Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/people/taras/teaching/progr-topology.pdf Дата изменения: Tue Dec 15 21:36:15 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:09:58 2016 Кодировка: Windows-1251

ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ ?ВВЕДЕНИЕ В ТОПОЛОГИЮ?
ЛЕКТОР: Т. Е. ПАНОВ

1. Топологические пространства, непрерывные отображения, гомеоморфизмы. 2. Связность, компактность, хаусдорфовость. Непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства на хаусдорфово есть гомеоморфизм. 3. Фактор-топология, факторпространства, примеры. 4. Топология произведения, универсальное свойство. 5. Декартовы и кодекартовы квадраты. Расслоенное произведение (коамальгама), склейка (амальгама), универсальные свойства, примеры. 6. Топология на пространстве отображений (компактно-открытая топология), связь с топологией произведения. Экспоненцианый закон (без доказательства). 7. Цилиндр, конус, надстройка, джойн (соединение). 8. Пространства с отмеченной точкой, их произведение, букет и привед?нное произведение (смаш-произведение). 9. Пространства путей и петель. Гомеоморфизм сопряжения (связь отображений из надстройки и отображений в пространство петель). 10. Гомотопия, два определения и их связь через экпоненциальный закон. Гомотопические эквивалентности, стягиваемость, примеры. 11. Клеточные пространства, аксиоматическое определение. Операция приклеивания клетки. Клеточное разбиение произведения клеточных пространств. 12. Примеры клеточных пространств: сферы, конечные и бесконечные проективные пространства, классические поверхности. 13. Свойство продолжения гомотопии, связь с ретракцией. 14. Свойство продолжения гомотопии для клеточных пар. Следствие для факторпространства по стягиваемому подпространству. 15. Теорема о клеточной аппроксимации. Гомотопическая тривиальность отображений S k S n при k < n. 16. Гомотопия петель. Произведение петель, его свойства. 17. Фундаментальная группа пространства с отмеченной точкой. Е? поведение при отображениях. Связь с гомотопией и гомотопической эквивалентностью. 18. Зависимость фундаментальной группы от отмеченной точки. 19. Фундаментальная группа окружности. 20. Следствия вычисления 1 (S 1 ): несуществование ретракции D2 S 1 , теорема Брауэра, основная теорема алгебры.


2

ЛЕКТОР: Т. Е. ПАНОВ

21. Свободное произведение групп. Привед?нные слова. Ассоциативность умножения привед?нных слов. Свободная группа. Задание группы образующими и соотношениями. Абелианизация. 22. Теорема ван Кампена. 23. Линейно связное клеточное пространство гомотопически эквивалентно клеточному пространству с единственной нульмерной клеткой. 24. Задание фундаментальной группы клеточного пространства образующими и соотношениями. 25. Накрытия. Примеры. Свойство поднятия путей. 26. Свойство поднятия гомотопии. Существование и единственность накрывающей гомотопии для накрытий. 27. Гомоморфизм фундаментальных групп, индуцированный отображением накрытия. Связь числа точек в прообразе точки при накрытии и индекса подгруппы. 28. Теорема о поднятии отображений для накрытий (для отображений из локально линейно связных пространств). 29. Существование односвязного накрытия над линейно связным, локально линейно связным и полулокально односвязным пространством. Понятие об универсальном накрытии. 30. Классификация накрытий подгруппами в фундаментальной группе. 31. Графы. Существование максимального дерева. Фундаментальна группа графа. 32. Накрытия над графами. Теорема НильсенаШрайера о подгруппах свободной группы.

Список литературы
[1] В. А. Васильев.

Введение в топологию

. Москва, Фазис, 1997.

[2] О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов. Москва, МЦНМО, 2010. [3] Т. Е. Панов.

Элементарная топология.

http://higeom.math.msu.su/people/taras/#teaching
[4] А. Т. Фоменко, Д. Б. Фукс. [5] А. Хатчер.

Введение в топологию / Топология-1. Курс лекций. Курс гомотопической топологии.
Москва, ?Наука?, 1989.

Алгебраическая топология

. Москва, МЦНМО, 2011.