Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/people/talalaev/index_htm_files/d02_01.pdf Дата изменения: Sun Nov 14 15:21:40 2010 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:12:15 2016 Кодировка: Windows-1251

Математический институт В.А. Стеклова Российской академии наук

На правах рукописи УДК SIRFVRD SIPFUUD SIUFWQV

Дмитрий Валерьевич

Талалаев

Квантовый метод спектральной кривой
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

по специальности геометрия и топология (01.01.04)

Москва 2010 г.


Содержание
Введение 3

1

Классический метод спектральной кривой

13

IFI IFP

Представление Лакса IFPFI IFPFP

FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF

IQ IS IT IT IV IV IW PU PU PV PW QI QS QS
36

Описание Хитчина F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Спектральная кривая F F F F F F F F F F F F F F F F F F Линейное расслоение F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Обобщения F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Схемные точки F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Оператор Лакса Интегралы FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF

IFQ

Система Хитчина на особых кривых F F F F F F F F F F F F F F IFQFI IFQFP

IFR

Система Годена F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFRFI IFRFP IFRFQ IFRFR

REматричная скобка F F F F F F F F F F F F F F F F F F F
FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF АлгеброEгеометрическое описание F F F F F F F F F F F

IFS

Разделенные переменные F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F IFSFI

sl2 Eсистема Годена F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F

2

Задача квантования

PFI

Деформационное квантование PFIFI PFIFP PFIFQ

FFFFFFFFFFFFFFFFF

QV QV QW RI RI RI

Соответствие F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Квантование интегрируемой системы F F F F F F F F F Задача квантования системы Годена F F F F F F F F F F Некоммутативный определитель F F F F F F F F F F F F I

PFP

Квантовая спектральная кривая F F F F F F F F F F F F F F F F PFPFI


PFPFP PFPFQ PFPFR PFPFS PFQ PFQFI PFQFP PFQFQ PFR PFRFI PFRFP PFRFQ PFRFR PFRFS PFRFT
3

Квантовая спектральная кривая F F F F F F F F F F F F Янгиан F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Подалгебра Бете F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Доказательство коммутативности FFFFFFFFFFF FFFFFFFFFFFFFFFF

RP RQ RT RU RV RW SI SQ SS SS ST TH TP TP TS
66

Традиционные методы решения

Анзац Бете F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Квантовые разделенные переменные F F F F F F F F F F Монодромия Фуксовых систем F F F F F F F F F F F F F Обозначения FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF

Эллиптический случай F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Алгебра Фельдера F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Коммутативная алгебра F F F F F F F F F F F F F F F F F Характеристический полином F F F F F F F F F F F F F F Предел и система Годена FFFFFFFFFFFFFFFF FFFF Явный вид sl2 эллиптической системы Годена

Решение квантовых интегрируемых систем

QFI

Монодромная формулировка F F F F F F F F F F F F F F F F F F QFIFI QFIFP QFIFQ Скалярное и матричное Фуксовы уравнения F F F F F Двойственное уравнение F F F F F F F F F F F F F F F F F Подъем F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Действие на расслоениях F F F F F F F F F F F F F F F F Действие преобразований на связностях F F F F F F F F Разделенные переменные F F F F F F F F F F F F F F F F P

TU TU TW TW US UT UV VI VP

QFP

Преобразования Шлезингера F F F F F F F F F F F F F F F F F F QFPFI QFPFP

QFQ

Эллиптический случай F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F QFQFI


QFQFP QFQFQ QFQFR
4

Анзац Бете F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Матричная форма уравнений Бете F F F F F F F F F F F Преобразования Гекке F F F F F F F F F F F F F F F F F F

VR VR VU
89

Приложения

RFI

Геометрическое соответствие Ленглендса F F F F F F F F F F F RFIFI RFIFP RFIFQ RFIFR Центр U (gln ) на критическом уровне F F F F F F F F F F Явное описание центра Ucrit (gln )) FFFFFFFFFFF Схема БейлинсонаEДринфельда F F F F F F F F F F F F F Соответствие F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Приведение квантового оператора Лакса к форме

VW VW WR WU WW

RFP

Некоммутативная геометрия F F F F F F F F F F F F F F F F F F IHI RFPFI RFPFP RFPFQ ДринфельдаEСоколова F F F F F F F F F F F F F F F F F F IHP Тождество ГамильтонаEКэли F F F F F F F F F F F F F F IHT Замечания о решениях уравнения КЗ F F F F F F F F F IHU

Введение
Главные результаты и основная идея работы имеют непосредственное отE ношение к двум важнейшим направлениям развития геометрии и тополоE гии PHEго векаD связанным с приложениями теории интегрируемых систем и приложениями квантовой физикиF Наиболее ярким результатом первоE го направления является решение проблемы Шоттки ID основанное на гипотезе СFПF НовиковаF Задача характеризации Якобианов среди проE чих главноEполяризованных абелевых многообразий была решена в терE минах нелинейных уравненийX соответствующее Eфункциональное выраE Q


жение удовлетворяет уравнению КП тогда и только тогдаD когда абелево многообразие является Якобианом некоторой кривойF Развитием этой деE ятельности явилось доказательство гипотезы Вельтерса PD характеризуE ющей Якобианы кривых в терминах тройных секущих соответствующих многообразий КуммераF Второй существенный пласт результатов связан с приложениями квантовой теории поля в задаче построения топологичеE ских инвариантовD в том числе в маломерной топологииF Теория инварианE тов ДжонсаEВиттенаD или более общо E квантовая топологическая теория поляD обобщает традиционные инварианты узловX полином Александера и полином ДжонсаF Собственно инварианты строятся как корелляционные функции некоторой квантовой теории поля QF Также с идеями квантовой теории поля связана теория инвариантов Дональдсона R и ее развитие Зайбергом и ВиттеномF Данный подход оказался исключительно эффекE тивным и привел к таким важным результатам как доказательство гипотеE зы Тома о степени гладкого вложения кривой в CP 2 SF Данное направлеE ние развития математики поднимают проблему нахождения эффективных методов решения квантовых задачF Настоящая работа посвящена построению квантовых аналогов алгеброE геометрических методовD применимых при анализе и решении классичеE ских интегрируемых системF Эти методы основаны на конструкции спекE тральной кривой и соответствующего отображения АбеляF Кроме прилоE жений в топологииD явное описание решений квантовых интегрируемых систем непосредственно связано с такими геометрическими задачамиD как вычисление когомологий Eдивизора абелева многообразия TD вычисление когомологий и характеристических классов пространств модулей стабильE ных голоморфных расслоений UD VD а также пространств модулей флагов R


голоморфных расслоенийD в случае базы CP 1 называемых пространствами Ломона WF Следует также отметить связь метода спектральной кривой и теории интегрируемых систем в целом с Эрлангенской программой ФF Клейна IHD согласно которой исследование геометрических свойств эквивалентно исследованию соответствующих групп симметрийF Теория интегрируемых систем позволяет расширить понятие симметрии с главной группы" до

" пучка алгебр Ли на некоторой алгебраической кривойD тем самым обогаE
щая геометрические конструкции комплексной алгебраической геометрией и теорией специальных функций не групповой природыF В работе строится квантовый аналог метода спектральной кривой для рациональной и эллиптической системы Годена IIF В классификации ХитE чина эти случае отвечают роду 0 и 1 базовой кривойF Главная задача работыD родственная нахождению топологических инвариантов квантовоE полевого типаD а также тесно связанная с исследованием геометрических свойств пространств модулейD состоит в описании спектров рассматриваE емых квантовых интегрируемых системF Полученные результатыD в том числе методологический подход построения квантовой спектральной криE войD позволили описать явно дискретную группу симметрии спектра расE сматриваемых интегрируемых системF Квантование системы Хитчина на кривой произвольного рода и решение соответствующей квантовой задачи потребует использования иной техникиD однакоD найденная в рассматриваE емых случаях геометрическая аналогия может оказаться эффективной и в ситуации общего родаF

S


Классические интегрируемые системы.

Существуют многочисленные исключительно важные примеры интегрируE емых системD описывающие специальные семейства физических процессовD к которым относятся многие уравнения гидродинамики IPD спиновые цеE почкиD интегрируемые волчки @в частности случаи ЛагранжаD ЭйлераD КоE валевской IQAF Тем не менееD в основе данной работы лежит структурная теория интегрируемых системD опирающаяся на алгебраическую геометE рию и теорию алгебр ЛиF Связь теории интегрируемых систем и алгебраической геометрии проE явилась довольно раноD и имеет своей причиной определенную концепцию конечномерности в обоих случаяхF Пионерской работойD устанавливающей связь между данными областями математикиD можно считать работу КF Якоби IRD в которой решение задачи о геодезических на эллипсоиде быE ло дано в терминах преобразования Абеля для некоторой алгебраической кривойF Связь в более полном смыслеD а именно в виде описания фазового пространства интегрируемой системы как расслоения ЯкобиановD была поE нята в UHEх годах прошлого века в работах школы СFПF Новикова IPD ISF В последствии в работе НF Хитчина IT было найдено универсальное геометE рическое описание фазового пространства широкого класса конечномерE ных интегрируемых систем как кокасательного расслоения к некоторому пространству модулей расслоений на алгебраической кривойF Параллельно развивался алгебраический взгляд на интегрируемые сиE стемыD в основе которого лежат принципы Гамильтоновой динамики и Пуассоновой геометрииD позволяющие описывать динамику в терминах структуры алгебры Ли на пространстве функций на рассматриваемом мноE гообразииF Существенный прогресс в теории классических интегрируемых T


систем был связан с открытием метода обратной задачи в THEх годах проE шлого века начиная с работы IVF ОказалосьD что исключительно эффекE тивным с точки зрения решения динамических систем является так назыE ваемое изоспектральное представление динамикиD или представление ЛакE са IWF Данное представление устанавливает связь Гамильтоновых потоE ков с присоединенным действием соответствующей алгебры ЛиD которая является конечномерной для широкого класса примеровF ЗаметимD что как и в отношении с алгебраической геометриейD специфичность интегрируеE мых систем на Гамильтоновом уровне характеризуется определенной коE нечномерностьюX бесконечномерная алгебра Ли функций на многообразии описывается в терминах конечномерной алгебры ЛиD в частном случае E алгебры Ли матриц фиксированного размераF Именно представление ЛакE са позволяет ввести понятие спектральной кривой и использовать методы алгебраической геометрии для построения явных решений PHD решать диE намические системы в алгебраических терминах методом проекции PI или с помощью более общей конструкции грассманиана Сато и Eфункции PPF Далее под методом спектральной кривой будем понимать метод решеE ния интегрируемых системD допускающих представление ЛаксаD в терминах отображения Абеля для кривойD определенной характеристическим полиE номом оператора ЛаксаF Первая часть работы посвящена построению обобщений описания тиE па Хитчина интегрируемых систем на случай кривых с особенностями и отмеченными точкамиF Важность этого обобщения в рамках данной раE боты связана с возможностью интерпретации системы Годена с алгеброE геометрической точки зренияF Актуальность задачи построения замкнуE того формализма типа Хитчина на кривых с особенностями объясняется U


темD что большая часть известных интегрируемых систем имеют именно такую природуF Кроме тогоD граничные точки пространства модулей криE выхD представленные кривыми с особенностямиD получаемыми обобщением особенности типа двойная точка" при склейке схемных точекD допускают

" явное описание как самих фазовых пространствD так и решений соответE

ствующих моделейF К моделямD допускающим описание типа Хитчина на кривых с особенностями относятся многие известные примеры теории инE тегрируемых систем типа ГоденаD КалоджероEМозера для разных типов взаимодействийF В первой части работы строится согласованный формаE лизм систем типа Хитчина на кривых с особенностямиD поясняетсяD каким образом система Годена получается в рамках этого формализмаD а также описывается классический сюжет разделения переменных в этом случаеF
Квантование.

Квантовые интегрируемые моделиD также как и классическиеD часто свяE заны с важными физическими феноменамиF Обсуждаемые здесь примеE ры спиновых цепочек имеют самостоятельное физическое значениеD как квантовоEмеханические системыD описывающие одномерные магнетикиF В ряду наиболее актуальных физических приложений полученных здесь реE зультатов можно считать область квантовых вычисленийF Тем не менееD основным акцентом работы является исследование струкE турной роли интегрируемых систем в том числе на квантовом уровнеD на котором также проявляется роль интегрируемых моделейD как симметрий более сложных объектовF В частностиD спиновые цепочкиD описывающие исключительно одномерные физические системыD оказываются связанныE ми с двумерными задачами статистической физики с помощью метода V


трансферEматрицы IIF Основной метод квантовых интегрируемых системD называемый квантовым методом обратной задачи @КМОЗA был создан в UHE х годах PHEго века школой ЛF ДF Фаддеева PQF Во многом данный метод полагается на классический метод обратной задачиD в особенности в части гамильтонового описанияF С помощью квантового метода обратной задаE чи были построены в частности следующие моделиX квантовое нелинейное уравнение ШредингераD магнетик Гейзенберга и модель синусEГордон @эта модель эквивалентна массивной модели ТиррингаAF Для этих моделей были найдены асимптотики корреляционных функций RWF Многие из полученE ных в рамках КМОЗ результатов относительно асимптотик были известны ранее в рамкам метода анзаца БетеD открытым в IWQI году в работе PRF КМОЗ был в значительной степени обобщен теорией квантовых группD введенной Дринфельдом PSF Язык алгебр Хопфа оказывается исключиE тельно удобным для обобщения алгебраических структурD фигурирующих в теории квантовых интегрируемых системD главным образом для обобE щения пространства инвариантных полиномов на группеF Можно считатьD что с помощью КМОЗ находится квантовый аналог алгебраической соE ставляющей в теории интегрируемых системF Вместе с этимD роль спекE тральной кривой и методов алгебраической геометрии в КМОЗ оставалась непонятойF Именно этой задаче в основном посвящена настоящая работаF Во второй части работы строится квантовый метод спектральной кривойD центральной конструкцией которогоD является квантовый характеристичеE ский полином для квантового оператора ЛаксаF Он построен для систем типа ХитчинаD соответствующих случаю базовой кривой рода 0 и 1 и наE бору отмеченных точекF Системы этого типа включают sln систему ГодеE на с рациональным и эллиптическим видом зависимости от параметровD W


эллиптическую систему КалоджероEМозера со спиномF Квантовый харакE теристический полином представляет собой производящую функцию для квантовых гамильтонианов системыF В основе конструкции лежат методы теории квантовых группD в частности используются результаты построеE ния коммутативных подалгебр в Янгиане и динамической эллиптической квантовой алгебре ФельдераF Также в разделе P описана роль квантового характеристического полинома в задаче нахождения квантовых разделенE ных переменныхF Как было отмечено вышеD методы КМОЗ не позволили существенно продвинуться в задаче описания спектров квантовых интегрируемых сиE стем на конечном масштабеF НапомнимD что именно эта задача является ключевой в программе унификации методов интегрируемых систем и кванE товой теории поля с целью нахождения новых топологических инварианE товF Несмотря на тоD что в некоторых моделях были найдены разделенные переменныеD аналога отображения АбеляD как перехода от дивизора линейE ного расслоения к точке ЯкобианаD в квантовом случае найдено не былоF В части Q работы строится семейство геометрических симметрий решеE ний квантовой задачиD описание которых также существенно использует конструкцию квантового характеристического полинома моделиF Для поE строения этих симметрий используется традиционный метод анзаца Бете в альтернативной формулировкеD а именно в терминах семейства специальE ных Фуксовых операторов с ограниченной монодромиейF В свою очередь данные операторы возникают как скалярный аналог квантового харакE теристического многочленаF Такое описание квантовой задачи позволяет реализовать симметрии в терминах известных в теории изомонодромных деформаций преобразований Шлезингера PT и применять известные реE IH


шения уравнений изомонодромных деформацийD типа уравнений ПенлевеD для описания вариаций спектров квантовых систем при изменении параE метровF В определенном смысле построенное семейство симметрий предE ставляет собой аналог отображения АбеляF
Квантовый метод спектральной кривой и другие направления современной математики.

Исследования квантового характеристического полинома для моделей тиE па Годена позволили систематизировать и существенно повысить эффекE тивность методов решения квантовых интегрируемых системF Построенные дискретные симметрии спектров рассматриваемых систем выполняют роль обобщенных угловых операторовD то есть позволяют рекурентно строить сеE мейства собственных векторов моделиF Практическая значимость результаE тов в геометрии и топологии обусловлена возможностью обобщения данной техники на полевые моделиD возникающие в топологических квантовых теоE риях поляD и в теориях поляD используемых при построении инвариантов Дональдсона и ЗайбергаEВиттенаF Кроме этогоD полученные результаты в проблеме решения квантовых систем имеют непосредственные приложения в задаче описания колец когомологий пространств модулей голоморфных расслоенийD пространств ЛомонаD а также аффинных ЯкобиановF В работе были выявлены многочисленные связи и приложения данноE го подхода в других областях современной математики и математической физикиF В теории представлений полупростых алгебр Ли роль полученных результатов заключается в возможности эффективизации таких классичеE ских задачD как формула кратностейF Приложения такого типа возникают благодаря наличию специальных пределов системы ГоденаD образующие II


коммутативной подалгебры для которых интерпретируются как центральE ные элементы некоторых подалгебр в U (sln )N PUF К этой же области приложений относится результат явного описания центра универсальной обертывающей аффинной алгебры на критическом уровне для алгебры Ли sln изложенный в разделе RF Также следует отметить важность метода квантовой спектральной кривой в геометрическом обобщении соответствия Ленглендса над C PVD в бурно развивающейся области некоммутативной геометрииD а также в математической физике и теории конденсированных средF К области некоммутативной геометрии относятся изложенные в разE деле R результатыD в том числе тождество ГамильтонаEКэли для квантовых операторов Лакса системы ГоденаD полученные в PWF
Благодарности

Автор глубоко признателен коллективу кафедры ВысE

шей геометрии и топологии МеханикоEматематического факультета МосE ковского государственного университета имени МFВF Ломоносова за плодоE творную атмосферу и ценные замечания при подготовке диссертацииF АвE тор благодарен сотрудникам групп IUH и IWU Института теоретической и экспериментальной физики за стимулирующее общениеF Особую благодарE ность автор выражает ОF БабелонуD ВFМF БухштаберуD АFПF ВеселовуD АFМF ЛевинуD СFАF ЛоктевуD МFАF ОльшанецкомуD ТFЕF ПановуD ВFНF РубцовуD АFВF СилантьевуD АFВF ЧервовуD ГFИF ШарыгинуF Данная работа выполнена при частичной поддержке фонда Династия" D гранта РФФИ HWEHIEHHPQW и

"

гранта НШESRIQFPHIHFIF

IP


1
1.1

Классический метод спектральной кривой
Представление Лакса

В данном разделе описывается классический метод спектральной кривой для конечномерных интегрируемых системF Изложение начинается с предE ставления Лакса IWD которое привело к становлению метода обратной заE дачи в теории интегрируемых системF ОказываетсяD что достаточно шиE рокий класс интегрируемых систем имеет так называемое представление Лакса

L(z ) = [M (z ), L(z )]

@IFIA

где M (z ), L(z ) являются матричнозначными функциями формальной пеE ременной z , матричные элементы которых в свою очередь являются функE циями на фазовом пространстве системыF Иными словамиD фазовое проE странство системы может быть вложено в некоторое пространство матE ричнозначных функцийD на котором динамика представляется уравнением Лакса @IFIAF Локально данное свойство выполняется для любой интегриE руемой системы в силу наличия локальных переменных действиеEугол" ческий осцилляторD интегрируемые волчкиD модель НьюманаD задача геоE дезических на эллипсоидеD открытая и замкнутая цепочки ТодыD система КалоджероEМозера для всех типов потенциалов и систем корнейD систеE ма ГоденаD нелинейные иерархии КдФD КПD ТодыD а также их известные матричные обобщенияF Представление Лакса демонстрируетD что динамиE

" @QHD PFR ixmple IAF Глобально таким представлением обладаютX гармониE

каD то есть Гамильтоново векторное поле L = {H, L} для матричнозначной
функции L на фазовом пространстве представляется с помощью другой IQ


структуры алгебры ЛиD а именноD с помощью структуры алгебры Ли на пространстве матричнозначных функций относительно операции коммутиE рованияF Данное свойство лежит в основе многих алгебраических методов анализа интегрируемых системD rEматричной техники и задачи разложения QIF Представление Лакса в частности означаетD что характеристический полином оператора Лакса является интегралом движенияF Спектральная кривая определяется уравнением

det(L(z ) - ) = 0.

@IFPA

ОказываетсяD что решение уравненийD допускающих представление ЛаксаD упрощается с помощью вспомогательной линейной задачи

L(z )(z ) = (z ).

