP в данном случае и укажем значения чисел i и j F Недавно ФFБосио PT построил контрпример к гипотезе о топологической инвариантности биградуированных чисел Бетти моментEугол многообразийF
Пример 4.4.5.

В PT искомые два простых многогранника с различныE

ми биградуированными числами БеттиD но топологически эквивалентными моментEугол многообразиямиD строятся следующим образомF РассматриваетE ся простой многогранник P D двойственный к циклическому многограннику

C 16 (20)F Затем с помощью операции ?расширения? @extensionAD явное построE ение которой дается в основной части работыD строятся два смежностных многогранника P1 и P2 F К ним применяется одна и та же подстановкаD в
результате имеем два простых RUEмерных многогранника с SI гипергранямиD дающие в качестве ZP связные суммы произведений сферD по P сферы в кажE дом произведении @в силу теоремы СFГитлера и СFЛопез де Медрано RV о подстановках в случае четномерного смежностного многогранникаAF КоличеE ства сфер в произведениях и их размерности находятся из биградуированных чисел БеттиF Топологические числа Бетти получающихся моментEугол мноE гообразий совпадаютD значитD в данном случае имеет место диффеоморфизмF С другой стороныD биградуированные числа Бетти различныF

VW


Глава 5

Связные суммы произведений сфер как момент-угол многообразия

5.1

Случай

m=n+3

и маломерные комплексы

НапомнимD что многогранники с m = n + 3 получаются подстановкой из правильного 2k - 1Eугольника M2k-1 (a1 , . . . , a

) для каждого k 2F Результат работы QQ о моментEугол комплексах позволяет связать теорему RFRFR с результатом Лопез де Медрано SW о полном пересечении квадрикF
2 k -1
Теорема 5.1.1.

Пусть k = 2. Тогда Z

P

=S
P

2a+1

ЧS

2b+1

ЧS

2c+1 2i

(a + 1, b + 1, c + 1). Пусть k P (a1 , . . . , a
2k -1

3. Тогда Z

2k -1

, где P
-2

= #S
i=1

2i -1

ЧS

+k-1

, где

).
r +k -2

Здесь r = ar + . . . + a

и r = ar + . . . + a

r +k -1

D где все индексы

рассматриваются по модулю 2k - 1F
Следствие 5.1.2.

Для многогранников P и Q с m = n+3 имеем: H
-q ,2p

H , (ZQ ) тогда и только тогда, когда
Пусть P (a1 , . . . , a
2k -1

(P ) =

-q ,2p

(ZP ) (Q) для всех p, q .

,

)F Тогда
i -1,2i

2k - 1 = rk H

-1,

(ZP ) =

(P ) = rk H

-2,

(ZP ) =
j



-2,2j

(P ).

В силу формулы ХохстераD число минимальных наборов гипергранейD имеE

-1,2p (P )F Пусть теперь симплициальный комплекс K одномерныйD то есть это графF Если это флаговый комплексD то это означаетD что K не содержит циклов
p

ющих пустое пересечениеD равно l(P ) =

WH


длины QF В этом случае результат SH показываетD что K комплекс Голода тогда и только тогдаD когда K не имеет циклов длины большей QD а значитD является деревом @графом без цикловAF В противном случаеD если K ! флаговыйD тоD очевидноD что кольцо когомоE логий соответствующего многоугольного цикла входит как прямое слагаемое в когомологии всего моментEугол комплекса и умножениеD описанное БаскаE ковымD очевидно нетривиальноF НапримерD любой простой флаговый многоE гранник свободен от PEмерных треугольных граней QPD значитD его граф ! не хордовыйD но флаговыйF В этом случае результат SH означаетD что граф без циклов длины Q миE нимально неголодовский тогда и только тогда когда он является границей многогоугольникаF К нефлаговому случаю относятсяD напримерD остовы границ симплексов в размерностяхD начиная с PF В работе SI доказаноD что их моментEугол комплексы являются гомотопическими букетами сферD а значитD умножение в кольце когомологий моментEугол комплексов тривиально и комплекс гоE лодовскийF В действительностиD указанное свойство доказано в этой работе для всех так называемых ?сдвинутых? @shiftedA комплексовD к которымD в частностиD относятся остовы симплексовF
5.2 Симплициальные операции и минимальная неголодовость

Лемма о склейке двух голодовских комплексов по общему симплексу являетE ся ключевой в доказательстве предложений этого параграфаF Начнем со срезE ки вершин произвольного минимально неголодовского многогранника @счиE таемD что основное поле фиксированоAF

Теорема 5.2.1.

