Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/people/talalaev/index_htm_files/auto.pdf Дата изменения: Tue Apr 27 13:18:18 2010 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:09:03 2016 Кодировка: Windows-1251

Математический институт В.А. Стеклова Российской академии наук

УДК SIRFVRD SIPFUUD SIUFWQV

На правах рукописи

Талалаев
Дмитрий Валерьевич

Квантовый метод спектральной кривой
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности геометрия и топология (01.01.04)

Москва 2010 г.


Работа выполнена на кафедре Высшей геометрии и топологии МеханикоE математического факультета Московского государственного университета имF МFВF Ломоносова @МГУAF Официальные оппонентыX

ћ Доктор физикоEматематических наукD профессор АFМF Вершик ћ Доктор физикоEматематических наукD профессор ИFМF Кричевер ћ Доктор физикоEматематических наукD профессор ОFКF Шейнман
Ведущая организацияX Математический институт имF СFЛF Соболева СО РАН Защита диссертации состоится Q июня PHIH гF в IR часов на заседании дисE сертационного совета Д HHPFHPPFHQ при Математическом институте ВFАF СтекE лова по адресуX IIWWWID МоскваD улF ГубкинаD дF VF С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИАНF Автореферат разослан PW апреля PHIH гF

Ученый секретарь совета Д HHPFHPPFHQD доктор физикоEматематических наук I

НFПF Долбилин


1 Общая характеристика работы
1.1 Актуальность темы

Главные результаты и основная идея работы имеют непосредственное отE ношение к двум важнейшим направлениям развития геометрии и тополоE гии PHEго векаD связанным с приложениями теории интегрируемых систем и приложениями квантовой физикиF Наиболее ярким результатом первого направления является решение проблемы Шоттки ID основанное на гипотеE зе СFПF НовиковаF Задача характеризации Якобианов среди прочих главноE поляризованных абелевых многообразий была решена в терминах нелинейE ных уравненийX соответствующая Eфункция удовлетворяет уравнению КП тогда и только тогдаD когда абелево многообразие является Якобианом некоE торой кривойF Развитием этой деятельности явилось доказательство гипоE тезы Вельтерса PD характеризующей Якобианы кривых в терминах тройE ных секущих соответствующих многообразий КуммераF Второй существенE ный пласт результатов связан с приложениями квантовой теории поля в заE даче построения топологических инвариантовD в том числе в маломерной тоE пологииF Теория инвариантов ДжонсаEВиттенаD или более общо E квантовая топологическая теория поляD обобщает традиционные инварианты узловX поE лином Александера и полином ДжонсаF Собственно инварианты строятся как корелляционные функции некоторой квантовой теории поля QF Также с идеE ями квантовой теории поля связана теория инвариантов Дональдсона R и ее развитие Зайбергом и ВиттеномF Данный подход оказался исключительE но эффективным и привел к таким важным результатам как доказательство гипотезы Тома о степени гладкого вложения кривой в CP2 SF Данное направE ление развития математики поднимает проблему нахождения эффективных методов решения квантовых задачF Настоящая работа посвящена построению квантовых аналогов алгеброE геометрических методовD применимых при анализе и решении классических интегрируемых системF Эти методы основаны на конструкции спектральной кривой и соответствующего отображения АбеляF Кроме приложений в тоE пологииD явное описание решений квантовых интегрируемых систем непоE средственно связано с такими геометрическими задачамиD как вычисление когомологий Eдивизора абелева многообразия TD вычисление когомологий и характеристических классов пространств модулей стабильных голоморфE ных расслоений UD VD а также пространств модулей флагов голоморфных расслоенийD в случае базы CP1 называемых пространствами Ломона WF

P


1.2

Степень разработанности темы

В работе строится квантовый аналог метода спектральной кривой для рациE ональной и эллиптической системы Годена IHF В классификации Хитчина эти случае отвечают роду 0 и 1 базовой кривойF Главная задача работыD родE ственная нахождению топологических инвариантов квантовоEполевого типаD а также тесно связанная с исследованием геометрических свойств разнообE разных пространств модулейD состоит в описании спектров рассматриваемых квантовых интегрируемых системF Полученные результатыD в том числе метоE дологический подход построения квантовой спектральной кривойD позволили описать явно дискретную группу симметрии спектра рассматриваемых интеE грируемых системF Квантование системы Хитчина на кривой произвольного рода и решение соответствующей квантовой задачи потребует использования иной техникиD однакоD найденная в рассматриваемых случаях геометрическая аналогия может оказаться эффективной и в ситуации общего родаF
1.3 Цель и задачи исследования

Основной целью работы является построение квантового аналога метода спекE тральной кривойD в том числе эффективных квантовых аналогов методов поE строения и решения интегрируемых системF Частными задачами являются

ћ Построение производящей функции коммутативной подалгебры квантоE вых гамильтонианов Годена в рациональном и эллиптическом случае в виде обобщения детерминантной формулы характеристического полиноE ма оператора Лакса E квантового характеристического полиномаF ћ Описание спектров квантовых систем рассматриваемого типа в виде услоE вия на монодромию некоторых Фуксовых уравненийF ћ Построение семейства симметрий спектров квантовых систем рассматE риваемого типа в виде перестроек Гекке на пространстве мероморфных связностейF ћ Построение эффективной процедуры описания центра универсальной оберE тывающей аффинной алгебры Ли Ucrit (sln ) на критическом уровнеF ћ Исследование алгебраических и геометрических свойств квантового хаE рактеристического полиномаD в том числе нахождение аналога тождества ГамильтонаEКэли для квантового оператора ЛаксаF ћ Построение формализма системы Хитчина для кривых с особенностями типа двойная схемная точкаF
Q