@IFQA

Уравнение Лакса эквивалентно условию совместности следующей системы уравненийX

(z ) = L(z )(z ), (z ) = M (z )(z ).
Если теперь интерпретировать вспомогательную линейную задачу как споE соб задания линейного расслоения на спектральной кривойD то решение сиE стемы описывается в терминах линейных координат на пространстве модуE лей линейных расслоений на кривойD отождествляемом с ассоциированным ЯкобианомF Далее излагается схема Хитчина и некоторые ее обобщенияD которые претендуют на классификационное описание в теории конечномерных инE IR


тегрируемых системF Также определяется система ГоденаD подробно расE сматривается классический метод спектральной кривой для этой системы и вводится аппарат разделенных переменныхD существенным образом исE пользуемый в дальнейшем в разделеD посвященном квантованиюF

1.2

Описание Хитчина

Пусть 0 алгебраическая криваяD рассмотрим M = Mr,d (0 ) пространство модулей голоморфных стабильных расслоений над 0 ранга r и степени d QPF Рассмотрим каноническую голоморфную симплектическую структуE ру на кокасательном расслоении к данному пространству модулей T M. Теория деформаций QQ позволяет явно описать слой кокасательного расE слоенияF Касательный вектор к пространству модулей в точке E D оответE ствующий инфинитезимальной деформации расслоения в представлении коциклом ЧехаD может быть реализован элементом линейного пространE ства H 1 (End(E )). В свою очередь кокасательный вектор в точке E проE странства модулей M благодаря двойственности Серра может быть предE ставлен элементом пространства когомологий H 0 (End(E ) K), здесь

K обозначает канонический класс 0 . В таком описании на кокасательном
расслоении T M может быть определено семейство функций

hi : T M H 0 (Ki );

1 hi (E , ) = tri . i

@IFRA

Прямая сумма семейства отображений hi

h : T M - r=1 H 0 (Ki ) i
называется отображением Хитчина IT и задает лагранжево слоение фаE зового пространстваD определяя тем самым интегрируемую системуF IS


1.2.1

Спектральная кривая

Метод спектральной кривой предполагает явное решение системы в термиE нах естественных объектов некоторой алгебраической кривойF Рассмотрим @нелинейноеA отображение расслоений

char() : K Kr ,
определенное с помощью выражения

@IFSA

char()(ч) = det( - ч I d)

@IFTA

где ч определяет точку слоя K, а выражение I d E тождественное сечеE ние расслоения End(E ). Спектральная кривая определяется как прообраз нулевого сечения Kr . Прообраз определяет алгебраическую кривую в проективизации тотального пространства канонического расслоения K.
1.2.2 Линейное расслоение

Непосредственно решение интегрируемых систем @нахождение переменных 4действиеEугол4A в описании Хитчина может быть построено в терминах следующего линейного расслоенияF Рассмотрим отображение проекции соответствующее каноническому расслоению K

:K
и отображение обратных образов

0

E - (E K),
здесь ч E тавтологическое сечение K. Рассмотрим также факторEпучок ~

-чI d ~

F , отвечающий этому вложению 0 - E - (E K) - F - 0.
IT
-чI d

@IFUA


Носитель F совпадает с определенной выше спектральной кривой модели

D по причине тогоD что решение задачи на собственный вектор линейного
оператора существует тогда и только тогдаD когда соответствующий скаE ляр является собственным числомF Ограничим точную последовательность @IFUA на

0 - L - E | - (E K)| - F | - 0.
ОказываетсяD что L определяет линейное расслоение на спектральной криE войD ассоциированное с собственным вектором поля ХиггсаF Определим отображение базис в Абеля следующим с образомX пусть индексом пересечения

-чI d

{a1 , . . . , ag , b1 , . . . , bg }

H1 (0 , Z)

(ai , bj ) = ij D пусть {i } базис голоморфных дифференциалов H 0 (K),
нормированный условием
ai

j = ij , и пусть Bij =

b

i

j E матрица

bEпериодовF Тогда определим решетку в Cg порожденную целочисленной
решеткой Zg и решеткой с базисомD состоящим из строк матрицы B . Зафиксируем точку кривой P
0

. Отображение Абеля может быть .
@IFVA

определено следующей формулой

A : J ac = C /;

g

A(P ) =

P P0

1

F F F

P P0

g

Данное определение не зависит от пути интегрирования благодаря расE смотрению факторпространстваF Оно обобщается до отображения дивизоE ров и позволяет явно параметризовать пространство модулей линейных голоморфных расслоений на алгебраических кривыхF
Теорема 1.1

@ITA. Линейные координаты на Якобиане J ac() взяE

тые от образа преобразования Абеля A(L) являются переменными типа
IU


"

угол" для системы ХитчинаF

1.3
1.3.1

Система Хитчина на особых кривых
Обобщения

Конструкция Хитчина может быть обобщена на случай особых кривых и кривых с отмеченными точками QRD QSF Это обобщение позволяет строить явные параметризации широкого класса интегрируемых системD сохраняя при этом аналогию с геометрическими объектами классической системы ХитчинаF

ћ Отмеченные точкиX Может быть рассмотрено пространство модулей гоE
ломорфных расслоений на алгебраических кривых с дополнительными даннымиD а именно с тривиализациями в отмеченными точкамиF Такое пространство модулей получается факторизацией пространства функE ций переклейки по таким заменам тривиализаций в атласе открытых множествD которые не меняют тривиализацию в отмеченных точкахF Обозначим данное пространство модулей символом Mr,d (z1 , . . . , zk )F Касательный вектор к пространству Mr,d (z1 , . . . , zk ) в точке E являE ется элементом пространства
k

TE Mr,d (z1 , . . . , zk )

H (End(E ) O(-
i=1

1

zi ))

Кокасательный вектор может быть представлен сечением следующего расслоения
k

H (End(E ) K O(
i=1

0

zi ))

IV


ћ Особые точкиX Пространство модулей расслоений может быть рассмотE
рено на кривых с особенностями типа двойная точка" D касп" или так

" " называемая схемная двойная точка" F В этой ситуации также может " быть построен содержательный формализм системы ХитчинаD привоE
дящий к большому количеству важных примеров интегрируемых сиE стемF При этом алгебраическое описание дуализирующего пучка и проE странства модулей расслоений оказывается более явнымD чем в случае неособой кривой того же алгебраического родаF

1.3.2

Схемные точки

Опишем подробнее формализм системы Хитчина на кривых с двойными схемными точкамиF В работах QS были построены обобщения ингредиенE тов системы Хитчина для особых кривых данного типаD а именноD была найдена алгебраическая интерпретация для пространства модулей голоE морфных расслоенийD касательного вектора к пространству модулейD сечеE ний дуализирующего пучкаD а также для канонической симплектической формы на кокасательном расслоенииD была доказана интегрируемостьF
Класс особенностей

Рассмотрим кривую

proj

получающуюся склейE

кой 2 произвольных подсхем A( ), B ( ) на CP 1 в одну точку @тFеF кривуюD получающуюся добавлением одной гладкой точки к аффинной кривой
af f



= S pec{f C[z ] : f (A( )) = f (B ( ))}D где

N

= 0 AF Далее выE

числяется алгебраический род таких кривых @тFеF dimH 1 (O)AF Основные рассматриваемые примеры предоставляются следующими ситуациямиX

ћ Нильпотентные элементыX A( ) = , B ( ) = 0D в этом случае род равен N - 1F
IW


ћ Корни из единицыX A( ) = , B ( ) = D где k = 1. В этом случае
род равен N - 1 - [(N - 1)/k ]F Более общий случай корней из единицы реализуется подсхемами с соотношениямиX A( ) = и B ( ) такаяD что

B (B (B ...(B ( ))) = mod
k times

N -1

.

Род в этом случае также равен N - 1 - [(N - 1)/k ]F

ћ Геометрически отличные точкиX A( ) = a0 + a1 + ... + a
N -1 N -1

, B ( ) = b0 + b1 + ... + b

N -1

N -1

,

так что a0 = b0 . Род равен N F
Расслоения

Описание пространства модулей голоморфных расслоений

для особых кривых производится на алгебраическом языкеD а именноD исE пользуется соответствие между расслоениями и пучками их сеченийD котоE рые являются пучками локальноEсвободныхD а следовательно и проективE ных модулей над структурным пучком рассматриваемой алгебраической кривойF Геометрическая характеризация проективного модуля осуществляE ется в аффинной карте нормализацииD содержащей склеиваемые подсхемыF Модуль M ранга r над аффинной картой без бесконечности определяется подпространством в тривиальном модуле векторнозначных функций s(z ) на C элементовD удовлетворяющих условиюX

s(A( )) = ( )s(B ( )),
где ( ) =
i=0,...,N -1

i i E матричнозначный полиномF Условие проективE

ности данного модуля M @иD как следствиеD условие на тоD что соответствуE ющий пучок отвечает векторному расслоениюA заключается в следующемX PH


ћ Нильпотентный случайX A( ) = , B ( ) = 0D условиеX 0 = I dF ћ Корень из единицыX A( ) = , B ( ) = D где k = 1D
условиеX
k -1

( )( )...( ћ Геометрически отличные точкиX A( ) = a0 + a1 + ... + a
условие обратимости 0 .
N -1 N -1

) = I d.

, B ( ) = b0 + b1 + ... + b

N -1

N -1

,

Открытая клетка пространства модулей голоморфных расслоений на



proj

получается при рассмотрении факторEпространства по отношению к

действию GLr на пространстве ( ) общего положенияD удовлетворяющих условиям вышеF ПредполагаетсяD что GLr действует сопряжениемF
Дуализирующий пучок и глобальные сечения

В гладкой ситуацииD

канонический класс K определяется расслоением форм старшей степени на комплексноEаналитическом многообразии M размерности mF При этом он реализует двойственность СерраD используемую при описании кокасательE ного пространства к пространству модулей расслоенийF БуквальноD двойE ственность Серра это невырожденное спаривание следующих пространств когомологий

H n (F ) Ч H

m-n

(F K) C

для произвольного когерентного пучка F . В рассматриваемом случае дуE ализирующий пучок может быть определен явно своими глобальными сеE чениямиF Глобальные сечения дуализирующего пучка на PI
proj

могут быть


описаны в терминах мероморфных дифференциалов на C вида

= Res
для произвольных ( ) =

( )dz ( )dz - , z - A( ) z - B ( )
i=0,...,N -1

@IFWA

i

1
i+1

. В этом выражении дроби слеE 1 (z - a0 )(1 -

дует понимать как геометрическую прогрессиюX

1 1 = z - A( ) z - a 0 - a 1 - a

2

2

- ...

=

1 a1 + a2 2 + ... a1 + a = (1 + +( (z - a0 ) z - a0 z-a

a1 +a2 2 +... z -a0 2 2 + ... 2 0

)

) + ...).

Символ Res означает взятие коэффициента при 1 F ОказываетсяD что для произвольного ( ) выражение выше дает голоморфный дифференциал на особой кривой
proj

, и кроме тогоD при этом любой дифференциал полуE

чается таким образомF В общей ситуации отображение пространства ( ) в пространство голоморфных дифференциалов имеет ядроF Опишем спаE ривание Серра для структурного пучкаF Рассмотрим покрытие кривойD соE стоящее из двух открытых множествX U0 = af f и U E окрестность .
ћ Пересечение U0 U можно отождествить с проколотым диском U с ценE
ћ тром в . Пусть s OU E представитель класса H 1 (O). Спаривание

определяется формулойX

< , s >=
U0 U

s.

@IFIHA

Несложно заметитьD что спаривание корректно определено на классах коE гомологийF
Эндоморфизмы модуля

M



описываются матричнозначными полиноE

миальными функциями (z ) удовлетворяющими следующему условию

(A( )) = ( )(B ( ))( )-1 .
PP


Действие (z ) на сечении s(z ) определяется формулойX s(z ) (z )s(z )F Пространство H 1 (End(M )) описывается как факторEпространство матE ричнозначных полиномиальных функций по двум подпространствамX

End
и

out

= {(z ) M atn [z ]|(z ) = const}

Endin = {(z ) M atn [z ]|(A( ))) = ( )(B ( ))( )-1 }.
Элементы H 1 (End(M )) интерпретируются как касательные вектора к пространству модулей голоморфных расслоений в точке M F ИнфинитеE зимальная деформация расслоенияD соответствующая элементу (z ), задаE ется формулой

(z ) ( ) = (A( ))( ) - ( )(B ( )).
Глобальные сечения

@IFIIA

H 0 (End(M ) K) описываются выражениямиX ( ) ( )-1 ( )( ) dz - dz , z - A( ) z - B( )
@IFIPA

(z ) = Res
где

Res ( )( )( )-1 - ( ) = 0
и ( ) =
i



i

1
i+1

E матричнозначная полиномиальная функцияF Данное

выражение также предполагает разложение знаменателя в геометрическую прогрессиюF ОказываетсяD что все глобальные сечения из H 0 (End(M ) K) получаются таким образомF
Симплектическая форма

на кокасательном расслоении к пространE

ству модулей расслоений может быть описана в терминах гамильтоновой PQ


редукции симплектической формы на пространстве пар ( ), ( ), заданE ной выражениемX

Res T rd(( )-1 ( )) d( ).

@IFIQA

При этом гамильтонова редукция выполняется относительно действия соE пряжением постоянными матрицами GLn .
Интегрируемость

Система Хитчина на кривой

proj

описывается как

система на фазовом пространствеD которое реализуется в виде гамильтоE нового фактора пространства пар ( ), ( ). Симплектическая форма заE дается формулой IFIQF Редукция рассматривается по отношению к дейE ствию группы GLn сопряжениямиF Оператор Лакса определяется формуE лой PFRQF Гамильтонианы задаются коэффициентами разложения функций

T r((z )k ) по некоторому базису голоморфных k Eдифференциалов @то есть
сечений H 0 (Kk )AF ОтметимD что z , w, k , l выполняется следующее свойство коммутативностиX T r((z )k ) и T r((w)l ) коммутируют на не редуцированE ном пространствеF Доказательства интегрируемости системы Хитчина на особой кривой проводится с помощью техники rEматричных вычисленийF Пуассонова скобка между ( ) определяется rEматричным выражениемX

{( ) ( )} = [( ) 1, R]

-

= [( ) 1 + 1 ( ), R] . @IFIRA

Здесь {A B } стандартное обозначение для поэлементных скобок Пуассона двух матриц со значениями в Пуассоновой алгебреF Матрица R это матрица перестановки в тензорном квадрате линейного пространстваX R(u v ) =

PR


v uF Функция определяется выражением
N -1

=
k =0





k

k +1

.

Обозначение |...| означает отбрасывание мономов k D степени k < N D такE же как |...|- означает отбрасывание положительных мономовF

rEматричной скобкой также описывается Пуассонова структура следуE
ющих генераторов

(z , ) =

( ) -1 ( )( )( ) - z - A( ) z - B( )

.
-{ }

А именно выполняется следующее равенство
z {(z , ) (w, )} = [(z , ) 1, R] w -{по
всем переменным

}

.

Пуассонова структура в терминах операторов Лакса также описывается

rEматричной формойX
z {(z ) (w)} = |[(z ) 1, R]w |-{z ,w} z = |[(z ) 1 + 1 (w), R]w |w .

@IFISA Коммутативность T r((z )k ) доказывается традиционным для структур

rEматричного типа способомF
Функции T r((z )k ) инвариантны по отношению к действию группы

GLn сопряжением на пространстве пар ( ), ( ). Эти функции могут быть
ограничены на редуцированное пространствоF Важным свойством гамильE тоновой редукции является тоD что при редукции сохраняются скобки инваE риантных функцийF СледовательноD данная процедура приводит к построE ению коммутативного семейства на редуцированном пространствеD которое совпадает с фазовым пространством системы ХитчинаF PS


Пример 1.1.

Рассмотрим рациональную кривую с одной двойной точкой

z1 z2 @кольцо рациональных функций на такой кривой выделяется в
кольце рациональных функций f на CP 1 условием f (z1 ) = f (z2 )A и одной отмеченной точкой z3 . Дуализирующий пучок @тFеF пучок реализующий двойственность Серра H 1 (F )

H 0 (F K)A имеет глобальное сечение

dz (

1 z -z

1

-

1 z -z

2

). Рассмотрим пространство модулей M голоморфных расE
node

слоений E ранга n на

с фиксированной тривиализацией в точке z3 .

Имеется следующий изоморфизм линейных пространств

TE M = H 1 (End(E ) O(-p)).
Ограничим рассмотрение открытой клеткой пространства модулейD отE вечающей классам эквивалентности матриц с различными собственE ными значениямиF Кокасательное пространство изоморфно пространE ству голоморфных сечений расслоения End (E ) K O(p). Это пространE ство может быть реализовано пространством рациональных матричE нозначных функций переменной z следующего вида

(z ) =

1 2 3 - + z - z1 z - z2 z - z3

dz ,

где на вычеты выполняются условия

1 =

2

и

1 - 2 + 3 = 0.

Фазовое пространство системы параметризуется элементом U

GL(n), который характеризует тривиализацию расслоения в точке z3 ,
матрицей , определяющей проективный модуль над кольцом O(mode )D вычетами поля Хиггса i . В данных координатах каноническая симплекE тическая форма на T M может быть представлена выражением

= T r(d(-1 1 ) d) + T r(d(U
PT

-1

3 ) dU ).


После выполнения гамильтоновой редукции по отношению к правому дейE ствию группы GL(n) на U и присоединенному действию на элементах

i , получим пространствоD параметризуемое матричными элементаE
ми (3 )ij = fij , i = j ; собственными значениями e2 Пуассона
xi

матрицы и диаE

гональными элементами матрицы (1 )ii = pi со следующими скобками

{xi , pj } = ij ,

{fij , fkl } = j k fil - il fkj .

Гамильтониан спиновой тригонометрической системы КалоджероE МозераD связанной с конечноEзонными решениями матричных обобщений уравнения КП QTD получается как коэффициент T r2 (z ) при 1/(z - z1 )2
n

H = T r =
i=1

2 1

p2 - 4 i
i=j

fij fj i . sinh2 (xi - xj )

1.4
1.4.1

Система Годена
Оператор Лакса

Система Годена была построена в II @раздел IQFPFPA как предел модеE ли ГейзенбергаF Она описывает одномерную цепочку взаимодействующих частиц со спиномF Система Годена может быть рассмотрена как обобщенE ная система ХитчинаD соответствующая рациональной кривой = CP 1 с

N отмеченными точками z1 , . . . , zN . Поле Хиггса в данном случае предE
ставляется рациональным сечением типа = L(z )dz где

L(z ) =
i=1...N

i . z - zi

@IFITA

PU


Выражение L(z ) традиционно называется оператором Лакса ввиду исклюE чительной роли представления Лакса в теории интегрируемых системX

L = [ M , L]
для некоторой матричнозначной функции M . Вычеты оператора Лакса системы Годена i являются матрицами разE мера n Ч nD матричные элементы которых лежат в gln . . . gln . (i )k
l

совпадает с k lEым генератор iEой копии gln . В данном случае генераторы алгебры Ли интерпретируются как функции на двойственном пространE стве gl . Симметрическая алгебра S (gln )N n двойственном пространстве к алгебре ЛиX

C[gl . . . gl ] снабжеE n n

на Пуассоновой структуройD задаваемой скобкой КирилловаEКостанта на

{(i )kl , (j )mn } = ij (lm (i )kn - nk (i )ml ).
1.4.2

R

-матричная скобка

REматричные представления скобок Пуассона оказались ключевым элеменE
том теории квантовых группF В некотором смысле наличие REматричной структуры эквивалентно интегрируемостиF НапомнимD что в теории кванE товых групп QU выделенными объектами являются так называемые кваE зитриугольные или сплетенные биалгебрыF Введем обозначенияX

ћ {ei } E стандартный базис в Cn ;
j ћ {Eij } E стандартный базис в End(Cn )D то есть такойD что Eij ek = k ei Y

ћ eij E генераторы sEой копии gln N gln F
PV

(s)


Оператор Лакса может быть представлен в виде
N

L(z ) =
ij

Eij
s=1

eij . z - zs

(s)

Пуассонова структура может быть описана следующим кратким соотношеE нием в терминах производящей функции генераторовX

{L(z ) L(u)} = [R12 (z - u), L(z ) 1 + 1 L(u)] End(Cn )2 S (gln )N ,
с классической REматрицей Янга

R(z ) =

P12 , z

P12 v1 v2 = v2 v1 ,

P

12

=
ij

Eij Ej i .

1.4.3

Интегралы

Интегралы движения могут быть получены как коэффициенты характериE стического полинома
n

det(L(z ) - ) =
k =0

Ik (z )

n-k

.