Если нерв-комплекс KP минимально неголодовский, тогда

то же верно и для KQ , Q = vc(P ).
WI


Доказательство. Обозначим через Q = vc(P )D K K = KP D K = KQ D K =

K - v D v есть новая вершина над гипергранью F двойственного многогранE ника P и d размерность P F Рассмотрим следующие Q случаяX
Случая 1: v = v
Из теоремы RFIFQ и минимальной неEголодовости K K мы получаемD что

K является голодовским комплексомD поскольку (d - 1)Eмерная группа коE гомологий любого полного подкомплекса из K D очевидноD тривиальна @доE статочно проверить пару I , J такуюD что I J = V (K K ) и I J = Y так чтоD либо V (F ) содержится в одном из подмножеств вершин I или J D скажемD V (F ) I D либо I , J V (F ) = F Здесь мы используем описание кольцевой структуры из теоремы RFIFQAF
Случай 2: v V (F )

d-2 (K K - v )D тFе склейка по изоморфным симплексам двух голодовских комплексовF ПоэтомуD в силу предложения RFPFID получаемD что K является голодовскимF
В этом случае легко видетьD что K =
d-1

Случай 3: v v V (F ) /
ПредположимD что пара I , J дает нетривиальное произведение в кольце коE гомологий ZK F Пусть v I и v J F Тогда I , J V (K K ) и либо V (F ) I D / / либо V (F ) I , J = F В последнем случае KI = K KI и KJ = K KJ D так что произведение в когомологиях тривиальноD поскольку (d - 1)Eмерная группа когомологий всякого полного подкомплекса из K тривиальнаF В первом слуE чае тот же аргумент приводит к противоречиюF ПоэтомуD v I или v J F Без ограничения общностиD положим v I F ЕсE ли V (F ) I D то KI и K KI топологичекси эквивалентныD а K

= K KJ D так что произведение в когомологиях тривиальноF Если V (F ) I , J = D
J

тоD очевидноD KI гомотопически эквивалентно K KI D а KJ = K KJ D так что мы снова приходим к противоречиюF Последний возможный случайD когда
WP


V (F ) J F Мы имеем KI = K KI pt и KJ = K KJ - F и умножение коE циклов положительных размерностей в когомологиях ZK @смF теорему RFIFQA тривиально и в этом случаеF Нетривиальное произведение может получиться
только для нульмерного коцикла новой вершины и некоторого коцикла D лежащего в границе гиперграни F D но в этом случае мы приходим к протиE воречию с темD что граничный комплекс vc(n ) без одной вершины является голодовскимF
Замечание 5.2.2.

Теорема SFPFID предложение RFQFUD а также другие реE

зультаты этого раздела могут быть связаны следующей интересной гипотеE зойD впервые появившейся в качестве открытого вопроса в SHD Вопрос QFSX

Если Z

K

топологически эквивалентно связной сумме произведений сфер, с

двумя сферами в каждом произведении, то K минимально неголодовский комплекс и все его полные подкомплексы свободны от кручений в целочисленных гомологияхF

Пример 5.2.3.

Рассмотрим срезку ребра QEпризмы P X Q = v c(P )F Тогда мы

получаемD что Q есть QEкуб ! связная сумма @тривиальнаяAD но произведений Q сфер @ZQ S 3 Ч S 3 Ч S 3 AF Сделав еще одну срезку ребраD мы получаем комE = бинаторно пятиугольную призмуD ее моментEугол многообразие гомеоморфно произведению S 3 на (S 3 Ч S 4 )#5 F Для обобщенных многогранников усечения в смысле главы Q моментEугол многообразие будет произведением связных сумм произведений сферD либо не представляться и в таком видеD как наE пример уже P = v c(I 3 ) согласно описанию кольца когомологий по теореме Бухштабера!ПановаF Рассмотрим операциюD обощающую срезку вершины ! связную сумму мноE гогранников одной размерности в двух их выбранных точкахF Результат заE висит от выбора точек и порядка отождествления соответствующих гиперE гранейD но все равно будет простым многогранникомF Срезка вершины эквиE валентнаD очевидноD связной сумме с симплексомF
WQ


Теорема 5.2.4.

Пусть P и Q минимально неголодовские многогранники.

