Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/people/taras/talks/2013nmu-talk.pdf Дата изменения: Mon Oct 7 21:17:54 2013 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:01:17 2016 Кодировка: Windows-1251

Гомотопический тип момент-угол-комплексов

по совместной работе с telen qriD tephen heriult и tie u Тарас Панов
мех-мат МГУ

Рождественские математические встречи фонда ?Династия? НМУD МоскваD V!II января PHIQ

Тарас Панов (МГУ)

Гомотопический тип м-у-комплексов

Москва 9 января 2013

1 / 15


1. Задачи

описать гомотопический тип моментEуголEкомплексов ZK для разных серий симплициальных комплексов KY описать умножение и высшие произведения Масси в H (ZK ) = Tork[v1 ,...,vm ] (k[K], k) кольца граней k[K]Y задать алгебру Йонеды Extk[K] (k, k) образующими и соотношениямиY

Tor

Eалгебре

описать структуру алгебры Понтрягина H (DJ (K)) и е? коммутанта H (ZK ) при помощи итерированных и высших произведений Уайтхеда @СамельсонаAY описать гомотопический тип пространств петель DJ (K) и ZK F

Тарас Панов (МГУ)

Гомотопический тип м-у-комплексов

Москва 9 января 2013

2 / 15


2. Предварительные сведения

(X , A) " пара пространствF K " симплициальный комплекс на множестве [m] = {I, P, . . . , m}D KF
Для каждого I = {i1 , . . . , ik } [m] положим

(X , A)I = Y1 Ч ћ ћ ћ Ч Ym ,

где Yi =

X A

при i I , при i I . /

Определим KEполиэдральное произведение пары (X , A) как

(X , A)K =
I K
Тарас Панов (МГУ)

(X , A)I =
I K i I

XЧ
i I /

A.

Гомотопический тип м-у-комплексов

Москва 9 января 2013

3 / 15


Пример
1

(X , A) = (D 2 , S 1 )D ZK := (D 2 , S 1 )K " моментEуголEкомплексF На ZK имеется действие тора T m F (X , A) = (CP , )D DJ (K) := (CP , )K " пространство Девиса!ЯнушкевичаF (X , A) = (C, CЧ )D U (K) := (C, CЧ )K = Cm
{i1 ,...,ik }K /

2

pt pt

3

{zi1 = ћ ћ ћ = zik = H}

" дополнение конфигурации координатных подпространствF

Теорема

Существует деформационная ретракция
Z
Тарас Панов (МГУ)

K

U (K) - Z

K
Москва 9 января 2013 4 / 15

Гомотопический тип м-у-комплексов


Имеем гомотопическое расслоение

Z

K

-

D J (K ) (CP ,

- )K

(CP )

m

(D 2 , S 1 )K

pt

(CP , CP )K

которое тривиализуется после перехода к пространствам петельX

DJ (K)

ZK Ч T m ,

однако такое разложение не имеет места на уровне H EпространствF

Предложение

Существует точная последовательность некоммутативных алгебр
I - H ( ZK ) - H ( DJ (K)) - [u1 , . . . , um ] - I

Ab

где

[u1 , . . . , um ]
Тарас Панов (МГУ)

внешняя алгебра,

deg ui = I

.
Москва 9 января 2013 5 / 15

Гомотопический тип м-у-комплексов


Пусть k " поле или ZF Кольцо граней @кольцо Стенли!РайснераA комплекса K

k[K] := k[v1 , . . . , vm ] vi1 ћ ћ ћ vik = H,
где deg vi = PF

если {i1 , . . . , ik } K /

Теорема
H (DJ (K)) k[K] = H ( DJ (K)) Extk[K] (k, k) = H (ZK ) = Tork[v1 ,...,vm ] (k[K], k) H [u1 , . . . , um ] k[K], d , = =
I K /

k

поле

dui = vi , dvi = H KI = K|
I

H

-|I |-1

(KI )

k[K] называется кольцом ГолодаD если умножение и высшие произведения Масси в Tork[v1 ,...,vm ] (k[K], k) тривиальныF
Тарас Панов (МГУ) Гомотопический тип м-у-комплексов Москва 9 января 2013 6 / 15


3. Случай флагового комплекса

K назF флаговым комплексомD если любое его множество вершинD попарно соедин?нных р?брамиD порождает граньF

{флаговые комплексы на [m]} {простые графы на [m]} K K() K
1

1-1

@IEостовA



где K() " комплекс клик графа @каждая клика @полный подграфA заполняется граньюAF

Тарас Панов (МГУ)

Гомотопический тип м-у-комплексов

Москва 9 января 2013

7 / 15


Граф назF хордовымD если любой его цикл из R р?бер имеет хорду @реброD соединяющее две несмежные вершины циклаAF ЭквивалентноD является хордовымD если в н?м нет индуцированных подграфовEциклов длины RF

Граф является хордовым тогда и только тогда, когда его вершины можно упорядочить таким образом, что для каждого i все меньшие соседи i -й вершины образуют клику.
@perfet elimintion orderingA

Теорема (ФалкерсонГросс)

Тарас Панов (МГУ)