@IFIUA

Часто используется альтернативный базис симметрических функций собE ственных значений оператора Лакса @полиномы Ньютона собственных чиE сел оператора ЛаксаA

Jk (z ) = T rLk (z ),

k = 1, . . . , n.

Традиционные квадратичные Гамильтонианы могут быть получены следуE ющим образом

H

2,k

= Res

z =z

k

T rL (z ) =
j =k

2

2T rk j =2 (zk - zj )
PW

(k ) (j ) lm elm eml j =k

zk - zj

.


Они описывают модель магнетикаD состоящего из набора частиц на пряE мой с парным взаимодействиемD определяемым внутренними спиновыми степенями свободыF Известно классическое
Утверждение 1.2.

Коэффициенты характеристического полинома L(z )

коммутируют по отношению к скобке КирилловаEКостанта

{Ik (z ), Im (u)} = 0.
Аппарат REматричных представлений существенно упрощает доказаE тельство такого рода утвержденийF Представим здесь основную схему доE казательстваF
Доказательство

Пусть L1 (z ) = L(z ) 1 nd L2 (u) = 1 L(u).

{Jk (z ), Jm (u)} = T r12 {Lk (z ) Lm (u)} = Tr = Tr + Tr - Tr - Tr
В частности @IFIVA + @IFIWA = T r12 [
ij 12 ij 12 ij 12 ij 12 ij 12 ij

Li (z )Lj (u){L(z ) L(u)}L 1 2 Li (z )Lj (u)R12 (z - u)L 1 2 Li (z )Lj (u)R12 (z - u)L 1 2 L
i+1 1 k -i 1

k -i-1 1

(z )L

m-j -1 2

(u)
@IFIVA

(z )L

m-j -1 2 m-j 2

(u) (u) (u) (u).

k -i-1 1

(z )L

(z )Lj (u)R12 (z - u)L 2
j +1 2

k -i-1 1

(z )L

m-j -1 2

@IFIWA

Li (z )L 1

(u)R12 (z - u)L

k -i-1 1

(z )L

m-j -1 2

Li (z )Lj (u)R12 (z - u)L 1 2

k -i-1 1

(z )L

m-j -1 2

(u), L1 (z )].

Последнее выражение равно нулю по причине тогоD что под следом стоит коммутатор некоторых выраженийF QH


1.4.4

Алгебро-геометрическое описание

В данном разделе описываются основные алгеброEгеометрические компоE ненты обобщения конструкции Хитчина на кривые с отмеченными точкаE миF А именноD строится пара {, L} E спектральная кривая и расслоение на нейD которая позволяет решать классическую систему ГоденаF
Спектральная кривая

~ Спектральная кривая системы Годена описыE

вается уравнением

det(L(z ) - ) = 0.

@IFPHA

Для построения неособой компактификации кривой необходимо рассмотE реть тотальное пространство расслоенияD в котором оператор Лакса приE нимает значения

(z ) = L(z )dz H 0 (CP 1 , End(On ) )

@IFPIA

где = K(k ) = O(k - 2). Определим компактификацию уравнением

det((z ) - ) = 0.

@IFPPA

Данная кривая является подмногообразием рациональной поверхности

S

k -2

, полученной с помощью компактификации тотального пространства

линейного расслоения O(k - 2) над CP 1 , а именно проективизации P (O(k -

2) O) над рациональной кривойF Данная линейчатая поверхность содерE
жит три типа дивизоровX E E исключительный дивизорD C E слой расслоE

QI


ения и E0 E базовая криваяF Эти дивизоры имеют следующие пересечения

E0 ћ E0 = k - 2, E0 ћ C = 1, C ћ C = 0, E ћ C = 1.
Для определения рода кривой воспользуемся формулой присоединенияF Для этого для начала вычислим канонический класс S ствует класс дивизоров
k -2

. Ему соответE

KS

k-2

= -2E0 + (k - 4)C.

Пусть класс равен [] = n1 E0 + n2 C. Из тогоD что является nEлистным накрытием CP 1 получим [] ћ C = n. Из этого следует n1 = n. Для вычисE ления n2 необходимо использовать фактD что полученаD как спектральная кривая голоморфного сечения End(On ) иD следовательноD не пересекает бесконечный дивизор E . Получим n2 = 0 и следовательно

[] = nE0 .
По формуле присоединения получим

2g - 2 = KS

k-2

ћ [] + [] ћ []

= (-2E0 + (k - 4)C ) ћ nE0 + n2 E0 ћ E0 = -2(k - 2)n + (k - 4)n + (k - 2)n2 .
Это позволяет вычислить род спектральной кривой

g () =

(k - 2)n(n - 1) - (n - 1) 2
QP

@IFPQA


Линейное расслоение

Точке пространства модулей M можно сопостаE

вить спектральную кривую и линейное расслоение на ней L, строящееся как собственное подрасслоение в On по отношению к действию оператоE ра ЛаксаF Рассмотрим отображение обратных образовX

(On )

()-y I d

-

(On ).

@IFPRA

Здесь проекция , y E тавтологическое сечение . В рассматриE ваемом случае имеет место точная последовательность
n 0 OS ()-y ћI d

-

On (k - 2) OS (E ) F 0.

@IFPSA

ФакторEпучок F имеет носитель на . Ограничивая последовательность на спектральную кривую получим
n n 0 L O OS ((k - 2)C + E )| F 0,

@IFPTA

где L и F являются линейными расслоениямиF В этом случае получим
n n (L) = (O ) - (OS ((k - 2)C + E )| ) + (F )

Обозначим дивизор (k - 2)C + E S как D.
n (O ) = n(1 - g ), n (OS (D)| ) = nD ћ [] + n(1 - g )

= n2 (k - 2) + n(1 - g ),
n (F ) = ( On (k - 2) OS (E )) - (OS ) 1 = n (D ћ D - D ћ KS ) = n(k - 1). 2

@IFPUA

Таким образом (L) = -n2 (k - 2) + n(k - 1). Подсчитаем количество точек ветвления = 2(g + n - 1) = (k - 2)(n2 - n). Получим QQ


Лемма 1.3.

deg (L) = g + n - 1 - .

Размерность

коммутативного

семейства

На аффинной карте без

{zi } и спектральная кривая имеет вид
n-1

R(z , ) = 0,
где

R(z , ) = (-1) +
m=0

nn

m Rm (z ),

@IFPVA

k

n-m

Rm (z ) =
i=1 l=1

Rm,i . (z - zi )l
n-1 m=0

(l)

Количество свободных коэффициентов равно

k (n - m) = k

n(n+1) 2

.

Центральные функции @симметрические полиномы собственных чисел соE ответствующих орбитA являются старшими коэффициентами Rm (z ) то есть коэффициентами R
n-m m,i

в количестве k n - 1. Оператор Лакса имеет двойной

ноль в бесконечности

L(z ) =

1 z2

i zi + O(
i

1 ). z3

Из этого следуетD что Rm (z ) имеет ноль порядка 2(n - m) в бесконечностиF Это наблюдение в свою очередь накладывает дополнительные
n-1

(2(n - m) - 1) = n
m=0

2

условий на значения ГамильтониановF Таким образомD размерность спектра коммутативного семейства составляет

k

n(n + 1) n(n - 1) - k n + 1 - n2 = k - n2 + 1 = g . 2 2
QR


1.5

Разделенные переменные

Для широкого класса интегрируемых систем разделенными оказываются переменныеD связанные с дивизором линейного расслоения L на спектральE ной кривойD а именно пары координат точек дивизораD отвечающих влоE жению аффинной карты базовой алгебраической кривой в тотальное проE странство канонического расслоения @или других линейных расслоений в случае рассмотрения обобщений системы ХитчинаAF ОбычноD данный дивиE зор определяется дивизором нулей Функции БейкераF В работе QV привоE дится конструкция разделенных переменных для некоторых семейств инE тегрируемых системF В sl2 Eсистеме Годена разделенные переменные были известны ранее и могут быть найдены еще более явным образомF
1.5.1

sl2

-система Годена

В случае sl2 Eсистемы Годена в работе QW были построены разделенные переменныеF НапомнимD что sl2 Eсистема Годена получается из общей gl2 системы @IFITA при выборе значений центральных функцийD отвечающих следу каждой из орбитD равных 0. оператор Лакса в этом случае определяE ется формулойX

L=

A(z )

B (z )

.

C (z ) -A(z )

Будем рассматривать характеристический полиномD как функцию параE метров z , и значений ГамильтониановX

det(L(z ) - ) = R(z , , h1 , . . . , hd ).

QS


Определим переменные yj , как нули выражения C (z ). В качестве двойE ственных переменных возьмем

wj = A(yj ).
Этот набор переменных определяет координаты Дарбу на фазовом проE странствеX

{yi , wj } = ij .
Рассмотрим производящую функцию S (I , y ) канонического преобразоваE ния от переменных yj , wj к переменным действиеEугол" Ij , j

"

wj = yj S

j = Ij S

Точка с координатами (yj , wj ) является точкой спектральной кривой в сиE лу определения данных переменныхF Тот фактD что переменные типа дейE

" ствие" являются функциями ГамильтониановD позволяет разделить переE
менные в задаче отыскания канонического преобразования S

S (I , y1 , . . . , yd ) =
i

s(I , yi ),

где каждый сомножитель s(I , z ) решает уравнение

R(z , z s, h1 , . . . , hd ) = 0.

2

Задача квантования

Задача квантования имеет физическую мотивациюD она связана с квантовой физикойD являющейся действующей парадигмой современной естественноEнаучной области знанийF В математическом контексте задаE ча формулировалась разными способамиX в работах RH рассматривалась QT


задача деформации алгебры функций на симплектических многообразийD

" ционного квантования для кокасательного расслоения к группе ЛиD исE
пользуемый далееD был рассмотрен в работе RIF В дальнейшем методы деE формационного квантованияD EпроизведенияD произведения МойалаD геоE метрического квантования были расширены для более общих ситуацийF Важным структурным результатом данной теории является теорема форE мальности Концевича RPD из которой следует существование квантования Пуассонова многообразияF ТакжеD важные результаты в области деформаE ционного квантования принадлежат Федосову RQF Тем не менееD в данной части работы предлагается радикально более жесткая постановка задачи квантованияD которая предполагает деформаE цию не только Пуассонова многообразияF Ввиду наличия интегрируемой системы предполагается построение деформации парыX Пуассонова алгебE ра C коммутативная подалгебра в нейF Будем называть эту часть задачи квантования интегрируемой системы алгебраическойF ОднакоD кроме этоE гоD ставится задача построения квантовых аналогов существенныхD с точE ки зрения описания классической интегрируемой системыD геометрических объектовF В общемD ставится задача ассоциативной деформации ПуассоE новой алгебры функций на фазовом пространствеD при которой ПуассонE коммутативная подалгебра остается коммутативнойD причем деформируE ется также спектральная кривая модели и разделенные переменныеF БуE дем называть полную задачу квантования в указанном смысле алгеброE геометрическойF

удовлетворяющей требованиям соответствия" F Частный случай деформаE

QU


2.1
2.1.1

Деформационное квантование
Соответствие

Традиционная схема деформационного квантования предполагает построеE ние ассоциативной алгебры по Пуассоновой алгебреF Пуассоновой алгеброй называется коммутативная алгебра A
cl

с умножениемD заданным операE

цией ћD кроме того оснащенная кососимметричной билинейной операциейD называемой скобкой ПуассонаD обозначаемой {, }, превращающей Acl в алгебру ЛиD и согласованной с умножением посредством тождеством ЛейбE ницаX

{f , g ћ h} = {f , g } ћ h + g ћ {f , h}.
Пуассонова алгебра может считаться инфинитезимальной версией ассоциE ативной алгебрыF Благодаря так называемой Eконструкции Дринфельда несложно заметитьD что пространство Acl []/2 со операцией умножения

f g = f ћ g + {f , g }
является ассоциативной алгебройF Под квантованием Пуассоновой алгебE ры Acl со структуройD определяемой операциями @ћD{, }AD называемой алE геброй классических наблюдаемыхD понимается нахождение ассоциативной алгебры A с операцией умножения @AD удовлетворяющей следующим услоE виямX

A

Acl [[h]] как линейное пространство.

QV


Кроме этогоD при отождествлении алгебры классических наблюдаемых с пространством констант в A требуется следующее согласование структурX

a b = a ћ b + O(h), a b - b a = h{a, b} + O(h2 ).
Отображение

lim : A - Acl :
называется классическим пределомF
Пример 2.1.

h0

Рассмотрим Пуассонову алгебру S (gln ), построенную на

пространстве симметрической алгебры со скобкой ПуассонаD определяеE мой скобкой КирилловаF Для нее существует каноническое квантованиеD реализующее концепцию деформационного квантованияX пусть Uh (gln ) E деформированная универсальная обертывающая алгебра

Uh (gln ) = T (gln )[[h]]/{x y - y x - h[x, y ]}
Классический предел описывается пределом h 0 который корректно определен в семействе алгебр Uh (gln ) по параметру h. Существование предела следует из наличия общего базиса ПуанкареEБиркгофаEВитта для рассматриваемого семействаF
2.1.2 Квантование интегрируемой системы

Интегрируемая система может быть представлена паройX Пуассонова алE гебра Acl и Пуассонова коммутативная подалгебра Hcl подходящей размерE ности dim(S pec(Hcl )) = 1/2dim(S pec(Acl )). Алгебраическая задача кванE QW


тования в этих терминах может быть сформулирована как нахождение соE ответствия

Hcl Acl H A
удовлетворяющего следующим условиям

ћA

Acl [[h]] как линейные пространстваD отображение lim : A A

cl

называется классическим пределомY

ћ H E коммутативнаY ћ lim : H = H
cl

Замечание 2.1.

В случае квантования симметрической алгебры алгебE

ры Ли gln квантовое соответствие может быть упрощеноF Рассмотрим

U (gln ), которая является алгеброй с фильтрацией по степени элементов {Fi }. Отображение проекции на ассоциированную градуированную алгебE
ру индуцирует Пуассонову структуруX

U (gln ) Gr(U (gln )) = i Fi /Fi-1 = S (gln ).

@PFIA

На генераторах a Fi и b Fj индуцируется коммутативное умножеE ние и Пуассонова скобкаF Данные структуры возникают при рассмотреE нии следующих выраженийX

a b = a ћ b mod Fi+j -1 ,

a b - b a = {a, b} mod Fi+j -2 .

RH


2.1.3

Задача квантования системы Годена

Классическая часть соответствия квантования определяется следующими объектамиX Пуассонова алгебра и коммутативная подалгебра

A H

cl cl

= S (gln )N

C[gl . . . gl ], n n

- подалгебра порожденная Гамильтонианами Годена @IFIUA.

Алгебраическая часть задачи квантования сводится к построению паE рыD в которой квантовая алгебра наблюдаемых совпадает с тензорной стеE пенью универсальной обертывающей алгебрыX

A = U (gln )N ,
причем коммутативная подалгебра H является деформацией подалгебрыD порожденной классическими Гамильтонианами ГоденаF

2.2
2.2.1

Квантовая спектральная кривая
Некоммутативный определитель

Рассмотрим матрицу B =

ij

Eij Bij элементы которой лежат в некотоE

ройD вообще говоря не коммутативнойD ассоциативной алгебре Bij A. Eij как и прежде обозначают матричные единицы в пространстве End(Cn ). БуE дем использовать следующее определение некоммутативного определителя в данном случае

det(B ) =

1 n!

(-1) B
,
n

(1), (1)

. . . B

(n), (n)

.

Это определение совпадает с классическим для матриц с коммутирующиE ми элементамиF Существует эквивалентное определениеD апеллирующее к RI


действию оператора на старшей внешней степени линейного пространстваF Для этого введем оператор An антисимметризации в пространстве (Cn )n

An v 1 . . . v n =

1 n!

(-1) v
S
n

(1)

... v

(n)

.

Введенное выше определение некоммутативного определителя эквивалентE но следующему

det(B ) = T r

1...n

An B1 . . . Bn ,

где Bk обозначает оператор в End(Cn )n A заданный выражением

Bk =
ij

1 . . . Eij . . . 1 Bij ,
k

а след берется по всем матричным компонентам End(Cn )n .
2.2.2 Квантовая спектральная кривая

Будем называть квантовым оператором Лакса системы Годена следующее выражениеX
N

L(z ) =
ij

Eij
s=1

eij . z - zs

(s)

L(z ) является рациональной функцией переменной z со значениями в End(Cn ) U (gln )N . Определим квантовый характеристический полином
квантового оператора Лакса формулой

n

det(L(z ) - z ) =
k =0

n QIk (z )z -k .

@PFPA

RP


Следующая теорема говорит о томD что именно такая деформация классиE ческого характеристического полинома @IFIUA позволяет строить произвоE дящую функцию квантовых ГамильтониановF
Теорема 2.1

@RRA. Коэффициенты QIk (z ) коммутируют

[QIk (z ), QIm (u)] = 0
и квантуют классические Гамильтонианы Годена в следующем смысле

lim(QIk ) = Ik .
Доказательство этого факта использует существенные результаты теоE рии квантовых группD такие как конструкция ЯнгианаD его подалгебры Бете и в общем укладывается в концепцию квантового метода обратной задачиF В следующих разделах вводятся необходимые определения и приE водится набросок доказательства теоремы квантования системы ГоденаF
2.2.3 Янгиан

Данная алгебра Хопфа была построена в работе PS и играет важную роль в задаче описания рациональных решений уравнения ЯнгаEБакстераF

Y (gln ) прежде всего является ассоциативной алгебройD порожденной элеE
ментами tij @в данном разделе i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , n; k = 1, . . . , AF Соотношения описываются в терминах производящей функции
(k )

T (u, h) Y (gln ) End(Cn )[[u-1 , h]],
имеющей вид

T (u, h) =
i,j

Eij tij (u, h),
RQ

tij (u, h) = ij +
k

tij hk u-k ,

(k )


где Eij E матричные единицы в End(Cn ). Соотношения записываются с помощью REматрицы Янга

R(u) = 1 -
и принимают следующий вид

h u

Eij Ej
i,j

i

R(z - u, h)T1 (z , h)T2 (u, h) = T2 (u, h)T1 (z , h)R(z - u, h).
Обе части тождества рассматриваются как элементы

@PFQA

End(Cn )2 Y (gln )[[z -1 , z , u-1 , u, h]],
при этом рациональная функция дывается в ряд
1 z -u

в выражении для REматрицы расклаE

1 = z-u



l=0

ul . z l+1

В определяющих соотношениях приняты следующие обозначения

T1 (z , h) =
i,j

Eij 1 tij (z , h),

T2 (u, h) =
i,j

1 Eij tij (u, h).

Янгиан является алгеброй ХопфаD коумножение в которой задано в термиE нах производящей функции следующей формулойX

(id )T (z , h) = T 1 (z , h)T 2 (z , h),
где используются следующие обозначения

T 1 (z , h) =
i,j

Eij tij (z , h) 1,

T 2 (z , h) =
i,j

Eij 1 tij (z , h).

RR


Представление вычисления" Напомним конструкцию так называеE " мого гомоморфизма вычисления" : Y (gln ) U (gln ). Для этого опредеE " лим рациональную функцию по u, h со значениями в End(Cn ) U (gln )

Tev (u, h) = 1 +

h u

Eij eij = : 1 +
i,j

def

h , u

@PFRA

где eij E генераторы gln . Tev (u, h) удовлетворяет соотношению @PFQAD следовательно отображение {tij eij ; tij 0 при k > 1} определяет гомоморфизм алгебрF Рассмотрим тензорное произведение U (gln )N [[h, h-1 ]] и производящую функцию @PFRA для отображения вычисления в lEю компоненту рассматE
l риваемого тензорного произведения Tev (u - zl , h). ОказываетсяD что для (1) (k )

произвольного набора комплексных чисел (z1 , . . . , zN ),выражение
1 2 k T (u, h) = Tev (u - z1 , h)Tev (u - z2 , h) . . . Tev (u - zN , h),

@PFSA

являющееся рациональной функцией от u и h со значениями в End(Cn )

U (gln )N , определяет гомоморфизм
именноD имеет место следующая
Лемма 2.2.