Тогда их связная сумма P #Q также минимально неголодовская. Доказательство. Рассмотрим двойственную операцию на нервEкомплексах

K1 = KP и K2 = KQ F K = K1 #K2 = K1 K2 \ D где ! максимальный симплексD по которому склеиваются наши многогранные сферыF ЗаметимDчто
если мы выкидываем из K вершинуD лежавшую на границе D то K - v есть склейка по общему симплексу голодовских комплексов K1 - v и K2 - v D а занчитD и сам голодовский комплексF Если же v V (K1 ) \ V ( )D тоD разбивая два коцикла с нетривиальным умножением в суммы с носителями на Ki D получаемD что это нетривиальное умножение должно индуцировать нетривиальное умножение на подкомплекE сах границы симплекса @пользуемся темD что dim( ) = n - 1AF Но последний комплекс голодовский и нетривиального умножения там быть не можетF
5.3 Минимальная триангуляция

CP

2

Здесь мы докажем голодовость одного симплициального комплексаD хорошо известного специалистам по минимальным триангуляциям гладких многообE разийF В работе ST ВFКюнел и ТFБанхоф изучили геометрические и алгебраические свойства минимальной триангуляции K комплексной проективной плоскости на W вершинахF Она обладает многими интересными алгеброEгеометрическими свойствамиD напримерD у нее минимальное число вершин среди всех трианE гуляций REмерных комбинаторных многообразийD отличных от сферыF Нам понадобится тот фактD что K является QEсмежностным комплексомD а такE же явное описание его максимальных REмерных симплексов @их QTA и группы симметрий триангуляцииD данные в работе ВFКюнела и ГFЛассмана SUF Сформулируем основной результат этого разделаF
Теорема 5.3.1.

Минимальная триангуляция CP 2 на 9 вершинах является
WR

голодовским комплексом, с полными подкомплексами, свободными от кру-


чений в целочисленных гомологиях, момент-угол комплекс которого не гомотопически эквивалентен букету сфер. Доказательство. Утверждение о кручениях очевидно из размерностных соE
ображений @смF также главу PAF Докажем голодовостьF @A Легко видетьD что дополнение любого минимального неEсимплекса триE ангуляции K на вершинах 0, . . . , 8D содержащего R вершиныD является одним из QT максимальных симплексов K @это так для одного из миE нимальных неEсимплексовD напримерD для {0, 1, 2, 5}D ему соответствует дополнительный максимальный симплекс {3, 4, 6, 7, 8}D а все остальные пары ?минимальный неEсимплекс ! максимальный симплекс? получаютE ся из этой действием образующих R, S, T D указанных в работе SUAY @A Нетривиальное upEумножение в кольце когомологий H (ZK ; k) может возникнуть только в следующих P случаяхD на полных подкомплексах на множествах вершин I и J X IF I и J суть REвершинные минимальные неEсимплексыD они имеют нетривиальные PEмерные фундаментальные классы как PEмерные сфеE рыY PF |I | = 4 и дает нетривиальный PEмерный класс когомологийD |J | = 5 и дает нетривиальный IEмерный класс когомологий @I

J = [9]AY

Первое невозможно по соображениям размерности @ибо коцикл в проE изведении должен быть SEмернымD а K REмерноAD второе невозможно в силу @A @ибо в этом случаеD KJ есть симплекс триангуляции K и все его когомологии тривиальныAF Таким образомD голодовость K @над любым полемA доказанаF Для вычисления гомотопического типа ZK воспользуемся теоремой АFБариD МFБендерскогоD ФFКоэна и СFГитлераPID которая утверждаетD что для люE бого моментEугол комплекса надстройка над ним Z
K

гомотопически эквиE
J K /

валентна букету надстроек над всеми неEсимплексами K X
WS

2+|J | |KJ |.


Этот результат дает в качестве гомотопического типа Z ний gEкомплекса Z
K

K

букет сфер и

IIEкратной надстройки над CP 2 F Но стабильность приклеивающих отображеE в остовах размерностей 9, . . . , 14 показываетD что все они гомотопически тривиальныD и значитD гомотопическая эквивалентность имеет место без перехода к надстройкеF Таким образомD мы получаем IHEкратную надстройку над CP 2 в качестве одного из слагаемых в букетеD но она не гомотопически эквивалентна никаE кому букету сферD поскольку операция Стинрода S q 2 остается ненулевой в когомологиях любой надстройки над CP 2 F
Замечание 5.3.2.

Пользуясь QEсмежностностью K легко видетьD что звездE

ное подразбиение K одного из максимальных симплексов минимальной триE ангуляции CP 2 дает пример минимально неголодовского комплекса без круE ченийF Из рассмотрения кольца когомологий соответствующего моментEугол комплексаD в силу теоремы Бухштабера!ПановаD замечаемD что Z топически эквивалентен связной сумме произведений сферF
Замечание 5.3.3.

K

не гомоE

Рассмотрения минимальной неголодовости комплексов

в главах R и S используют результат АFБерглунда и МFЙолленбека PQ о томD что над любым полем из тривиальности upEумножения в кольце когомологий

ZK следует отсутствие нетривиальных высших операций МассиF ОднакоD в общем случаеD это может не иметь места над кольцом целых чиселF
Предложение 5.3.4.

Пусть K минимальная триангуляция CP 2 . Тогда
K

в кольце целочисленных когомологий Z изведений Масси.