Гомотопический тип м-у-комплексов

Москва 9 января 2013

8 / 15


Теорема (ГрбичП.ТериоВу) K флаговый комплекс, k поле.
1 2 3 4

кольцо Голода; умножение в H (ZK ) тривиально; = K хордовый граф; ZK гомотопически эквивалентен букету сфер.
k[K]
1

Следующие условия эквивалентны:

Эквивалентности (I) (P) (Q) был доказаны в работе ? ferglund!tollenekPHHUF Импликации (I) (P)D (P) (Q) и (R) (I) верны для любого KF Но импликация (Q) @RA неверна для комплексовD не являющихся флаговымиF
Тарас Панов (МГУ) Гомотопический тип м-у-комплексов Москва 9 января 2013 9 / 15


Пример
5 B Е Е rr Е r Е r6 j r 4Е T e ?e ? e ?2e ? e ?e ? e? e? 1e? c 6 r e?3 Е4 rrd Е d rrЕ Е Е d% 5

Ненулевые группы когомологий ZK суть

H 0 = Z,

H 5 = Z10 ,

H 6 = Z15 ,

H 7 = Z6

H 9 = Z/P.
Все произведения Масси тривиальны по сообE ражениям размерностиD тFеF k[K] " кольцо ГоE лода @над любым полемAF

Тем не менееD ZK не может быть гомотопически эквивалентно букету сфер изEза крученияF На самом деле

Z

K

(S 5 )

10

(S 6 )

15

(S 7 )6 7 RP 2 .

Пусть умножение в H (ZK ) трививально, т.е. k[K] является комплексом Голода над любым полем. Верно ли, что ZK ко-H -пространство или даже надстройка, как в предыдущем примере?
Тарас Панов (МГУ) Гомотопический тип м-у-комплексов Москва 9 января 2013 10 / 15

Вопрос


Как определить число сфер в букетеc Каким ещ? может быть ZK c

Для любого флагового комплекса K имеет место изоморфизм H DJ (K) T u , . . . , um ui = H, ui uj + uj ui = H при {i , j } K = где T u , . . . , um свободная алгебра с m образующими степени 1.
1 2 1

Теорема

Напомним точную последовательность некоммутативных алгебр I - H ( ZK ) - H ( DJ (K)) - [u1 , . . . , um ] - I

Ab

Предложение

Для флагового комплекса K ряд Пуанкаре алгебры
P H (ZK ); t =

H (ZK )

есть

где

(I + t

h(K) = (h0 , h1 . . . , hn )
Тарас Панов (МГУ)

h-вектор комплекса K.

)m-n

I , (I - h1 t + ћ ћ ћ + (-I)n hn t n )

Гомотопический тип м-у-комплексов

Москва 9 января 2013

11 / 15


Пусть K флаговый комплекс. Алгебра H(ZK ), рассматриваемая как коммутант алгебры H(DJ (K)), мультипликативно порождена I [m] dim H (KI ) итерированными коммутаторам вида
0

Теорема

[uj , ui ],
1 2

[uk1 , [uj , ui ]],

...,

[uk1 , [uk2 , ћ ћ ћ [ukm-2 , [uj , ui ]] ћ ћ ћ ]]

где k < k < ћ ћ ћ < kp < j > i , ks = i для любого s , а i наименьшая вершина в компоненте связности подкомплекса K{k ,...,k ,j ,i } , не содержащей j . Этот набор мультипликативных образующих минимален.
1

p

Тарас Панов (МГУ)

Гомотопический тип м-у-комплексов

Москва 9 января 2013

12 / 15


Вот важный частный случай @соответствующий K = m точекAF Это " аналог базиса коммутанта свободной алгебрыD описанного в gohen!xeisendorferIWVR

Лемма

Пусть A коммутант алгебры

T u1 , . . . , um /(ui2 = H)

:

I - A - T u1 , . . . , um /(ui2 = H) - [u1 , . . . , um ] - I

где deg ui = I. Тогда A является свободной ассоциативной алгеброй. A минимально порождена итерированными коммутаторами вида
[uj , ui ],
1 2

[uk1 , [uj , ui ]],

...,

[uk1 , [uk2 , ћ ћ ћ [ukm-2 , [uj , ui ]] ћ ћ ћ ]]

где k < k < ћ ћ ћ < kp < j > i и ks = i для любого s . Число коммутаторов длины равно ( - I)Cm .
Тарас Панов (МГУ) Гомотопический тип м-у-комплексов Москва 9 января 2013 13 / 15


Пусть K флаговый комплекс, а момент-угол-комплекс гомотопически эквивалентен букету сфер. Тогда число сфер размерности + I в букете равно |I | для P m. В частности, H i (KI ) = H при i > H для любого I .

Следствие

Z
=

K

dim H 0 (KI )

,

Тарас Панов (МГУ)

Гомотопический тип м-у-комплексов

Москва 9 января 2013

14 / 15


Ссылки

telen qriD rs novD tephen heriult nd tie uF F reprint @PHIPAY rivXIPIIFHVUQF

Homotopy types of moment-angle complexes

Тарас Панов (МГУ)

Гомотопический тип м-у-комплексов

Москва 9 января 2013

15 / 15