: Y (gln ) U (gln )N [[h, h-1 ]], а

ОтображениеD ставящее в соответствие генератору ЯнгиE
-k

ана tij ij Eй матричный элемент коэффициента разложения T (u, h)h в u = при u-k , определяет гомоморфизм алгебр

(k )

: Y (gln ) U (gln )N [[h, h-1 ]].
Данная лемма следует из существования гомоморфизма коумножения и гомоморфизма вычисленияF

RS


2.2.4

Подалгебра Бете

Данная подалгебра тесно связана с Квантовым Методом Обратной ЗаE дачи @КМОЗA PQD RTD RUD а именно ее генераторы являются квантовыE ми интегралами для модели Гейзенберга RTD RSF Далее используетE ся описание подалгебры Бете работы RV @раздел 2.14AX рассмотрим комE плекснозначную n Ч nEматрицу C и T (u, h) E производящую функцию генераторов Янгиана Y (gln ). Введем также обозначение An для матриE цы антисимметризатора в пространстве (Cn )
n

и следующие элементы

End(Cn )n Y (gln )[[u, u-1 , h]] Tm (u, h) =
ij

1 . . . 1 Eij 1 . . . 1 tij (u, h).

m

Оказывается RV @раздел 2.14AD что выражения вида

k (u, h) = T rAn T1 (u, h)T2 (u - h, h) . . . Tk (u - h(k - 1), h)Ck

+1

. . . Cn @PFTA

при k = 1, . . . n, называемые генераторами БетеD порождают коммутативE ное семейство в Y (gln )[[u, u-1 , h]] в следующем смыслеX

[i (u, h), j (v , h)] = 0.
Кроме тогоD данное семейство максимально если матрица C имеет простой спектрF След в выражении PFT вычисляется по матричным компонентам

End(Cn )n , а разложение в ряд для Tm (u - h(m - 1), h) вычисляется в
окрестности u = , например


1 = u-h

m=0

hm , um+1

Далее мы будем рассматривать единичную матрицу C и образы генераE торов подалгебры Бете при отображении вычисления" D которые являются

"

RT


мероморфными функциями по u со значениями в U (gln )N [[h]], для проE стоты мы будем их обозначать теми же буквами
k (u, h) = T rAn T1 (u, h)T2 (u - h, h) . . . Tk (u - h(k - 1), h) k = 1, . . . n.

@PFUA
2.2.5 Доказательство коммутативности

Присутствие структуры коумножения в теории квантовых групп позволяет использовать так называемый метод фузии" для построения нетривиальE дующемX рассмотрим образ T (z ) при представлении вычисления в композиE ции с подходящим количеством операций коумножения z1 . . . zN N
-1

" ных интегрируемых системF БуквальноD данные метод заключается в слеE

T (u) = Tz11 (z ) . . . TzN (z ) End(Cn ) U (gln )N . N
Образ подалгебры Бете при таком гомоморфизме порождает некоторую коммутативную подалгебру и может быть описан производящей функциейX

Q(z , h) = T rAn (e-hz T1 (z , h) - 1) . . . (e-hz Tn (z , h) - 1) n

=
j =0

j j (z - h, h)(-1)n-j Cn e-j hz

= det(e-hz T (z , h) - 1).

@PFVA

Выражение @PFVA может быть представлено в виде ряда по z . Из коммуE тативности генераторов подалгебры Бете следуетD что коэффициенты данE ного рядаD являющиеся рациональными функциями по u со значениями в

U (gln )N [[h]], тоже коммутируют при разных значениях параметра u. СлеE
довательно коммутируют также их младшие коэффициенты по h, которые RU


и являются искомыми коэффициентами квантового характеристического многочлена системы ГоденаF ОказываетсяD что старший коэффициент по h выражения @PFVA имеет вид

det(e-hz T (z , h) - 1) = hn det(L(z ) - z ) + O(h
в силу разложенияX

n+1

)

e-hz T (z ) - 1 = h(L(z ) - z ) + O(h2 ).
Замечание 2.2.

Следует отметитьD что независимость квантовых ГаE

мильтонианов Годена непосредственно вытекает из независимости их классических пределовD поскольку наличие алгебраического соотношения на построенные операторы из U (gln )N влечет некоторое нетривиальное соотношение на их старшие символыF Вопрос о максимальности данного семейства также решается положительно исходя из максимальности семейства классических ГамильтониановF
Замечание 2.3.

Основной результат данной работы может быть инE

терпретирован как построение квазиклассического предела Eмодели ГейзенбергаF

2.3

Традиционные методы решения

Традиционные в области квантовых интегрируемых систем методы решеE ния для систем на конечном масштабе сводятся к методу анзаца Бете или разделенных переменныхD которые в свою очередь позволяют выразить заE дачу описания спектра квантовой системы в терминах решений некоторой алгебраической системы уравненийD или в терминах свойств монодромии RV


некоторой Фуксовой системыF ОднакоD способов решений альтернативных задач данные методы не предполагаютF Тем не менееD существует достаточE но богатый материал в области решения квантовых интегрируемых систем в разнообразных пределахF Далее приводятся описания двух наиболее традиционных методов для простейшей системы ГоденаF
2.3.1 Анзац Бете

Рассмотрим квантовую систему Годена соответствующую алгебре Ли sl2 . В этом случае оператор Лакса представляется в виде

L=
где

A(z )

B (z )

=
i

C (z ) -A(z )

i , z - zi

i =

hi /2 fi

ei -hi /2

.

Квантовый характеристический полином является дифференциальным оператором второго порядка со значениями в квантовой алгебреX

det(L(z ) - z ) =

2 z

1 - 2

i

ci - (z - zi )2

(2)

i

Hi . z - zi

Гамильтонианы Годена задаются вычетами

Hi =
i=j

hi hj /2 + ei fj + ej fi . zi - zj

Коэффициенты при полюсах второго порядка также содержатся в коммуE тативной подалгебреD но являются центральными по отношению ко всей квантовой алгебреF RW


Одним из наиболее распространенных методов решения квантовых инE тегрируемых моделей является метод анзаца БетеD предложенный впервые Бете для решения модели ГейзенбергаF Он применим к различным одноE мерным системамF Для системы Годена данный метод был предложен в работе IIF Приведем здесь конструкцию БетеF Рассмотрим систему ГодеE на отвечающую sl2 при фиксированном представлении V = V1 . . . V где Vi конечномерное неприводимое представление старшего веса i F
Лемма 2.3.
N

Вектор
M

=
j =1

C (чj )|v ac >

является общим собственным вектором для коммутирующего семейE ства гамильтонианов Годена если набор параметров чj @называемых корE нями БетеA удовлетворяет системе уравнений Бете

-

1 2

i

i + чj - zi

k =j

1 = 0, ч j - чk

j = 1, . . . , M .

@PFWA

Собственные значения Hi на векторе в этом случае выражаются через корни Бете следующими формулами

Hi = -i
j
Доказательство

1 1 - zi - чj 2
j =i

j . zi - zj

В рассматриваемом случае квантовый характеристический полином имеет видX
2 2 det(L(z ) - z ) = z - A2 (z ) - C (z )B (z ) + A (z ) = z - H (z ).

SH


Также имеют место следующие коммутационные соотношения на матричE ные элементы оператора ЛаксаX

[A(z ), B (z )] = -B (z ), [A(z ), C (z )] = C (z ),

[A(z ), C (u)] =

1 (C (z ) - C (u)), z-u 2 [B (z ), C (u)] = (A(z ) - A(u)). u-z

Используя эти соотношения и условиеX

H (z )|v ac >=
получимX

1 ( 4

i

i 2 1 )- z - zi 2

i

i (z - zi )2

|v ac >= h0 (z )|v ac >

H (z ) = h0 (z ) + 2

M

1 A(z ) + чj - z
j l=j

j =1 M

+ 2C (z )
j =1

1 z-ч

1 (чj - z )(чk - z ) j =k 1 + A(чj ) . C (чl ) чk - чj
k =j

ЗаметимD что уравнения Бете могут быть выражены в формеX

k =j

1 + A(чj ) = 0. ч k - чj

Последнее наблюдение и доказывает леммуF
2.3.2 Квантовые разделенные переменные

Рассмотрим систему ГоденаD отвечающую алгебре Ли sl2 в представлеE нии V = V1 . . . V
N

где Vi конечномерное неприводимое представE

ление старшего веса i F Неприводимые представления такого типа можE но реализовать как фактор пространство соответствующего модуля Верма

SI


C[ti ]/t i

i

+1

, так что генераторы sl2 действуют дифференциальными операE

торамиX

h(s) = -2ts

2 + s , e(s) = -ts 2 + s , f ts ts ts

(s)

= ts .

Будем исследовать задачу на собственные вектора квантовых ГамильтониE анов в тензорном произведении модулей ВермаD которое в настоящем слуE чае реализуется пространством полиномов от N переменных C[t1 , . . . , tN ]. Введем набор разделенных переменных yj , определяемых формулойX

C (z ) = C0

j i

(z - yj ) . (z - zi )

Они являются элементами некоторого алгебраического расширения кольца

C[t1 , . . . , tN ]. Будем теми же символами обозначать операторы умножения
на данные функцииF Пусть общий собственный вектор гамильтонианов Годена в

C[t1 , . . . , tN ] H (z ) = h(z ).
@PFIHA

Рассматривая обе части PFIH как рациональные функции переменной z и подставляя слева z = yj получимX

H (yj ) = A2 (yj ) - A (yj ) 1 1 1 = hi hk + 4 (yj - zi )(yj - zk ) 2
i,k

k

1 hk . (yj - zk )2

@PFIIA

Используя определение разделенных переменных выразим частные произE водныеX

yj =
k

tk t = yj k
SP

k

tk t . yj - zk k

@PFIPA


Подставляя PFIP в PFII получимX

1 -yj + 2

k

k yj - zk

2

= h(yj ).

Таким образомD общая собственная функция для Гамильтонианов Годена факторизуетсяD то есть ее зависимость от переменных yj разделяется в следующем смыслеX

=
j

(yj ).

При этом каждый множитель (z ) связан с решением уравнения ШтурмаE ЛиувилляX
2 (z - h(z )) (z ) = 0

следующим образомX

(z ) =
i
2.3.3

(z - zi )-i /2 (z ).

Монодромия Фуксовых систем

Результаты традиционного метода разделенных переменных и анзаца Бете в квантовых интегрируемых системахD приведенные вышеD демонстрируE етD что описание спектра квантовых моделей тесно связано с семействами специальных Фуксовых уравненийD обладающих исключительными свойE ствами представления монодромииF Эти свойства являются крайне естеE ственными в подходе ГейзенбергаD изложенном в работе RWD и отвечают существованию глобальных волновых функцийF В рассматриваемом sl2 случае для системы Годена было полученоD что если E общий собственный вектор Бете с собственными значениями H SQ
i


тогда уравнение

2 -

1 4

i

i (i + 2) - (z - zi )2

i

Hi z - zi

(z ) = 0

@PFIQA

имеет решение вида

(z ) =
i

(z - zi )-

i

/2 j

(z - чj ),

где набор параметров чj удовлетворяет системе уравнений БетеF Это наблюдение было обобщено в результатеD изложенном в работе SHF Рассмотрим квантовый характеристический полиномX

det(L(z ) - z ) =

2 z

-
i

Ci - (z - zi )2

(2)

i

Hi z - zi

Пусть H E алгебраD порожденная коэффициентами квантового характериE стического полиномаF Назовем E характер алгебры H E допустимымD если
1 на центральных элементах он принимает значения (Ci ) = 4 (i + 2)i .
Теорема 2.4

(2)

@SHA. Имеется взаимнооднозначное соответствие между

множеством допустимых характеров D для которых дифференциальное уравнение

(det(L(z ) - z ))(z ) = 0
имеет монодромию +1, и множеством общих собственных векторов сиE стемы Годена в представлении V .
В отличие от традиционных формулировок анзаца Бете или разделенE ных переменных характеризация спектра в терминах специальных ФуксоE вых уравнений может быть обобщена на случай sln .

SR


2.4

Эллиптический случай

ОказываетсяD что в случае динамической эллиптической системы ГоденаD также могут быть построены алгеброEгеометрические составляющие меE тода квантованияD а именно квантовая спектральная кривая и квантовые разделенные переменныеF ОтметимD что эллиптическая система Годена моE жет быть получена в контексте обобщений систем ХитчинаF Она отвечает пространству модулей голоморфных полустабильных расслоений с тривиE альным детерминантным расслоением на эллиптической кривой с набором отмеченных точекF Для построения квантового характеристического полиE нома используется модифицированная подлежащая алгебраическая струкE тураD а именно gln динамическое RLL уравнениеD соответствующее предE ставлению эллиптической квантовой группы" E , (gln ), определенной в

" SPF Коммутативность в динамическом случае подразумевается по модуE
лю подалгебры КартанаF Для получения интегрируемой системы требуется ограничить построенное семейство на пространство нулевого веса в предE ставлении относительно диагонального действия алгебры ЛиD илиD что то же самоеD на подпространство представленияD аннулируемое элементами КартанаF
2.4.1 Обозначения

Начнем с обозначений для нечетных Eфункций Римана на эллиптической кривойF Пусть CD Im > 0 параметр эллиптической кривой C/D где

= Z + Z E решетка периодовF Нечетная Eфункция (u) = -(-u) опреE
деляется соотношениями

(u + 1) = -(u),

(u + ) = -e-2
SS

iu- i

(u),

(0) = 1.

@PFIRA


В дальнейшем также потребуются некоторые матричные обозначенияF Пусть

T=
j

tj ћ a

1,j

... a

N ,j

является тензором над алгеброй R, где tj R и a странству End Cn F Тогда обозначение T
(k1 ,...,kN )

i,j

принадлежат проE

будет соответствовать слеE

дующему элементу в R (End C n )M для некоторых M

NX

T

(k1 ,...,kN )

=
j

tj ћ 1 . . . a
i,j

1,j

... a

N ,j

. . . 1.

Здесь каждый элемент a

располагается в ki Eой тензорной компонентеD

числа ki попарно отличаются и выполняется условие 1

k

i

MF

Также необходимо следующее обозначениеF Пусть F () = F (1 , . . . , n ) E функция n параметров k , принимающая значения в алгебре RX то есть

F : Cn RF В этом случае определим следующие выражения F ( + P ) = F (1 + P1 , . . . , n + Pn )


=
i1 ,...,in =0

1 i1 ! ћ ћ ћ in !

i1 +...+in

F (1 , . . . , n ) i1 P1 ћ ћ ћ P i1 ћ ћ ћ in n 1

in n

@PFISA

для некоторого набора P = (P1 , . . . , Pn )D Pk RF Опустим здесь вопросы сходимостиD во всех рассматриваемых далее ситуациях сходимость будет иметь местоF
2.4.2 Алгебра Фельдера

Введем понятие динамического эллиптического LEоператораD соответствуE ющего REматрице ФельдераF Воспользуемся обозначениями {ei }, {Eij } раздела IFRFPF Пусть h E некоE торая nEмерная коммутативная алгебраF В работе SP был определен элеE ST


мент End Cn End Cn , мероморфно зависящий от спектрального параметра

u и n динамических параметров 1 , . . . , n X (u + ) R(u; ) = R(u; 1 , . . . , n ) = (u) +
i=j n

Eii Eii +
i=1

(u - ij )( ) (ij + ) Eii Ej j + Eij Ej i , @PFITA (ij ) (u)(-ij )

где ij = i - j F Этот элемент называется динамической REматрицей ФельE дераF Он удовлетворяет динамическому уравнению ЯнгаEБакстера

R =R

(12) (23)

(u1 - u2 ; )R

(13)

(u1 - u3 ; + E (2) )R
(13)

(23) (12)

(u2 - u3 ; ) = (u1 - u2 ; + E (3) ),

(u2 - u3 ; + E (1) )R

(u1 - u3 ; )R

а также дополнительным соотношениям

R

(21)

(-u; )R
(1)

(12)

(u; ) =

(u + )(u - ) , (u)2
(1) (2)

(Eii + Eii )R(u; ) = R(u; )(Eii + Eii ), (D + D )R(u; ) = R(u; )(D
где
n n (1) (2) (1)

(2)

+ D ),

(2)

D =
k =1

(i) Ekk , D = k

Ek
k =1

(i) k

. k

Следует упомянутьD что в формулах выражением обозначается вектор

1 , . . . , n , а выражение + E
нием аргумента Pi = Eii .
(s)

(s)

подразумевает сдвиг типа PFIS со значеE

Пусть R некоторая C[[ ]]EалгебраD L(u; ) E обратимая n Ч n матрица над R зависящая от спектрального параметра u и n динамических паE раметров 1 , . . . , n F Пусть также h1 D F F F D hn представляет набор попарно SU


коммутирующих элементов R F L(u; ) называется эллиптическим динаE мическим LEоператоромD соответствующим набору элементов Картана hk D если L(u; ) удовлетворяет динамическому RLL соотношению

R

(12)

(u - v ; )L(1) (u; + E (2) )L(2) (v ; )
(12)

= L(2) (v ; + E (1) )L(1) (u; )R
а также соотношению вида

(u - v ; + h),

@PFIUA

(Eii + hi )L(u; ) = L(u; )(Eii + hi ).
Введем эквивалентнуюD но несколько более симметричную форму RLL соE отношенийF Для LEоператора введем выражениеX

LD (u) = e-

D

L(u; ).

@PFIVA

Уравнение @PFIUA может быть переписано в новых обозначениях следующим образомX

R

(12)

(u - v ; )LD (u)LD (v ) = LD (v )LD (u)R

(1)

(2)

(2)

(1)

(12)

(u - v ; + h).

@PFIWA

Следующая лемма выполняет рольD аналогичную процедуре фузии" в раE

" циональном случаеD а именно описывает способ конструирования эллиптиE
ческих динамических LEоператоровF
Лемма 2.5.

Если L1 (u; ) End(Cn ) R1 и L2 (u; ) End(Cn ) R

2

два эллиптических динамических LEоператора по отношению к двум наE борам элементов КартанаX h1 = (h1 , . . . , h1 ) и h2 = (h2 , . . . , h2 ), тогда 1 n 1 n произведение матриц L2 (u; )L1 (u; + h2 ) End(Cn ) R1 R2 также является динамическим эллиптическим LEоператором по отношению к
SV


набору h = h1 + h2 = (h1 + h2 , . . . , h1 + h2 ). Таким образомD если L1 (u; )D n n 1 1 F F F D Lm (u; ) являются динамическими эллиптическими LEоператорами с элементами Картана h1 D F F F D hm , то матрица

- Lj u ; +
mj1

m

hl
l=j +1

@PFPHA

также является динамическим эллиптическим LEоператором с элеменE тами Картана h =
Замечание 2.4.

m

hi F

i=1

Стрелка в обозначении для произведения означает поE

рядок сомножителей по отношению к растущим значениям индексаX наE - примерD выражение 3 i 1 Ai означает A3 A2 A1 .
Основной пример динамического эллиптического LEоператора дается динамической REматрицей ФельдераX L(u) = R(u - v ; )F В этом случае второе пространство End(Cn ) играет роль алгебры RF Здесь v некоторое фиксированное комплексное числоD а элементы Картана совпадают с диаE гональными матрицами hk = Ekk F Лемма PFS позволяет обобщать данный примерX пусть v1 D F F F D v
(0) m (2)

E набор комплексных чиселD тогда матрица

- R
mj1

m (0j )

R (u; {vj }; ) =

u - vj ; +
l=j +1

E

(l)

@PFPIA

является динамическим эллиптическим LEоператором с элементами КарE тана hk =
m l=1

Ekk F

(l)

Более общий класс динамических эллиптических LEоператоров связан с так называемой малой эллиптической квантовой группой e , (gln ) построE енной в работе SQF Она представляет собой C[[ ]]((1 , . . . , n ))EалгебруD

SW


~ порожденную элементами tij и hk , удовлетворяющими соотношениям ~ ~ tij hk = (hk - ik + j k )tij , tij k - (k - ik )tij = 0, tij tik - tik tij = 0, tik tj k - (
{2} jl + {2} (j l )

@PFPPA

( (

{1} ij {1} ij

+) -) )

tj k tik = 0, (

i = j, )

)

tij tkl -

(

{1} ik + {1} (ik )

tkl tij -
{1} ij

{2} {1} ik + j l ) ( {2} {1} (ik )(j l ) {2} ij

til tkj = 0,

~ при i = k , j = l, где tij = ij + tij D

= i - j D

= i - j - hi + hj ,

причем элементы h1 , . . . , hk , 1 , . . . , k коммутируют между собойF Может быть построена производящая функция генераторов T (-u)

Tij (-u) = (-u + ij - hi )tj i .
Представляя данную матрицу в виде

@PFPQA

T (-u) = (-u)e-

n k=0

(hk +Ekk )k

L0 (u; )e

n k=0

hk k

@PFPRA

получим динамический эллиптический LEоператор L0 (u; ) над алгеброй

T = e , (gln )[[ ]] с элементами Картана h = (h1 , . . . , hn )D где C[[ ]] = C[[1 , . . . , n ]]D элементы k = ~ с tij F
2.4.3 Коммутативная алгебра



k

коммутируют с hi и не коммутируют

Рассмотрим некоторый динамический эллиптический LEоператор L(u; ) с элементами Картана hk . Его значения в точке u принадлежат алгебре

End Cn RF
TH


Введем операторы

L[m,N ] ({ui }; ) = e-

D

(m+1)

L

(m+1)

(u

m+1

; ) ћ ћ ћ e-

D

(N )

L

(N )

(uN ; ),

@PFPSA

где m < N F Рассмотрим также частный случай оператораD определенного выше для следующего набора значений параметров ui = u + (i - 1)D

L[a,b] (u; ) = L[a,b] ({ui = u + (i - a - 1)}; )
для a < bF Пусть An = C((1 , . . . , n )) пополненное пространство функE цийF Операторы D действуют на пространстве An Cn D в свою очередь операторы L[a,b] (u; ) действуют из пространства An (Cn )(b странство An (Cn )(b
-a) -a)

в проE

RX если u фиксированная точка то L[a,b] (u; )


End(Cn )(b

-a)

An D где An = An [e+

] RF Рассмотрим подалгебру

h R An порожденную элементами hk и ее нормализатор An X Nn = NAn (h) = {x An | hx An h}.
@PFPTA

ОтметимD что An h представляет собой двусторонний идеал в Nn F В работе SI доказывается следующая
Теорема 2.6.