нет нетривиальных высших про-

Доказательство. Выше мы доказалиD что K есть комплекс Голода над люE
бым полем и имеет место стабильное разложение для моментEугол комплекса

ZK без перехода к надстройкеF Таким образомD ZK гомотопически являетE ся надстройкой @над соответствующим букетом сфер и кратной надстройки
над CP 2 AF НоD как доказал ДжFПортерTVD все высшие произведения Масси надстроек тривиальныF

WT


Дополнение A

Операции на симплициальных комплексах

ПриведемD следуя АFАFАйзенбергу ID определение полиэдральных операцийD простейшие свойства которых нужны в основном тексте диссертацииF Пусть

K " симплициальный комплекс на множестве [m]D а K1 , . . . , Km " симплициE альные комплексы на множествах вершин V1 , . . . , Vm соответственноD причем у комплексов допускаются призрачные вершиныF )= K (K1 , . . . , Km ) на множестве V1 . . . Vm F Пусть Ij Vj при j = 1, . . . , mF СкажемD что I1 . . . Im является симплексом комплекса K (K1 , . . . , Km )D
Конструкция A.1.

Определим симплициальный комплекс K ({Kj }

j [m]

если {j [m] | Ij Kj } K F Комплекс K ({Kj } /

) можно определить эквивалентным образомF Рассмотрим симплексы j на множествах Vj при j = 1, . . . , mF Для любого I K определим подкомплекс (K1 , . . . , Km )I = L1 . . . Lm K1 . . . Km D где Lj = j D при j I D и Lj = Kj при
j [m]

j I F Тогда объединение / K ({Kj } )F
j [m]
Пример A.2.

I K

(K1 , . . . , Km )I K1 . . . K

m

совпадает с

Пусть om " симплициальный комплекс на m призрачных верE

шинахF Имеем по определению o2 (K1 , K2 )

=

K1 K2 F Более общоD

om (K1 , . . . , Km ) = K1 . . . K2 F
Пример A.3.

K (o1 , . . . , o1 ) = K F
Пусть K
i

Пример

A.4.

= l

i

-1

при i = 1, . . . , mF Тогда комплекс

WU


K ( m1 -1 , . . . , l

m

-1

) совпадает с комплексом K (l1 , . . . , lm )D подробно изуE

ченным в работе PPF ИзвестноD что если K " граница симплициального мноE гогранникаD то комплекс K (l1 , . . . , lm ) также является границей симплициE ального многогранникаF В работах ЮF МF Устиновского IVD IW содержится приложение этой конструкции к доказательству гипотезы о торическом ранге для моментEугол многообразийF В общем случаеD когда Ki = m
i

-1

D комплекс K (K1 , . . . , Km ) может не

быть границей симплициального многогранникаD даже если все комплексы

K, K1 , . . . , Km таковыF
ЗаметимD что полиэдральные операции ассоциативны в следующем смысE леX
Предложение A.5.

Пусть K симплициальный комплекс на m верши-

нах, K1 , . . . , Km симплициальные комплексы на l1 , . . . , lm вершинах соответственно, и

K11 , . . . , K1l1 , K21 , . . . , K2l2 , . . . , Km1 , . . . , K

mlm

симплициальные комплексы на множествах вершин Vsjs . Тогда

K (K1 (K11 , . . . , K1l1 ), . . . , Km (Km1 , . . . , K

mlm

)) =
mlm

K (K1 , . . . , Km )(K11 , . . . , K1l1 , . . . , Km1 , . . . , K
как комплексы на множестве вершин
s,js

) @eFIA

Vsjs .

Доказательство легко вытекает из определенияF Конструкция eFI позволяет описывать итерации полиэдральных степенейF
Предложение A.6.

Пусть K симплициальный комплекс на m верши-

нах, а L симплициальный комплекс на l вершинах. Тогда

Z

K (L,...,L)

(X, Y ) = Z

K

X l , ZL (X, Y ) .

как подмножества пространства X ml .
Пример A.7.