Определим An Eзначные функции

tm (u) = tr A

[0,m]

L[0,m] (u; ) ,

@PFPUA

предполагается взятие следа по всем m пространствам Cn F Эти выраE жения коммутируют с элементами Картана hk X

hk tm (u) = tm (u)hk .

@PFPVA

Следовательно они принимают значения в подалгебре Nn F Кроме этого они коммутируют по модулю идеала An h Nn X

tm (u)ts (v ) = ts (v )tm (u)
TI

mod An h.

@PFPWA


2.4.4

Характеристический полином

Как и в рациональном случае генераторы tm (u) могут быть представлены в виде производящей функцииD называемой квантовым характеристическим полиномомF Эта производящая функция строится с помощью определитеE ля соответствующего LEоператораF При этом рассматривается полностью симметризованный определитель для n Ч n матрицы с некоммутирующими элементами M

detM = tr A
Утверждение 2.7.

[1,n]

M

(1)

M

(2)

ћћћM

(n)

.
D

@PFQHA

Рассмотрим матрицу M = e-

L(u; )e

u

F Тогда

определитель матрицы 1 - M порождает tm (u) в следующем смыслеX
n

P (u, e

u

) = det(1 - e

- D

L(u; )e

u

)=

(-1)m tm (u)em
m=0

u

,

@PFQIA

где t0 (u) = 1F Данное свойство также влечет коммутативность кванE тового характеристического полинома с элементами hk , а также комE мутативность по модулю An h производящих функцийX

[P (u, e
2.4.5

u

), hk ] = 0,

[P (u, e

u

), P (v , e

v

)] = 0 mod An h.

@PFQPA

Предел и система Годена

Рассмотрим вырождение динамических эллиптических RLL соотношений при

0F В частностиD это вырождение описывает эллиптическую gln

систему ГоденаF Для установления этой связи вводится соответствующий твист LEоператораF Вырождая производящую функцию для коммутативE ного семейства получим производящую функцию гамильтонианов эллипE TP


тической системы ГоденаF Полученный результат обобщает рассмотрение работ SRDSSF Пусть L(u; ) E динамический эллиптический LEоператор вида

L(u; ) = 1 + (u; ) + o( ),

@PFQQA

для которого матричные элементы принадлежат алгебре R0 = R/ RF МатE рицу (u; ) будем называть классическим динамическим эллиптическим

LEоператоромF Она удовлетворяет следующим rLLEсоотношениям
n

[ (u; ) -

(1)

(1) D

, (v ; ) -

(2)

(2) D

]-
k =1

hk

r(u - v ; ) =

= [(1) (u; ) + (2) (v ; ), r(u - v ; )] @PFQRA
с классической динамической эллиптической rEматрицей

(u) r(u; ) = (u) +
i=j

n

Eii Eii
i=1

(ij ) (u - ij ) Eii Ej j + Eij Ej i . (ij ) (u)(-ij )

@PFQSA

Матрица @PFQSA связана с REматрицей Фельдера @PFITA формулой

R(u; ) = 1 + r(u; ) + o( ).
Теорема 2.8.

@PFQTA

Пусть An = R0 An [ ] и Nn = NAn (h) = {x An | hx

An h}D где An = C((1 , . . . , n ))F Определим Nn Eзначные функции sm (u)
формулой

Q(u, u ) = det - D + (u; ) = u

n

sm (u)
m=0

u

n-m

,

@PFQUA

TQ


где s0 (u) = 1F Они коммутируют с элементами Картана hk X

hk sm (u) = sm (u)hk
иD кроме тогоD коммутируют между собой по модулю An hX

@PFQVA

sm (u)sl (v ) = sl (v )sm (u) mod An h.

@PFQWA

Значения функций s1 (u)D s2 (u)D F F F D sn (u) порождают коммутативную подалгебру в Nn на уровне hk = 0F Это означаетD что образы таких элеменE тов при каноническом гомоморфизме Nn Nn /An h коммутируют между собойF Непосредственно квантовая эллиптическая система Годена определяетE ся с помощью оператора Лакса

ij (u; ) = ej i (u; ),

ii (u; ) = eii (u; ) +
k =i

(ik ) hk , (ik )

@PFRHA

коэффициенты которого выражаются формуламиX

(u - z ) eii (u) = eii = (u - z )

m0

(-1)m (u) m! (u)

(m)

eii z m ,
(m)

@PFRIA

(u - z + ij ) eij (u; ) = eij = (u - z )(ij )

m0

(-1)m (u + ij ) m! (u)(ij )

eij z m .

@PFRPA

Аналогом представления вычисления для квантовой группы является гоE моморфизм в малую эллиптическую группуD определяемую производяE щей функцией из выражения @PFPRAF ОказываетсяD что динамический LE оператор отвечающий тензорной степени малой эллиптической группы моE жет быть разложен по параметру D причем коэффициент при падать с LEоператором системы ГоденаF TR будет совE


2.4.6

Явный вид

sl2

эллиптической системы Годена

LEоператор эллиптической sl2 системы ГоденаD рассматриваемой в работах
SRD SSD ST имеет вид

(u; ) =
где =

h(u)/2 e (u)

f (u) -h(u)/2

,
@PFRQA

12

= 1 - 2 и токи выражаются формулами
N

h(u) = e11 (u) - e22 (u) =
s=1 N

(u - vs ) (s) (s) (e11 - e22 ), (u - vs )

e (u) = e12 (u; ) =
s=1 N

(u - vs + ) (s) e, (u - vs )() 12 (u - vs - ) (s) e. (u - vs )(-) 21

f (u) = e21 (u; ) =
s=1

Поскольку LEоператор зависит только от разности = 1 - 2 производяE щую функцию генераторов коммутативной алгебры Q(u, u ) можно ограE ничить на пространство A = {a A2 | (1 + 1 )a = 0} A2 совпадающее с C((12 ))F Пусть A = R0 A[ ] тогда значения функций sm (u) принадE лежат N = NA (h) = {x A | hx Ah}F В силу специфики представления

: h1 + h2 0 оператор D имеет вид H D где H = E11 - E22 F
Найдем квантовый характеристический полином в данном случаеX

() h Q(u, u ) = det - D + (u; ) - = u () 2 () + + f (u) u - + h (u)/2 - () h/2 = det + e+ (u) u + - h (u)/2 - = u
2


() ()

h/2
@PFRRA

-

() h - S (u), () u
TS


где h = h1 - h2 . S (u) является N Eзначной функцией

S (u) = - h(u)/2

2

+ u h(u)/2 + e (u)f (u)

mod Ah.

Условие коммутативности можно сформулировать в терминах этой произE водящей функцииX

[S (u), S (v )] = 0 mod Ah.
Используя коммутационные соотношения
+ [e+ (u), f (u)] = -

+ () h (u) + h u ()

можно привести данную производящую функцию гамильтонианов sl2 элE липтической системы Годена к более симметричному видуX

S (u) = - h(u)/2

2

+ e (u)f (u) + f (u)e (u) /2

mod Ah.

@PFRSA

3

Решение квантовых интегрируемых систем

Как отмечалось вышеD традиционные методы решения квантовых интеE грируемых систем на конечном масштабе в некоторых случаях позволяют сводить задачу диагонализации квантовых гамильтонианов к задаче исE следования системы алгебраических уравнений @уравнений БетеAF ОднакоD сама система уравненийD в тех случаяхD когда ее удается вывестиD оказыE вается достаточно сложной и гипотетически не допускает алгебраических решенийF В настоящем разделе используется эквивалентная формулировE ка для квантовой спектральной задачи в терминах Фуксовых систем со специальными представлениями монодромииF В свою очередь построение соответствующих Фуксовых систем производится с помощью квантового TT


характеристического полинома моделиF Данное наблюдение также подчерE кивает выделенность квантового характеристического полинома среди проE чих производящих функций коммутативной подалгебры гамильтонианов ГоденаF

3.1
3.1.1

Монодромная формулировка
Скалярное и матричное Фуксовы уравнения

Рассмотрим Фуксову системуD определяемую связностью в тривиальном расслоении ранга 2 на диске с проколами видаX

A(z ) =

a11 (z ) a12 (z ) a21 (z ) a22 (z )

=

k

i=1

Ai z - zi

@QFIA

с вычетами удовлетворяющими условиям

T r(Ai ) = 0; Det(Ai ) = -d2 ; i
i

Ai =



0

.
@QFPA

0 -

Собственно Фуксова система записывается уравнениями

(z - A(z ))(z ) = 0.

@QFQA

В компонентах эта система может быть представлена следующим образом

1 = a11 1 + a12 2 , 2 = a21 1 + a22 2 .
Первая векторная компонента удовлетворяет уравнению второго порядка

1 = (a12 /a12 )1 + u1 ,
TU


где

u = a11 + a2 - a11 (a12 /a12 ) + a12 a21 . 11
При следующей замене переменныхX = 1 /, где = уравнение



a12 , получим

+ U = 0,
в котором потенциал определяется формулой

U = / - (a12 /a12 ) / - u.
Подставляя выражение для в U получимX

@QFRA

1 U= 2

a a

12 12

1 - 4

a a

2 12 12

+a

11

a a

12 12

- a11 - a2 - a12 a21 . 11

@QFSA

ПредположимD что a12 (z ) не имеет кратных корней

a12 (z ) = c

k -2 j =1 (z k i=1 (z

- wj ) - zi )

.

ЗаметимD что количество нулей согласовано с условием нормировки @QFPAF Выражение для логарифмической производной может быть упрощеноX
k -2 12 12 k

a a

=
j =1

1 - z - wj

i=1

1 . z - zi

@QFTA

Выражение для потенциала U принимает вид
k -2

U=
j =1

-3/4 + (z - wj )2

k

i=1

1/4 + detAi + (z - zi )2

k -2

j =1

Hwj + z - wj

k

i=1

H zi , z - zi

@QFUA

в котором

H
wj

= a11 (wj ) + = 1 +a 2
i 11

1 2

i=j

1 - wj - wi

i

1 wj - zi

H

z

i

j

1 - zi - wj
TV

j =i

T r(Ai Aj ) + ai + aj + 1/2 11 11 . zi - zj


ЗаметимD что коэффициенты при (z -zi )-2 принимают следующие значения

1/4 + detAi = (1/2 - di )(1/2 + di ).

@QFVA

В дальнейшем мы будет отождествлять эти коэффициенты со значениями квадратичных элементов Казимира алгебры Ли sl2 в представлении старE шего веса i . В этом случае верно тождество i = 2di - 1.
3.1.2 Двойственное уравнение

Как было показано в предыдущих вычисленияхD матричная форма связE ности приводит к оператору ШтурмаEЛиувилля с дополнительными поE люсами в точках wj . Аналогичное рассмотрение второй векторной компоE ненты решения матричного уравнения 2 приводит к другому скалярному дифференциальному оператору второго порядка с полюсами в точках zi и дополнительных точках wj , определяемых формулой
k -2 j =1 (z k i=1 (z

a21 (z ) = c

- wj ) - zi )

.

Будем называть соответствующий оператор ШтурмаEЛиувилля
2 z - U

двойственным sl2 EоперомF В данном случае потенциал выражается формуE лой
k -2 k k -2 k

U=
j =1
3.1.3

-3/4 + (z - wj )2

i=1

1/4 + detAi + (z - zi )2

j =1

Hwj + z - wj

i=1

H zi . z - zi

@QFWA

Подъем

В данном разделе строится обратное отображениеD а именно по оператору ШтурмаEЛиувилляD имеющему тривиальную монодромию в смысле уравE TW


нений БетеD строится связность ранга 2 вида @QFQA с представлением моноE дромииD лежащим в подгруппе Z/2Z GL(2) скалярных матриц +1. Рассмотрим анзац решения матричного линейного уравнения @QFQA

(z - A(z )) = 0
типа
k

l =
i=1

(z - zi )-si l (z ),

l = 1, 2;

@QFIHA

в котором
M

1 =
j =1

(z - j ),
M

2 /1 =
j =1

j . z - j

@QFIIA

Перепишем систему уравнений @QFQA с учетом новой параметризации @QFIIA

z 1 /1 = a11 + a12 2 /1 , (z 1 /1 )(2 /1 ) + z (2 /1 ) = a21 + a22 2 /1 .
Представим эти уравнения в более явной формеX

@QFIPA @QFIQA

-
i

si + z - zi

j

1 = z - j 1 z - j

i

ai 11 + z - zi j - z - j

i

ai 12 z - zi

j

j ,@QFIRA z - j

-
i

si + z - zi

j

j

j

j = (z - j )2
@QFISA

i

ai 21 - z - zi

i

ai 11 z - zi

j

j . z - j

UH


Найдем условия тогоD что вычеты обеих частей равенств @QFIRAD @QFISA в точках z = zi совпадаютX

-si = ai + a 11 -
j

i 12 j

j si = ai - ai 21 11 zi - j

j

j , zi - j j . zi - j

@QFITA @QFIUA
i 11

Данные уравнения в совокупности с условием равенства нулю следа a

+

a

i 22

= 0 приводят к условиюD что si должен являться одним из собственных

значений Ai , в частности может быть принят si = di . Рассмотрим поведение в полюсах z = j . ЗаметимD что полюса второго порядка в этих точках в уравнении @QFISA сокращаются автоматическиF Подсчитаем вычеты правой и левой частей уравнений @QFIRA и @QFISA

1 = j
i

ai 12 , @QFIVA j - zi ai 11 @QFIWA . j - zi

j -
i

si + j - zi
i=j

1 + j - i

i=j

i = -j j - i

i

НапомнимD что одним из условий нормировки связности было условие диаE гональности вычета в
k

a
i=1 k

i 12

= 0, = 0.

@QFPHA @QFPIA

a
i=1

i 21

ЗаметимD что выбор полюсов оператора ШтурмаEЛиувилля фиксирует нуE ли рациональной функции a12 (z ), которая таким образом оказывается определена с точностью до константыX
k -2 j =1 (z k i=1 (z

a12 (z ) = c

- wj ) - zi )

.

UI


При этом условие @QFPHA будет выполнено автоматическиF Коэффициенты

a

i 12

выражаются формулой

a
Коэффициенты a
i 11 i 11

i 12

=c

j j

(zi - wj ) . =i (zi - zj )

@QFPPA

выражаются следующей формулой в силу @QFITA

a

= -si - c
i 12

j =1 j

(zi - wj ) =i (zi - zj )
i 11

l

l . zi - l

@QFPQA

Подставим выражения для a

иa

в уравнения @QFIVAD @QFIWAD выразим

затем j из первого уравнения и подставим во второеX

-
k

2sk + j - zk
i

k =j

1 + j - k
i

k ,m

l=k

(zk - wl ) s=k (m - zs ) (zk - zl ) s (m - ws )(j - zk )
l

+

(j - wi ) i (j - zi )

k =j

i

(k - zi ) = 0. (k - wi )(j - k )
i i

Перейдем к эквивалентной формеD поделив обе части на

(j -zi ) (j -wi )

-
k

2sk + j - zk
i

k =j

1 + j - k
m

k ,m

l=k

(zk - wl ) s=k (m - zs ) (zk - zl ) s (m - ws )(j - zk )
l

+
k =j i

(k - zi ) (k - wi )(j - k )

(j - wm ) = 0. m (j - zm )

Рассмотрим левую часть равенства как рациональную функцию F (j ) и вычислим ее разложение по примитивным дробям в полюсах zk , wk , k и

. ОказываетсяD что это разложение будет иметь видX F (j ) = -
k

2sk - 1 - j - zk

k

1 +2 j - wk

i=j

1 . j - i

@QFPRA

Таким образомD рассматриваемое равенство эквивалентно одному уравнеE нию из системы уравнений БетеF ПродемонстрируемD напримерD вычислеE UP


ние для вычета в точке j = wi

Res

j =wi

F (j ) =
k l=k s

(zk - wl ) s=k (wi - zs ) (zk - zl ) s=i (wi - ws )(wi - zk )
l l=k

=

(wi - zs ) s=i (wi - ws )

k

(zk - wl ) . @QFPSA (zk - zl )(wi - zk )2
l

ЗаметимD что в правой части равенства стоит выражение

(Res
где

z =wi

(z ))-1
k

Res

z =z

k

(z ),

(z ) =
l

(z - wl ) , (z - zl )(z - wi )2
l

и следовательно равно -1. Условие достаточности выражается в следующем утвержденииD докаE занном в работе SU
Теорема 3.1.

Если набор чисел i где i = 1, . . . , M удовлетворяет сиE

стеме уравнений Бете @PFWA с параметрамиX набор полюсов z1 , . . . , zk и

w1 , . . . , w

k -2

со значениями старших весов 2s1 - 1, . . . , 2sk - 1 и 1, . . . , 1

соответственноD то вектор
k

(z - zi )-si

=
i=1

1 (z ) 2 (z )

,
@QFPTA

где
M

1 =
j =1 M

(z - j ) j , z - j
@QFPUA

2 /1 =
j =1

UQ


а коэффициенты j задаются выражениями

j =

i i

(j - zi ) , (j - wi )

@QFPVA

решает матричную линейную задачу @QFQAD где коэффициенты связности определяются выражениями

a
коэффициенты a
i 11

i 12

=

j j

(zi - wj ) , =i (zi - zj )

@QFPWA

иa

i 21

определяются исходя из @QFITAD @QFIUAF При этом

выполняются условия нормировки @QFPAF
СобственноD доказать остается толькоD что условие

Доказательство.

нормировки @QFPIA не зависит от выбора параметра cD в частностиD он моE жет быть принят равным единицеF ДействительноD исходя из @QFITAD @QFIUA получимX

a
i 21

= - 2s

i j

j + zi - j

j j

(zi - wj ) =i (zi - zj )

j

j zi - j

2

.
@QFQHA

Нам необходимо доказатьD что

2s
i

i j

j + zi - j

j i j

(zi - wj ) =i (zi - zj )

j

j zi - j

2

= 0.

@QFQIA

Первое слагаемое @QFQIA при использовании уравнений Бете может быть преобразовано к видуX

2s
i

i j

j = zi - j

j
j i

2si zi - j 1 . j - i
@QFQPA

=
j

j -
i

1 + j - zi
UR

i

1 -2 j - wi

i=j


Теперь упростим второе слагаемое @QFQIA меняя порядок суммирования

m l
m=l i j =i

(zi - wj ) (zi - zj )(zi - m )(zi - l )
j

+
m

(m )2
i j =i

(zi - wj ) . (zi - zj )(zi - m )2
j

@QFQQA

Рассматривая второе слагаемое @QFQQA заметимD что

i

j =i

(zi - wj ) = -m 1 (m ), 2 (zi - zj )(zi - m )
j

@QFQRA

где

1 (m ) =
i j =i

(zi - wj ) = (zi - zj )(zi - m )
j

j

(m - wj ) . (m - zj ) j

@QFQSA

Следовательно выражение @QFQRA приобретает видX

-

j

(m - wj ) j (m - zj )

s

1 - m - ws

s

1 m - zs

,

@QFQTA

которое сокращается с соответствующей частью @QFQPAF Рассмотрим первое слагаемое @QFQQAD оно тоже может быть упрощеноX

i

j =i j

(zi - wj ) (zi - zj )(zi - m )(zi - l )
j

=
j

(l - wj ) - (l - zj )(m - l )

j

(m - wj ) . (m - zj )(m - l )
j

@QFQUA

Подстановка этого выражения в @QFQQA заканчивает доказательство теореE мы

3.2

Преобразования Шлезингера

Существует дискретная группа преобразованийD которые сохраняют форму связности @QFQA иD более тогоD не меняют класс представления монодромииF US


Тем не менееD эти преобразования сдвигают характеристические экспоненE ты в особых точках на полуцелые значения специфическим образомF ТаE кие преобразования называются преобразованиями ШлезингераD Гекке или Бэклунда в зависимости от контекстаF Они имеют простую геометрическую интерпретациюD с описания которой начнем этот разделF
3.2.1 Действие на расслоениях

Рассмотрим кривую C, F E голоморфное расслоение на нейD F E соотE ветствующий пучок сеченийD дополнительный набор данных x C и
l Ex , точка двойственного пространства к слою расслоения F в точке

x. Тогда нижнее" преобразование Гекке T(x,l) E определяется подпучком " F = {s F : (s(x), l) = 0}, который в свою очередь соответствует некоE
торому голоморфному расслоению на кривой C. Эквивалентное определение может быть дано в терминах функций пеE реклейкиF Рассмотрим действие на голоморфных расслоениях на CP 1 . В силу теоремы БиркгофаEГротендика SV любое голоморфное расслоеE ние на CP 1 ранга n изоморфно прямой сумме линейных расслоений вида

O(k1 ) . . . O(kn ) для некоторого набора целых чисел (k1 , . . . , kn ). Данный
набор называется типом расслоения и определен с точностью до действия симметрической группыF Рассмотрим открытое покрытие CP 1 состоящее из U E диска вокруг

, не содержащего z = zi , i = 1, . . . , N и области U0 = CP 1 \{}.
Будет рассматривать голоморфные расслоения ранга 2 и параметризоE вать их функцией переклейки G(z ) E голоморфно обратимой функцией в

U0 U со значениями в GL(2). СкажемD что пара S (z ) O(2) (U ) и S0 (z ) O(2) (U0 ) определяют глобальное сечение если S0 (z ) = G(z )S (z ).
UT


Будем описывать преобразования расслоений в терминах действия на соответствующих функциях переклейкиF Рассмотрим преобразованиеD заE даваемое с помощью умножения функции переклейки слева на функцию вида

Gs (z ) = Gs

z - zs 0 0 1

G
-1 s

@QFQVA

для некоторой постоянной матрицы Gs и некоторой точки zs U0 .
Замечание 3.1.

Действие на функциях переклейки может быть привеE

дено к действию на классах изоморфизмов расслоений если сделать выбор постоянных матриц Gs зависящим от тривиализации следующим обраE зомD при изменении тривиализации в U0 y T (z ) необходимо заменить матрицу Gs на T (zs )Gs . Это соображение очевидно в виду данного в наE чале раздела инвариантного определенияF
Мы будет исследовать композицию таких преобразований в двух точE кахF
Лемма 3.2.

Композиция двух преобразованийD задаваемая выражением

Gi (z )G-1 (z ), для общего выбора постоянных матриц Gi , Gj сохраняет j
тривиальное расслоениеF
Доказательство

Для доказательства предъявить разложение матE

ричнозначной функции G(z ) = Gi (z )G-1 (z ) в виде G(z ) = Gij (z )G (z ), j где Gij (z ), G (z ) обратимы соответственно в U0 , U . Наводящим сообE ражением для доказательства является подсчет размерности пространства когомологий в семействах в общей точкеF ДействительноD для частного выE бора G-1 Gj = 1 получаем тривиальное расслоениеD которое полустабильноD i UU


и следовательно минимизирует размерность H 0 (End(V )) для V степени 0F В этой связиD можно считатьD что тривиальное расслоение является общим в семействе расслоений для разных GF Не смотря на предложенный общий аргумент здесь приводится явное доказательство в духе леммы о разложении в SVF Введем следующие обоE значения

Gi =
Разложим произведение

1x y
i


i

1

.

@QFQWA

G(z ) = Gi

z0 01





G-1 Gj i

(z - 1) 0

-1

0 1

G
-1 j

@QFRHA

в произведение другого типа

G(z ) = Gij (z )G (z ),
где Gij (z ), G (z ) голоморфно обратимые функции на U0 , U


соответE

ственноF Традиционные вычисления позволяют строить разложение в виде

G (z ) =

z (1-xj yi )(1-xj yj )-xj (yi -2yj -xj yi yj ) (1-2xj yi +xj yj )(1-xj yi )(1-xj yj )(z -1) yi -2yj +xj yi yj (1-xj yi )(1-2xj yi +xj yj )

-

xj (1-xj yi )(1-xj yj )(z -1) 1 1-xj y
i

.

3.2.2

Действие преобразований на связностях

Действие преобразований Гекке на классах расслоений может быть проE должено на множество парX @расслоениеD связностьA при выполнении некоE торых условий согласованностиF Опишем подробнее это индуцированное действиеF Связностью называется отображение пучков модулейD удовлеE творяющее тождеству ЛейбницаD по отношению к операции умножения на UV


функциюX

: F F 1 .
Преобразования Гекке могут быть определены на пространстве связностейD которые сохраняют Annl = {v Fx :< l, v >= 0}

x : Annl Annl 1 . x
В нашем частном случае рассматриваются композиции пар преобраE зований ГеккеD локализованные в полюсах связности zi , zj , сохраняющие тривиальное расслоение ранга 2. Определим действие группы преобразований Шлезингера Tij на проE странстве связностей с особенностями в точках z = zi . Как было сказано вышеD действие может быть определено с помощью преобразования функE ций переклейкиF Рассмотрим тривиальное расслоениеD заданное функцией переклейки 1. Преобразование Шлезингера меняет структуру расслоенияD глобальные сечения определяются парами S0 , S , такими что S0 = GS , где G = Gij G . Можно определить действие на связностях следующим образомX пусть z - A связность в тривиальном расслоенииD определяемая данным выражением над обоими рассматриваемыми открытыми множеE ствамиD преобразование связности определяется как пара форм связностиX

z - A G(z - A)G
-1

над над

U , U0 .


После замены базиса в U вида S связности



= G S

получим выражение для

z - A G (z - A)G-1 .
UW

@QFRIA


При замене тривиализации в U0 следующего типа S0 = G-1 S0 получим ij

G(z - A)G

-1

G-1 G(z - A)G-1 Gij = G (z - A)G-1 . ij

@QFRPA

Таким образомD связностьD полученная после преобразования может быть представлена в виде глобальной рациональной связности того же типаD как связность до преобразованияF Аналитические свойства в сохраняются в виду тогоD что G


голоморфно обратимо в U .

Используя результаты предыдущих разделов подсчитаем действие преE образований Шлезингера на связностяхF Для сохранения условия нормиE ровки A(z ) в необходимо рассматривать преобразования вида

G(z ) = G-1 ()G (z ) 1 = z- z-1

x1 (y0 -2y1 +x1 y0 y1 ) (1-x1 y0 )(1-x1 y1 ) y0 -2y1 +x1 y0 y1 (1-x1 y0 )(1-x1 y1 )

x1 (1-2x1 y0 +x1 y1 ) (1-x1 y0 )(1-x1 y1 ) 1-2x1 y0 +x1 y1 (1-x1 y0 )(1-x1 y1 )

. @QFRQA

После этого достаточно применить к связности калибровочное преобразоE

~ вание G(z ) ~ ~ ~ ~ A G(z )AG-1 (z ) + z G(z )G-1 (z ).
Полное семейство преобразований Шлезингера для случая 3 точекD связанE ного с анализом уравнения Пенлеве s было вычислено в работе SWF
Замечание 3.2.

Выбор старших весов 1 в подвижных особенностях wi

является не обязательнымD но в некотором смысле наиболее общимF Можно рассмотреть потенциал вида
m

U=
j =1

-1/4(j + 2)j + (z - wj )2

k

i=1

1/4 + detAi + (z - zi )2
VH

k -2

j =1

Hwj + z - wj

k

i=1

H zi @QFRRA z - zi


с более высокими значениями старших весовF Он может быть реалиE зован если потребоватьD чтобы a12 (z ) имел нули wj с кратностями удовлетворяющими условию
m j =1 j j

= k - 2.

Локальные рассмотрения в окрестностях полюсов показываютD что собE ственные значения вычетов Ai преобразуются по следующим 4Eправилам в зависимости от выбора верхнего или нижнего преобразования Гекке и выбора разных собственных направлений вычетаX

(. . . , i , . . . , j , . . .) - (. . . , i + 1, . . . , j - 1, . . .), (. . . , i , . . . , j , . . .) - (. . . , i + 1, . . . , j + 1, . . .), (. . . , i , . . . , j , . . .) - (. . . , i - 1, . . . , j - 1, . . .), (. . . , i , . . . , j , . . .) - (. . . , i - 1, . . . , j + 1, . . .).
Полученный результат позволяет рассматривать рекурсионные соотноE шения на пространстве решений уравнений Бете для семейства систем ГоE денаF Наиболее интереснымD с точки зрения получения явных формул для решения квантовой системыD является построение набора преобразованийD понижающих старшие веса в паре точекF Последовательным применением таких преобразований можно понизить старшие веса до нулевого значенияD которое соответствует тривиальному представлению квантовой алгебрыD иD соответственноD тривиальной задаче диагонализации квантовых гамильтоE ниановF

3.3

Эллиптический случай

Эллиптическая sl2 система Годена допускает построение аналогичного апE парата решения квантовой задачиD включающего квантовую спектральную VI


кривуюD квантовые разделенные переменные и симметрии Гекке на проE странстве решений квантовой задачиF
3.3.1 Разделенные переменные

Напомним традиционный для данной системы метод разделения переменE ных SSD TIF Также как в рациональном случае рассмотрим sl2 систему Годена с фиксированным представлением V = V1 . . . Vk квантовой алE гебры U (sl2 )k , где Vi E конесномерное неприводимое представление старE шего веса i . Vi может быть реализован как фактормодуль модуля Верма

C[ti ]/t i

i

+1

, на котором генераторы sl2 действуют дифференциальными опеE

раторами видаX

h

(s)

= -2ts + s , ts

e

(s)

2 = -ts 2 + s , ts ts

f

(s)

= ts .

Начнем с исследования квантовой задачи в тензорном произведении моE дулей Верма W = C[t1 , . . . , tk ]. Введем переменные C, {yj } определенные следующим разложениемX
k

s=1

(u - us - ) ts = C (u - us )(-)

k

s=1

(u - ys ) . (u - us )

Представим теперь общий собственный вектор для эллиптической системы Годена как функцию от введенных переменныхX

S (u)(C, y1 , . . . , yk ) = s (u)(C, y1 , . . . , yk ).

@QFRSA

В данной формуле s (u) является скалярной функцией параметра u вида

s (u) =

ci (u - ui ) +

di

(u - ui ) ; (u - ui )
VP

ci = 2 /4 + i /2. @QFRTA i


Подставляя далее u = yj слева в формуле @QFRSA получимX

1 - yj 2

k

s=1

(yj - us ) s (yj - us )

2

(C, y1 , . . . , yk ) = s (yj )(C, y1 , . . . , yk ).

Это уравнение приводит к факторизации собственного вектораX

(C, y1 , . . . , yk ) = C

a j

(yj ),
k s=1

причем можно утверждатьD что выражение w(u) = уравнениюX
2 u - s (u) w(u) = 0

(u - us )-

s

/2

(u),

связанное с компонентой разложения собственного вектораD удовлетворяет

@QFRUA

СледовательноD каждому уравнению QFRU вида QFRTD которое имеет решение

s (u) с полуцелыми экспонентами в точках {u1 , . . . , uk } и мероморфное вне
этих точекD можно сопоставить общий собственный вектор для эллиптичеE ских Гамильтонианов Годена в представлении V , полученный проектироE ванием вектора .
Гипотеза 3.3.

Существует взаимноEоднозначное соответствие между

такого рода дифференциальными операторами и собственными вектораE ми рассматриваемой модели в представлении V .
В последующих разделах будем рассматривать только такие собственE ные вектора системы ГоденаD которые соответствуют некоторому эллипE тическому оператору ШтурмаEЛиувилля с описанными аналитическими свойствамиF

VQ


3.3.2

Анзац Бете

Традиционный метод анзаца Бете в эллиптическом случае TI может быть полученD если рассмотреть следующее частное решение эллиптического уравнения ШтурмаEЛиувилляX
2 u - i

ci (u - ui ) -
i

di

(u - ui ) (u - ui )

(u) = 0.

@QFRVA

Будем предполагатьD что решение не имеет кратных корнейX

(u) =
i



-i /2

(u - ui )
j

(u - j ).

@QFRWA

Это условие эквивалентно следующей системе уравненийX

ci = 2 /4 + i /2, i (ui - j ) - di = i (ui - j ) j 0=
i

j =i

j (ui - uj ) , 2(ui - uj ) (j - i ) , (j - i )
@QFSHA



i /2

(j - ui ) - (j - ui )

i=j

последнее из которых называется эллиптическим уравнением БетеF
3.3.3 Матричная форма уравнений Бете

В данной части находится матричная Фуксова системаD эквивалентная элE липтическому уравнению ШтурмаEЛиувилля @QFRVAD

(u - A(u))(u) = 0,
где

@QFSIA

1 (u) , (u) = 2 (u)
VR




a11 (u) a12 (u) = A(u) = a21 (u) a22 (u)

a

u-z ai ((u-zii)) 11 i (u-zi +) 21 (u-zi )()

(u ai (u--izi--) ) 12 z) ( u-z ai ((u-zii)) . 11



Отношение эквивалентности скалярной и матричной формы Фуксовых сиE стем выражается следующимX функция w = 1 / a ломD старший член которого дается формулойX



12

решает уравнение

w - U w = 0, в точности того же видаD что и уравнение QFRUD с потенциаE

U (u) = -

(1/4 + det(Ai ))(u - zi ) +

3/4(u - wi ) + ...

Здесь точки wj определяются условием

a12 (u) = c

(u - wi ) . (u - zi )

В свою очередь Ai определяютсяD как вычеты A(u) в точках zi .
Замечание 3.3.

ЗаметимD что множества полюсов эллиптического опеE

ратора ШтурмаEЛиувилля и соответствующей матричной проблемы не совпадаютD первое составлено из двух подмножеств

{u1 , . . . , u2l } = {z1 , . . . , zl , w1 , . . . , wl }.

ОказываетсяD что метод построения решений матричной линейной проE блемы по решениям оператора ШтурмаEЛиувилля также является явE нымF Рассмотрим скалярную задачуD соответствующую набору отмеченE ных точек {z1 , . . . , zl , w1 , . . . , wl }, набору старших весов 2s1 - 1, . . . , 2sk -

1, 1, . . . , 1} и набору корней Бете {1 , . . . , }. В этом случае 2Eвектор функE

VS


ция с компонентамиX
k

1 =
i=1

(u - ui )

si j =1

(u - j )
@QFSPA

2 =
j =1

j (u - j + ) 1 , (u - j )

коэффициенты j которой заданы формулой

j =

i i

(j - wi ) , (j - ui )

удовлетворяет матричному уравнению QFSIF Явное вычисление показываетD что уравнение @QFSIA для D представE ленной выражением @QFSPA эквивалентно следующей системе уравненийX

det -
k

a -s a
i 21

i 11

i

a
i 22

i 12 i

=0

a -s

(2sk - 1)

(j - uk ) - (j - uk )

k

(j - wk ) +2 (j - wk )

i=j i i

(j - i ) =0 (j - i ) (j - wi ) = j . (j - ui )

Эта система уравнений означаетD что экспоненты решения являются собE ственными числами вычетов связаности в набор точек j удовлетворяет эллиптической системе уравнений Бете @QFSHAD отвечающей набору отмеE ченных точек

{u1 , . . . , uk , w1 , . . . , wk }
и набору старших весов {2s1 - 1, . . . , 2sk - 1, 1, . . . , 1}F

VT


3.3.4

Преобразования Гекке

В эллиптическом случае может быть построено семейство симметрий спекE тра квантовой системы в точности так жеD как в рациональном случаеF Опишем более подробноD как вычисляются преобразования Гекке на элE липтической кривойF Наиболее подходящий для данной задачи способ паE раметризации голоморфных расслоений на эллиптической кривой предE полагает рассмотрение поднятия расслоения на универсальную накрываE ющую C @смF TH @PDTAAF Группа монодромии Z2 действует гомоморфизмаE ми пучка сечений E соответствующего голоморфному расслоению E F В случае линейного расслоения степени 0 единственный способ определить согласованный набор мультипликаторовD с точностью до эквивалентностиD соответствует квазипериодическим коэффициентам выраженияX

f (z ) =

(z - ) (z )

для некоторой точки эллиптической кривой . Обозначим соответE ствующее расслоение O . Преобразование Гекке в точке w предполагает рассмотрение подпучка сечений O принимающих значение 0 в точке w. Этот пучок может быть изоморфно отображен на пучок сечений некотороE го расслоения степени 1 следующим образом

s(z )

s(z ) (z - w)

Данное отображения является изоморфизмом в силу тогоD что (z ) имеет единственный ноль в точке z = 0. Преобразование Гекке на связностях в расслоении O
/2

O-/2 ранга 2 строят связность в расслоении O "

ч/2



O

-ч/2

посредством следующего преобразованияF Пусть вычеты" связности VU


имеют разложениеX

Ai =

a a

(i) 11 (i) 21

(i) a12 (i) -a11





= Gi

di

0

G
-1 i

0 -di

где Gi постоянные матрицыF Тогда связность преобразуется калибровочE ным преобразованием с групповым элементом

~ Gij (z ) = Gi
где

1

0





0 (z - zi )

~ G-1 Gj i

(z - zj ) 0 0 G-1 Gi . j 1

-1

G-1 , j

~ Gi = Gj

-1 (zi - zj ) 0 0 1

Также как и в рациональном случае будем рассматривать пары преобразоE ваний Гекке в разных точках ui , uj с разными знаками Tij = T(-i1,li ) T(u u
j ,lj

)

D

действующих на расслоениях ранга 2 с тривиальным детерминантным расE слоениемF В зависимости от выбора подпространств верхних и нижних преE образований получим действие Tij на множестве старших весов модели ГоE дена вида

(. . . , i , . . . , j , . . .) - (. . . , i + 1, . . . , j - 1, . . .), (. . . , i , . . . , j , . . .) - (. . . , i + 1, . . . , j + 1, . . .), (. . . , i , . . . , j , . . .) - (. . . , i - 1, . . . , j - 1, . . .), (. . . , i , . . . , j , . . .) - (. . . , i - 1, . . . , j + 1, . . .).
Как и в рациональном случае представляет особый интерес семейство преE образований понижающих последовательно старшие веса всех представлеE ний модели до нулевого значенияD для которого задача диагонализации гамильтонианов эллиптической модели оказывается тривиальнойF VV


4

Приложения

Данный раздел посвящен двум основным приложениям метода спектральE ной кривойF Первое приложение связано с геометрическим соответствием Ленглендса и главным образом состоит в эффективном описании центра

Ucrit (gln ) которыйD в свою очередьD имеет ключевую роль в конструкции
Бейлинсона и Дринфельда квантования системы ХитчинаF ЗаметимD что данная задача имеет непосредственное отношение к теории представлений аффинных алгебр ЛиF

4.1
4.1.1

Геометрическое соответствие Ленглендса
Центр

U (gln )

на критическом уровне

Опишем

сначала
crit

конструкцию

центра

Ucrit (gln ). Прокомментируем

обозначение U

(gln ), которое соответствует локальному пополнению

U (gln )/{C - crit}, где C Eцентральный элементD а crit = -h = -n криE
тическое значениеD обратное дуальному числу Кокстера алгебры Ли sln . В работе TQ было доказаноD что Ucrit (gln ) имеет центрD изоморфный как линейное пространство алгебре полиномов от подалгебры КартанаF Не смотря на наличие геометрического описания центраD отсутствовала явE ная конструкция семейства генераторов этой коммутативной подалгебрыF Для решения этой задачи в настоящей работе используется схема АдлераE КостантаEСимаD предложенная в TPF Она занимает важное место в теории интегрируемых системX может использоваться для построения широкого класса коммутативных подалгебрD позволяет связывать интегрируемые сиE стемы с задачами разложенияD а также предоставляет алгебраическую инE VW


терпретацию для представления ЛаксаD rEматричных Пуассоновых струкE турF Схема АКС допускает непосредственное обобщение на квантовый уроE вень и играет важную роль в описанииD решении и классификации квантоE вых интегрируемых системF Наиболее простым является случайD в котором

g = g+ g- конечномерная алгебра ЛиD допускающая разложение в прямую
сумму двух подалгебр ЛиF Каждому нормальному упорядочениюD то есть выбору порядка сомножителей из разных подалгебр в мономахD составляюE щих линейный базис универсальной обертывающей алгебрыD соответствует изоморфизм линейных пространств

: U (g) U (g+ ) U (g- )
Введем обозначения g- для обратной структуры алгебры Ли на пространE стве g- определяемой формулой -{, }. Будем обозначать алгебру Ли
op

g+ gop символом gr . Соответствующие универсальные обертывающие алE -
гебры могут быть отождествлены как линейные пространства при рассмотE рение некоторого базиса ПуанкареEБиркгофаEВитаX

U (gop ) -
Лемма 4.1.