(D1 , S 0 ) = ZK (D1 )2 , Z 1 (D1 , S 0 ) = ZK D2 , S 1 ) F Поэтому @комплексныеA моментE угол комплексы являются частным случаем вещественных моментEугол комE
K (2,...,2)

Если L = 1 D X = D1 D Y = S 0 D получаем Z

плексов @смF также IV и PPAF
WV


Конструкция подстановки комплексов находит в настоящее время многоE численные применения в торической топологииF @A СFГитлер и СFЛопез де МедраноRV доказалиD что если P есть четноE мерный смежностный многогранник размерности 2k D где k 2D то он и всевозможные подстановки границ симплексов в его нервEкомплекс дают связные суммы произведений сферD с двумя сферами в каждом произвеE дении в качестве вещественного моментEугол комплекса R

= (D1 , S 0 )K F ПоэтомуD известная в комбинаторной геометрии операция ?удвоения?
K

простого многогранника P (2, . . . , 2) сохраняет указанное выше тополоE гическое свойство для @комплексныхA моментEугол комплексов ZK Y @A СFЧой и ХFПарк QV доказалиD что малое накрытие для некоторого нестоE эдра @но не графEассоциаэдраA может иметь произвольное кручение нечетE ного порядка в когомологияхY @A ФFБосио PW недавно доказалD что биградуированные числа Бетти моментE угол многообразий @или простых многогранниковA

(P ) не являются топологическими инвариантами @моментEугол многообразий ZP AF
-i,2j

В главе R Q нам потребовалось следующее утверждениеX
Предложение A.8.

Пусть многогранник P минимально неголодовский. То-

гда любая подстановка границ симплексов P остается минимально неголодовским многогранником. Доказательство. Это утверждение может быть получено двумя способамиF
В работе PI описана @неградуированнаяA кольцевая структура в когомоE логиях Z
K ( )

D в силу Следствия UFT она совпадает с изначальной структуE

рой H (ZK )F С другой стороныD соответствующий моментEугол комплекс гоE меоморфен K -степениD нетривиальное умножение в которой сосредоточено на дополнительных полных подкомплексах в силу определения подстановки комплексов и голодовости границ симплексовF Альтернативное доказательство может быть полученоD если заметитьD что всякая операция подстановки P (l1 , . . . , lm ) может быть представлена последоE вательностью удвоений вершин двойственного симплициального многогранE никаD тFе операцией симплициального букета Q(1, . . . , 2, . . . , 1)F Но последниеD
WW


в силу своего геометрического определенияD сохраняют характеристическое свойство минимально неголодовских симплициальных комплексов K иметь нетривиальное умножение в Tor ных подкомплексахF
k[m]

(k[K ], k) только на дополнительных полE

IHH


Литература

I АF АF АйзенбергD Связь инвариантов Бухштабера и обобщенных хроматических чиселD ДальневостF матемF журнFD IIXP @PHIIAD IIQ!IQWF P АF АF АйзенбергD ВF МF БухштаберD Момент-угол пространства и нерв-комплексы выпуклых многогранниковD Труды Математического института имF ВF АF СтекловаD ТFPUSD PHIID PP!SRF Q ИF ВF БаскаковD Когомологии K-степеней пространств и комбинаторика симплициальных разбиенийD УМНD SUXS@QRUA @PHHPAD стрFIRU!IRVF R ИF ВF БаскаковD Тройные произведения Масси в когомологиях момент-угол комплексовD УМНD SVXS@QSQA @PHHQAD стрFIWW!PHH S ИF ВF БаскаковD ВF МF БухштаберD ТF ЕF ПановD Алгебры клеточных коцепей и действия торовD УМНD SWXQ@QSUA @PHHRAD стрFISW!ITHF T ВF МF БухштаберD Кольцо простых многогранников и дифференциальные уравненияD ГеометрияD топология и математическая физикаF sD Сборник статейF К UHE летию со дня рождения академика Сергея Петровича НовиковаD Труды МИАН имF ВFАFСтекловаD PTQD МАИКD МFD PHHVD стрFIV!RQF U ВF МF БухштаберD ВF ДF ВолодинF Точные верхние и нижние границы для нестоэдровD ИзвF РАНD 75 @PHIIAF V ВF МF БухштаберD НF ЮF ЕроховецD Алгебра операторов на кольце многогранников и квазисимметрические функцииD УМНD TSXP@QWPA @PHIHAD стрFIWU!IWVF W ВF МF БухштаберD НF ЮF ЕроховецD Многогранники, числа Фибоначчи, алгебры Хопфа и квазисимметрические функцииD УМНD TTXP@QWVAD PHIIF IH ВF МF БухштаберD ТF ЕF ПановD Действия тора и комбинаторика многогранниковD Труды МИАН имF ВFАFСтекловаD PPSD IWWWD стрFWT!IQIF II ВF МF БухштаберD ТF ЕF ПановD Действия торов, комбинаторная топология и гомологическая алгебраD УМНD SSXS@QQSAD стрFQ!IHTD PHHHF IP ВF МF БухштаберD ТF ЕF ПановD Действия тора, эквивариантные момент-уголкомплексы и конфигурации координатных подпространствD Записки научных семиE наров ПОМИD ТFPTTD PHHHF IHI