U (g- ).

Центр z(U (g)) отображается в коммутативную алгебру в

U (g+ ) U (gop ) посредством отображения . -

Доказательство

Обозначим коммутатор в U (g+ ) U (g- ) следующим

op

образом [, ]R . Пусть c1 , c2 два центральных элемента в U (g) представленE ных в форме

ci =
j

xj y

(i) (i) j

x

(i) j

U (g+ ), y
WH

(i) j

U (g- ).


Подсчитаем коммутатор в модифицированной алгебре

[(c1 ), (c2 )]R = [
j

xj yj , [x , x
j,k (1) j

(1) (1)

xk yk ]R + xj xk [yj , yk ]R .
(1) (2) (1) (2)

(2) (2)

=

k (1) (2) (2) k ]R yj yk

В силу данного выше определения алгебраической структуры

[xj , xk ]R = [xj , xk ] [(c1 ), (c2 )]R =
k

(1)

(2)

(1)

(2)

[yj , yk ]R = -[yj , yk ]
(2) (2) k

(1)

(2)

(1)

(2)

[c1 , xk ]y

-
j

xj [yj , c2 ]

(1)

(1)

Последнее выражение обращается в ноль в силу центральности элементов

c1 , c

2

Замечание 4.1.

В дальнейшем нас будет интересовать применение

этой схемы в случае Ucrit (gln ), то есть универсальной обертывающей алгебры аффинной алгебры Ли gln на критическом уровнеF Для тогоD чтобы использовать результат схемы АКС в бесконечномерном слуE чае необходимо выбрать подходящее пополнение алгебрыF В нашем слуE чае может быть выбрано пополнениеD соответствующее биградуировке

deg (g tk ) = (k , 0), deg (g t-k ) = (0, k ) для k 0. Требуется показатьD что
рассматриваемые центральные элементы являются элементами данноE го пополнения U
ћ crit

(gln ). Это действительно так в силу рассмотрения

классического пределаF В дальнейшем мы будет опускать упоминание о пополнении в обозначениях Ucrit (gln ), U (gr ), а также их тензорных проE изведенияхF
Рассматривают также отображение линейных пространств

: U (g) U (g+ ) U (g)g-
WI


определяемое выбранным разложением в прямую сумму подалгебрF ОбоE значим проектор на первое слагаемое U (g+ ).
Лемма 4.2.

Центр z(U (g)) отображается в коммутативную алгебру в
Пусть c1 , c2 Z.

U (g+ ) при отображении .
Доказательство

[c1 - (c1 ), c2 - (c2 )] = [(c1 ), (c2 )]
Правая часть выражения лежит в U (g+ ); левая часть в U (g)g- ; из чего следуетD что обе они равны нулю Мы будем отождествлять U петельF
Утверждение 4.3.

crit

(gln ) с алгеброй петель как линейные

пространстваF Приведем несколько важных фактов относительно алгебр

Рассмотрим g = gln [t, t-1 ] = gln [t-1 ] tgln [t] генераE

торы которой eij = eij tk могут быть представлены производящей функE цией

(k )

L
где

f ul l

(z ) =
s=-,

s z

-s-1

@RFIA

s =
ij

Eij eij .

(s)

ЗдесьD как и ранееD eij обозначают генераторы алгебры ли gln , а Eij E матE ричные единицы в пространстве матриц M atn . Тогда структура алгебры Ли gr может быть описана следующими коммутационными соотношеE ниями в терминах производящих функций

{L

f ul l

(z ) L

f ul l

(u)} = [

P , Lf ull (z ) 1 + 1 L z-u
WP

f ul l

(u)].

@RFPA


ЗаметимD что коммутационные соотношения совпадают с коммутационныE ми соотношениями для оператора Лакса системы Годена @PFRQAF
Центр

(Ucrit (gln ))

и коммутативная алгебра в

U (tgln [t])

Введем такE

же положительный" оператор ЛаксаX

"

L(z ) =
k >0

k z

-k -1

,

который также удовлетворяет соотношениям REматричного типаX

{L(z ) L(u)} = [
Теорема 4.4.

P , L(z ) 1 + 1 L(u)]. z-u

@RFQA

Коммутативная подалгебра в U (tgln [t]), определенная коE

эффициентами квантового характеристического полинома det(L(z ) - z ), совпадает с подалгебройD полученной из z(Ucrit (gln )) с помощью проекции

: Ucrit (gln ) U (tgln [t])F
Доказательство

Доказательство опирается на результат работы TRD где

было доказаноD что централизатор квадратичных Гамильтонианов Годена
i H2 в U (tgln [t]) совпадает с коммутативной подалгеброй полученной из ценE

тра U (gln ) на критическом уровнеF
Замечание 4.2.

Данное специальное свойствоD а именно тот фактD что

квадратичные генераторы определяют всю коммутативную подалгебруD известно также в теории подалгебр МищенкоEФоменко TSD TTD а такE же в теории системы КалоджероEМозера TUF
Следуя предложенной логикеD и используя фактD что подалгебраD опреE
i деленная det(L(z ) - z ) коммутирует с H2 , можно показатьD что данная

подалгебра является подалгеброй коммутативной алгебрыD полученной из WQ


центраF Для доказательства их совпадения достаточно рассмотреть класE сический предел
Замечание 4.3.

Аналогичное доказательство применимо в случае проE

екции на U (gln [t]). Необходимо принять в расчетD что обе подалгебры инвариантны относительно действия GL(n).
4.1.2 Явное описание центра

Ucrit (gln ))

Теорема 4.5.

Центр Ucrit (gln ) изоморфен как коммутативная подалгебра

подалгебре в U (gln [t-1 ] tglop [t]) определенной коэффициентами квантоE n вого характеристического полинома det(L цирован отображением
f ul l

(z ) - z )F Изоморфизм индуE

I : U (gln [t-1 ]) U (tglop [t]) Ucrit (gln ), n

I : h1 h2 h1 h2

@RFRA

Доказательство

строится по стратегииD аналогичной использованной в

TRF Докажем сначалаD что подалгебраD порожденная коэффициентами квантового характеристического полинома оператора Лакса L
f ul l

(z ) совE

падает с централизатором своих квадратичных элементовF ДалееD испольE зуя формулу Шугавары для квадратичных генераторов центраD докажемD что их образ в U (gln [t-1 ]) U (tgln [t]) совпадает с квадратичными коэффиE циентами квантового характеристического полиномаF Для доказательства первого утверждения используется специальный предел коммутативного семействаF Используя коммутационные соотношения RFPD RFQ и традиционные rE матричные вычисления получимD что выражения T rL WR
m f ul l

(z ) центральны в


симметрической алгебре S (gln [t, t-1 ]) иD кроме тогоD T rL

m f ul l

(z ) порождают

коммутативную Пуассонову подалгебру в S (gln [t-1 ] tglop [t])F n Рассмотрим семейство автоморфизмов алгебры U (gln [t-1 ]) U (tglop [t]) n определяемое в терминах оператора Лакса следующим образомX пусть K диагональная n Ч n матрица общего положенияD оператор Лакса вида

L

f ul l

(z ) = L

f ul l

(z ) + K

также удовлетворяет rEматричным соотношениям @RFPAF Данное семейство автоморфизмов алгебры параметризуется . Рассмотрим семейство коммутативных подалгебр

M U (gln [t-1 ]) U (tglop [t]) n
определяемое производящей функцией det(L семейство квадратичных генераторов QI2 (L
f ul l

(z ) - z ). M централизует

f ul l

(z )). QIk (z , ) имеет следуE

ющий скалярный лидирующий член в разложении по

QIk (z , ) =

k

T r A n K 1 K 2 . . . Kk + O (

k -1

).

Выполним следующую замену в базисе коммутативной подалгебры

QIk (z , ) QIk (z , ) = (QIk (z , ) -
и рассмотрим предел

k

T r A n K 1 K 2 . . . Kk )

-k +1


f ul l

QIk (z , ) T r(L

(z )K

k -1

)

В данном пределе рассматриваемые выражения порождают подалгебру Картана

H = H- H+ = U (h[t-1 ]) U (th[t]).
WS


ПродемонстрируемD что эта подалгебра совпадает с централизатором квадE ратичных генераторов
H2 (z ) = lim

QI 2 (z , ) =
i=-,

T r(i K )z

-i-1

.

ОчевидноD что H Z (H2 (z )). Введем обозначения (k1 , . . . , kn ) для диагоE

нальных элементов матрицы K. Обозначим hi H сумму вида
n

hi =
s=1 тогда H2 (z ) = i=-,

(i )ss ks , . ЗаметимD что элементы централизаE

hi z

-i-1

тора должны коммутировать с h1 и h-1 . Рассмотрим бесконечный ряд
i=-

xi yi такой что xi U (g[t-1 ]), yi U (tg[t]). Предполагается такжеD

что этот ряд является элементом рассматриваемого пополненияD то есть такойD что имеется только конечное количество элементов каждой биграE дуировкиF Операторы [h1 , ] и [h-1 , ] являются однородными операторами биградуировок (0, 1) и (1, 0). Таким образомD вопрос о централизаторе своE дится к аналогичному вопросу в полиномиальной алгебреF Ответ дается следующими формулами

Z (h1 ) = U (gln [t-1 ]) H+ ,

Z (h-1 ) = H- U (tglop [t]). n

Пересечение данных подпространств в пополненном смысле совпадает с подалгеброй Картана H. Суммируем вышесказанноеX в точке общего положения формаций коммутативная подалгебра M семейства QI2 и в пределе семейства деE содержится в централизаторе

порождает централизаторF Из сообE

раженийD аналогичных используемым в TR в общей точке должно также WT


выполняться равенствоD а именно в общей точке M совпадает с центраE лизатором квадратичных генераторовF Для окончания доказательства наE помним формулу Шугавары квадратичных генераторов Ucrit (gln )

c2 (z ) =: T r(L

2 f ul l

(z )) :

В этой формуле используется символ нормального упорядочения : : для токов sl2 . Эти элементы проектируются в QI2 (z ) с точностью до центральE ного элемента в U (gln [t-1 ]) U (tgln [t])
4.1.3 Схема Бейлинсона-Дринфельда

В работе TV была предложена универсальная конструкция квантования систем типа ХитчинаF Пусть связная гладкая проективная кривая над

C рода g > 1, G E полупростая группа ЛиD g соответствующая алгебра
ЛиD B un
G

E стек модулей главных GEрасслоений на . Определим также

двойственную по Ленглендсу группу L G как группуD определенную двойE ственными корневыми даннымиD а именноD такуюD для которой решетка весов совпадает с двойственной решеткой весов G. Основной результат работы TV сводится к следующемуX

ћ Существует коммутативное кольцо дифференциальных операторов z(, G), действующих в сечениях канонического расслоения K
B un
G

.

При этом отображение символаD примененное к данному коммутативE ному кольцу порождает коммутативную подалгебру классических ГаE мильтонианов Хитчина на T B unG .

ћ Спектр кольца z(, G) канонически изоморфен пространству модуE
лей L gEоперов @для случая G = S L WU
2 L

gEопер совпадает с оператором


ШтурмаEЛиувилля на ; в общем случае опером называется плоская связность в главном L G расслоении с параболической структуройAF

ћ Каждому L gEоперу может быть сопоставлен DEмодуль на B un

G

поE

лучаемый при фиксировании собственных значений гамильтонианов ХитчинаF Этот DEмодуль является собственным пучком для действия преобразований ГеккеD естественно определенных на пространстве моE дулей расслоенийF При этом собственным значением действия является соответствующий L gEоперF В основе конструкции такой алгебры лежит естественное действие ценE тра Ucrit (g) на группе петель соответствующей группы ЛиF Это действие ограничивается до дифференциальных операторов на B unG () в силу одE ной из реализаций стека модулей главных расслоенийX

B unG ()
здесь G
in

G(F )\G(AF )/G(OF )

Gin \G[[z , z -1 ]/Gout

иG

out out

обозначают подгруппы сходящихся функций в Uin и Uout , определяют покрытие кривой следующего типаX Uin E
out

здесь Uin и U

некоторая окрестность точки P с локальным параметром z , U

= \P.

Средняя часть равенства представляет собой так называемую адельную реE ализацию стека модулей главных GEрасслоений для алгебраической группы

G. В конструкции фигурируют группа аделей G(AF ) поля F рациональE
ных функций на D группа целых аделей G(OF ) и группа главных аделей

G(F ). Данная реализация удобна для установления аналогии рассматриваE
емого сюжета квантовой системы Годена и арифметического соответствия ЛенглендсаF

WV


4.1.4

Соответствие

ИсторическиD гипотеза Ленглендса обобщает результаты теории полейE классов TWD UHD одним из основных результатов которой можно считать следующее утверждение в случае числового поляF А именноD пусть F E чисE

? ловое поле @то есть конечное расширение QAD F E его максимальное алгебE
раическое расширениеD F
ab

E максимальное абелево расширениеF Группой

Галуа расширения F F называется

Gal(F , F ) = { Aut(F ) : (x) = x x F }.
Абелев закон взаимности

Существует изоморфизм групп

Gal(F ab , F )

Группа связных компонент F Ч \A
Ч

Ч F

где AЧ E группа иделей кольца F, F F

E группа единиц кольца F. При этом

рассматривается топология произведения пополненийF Непосредственно гипотеза Ленглендса формулируется как nEмерное @не коммутативноеA обобщение абелева закона взаимностиF А именно предпоE лагаетсяD что существует изоморфизм категорий представлений группы ГаE луа максимального алгебраического расширения кольца и категории автоE морфных представлений соответствующей группы иделейF Под автоморфE ными представлениями понимаются предствления GLn (AF ) реализованE ные на пространстве функций на

GLn (F )\GLn (AF ),
удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям UID UPF Правую часть соответствия традиционно называют автоморфной стороной по слеE WW


дующей причинеF Для n = 2 такие представления связаны с теорией модуE лярных функцийF НапомнимD что модуляные функции определяются как функции на верхней полуплоскости ЗигеляD удовлетворяющие условию

f ((az + b)/(cz + d)) = (a)(cz + d)k f (z )

ab cd

S L2 (Z).

В частностиD пространство модулярных функций может быть представлено как пространство функций на следующем факторпространстве

S L2 (R)/S L2 (Z)

K \GL2 (AQ )/GL2 (Q)

В программе Ленгленса рассматриваются следующие типы полей F X

ћ Числовое полеF ћ Поле функций на алгебраической кривой над конечным полем Fq @В
этом случае гипотеза была доказана в работах UQAF

ћ Поле функций на алгебраической кривой над полем C. Данный случай
называется геометрическим случаем над C. Ему посвящены следующие работы URF
Формулировка соответствия над

C

:

В данном случае на стороне Галуа рассматриваются представления фунE даментальной группыD или классы плоских связностей в расслоении ранга

n. На автоморфной стороне рассматривается DEмодуль Хитчина на проE
странстве

GL(F )\GL(AF )/GL(OF )

B unn ().

Из результатов TV и TQ следует наличие соответствия между DEмодулями Хитчина и плоскими связностямиD задаваемыми IHH
L

gEоперамиF Благодаря


конструкции квантового характеристического полинома для алгебры пеE тельD а также явной конструкции центра Ucrit (gln ) в теореме RFS данное соответствие для алгебры Ли gln удалось сделать более явнымF На схеме представлена конструкция этого соответствия

DEмодуль Хитчина
Замечание 4.4.

F F, B D



Характер на z(U

crit

(gln )) det(L

CT

f ul l

- z ).

Построение характера на z(Ucrit (gln )) по DEмодулю

Хитчина является следствием теоремы Фейгина и Френкеля о сущеE ствовании центраD а также конструкции Бейлинсона и Дринфельда квантования системы ХитчинаF Для получения эффективного описаE ния соответствующей плоской связности PV необходимо использовать отождествление коммутативных подалгебрD с одной стороныD коммуE тативной подалгебры в U (gln [t-1 ]) U (tgln [t]), определенной коэффициE ентами квантового характеристического полиномаD а с другой E образом центра z(Ucrit (g)) при отображении АКСF

4.2

Некоммутативная геометрия

Основной сюжет данной работы имеет непосредственное отношение к форE мирующейся области некоммутативной геометрииD основной проблематиE кой которой является нахождение геометрической интерпретации алгебE раических структурD в которых ослаблено требование коммутативностиF В данном случае квантовый характеристический полином является естеE ственным некоммутативным обобщением классического характеристичеE ского полиномаF Некоторые свойства этого объектаD в частности рольD коE торую играет квантовый характеристический полином в задаче эффективE ного описания решения рассматриваемых квантовых интегрируемых модеE IHI


лейD позволяют считать его естественным некоммутативным обобщением алгебраической кривой E спектральной кривой моделиF В данном разделе описываются некоторые линейноEалгебраические свойства квантового хаE рактеристического полинома полученные в работе PWF
4.2.1 Приведение квантового оператора Лакса к форме

Дринфельда-Соколова

Пусть L(z ) M atn U (gln )N F un(z ) E квантовый оператор Лакса моE дели Годена @IFITAD здесь и далее в данном разделе F un(z ) означает проE странство рациональных функций параметра z . Обозначим L[i] (z ) квантоE

вые степени оператора ЛаксаD определяемые следующими формуламиX

L

[0] [i]

= I d, =L
[i-1]

L
Теорема 4.6.

L + z L

[i-1]

.

Выражение C (z ) M atn U (gln )N F un(z ) определенное

формулой

C (z ) =

v vL ... vL
[n-1]

,
@RFSA

где v Cn E вектор общего положенияD определяет следующее калиброE

IHP


вочное преобразование

C (z )(L(z ) - z ) =

1 0 0 0 ... ... 0 0 QHn QHn

0 1 ... ...
-1

... ... ... 0
2

0





... QH

0 ... - z C (z ), @RFTA 1 QH1

где коэффициенты нижней строки правой части определяются коэффиE циентами квантового характеристического полинома

det(L(z ) - z ) = T rAn (L1 (z ) - z ) . . . (Ln (z ) - z )
n = (-1)n (z - i i QHn-i z ).

@RFUA

Связность в правой части равенства обычно называется связностью типа ДринфельдаEСоколоваF
Уравнение Книжника-Замолодчикова

Здесь и далее в данном раздE

лее V E конечномерное представление U (gln )N . В работе US было обE наруженоD что существует простая связь между решениями уравнения КнижникаEЗамолодчикова @КЗA UT

(L(z ) - z )S (z ) = 0,
где S (z ) E функция со значениями в Cn V , и решениями уравнения БакE стера

det(L(z ) - z )(z ) = 0
IHQ

@RFVA


на (z ) E функцию со значениями в V . Для этого достаточно в качестве

(z ) взять проекцию на антисимметричную часть выражения U (z ) = v1 ... v
n-1

S (z ) где vi E произвольные вектора в Cn . При специальном

выборе векторов vi можно показатьD что все векторные компоненты S (z ) над Cn решают уравнение @RFVAF
Доказательство теоремы 4.6

Рассмотрим сначала несколько примеE

ров квантовых степеней оператора Лакса @RFSAX

L[1] (z ) = L(z ), L[2] (z ) = L2 (z ) + L (z ).
В частностиD для случая n = 2 матрица C может быть выбрана в традиE ционном виде

C (z ) =

0

1

,
@RFWA

c(z ) d(z )

где квантовый оператор Лакса определяется выражением

L(z ) =

a(z ) b(z ) c(z ) d(z )

.
@RFIHA

В общем случае рассмотрим правую и левую части выражения @RFTA приE мененные к некоторой функции S (z ) Cn V F un(z ),

L.H.S = C (L - z )S =

< v , LS - z S > < v , L[1] (LS - z S > ... < v, L
IHR
[n-1]

,
@RFIIA

(LS - z S ) >


- z )C S =

< v , LS - z S > ... < v, L < v,
n-1 i=0 [n-1] [n-2]

. @RFIPA

R.H.S = (L

DS

S - z (L

S) >
[n-1]

QHn-i L[i] S - z (L

S) >

Используя определение квантовых степеней оператора Лакса получим

L[k] S - z (L

[k -1]

S) = L

[k -1]

(LS - z S ).