IQ ВF МF БухштаберD ТF ЕF ПановF Торические действия в топологии и комбинаторикеF МоскваD PHHRF IR ВF МF БухштаберD НF РэйD Торические многообразия и комплексные кобордизмыD УМНD SQ @IWWVAD выпF PD стрFIQW!IRHF IS Голод ЕFСF О гомологиях некоторых локальных колецD ДАН СССР 144XQ @IWTPAD RUW! RVPF IT НF ЮF ЕроховецD Момент-угол многообразия простых n-мерных многогранников с n+3 гипергранямиD УМНD TTXS@RHIA @PHIIAD IVU!IVV IU НF ЮF ЕроховецD Максимальные действия торов на момент-угол многообразияхF Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоEматематических наукF МГУ имF МFВFЛомоносоваD мехFEматF факультетD PHIIF IV ЮF МF УстиновскийD Операция удвоения многогранников и действия тораD УМНD TRXS@QVWA @PHHWAD стрFIVI!IVPF IW ЮF МF УстиновскийD Гипотеза о торическом ранге для момент-угол комплексовD МаE темF заметкиD WHXP @PHIIAD стрFQHH!QHSF PH wih eudinF The Topology of Torus Actions on Symplectic ManifoldsF rogress in ele wthemtisD WQF firkh? userD fselD IWWIF PI eF fhriD wF fenderskyD pF F gohenD F qitlerD The polyhedral product functor: A method of decomposition for moment-angle complexes, arrangements and related spacesD edvnes in wthemtisD PPSXQ @PHIHAD ppFITQR!ITTVF PP eF fhriD wF fenderskyD pF F gohenD F qitlerD A new topological construction of innite families of toric manifolds implying fan reductionD rivXIHIIFHHWRvQ PQ elexnder ferglund nd wihel tollenekF On the Golod property of StanleyReisner ringsD tF elger 315XI @PHHUAD PRW!PUQF PR vF fillerD gF veeD A proof of suciency of McMul len's conditions for f-vectors of simplicial polytopesD fullFemerFwthFoF @xFFAD IWVHD FPD ID ppF IVI!IVSF PS pr? ? ederi fosio nd vurent weerssemnF Real quadrics in Cn , complex manifolds and convex polytopes. et wthF 197 @PHHTAD noF ID SQ!IPUF PT pr? ? ederi fosioF Dieomorphic moment-angle manifolds with dierent Betti numbersD reprint @PHIRAY rivXIRIHFQQHRF PU ul fott nd gli'ord uesF On the self-linking of knots. Topology and physicsF tFwthFhysF 35 @IWWRAD noF IHD SPRU!SPVUF IHP


PV F frunsD tF queldzeD Combinatorial invariance of Stanley-Reisner ringsD qeorgin wthemtil tournlD FQD RD @IWWTAD ppF QIS!QIVF PW itor wF fuhsterF Lectures on toric topologyF sn Proceedings of Toric Topology Workshop KAIST 2008F rends in wthF 10D noF IF snformtion genter for wthemtil ienesD uesD PHHVD ppF I!TRF QH itor wF fuhster nd rs iF novF Algebraic topology of manifolds dened by simple polyhedraF spehi wtF xuk 53 @IWWVAD noFQD IWS!IWT @ussinAY ussin wthF urveys 53 @IWWVAD noF QD TPQ!TPS @inglish trnsltionAF QI itor wF fuhster nd rs iF novF Torus actions and the combinatorics of polytopesF rudy wtF snstF teklov 225 @IWWWAD WT!IQI @ussinAY roF teklov snstF wthF 225 @IWWWAD VU!IPH @inglish trnsltionAF QP itor wF fuhster nd rs iF novF Toric TopologyD e ook pro jet @PHIQAY rivXIPIHFPQTVF QQ F wF fuhsterD F iF novD xF yD Spaces of polytopes and cobordism of quasitoric manifoldsD wosow wthF tFD FUD PD PHHUD ppF PIW!PRPF QR g? esr gmhoD xiols uuiper nd to lisF The topology of holomorphic ows with ? singularityF snstF rutes itudes iF ulF wthF 48 @IWUVAD S!QVF QS wihel Fgrr nd tyn vFhevdossF Coxeter complexes and graph-associahedraD opology epplF 153 @PHHTAD noF IPD PISS!PITVF QT uyoung ghoiF Dierent moment-angle manifolds arising from two polytopes having the same bigraded Betti numbersD reprint @PHIPAY rivXIPHWFHSISF QU uyoung ghoi nd tng oo uimF A combinatorial proof of a formula for Betti numbers of a stacked polytope. iletronF tF gominF 17 @PHIHAD noF ID eserh per WD V ppFY rivXmthFgyGHWHPFPRRRF QV FghoiD rFrkD A new graph invariant arises in toric topologyD tFwthFoFtpn @PHIRA QW hF goxD The homogeneous coordinate ring of a toric varietyD tF elgeri qeomF R @IWWSAD ppF IU!SHY rivXlgEgeomGWPIHHHVvPF RH hF eF goxD Recent developments in toric geometryD elgeri geometry nt gruz IWWSD rovideneD FsFX ewD IWWUD ppF QVW!RQT @roF ympF ure wthFY F TPAY rivXlgE geomGWTHTHITvIF RI wihel F hvisF Groups generated by reections and aspherical manifolds not covered by Euclidean spaceF ennF of wthF @PA 117 @IWVQAD noF PD PWQ!QPRF RP wF hvisD F tnuszkiewizD Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actionsD huke wthF tF IWWIF F TPD PD ppF RIU!RSIF IHQ


RQ iFEwF peihtnerD fF turmfelsD Matroid polytopes, nested sets and Bergman fansD ortuglie wthemti TP @PHHSAD RQURTVF RR eF pennD Generating Functions of Nestohedra and ApplicationsD rivXHWHVFHTHSvI mthFgy RS wF prnzD The Integral Cohomology of Toric ManifoldsD Геометрическая топологияD дисE кретная геометрия и теория множествD Сборник статейD ТрF МИАНD PSPD НаукаD МFD PHHTD стрFTI!UHF RT F pultonD Introduction to toric varietiesD rinetonD xtX rineton nivF ressD IWWQ @ennF of wthF tudiesY FIQIAF RU he qe qroup GAP Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.4.12D PHHVD httpXGGwwwFgpEsystemForgF RV muel qitler nd ntigo vopez de wedrnoF Intersections of quadrics, moment-angle manifolds and connected sumsD reprint @PHHWAY rivXHWHIFPSVHF RW wrk qoresky nd oert whersonF Stratied Morse TheoryF pringerD ferlin!xew orkD IWVVF SH telen qriD rs novD tephen heriult nd tie uF Homotopy types of momentangle complexes for ag complexesD reprint @PHIPAY rivXIPIIFHVUQF SI telen qriD tephen heriultF The homotopy type of the complement of a coordinate subspace arrangement. opology 46 @PHHUAD noF RD QSUEQWTF SP frnko qrunumD Convex polytopesD pringerD IWTVF ? SQ fF qrunumD Convex PolytopesD olF PPI of qrdute exts in wthemtisD pringerE erlgD xew orkD eond edFD PHHQF SR wF rohsterD Cohen-Macaulay rings, combinatorics, and simplicial complexesD in ing theoryD ss @roF eond gonfFDnivF yklhomD xormnD yklFD IWUSAD veture xotes in ure nd epplF wthFD F PTD ppFIUI!PPQD hekkerD xew orkD IWUUF SS prnes uirwnF Cohomology of quotients in symplectic and algebraic geometryF wthemtil xotesD QIF rineton nivF ressD rinetonD xtD IWVRF ST F uuhnelD F pF fnho'F The 9-Vertex Complex Projective PlaneF wthF sntFD 5 @IWVQAD noF QD ppF II!PPF SU F uuhnelD qF vssmnnF The Unique 3-Neighbourly 4-Manifold with Few VerticesF tF of gomF heoryD eries e 35 @IWVQAD ppF IUQ!IVRF SV wrk de vonguevilleF The ring structure on the cohomology of coordinate subspace arrangements. wthF eitshrift 233 @PHHHAD noF QD SSQ!SUUF IHR