Разница @RFIPA и @RFIIA будет иметь вид



0 ... 0 < v,
n-1 i=0

.
@RFIQA

QHn-i L[i] S - L[n] S >

Рассмотрим теперь данное выражение в случаеD когда S (z ) является решеE нием уравнения КЗ

L(z )S (z ) = z S (z ).
Пусть (z ) = C (z )S (z ), где C (z ) задано формулой @RFSAF Тогда

1 (z ) = < v , S (z ) > 2 (z ) = < v L(z ), S (z ) >=< v , z S (z ) > ... k (z ) = < v (L
[k -1] -1]

L(z ) + z L

[k -1]

), S (z ) >
[k -1]

= < v L[k

, z S (z ) > + < v z L

, S (z ) >= z

k -1

(z )

IHS


ОднакоD следствием результата US является тоD что 1 (z ) =< v , S (z ) > решает уравнение Бакстера
n-1 i n QHn-i z 1 (z ) - z 1 (z ) = 0 i=0

@RFIRA

для любого решения уравнения КЗ S (z ) и произвольного вектора v Cn . Общность выбора решения уравнения КЗ позволяет утверждатьD что nEый элемент @RFIQA равен нулю тождественно по S (z ) Cn V F un(z ). Из теоремы PFSFU UU следует равенство универсальных дифференциальных операторов со значениями в квантовой алгебреF
4.2.2 Тождество Гамильтона-Кэли

Следствие 4.6.1.

Квантовые степени оператора Лакса удовлетворяют

квантовому тождеству ГамильтонаEКэли
n

L (z ) =
i=1

[n]

QHi (z )L

[n-i]

(z ).

@RFISA

Доказательство

Рассматривая последнюю строку уравнения @RFTA полуE
n

чим

vL

[n-1]

(z )(L(z ) - z ) =
i=1

v QHi (z )L

[n-i]

(z ) - z v L

[n-1]

(z ).

Результат является следствием общности выбора вектора v Cn .
Замечание 4.5.

Тождество ГамильтонаEКэли представленное выше явE

ляется единственным соотношением такого типа для квантовых опеE раторов Лакса со спектральным параметромF Появление квантовых поE правок в степенях L(z ) отличает его от традиционногоF Подобного рода
IHT


тождества для операторов Лакса без спектрального параметра обсужE дались в UVD а также в разделе RFP UWF В работе VH @раздел PFRA быE ло предложено тождество ГамильтонаEКэли для gln . Заметим такжеD что в VI @раздел VFT стрF WTA было предложено обобщение тождества ГамильтонаEКэли иной природы для матриц с коэффициентами в произE вольной некоммутативной алгебреF
4.2.3 Замечания о решениях уравнения КЗ

В качестве еще одного следствия явной формулы для приведения квантоE вого оператора Лакса к виду ДринфельдаEСоколова @RFTA получим простой способ строить решения универсального уравнения Бакстера по решению уравнения КнижникаEЗамолодчиковаF Этот метод полностью согласован с методомD рассмотренным в USF Из формулы @RFTA основной теоремы слеE дуетD что если S (z ) решает уравнение КЗ

(L(z ) - z )S (z ) = 0,
то первая векторная компонента C (z )S (z ) решает уравнение Бакстера @RFVAF Рассматривая C (z ) в виде RFS с вектором v = (0, ..., 1, ..., 0) получимD что первая компонента C (z )S (z ) совпадает с S (z )i .
Следствие 4.6.2.

Пусть E конечномерное представление U (gln )N в

котором каждая компонента является конечномерным неприводимым представлениемF Тогда все решения уравнения КЗ

( (z - L(z )))S (z ) = 0
являются рациональными функциями z .
Доказательство

@RFITA

В работе US было сделано предположение @основанное IHU


на работе VPD а также на идеях БакстераD Годена и СклянинаA о томD что уравнение типа Бакстера (det(z - L(z )))(z ) = 0, где E конечномерное представление U (gln )N , имеет только рациональные решенияF Эта гипоE теза для представлений описанного типа и алгебры Ли gln была доказана в работе SH @теорема TFIAF С другой стороныD из утверждения в работе USD обсуждаемого вышеD следуетD что любая компонента S (z )i вектора S (z ) решает уравнение БакстераD являясьD таким образомD векторнозначной раE циональной функциейF

Список литературы
I hiot FD ghrteriztion of toin vrieties in terms of soliton

equtionsD snventF wthFD

83

@PAXQQQ!QVPD IWVTF

P urihever sFD sntegrle liner equtions nd the iemnnEhottky

prolemD inX elgeri qeometry nd xumer heoryD firkh? userD fostonD
PHHTF urihever sFD ghrterizing toins vi trisents of the uummer

rietyD rivXmthGHTHSTPSF
Q Атья МFD Геометрия и физика узловF МF Мир IWWSF R honldson FD en pplition of guge theory to fourE dimensionl topologyD tF hi'erentil qeometry
18

eWVQD PUWEQISF

S uronheimer FfFD wrowk FFD he genus of emedded surfes in the

protetive plneD wthF eserh vetters

1

eWWRD UWUEVHVF

IHV


T xkyshikiD eFD truture of fkerEekhiezer modules of prinipl ly

polrized elin vrietiesD ommuting prtil di'erentil opertors nd ssoited integrle systemsD huke wthF tFTPEP @IWWIA QIS !QSVD
xkyshikiD eFD yn the ohomologies of thet divisors of hyperel lipti

toinsD gontemporry wthF

309

@PHHPAD IUUEIVQF

xkyshikiD eF nd mirnovD pFD gohomologies of 0ne hyperel lipti

toi vrieties nd integrle systemsD gommF wthF hysF
TPQETSPF

217

@PHHIAD

xkyshikiD eF nd mirnovD pFD iuler hrteristis of thet divisors of

toins for spetrl urvesD gw roF nd vetF xotes
uuznetsovD edF @PHHPAD PQWEPRTF

32

D dim fF

U hddeus wF gonforml (eld theory nd the ohomology of the moduli

spe of stle und lesD tF hi'erentil qeomF IWWPF F

35

D IF F IQIEIRWF

V Барановский ВFЮFD Кольцо когомологий пространства модулей стаE

бильных расслоений с нечетным детерминантомD ИзвF РАНF СерF маE
темFD IWWRD том
58

D выпуск RD страницы PHR!PIHF

W peigin fFD pinkelerg wFD xegut eFD ynikov vFD ngins nd ohomology

rings of vumon spesD rivXHVIPFRTSTF
peigin fFD pinkelerg wFD prenkel sFD ynikov vFD qelfndEsetlin lgers

nd ohomology rings of vumon spesD rivXHVHTFHHUPF
IH Клейн ФFD Сравнительное обозрение новейших геометрических исслеE

дований @ Эрлангенская программа" AD IVUPF "
II qudin wFD v pontion d9 ynde de fetheD wssonD ris @IWVQAF IHW


IP Дубровин БFАFD Матвеев ВFБFD Новиков СFПF Нелинейные уравнения

типа КортевегаEде ВризаD конечнозонные линейные операторы и АбеE левы многообразияF УМНD
31

D ID STEIQT @IWUTAF

Кричевер ИFМFD Методы алгебраической геометрии в теории нелинейE

ных уравненийD УМН IWUU

32

R IVHEPHVF

IQ uowlevski FD ur le prol eme de l rottion d9un orps solide utour d9un

point (xeF et wthemti

12

@IVVWADIUUEPQF

IR Якоби КFD Лекции по динамикеF Москва IWQTF IS Веселов АFПFD Новиков СFПFD О скобках ПуассонаD совместимых с алE

гебраической геометрией и динамикой КдФ на множестве конечноE зонных потенциаловF" ДоклF АН СССРD IWVPD
266

D QF

IT rithin xFD tle und les nd integrle systemsF huke wthF tournl IWVU
54

x1 WIEIIRF

IU Кричевер ИFМF О рациональных решениях уравнения КадомцеE

ва!Петвиашвили и об интегрируемых системах N частиц на прямой
ФункцF анализ и его прилFD IWUVD
12

D ID стрF UT!UV

IV qrdner gFFD qreen tFwFD uruskl wFhFD wiur FwFD wethod for solving

the uortewegEde ries equtionD hysFevFvettF IWTUF F

19

F F IHWSEIHWUF

IW vx FD sntegrls of nonliner equtions of evolution nd solitry wvesD gommF ure epplF wthF IWTVF F
21

F SF F RTUERWHF

IIH


PH Дубровин БFАFD Кричевер ИFМFD Новиков СFПFD Интегрируемые систеE

мыD sF Итоги науки и техникиD Современные проблемы математикиD
Фундаментальные направленияD том 4F PI Переломов АFМF Интегрируемые системы классической механики и

алгебры ЛиD МF НаукаD IWWHF
PP Демидов ЕFЕFD

Иерархия Кадомцева!Петвиашвили и проблема

ШотткиD Фундаментальная и прикладная математика IWWVD тF 4D выE
пуск ID стрF QTUERTHF PQ Склянин ЕFКFD Фаддеев ЛFДF Квантовомеханический подход к вполне

интегрируемым моделям теории поля ДАН СССРF"IWUVF" ТF
T"СF IRQH"IRQQF

243

D

Склянин ЕFКF Метод обратной задачи рассеяния и квантовое нелиE

нейное уравнение Шредингера ДАН СССРF"IWUVF"ТF
IQQU" IQRIF

244

D TF"СF

Склянин ЕFКFD Тахтаджян ЛFАFD Фаддеев ЛF ДF Квантовый метод обE

ратной задачиF ТеорF и матF физикаF"IWUWF" ТF

40

D PF" СF IWR"PPHF

Тахтаджян ЛFАFD Фаддеев ЛFДF Квантовый метод обратной задачи и

модель ГейзенбергаD УМНF"IWUWF"ТF

34

D SF"СF IQ"TQF

КuIish FFD kIуnin iFuF untum inverse sttering method nd

the reisenerg ferromgnetF hysF vettF" IWUWF" F
RTI"RTQF

70

eD S"WF"F

PR fethe rFD ur heorie der wetl leF sF iigenwerte und iigenfunktionen

der lineren etomketteF @yn the theory of metlsF sF iigenvlues nd
III


eigenfuntions of the liner tom hinAD eitshrift fur hysik eD olF
71

D ppF PHSEPPT @IWQIAF

PS Дринфельд ВFГFD Алгебры Хопфа и квантовое уравнение ЯнE

га"Бакстера ДАН СССРF IWVSF ТF283D SF
PT swski uFD uimur rFD himomur FD oshid wFD prom quss to

inleveD e modern theory of speil funtionsD IWWIF
PU ghervov eFD plqui qFD ynikov vFD vimits of qudin ystemsX glssil

nd untum gsesD rivXHWHQFITHRvI mthFeF
PV ghervov eFD llev hFD untum spetrl urvesD quntum integrle

systems nd the geometri vnglnds orrespondeneF hepEthGHTHRIPVF
PW Талалаев ДFD Червов АFD Уравнение КЗD qEоперыD квантовая редукция

ДринфельдаEСоколова и квантовое тождество ГамильтонаEКэлиD
Записки Научных семинаров ПОМИD Выпуск QTHD ?Теория представлеE нийD Динамические системыD Комбинаторные методыF Часть IT?D стрF PRTEPTHF QH felon yFD fernrd hFD lon wFD sntrodution to lssil integrle

systemsD gmridge niversity ress PHHQF
QI Рейман АFГFD Сем?новEТянEШанский МFАFD Интегрируемые системыF

ТеоретикоEгрупповой подходF Современная математикаF Ижевск PHHQF
QP mnn FD he moduli spe of vetor und les over n lgeri urveD wthF ennF
200

@IWUQA TWEVRF

IIP


QQ uodir uFD gomplex wnifolds nd heformtion of gomplex trutures IWVT y pringerEerlgF QR xekrsov xFD rolomorphi und les nd mnyEody systemsF EISQRD gommF wthF hysFD180 @IWWTA SVUETHRY hepEthGWSHQISUF QS Талалаев ДFD Червов АFD Система Хитчина на особых кривыхD ТеореE тическая и Математическая Физика @ТМФAD PHHRD IRHXPD IUW!PISF ghervov eFD llev hFD rithin systems on singulr urves ssF qluing

sushemesD sntFtFqeomFwethFwodFhysFRXUSIEUVUDPHHUF
QT urihever sFD felon yFD filley iFD lon wFD pin generliztion of

the glogeroEwoser system nd the wtrix u equtionD rivXhepE
thGWRIIITHF QU Кассель КFD Квантовые группыD @Библиотека математикаD выпF SA МF IWWWF QV urihever sFD hong hFD ympleti forms in the theory of solitonsD hepE thGWUHVIUHF h9roker iFD urihever sFD hong hFD eiergEitten heoryD ympleti

pormsD nd rmiltonin heory of olitonsD hepEthGHPIPQIQF
QW klynin iFD eprtion of vriles in the qudin modelF tFovFwthF PRUQEPRVVD IWVWD pFxuhnFeminF ITRX ISIEITWD IWVUF RH fyen pFD plto wFD pronsdl gFD vihnerowiz eFD ternheimer hFD
47

X

heformtion theory nd quntiztionF sF heformtions of sympleti struturesD ennF hysis
111

@IWUVAD TI!IIHF IIQ


fyen pFD plto wFD pronsdl gFD vihnerowiz eFD ternheimer hFD

heformtion theory nd quntiztionF ssF hysil pplitionsD ennF
hysis
111

@IWUVAD III!ISIF

RI qutt FD en expliit Eprodut on the otngent und le of vie groupD vettF wthF hysF
7

@IWVQAD PRW!PSVF

RP uontsevih wFD heformtion quntiztion of oisson mnifoldsD vettF wthF hysF
66

@PHHQAD ISU!PITF

RQ pedosov fFFD e simple geometril onstrution of deformtion

quntiztionD tF hi'erentil qeomF

40

@IWWRAD PIQ!PQVF

pedosov fFFD heformtion quntiztion nd index theoryD wthemtil opisD olF 9D ekdemie erlgD ferlinD IWWTF RR Талалаев ДFD Квантовая система ГоденаD Функциональный Анализ и его приложения
40

xoF I ppFVTEWI @PHHTAF

RS klynin iFD eprtions of vrilesX new trendsF rogrF heorF hysF upplF
118

@IWWSAD QS!THF solvEintGWSHRHHIF

RT uulish FD klynin iFD untum spetrl trnsform methodF eent

developmentsD vetF xotes in hysF
RU uirillov eFD eshetikhin xFD

151

@IWVPAD ppF TIEIIWF

he nginsD fethe enstz nd
12

omintorisD vettF wthF hysF

D Q @IWVTAD ppF IWWEPHVF

RV wolev eFsFD ngins nd their pplitionsF mthFeGHPIIPVVF RW Боголюбов НFD Изергин АFD Корепин ВFD Корреляционные функции инE

тегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи IWWPF
IIR


SH wukhin

iFD

rsov

FD

rhenko

eFD

huert

lulus

nd

representtions of generl liner group rivXHUIIFRHUPF
SI utsov FD ilntiev eFD llev hFD wnin wtriesD untum il lipti

gommuttive pmilies nd ghrEteristi olynomil of il lipti qudin modelD sqwe
5

@PHHWAD IIHEIQIF

SP pelder qFD gonforml (eld theory nd integrle systems ssoited to

el lipti urvesF roF sgw urih IWWRD IPRUESSD firkh? ? user @IWWRAY illipti
quntum groupsD roF sgw ris IWWRD PIIEVD snterntionl ress @IWWSAF SQ rsov FD rhenko eFD ml l il lipti untum qroup e , (slN )D wosF wthF tFD 1D noF PD @PHHIAD PRQ!PVTD QHQ!QHRF SR inriquez fFD peigin fFD utsov D eprtion of vriles for qudinE

glogero systemsD gompositio wthF

110

D noF ID @IWWVAD I!ITF

SS pelder qFD horr eFD eprtion of vriles for quntum integrle systems

on el lipti urvesD mthFeGWWHSHUPD tF hysFD
VHPPF

A 32

D @IWWWAD noF RTD VHHI!

ST qould wF hFD hng FEFD ho FEFD il lipti qudin models nd el lipti

u iqutions nlinGHIIHHQVF
SU Талалаев ДFD Анзац Бете и изомонодромные преобразованияD ТеоретиE ческая и математическая физикаD ТМФD PHHWD том ISWD номер PD стрF PSP!PTSF SV Болибрух АFАFD Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные

расслоенияF E МX МЦНМОD PHHH
IIS


SW wuЕ gn FD kk eFD hlesinger trnsformtions for the inlev? s e

equtionD tF wthF hysF

36

@QA IWWSF

TH qri0ths hFD rrris tFD riniples of elgeri qeometryD ileyE sntersieneD IWWRD sfx HERUIEHSHSWEVF TI horr eFD eprtion of vriles for the VEvertex y model with

ntiperiodi oundry onditionsD hh hesisD irD urihD PHHHF
TP edler wFD yn tre funtionl for forml pseudodi'erentil opertors nd

the sympleti struture for the ud type equtionsD snventF wthF @IWUWA
50

D PIWEPRVF

uostnt fFD untiztion nd epresenttion heoryD inX epresenttion heory of vie qroupsD roF gGvw esF ympFD yxford IWUUF vondon wthF oF veture xotes eriesD
34

D PVUEQITD IWUWF

ymes FFD ystems of od typeD inverse spetrl prolemsD nd

representtion theoryF snventF wthF SWD IQESI @IWVHAF
TQ fF peiginD iF prenkelD sntF tF wodF hysF eUD upplF Ie IWWPD IWUEPISF TR ynikov vFD

niqueness

of

higher

qudin

hmiltoninsD

rhivXmthGHTHVSVVF TS rsov eFeFD niqueness of the lifting of mximl ommuttive

sulgers of the oissonEvie lger to the enveloping lgerF F wthF
IWRD xoFUD IIHSEIIII @PHHQAY trnsltion from wtF F IWRD xoFUD ISSEITH @PHHQAF

IIT


TT ynikov vFD gentrlizers of some qudrti elements in oissonEvie

lgers nd method for the trnsltion of invrintsF ussF wthF urvF
THD xoFPD QTUEQTW @PHHSAY trnsltion from spF wtF xuk THD xoFPD IUQE IUR @PHHSA mthFeGHTHVSVTF TU yhiiD rFD yshimD FD nd ekiguhiD rF gommuting fmilies of

symmetri di'erentil opertors D roF of the tpn edF UHD erF e
P IWWR TP!TVF TV feilinson eFD hrinfeld FD untiztion of rithin9s integrle system nd

rehe eigenshevesF reprint IWWIF
TW СеррD ЖFD Алгебраические группы и поля классовF МирD IWTVF UH Ивасава КFD Локальная теория полей классов МирD IWVQF UI prenkel iFD vetures on the vnglnds rogrm nd gonforml pield

heoryD hepEthGHSIPIUPF
UP ergne wFD el l wht s wnted to know out the vnglnds progrm nd

ws frid to skD mthFqGHTHURUWF
UQ v'orgue vFD ghtous de hrinfeld et orrespondne de vnglndsD snvF wthF
147

IEPRI @PHHPAF

UR rusel FD hddeus D wirror symmetryD vnglnds dulityD nd the

rithin systemD snventF wthF

153

@PHHQA IWUEPPWF

prenkel iFD qitsgory hFD ilonen uFD yn the geometri vnglnds

onjetureD tournl of ew

15

@PHHIA QTU!RIUF

IIU


prenkel iFD qitsgory hFD vol geometri vnglnds orrespondene nd

0ne uEwoody lgersD mthFGHSHVQVP
fezrukvnikov FD frvermn eFD qeometri vnglnds orrespondene for

hEmodules in prime hrteristiX the qv@nA seD mthFeqGHTHPPSSF
US llev hFD ghervov eFD niversl qEoper nd qudin eigenprolem hepE thGHRHWHHUF UT unizhnik FqFD molodhikov eFfFD xulFhysFf
247,

@IWVRA VQEIHQF

UU Диксмье ЖFD Универсальные обертывающие алгебрыD МF Мир IWUVF UV frken eFtFD qreen rFFD tF wthF hysF qould wFhFD tF eustrlF wthF oF fF
12,

@IWUIA PHWWEPIHTF

26,

@IWVSA PSU!PVQF

wfrlne eFtFD fei'er rFD preprint mthEphGWWHUHPRF ssev eFFD ygievetsky yFFD ytov FxFD preprint mthFeGWWIPIWUF qurevih hFsFD ytov FxFD ponov FeFD preprint mthFeGHRIPIWPF ygievetsky yFD ytov FD preprint mthFeGHSIITIVF UW wolev eFsFD preprint mthFeGHPIIPVVF VH uirillov eFeFD wosow wthF tournlD
1,

xo ID @PHHHA RWETQF

VI qelfnd sFD uro hFD vsoux eFD veler fFD etkh FFD hion tFEFD preprint hepEthGWRHUIPRF VP prenkel iFD e0ne elgersD vnglnds hulity nd fethe enstzD qE lgGWSHTHHQF

IIV