SW F vopez de wedrnoD The topology of the intersection of quadrics in Rn D veture xotes in wthemtis IQUH @IWVWAD PVHPWPF TH ntigo v? ez de wedrno nd elerto erjovskyF A new family of complex, compact, op non-symplectic manifoldsF folF oF wtF frsilF 28 @IWWUAD PSQ!PTWF TI F wlneF HomologyF pringerEerlgD ferlinD IWTQF Русский переводX СF МаклейнF Гомология. МоскваX МирD IWTTF TP Macaulay 2F e softwre system devoted to supporting reserh in lgeri geometry nd ommuttive lgerF eville t http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2/ TQ hFwqvrnF Adjacent connected sums and torus actionsD rnsF ew PSI @IWUWAD ppF PQS!PSRF TR rs novF Cohomology of face rings, and torus actionsD in urveys in gontemporry wthemtisF vondon wthF oF veture xote eriesD volF 347D gmridgeD FuFD PHHVD ppF ITS!PHIY rivXmthFeGHSHTSPTF TS rs novF Momentangle manifolds and complexesF sn Proceedings of Toric Topology Workshop KAIST 2010F rends in wthF 12D noF IF snformtion genter for wthemtil ienesD uesD PHIHD ppF RQ!TWF TT rs novD xigel yD Categorical aspects of toric topologyD in ori opology @wFrrd et lD edsFAD gontemporry wthemtisD FRTHD emerin wthemtil oietyD rovideneD sD PHHHD ppF PWQ!QPPF TU rs novD xigel yD einer ogtD Colimits, StanleyReisner algebras and loop spacesD snX 4gtegoril heomposition ehniques in elgeri opology4@qFerone et l edsFAF rogress in wthemtisD FPISD firkhuserD fselD PHHRD ppF PTI!PWIF TV qerld tF orterD Higher productsD rnsF of the emerin wthF oF F IRVD IWUHD ppF QIS!QRSF TW eF ostnikovD Permutohedra, associahedra, and beyondD rivX mthFgyGHSHUITQF UH eF ostnikovD F einerD vF illimsD Faces of generalized permutohedraD rivX mthGHTHWIVR vP mthFgy IV wy PHHUF UI qF eisnerD CohenMacaulay quotients of polynomial ringsD edvnes in wthFD FPID ID IWUTD ppF QH!RWF UP gF F ourkeD fF tF ndersonF Introduction to piecewise-linear topologyF ferlinX pringerE erlgD IWUPF @pringer tudy iditionAF Русский переводX КF РуркD БF СандерсонF Введение в кусочно-линейную топологиюF МоскваX МирD IWURF UQ F tnleyF Combinatorics and Commutative AlgebraF fostonD weX firkh? user foston snFD IWWTF @rogress in wthemtis F RIAF IHS


UR tmes hF tshe'F Homotopy associativity of H-spaces. I. rnstions emerF wthF oF 108 @IWTQAD PUS!PWPF US xoki eri nd kyuki riiF Computation of Betti numbers of monomial ideals associated with stacked polytopes. wnusript wthFD WP@RAX RRU!RSQD IWWUF UT irnest fF inergF Discrete linear groups generated by reectionsF szvF ekdF xuk erF wtF 35 @IWUIAD IHUP!IIIP @ussinAY wthF szvestij 5 @IWUIAD noF SD IHVQ! IIIW @inglish trnsltionAF UU eF elevinskyD Nested complexes and their polyhedral realizationsD ure nd epplied wthemtis urterly P @PHHTAD TSSTUIF UV qunter wF ieglerF Lectures on PolytopesF pringerEerlgD xew orkD PHHUF ?
Публикации автора по теме диссертации

Из официального Перечня ВАКX
UW ИF ЮF ЛимонченкоD Биградуированные числа Бетти некоторых простых многогранниковD МатF Заметки 94XQ @PHIQAD QUQ!QVVF VH ИF ЮF ЛимонченкоD Кольца СтенлиРайснера обобщенных многогранников усечения и их момент-угол многообразияD Труды МИРАН имF ВFАFСтекловаD 286 @PHIRAD PHU! PIVF VI ИF ЮF ЛимонченкоD Биградуированные числа Бетти некоторых простых многогранE никовD sss международная конференция студентовD аспирантов и молодых ученых ЛомоносовD МоскваD II!IS апреля PHII гFD http://higeom.math.msu.su/dubrovinlab/Limonchenko4.pdfF VP ИF ЮF ЛимонченкоD Нетривиальное кручение в кольце когомологий моментEугол комE плексов и их топологические инвариантыD международная конференция студенE товD аспирантов и молодых ученых ЛомоносовD МоскваD V!IP апреля PHIQ гFD

http://www.mathnet.ru:8080/PresentFiles/6578/32080_8dfa.pdf
VQ s FuF vimonhenkoD gomintoril ommuttive lger of some momentEngle mnifolds nd their topologil typesD snterntionl gonferene elgeri opology nd eelin puntionsD in honour of itor fuhster in the osion of his UHth irthdyD wosowD ussiD tune IV!PPD PHIQD ppF VS!VTF VR sF uF vimonhenkoD gohomology rings of some momentEngle mnifolds nd their topologil invrintsD snterntionl ypen ghinese!ussin gonferene orus etionsX opologyD qeometry nd xumer heoryD uhrovskD ussiD eptemer P!UD PHIQD ppF RT!RUF IHT


VS sF uF vimonhenkoD winimlly nonEqolod simpliil omplexes nd momentEngle mnifoldsD snterntionl tpnese!ussin gonferene ori opology PHIR in yskD yskD tpnD tnury PI!PRD PHIRD

http://www.sci.osaka- cu.ac.jp/~masuda/toric2014_osaka/Limonchenko.pdf
VT sF uF vimonhenkoD winimlly nonEqolod simpliil omplexes in tori topologyD IQth erin wthemtil gongressD rnjk fnjD eriD wy PP!PSD PHIRD pF VWF

IHU