1.4

Объект и предмет исследования

Основным объектом исследования являются интегрируемые системы Годена рационального и эллиптического типовF Предметом исследования являютE ся методы квантования рассматриваемых системD а также методы решения квантовых интегрируемых системD обобщающие классический метод спекE тральной кривойF Кроме этогоD исследуются некоторые приложения данных методовF
1.5 Теоретическая основа и методологическая база

В основе методологической базы работы лежит классический метод спекE тральной кривойD квантовый метод обратной задачиD теория квантовых группD изомонодромных деформацийD а также методыD связанные с программой ЛенE глендса и деформационным квантованиемF Кроме этого используются некоE торые методы математической физикиD в частности анзац БетеF Классический метод спектральной кривой заключается в интерпретации фазового пространства интегрируемых систем в виде расслоения ЯкобиановF Ключевыми результатами в формировании этой концепции считаютсяX раE бота КF Якоби IID работы UHEх годов прошлого века школы СFПF Новикова IPD IQD а также работа НF Хитчина IRF Алгебраическая составляющая меE тода спектральной кривой связана с методом обратной задачиD открытым в THEх годах прошлого века в работе ISF ОказалосьD что исключительно эфE фективным с точки зрения решения динамических систем является так наE зываемое изоспектральное представление динамикиD или представление ЛакE са ITF Именно представление Лакса позволяет ввести понятие спектральной кривой и использовать методы алгебраической геометрии для построения явE ных решений IUD решать динамические системы в алгебраических терминах методом проекции IV или с помощью более общей конструкции грассманиE ана Сато и Eфункции IWF Основной метод теории квантовых интегрируемых системD называемый квантовым методом обратной задачи @КМОЗAD был создан в UHEх годах PHEго века школой ЛF ДF Фаддеева PHF Во многом данный метод полагается на классический метод обратной задачиD в особенности в части гамильтоновоE го описанияF Он обобщает некоторые конструкции интегрируемых системD в частности коммутативных подалгебрF Данный метод был в значительной стеE пени обобщен теорией квантовых группD введенной Дринфельдом PIF КонE цепция алгебр Хопфа оказалась исключительно эффективной в задаче обобE щения конструкции инвариантных полиномов на группеF Теория квантовых групп существенно используется в работе для построения квантования сиE стем ГоденаF В работе также используется более общая конструкция АКС PPD котораяD в частностиD оказывается ключевой при описании спектра ценE R


тра Ucrit (sln ) на критическом уровнеF
1.6 Научная новизна диссертации

Новизна главным образом связана с конструкцией центрального объекта раE боты E квантовой спектральной кривой моделиF Развитие теории квантовых интегрируемых систем в рамках КМОЗ не позволило существенно продвиE нуться в задаче описания решений квантовых интегрируемых систем на коE нечном масштабеF Благодаря введению понятия квантовой спектральной криE вой в работе строится семейство геометрических симметрий множества реE шений квантовой задачиF Для построения этих симметрий используется траE диционный метод анзаца Бете в альтернативной формулировкеD а именно в терминах семейства специальных Фуксовых операторов с конечной монодроE миейF Такое описание квантовой задачи позволяет реализовать симметрии в терминах известных в теории изомонодромных деформаций преобразований Шлезингера PQ и применять известные решения уравнений изомонодромных деформацийD типа уравнений ПенлевеD для описания вариаций спектров кванE товых систем при изменении параметровF В определенном смысле построенE ное семейство симметрий представляет собой аналог отображения АбеляD явE ляющегося универсальным решением в теории классических интегрируемых системF Следует отметитьD что постановка задачи нахождения аналога метода спектральной кривой в квантовом случае является новойD КМОЗ ограничиE вался обобщениями алгебраической теории интегрируемых системD в то вреE мя как квантовый метод спектральной кривой обобщает некоторые алгеброE геометрические методы теории интегрируемых системF Новыми результатами являются такжеX явное построение центра универE сальной обертывающей аффинной алгебры Ли Ucrit (sln ) на критическом уровнеD иD как следствиеD более эффективное описание геометрического соответствия Ленглендса над C на формальном диске с проколомF Кроме этогоD получеE но обобщение тождества ГамильтонаEКэли для квантового оператора Лакса рациональной системы ГоденаF
1.7 Практическая значимость работы

Исследования квантового характеристического полинома для моделей тиE па Годена позволили систематизировать и существенно повысить эффективE ность методов решения квантовых интегрируемых системF Построенные дисE кретные симметрии спектров рассматриваемых систем выполняют роль обобE щенных угловых операторовD то есть позволяют строить семейства собственE ных векторов моделиF Практическая значимость результатов в геометрии и топологии обусловлена возможностью обобщения данной техники на полевые S


моделиD возникающие в топологических квантовых теориях поляD и в теориях поляD используемых при построении инвариантов Дональдсона и ЗайбергаE ВиттенаF Кроме этогоD полученные результаты в проблеме решения квантоE вых систем имеют непосредственные приложения в задаче описания колец коE гомологий пространств модулей голоморфных расслоенийD пространств ЛоE монаD а также аффинных ЯкобиановF В работе были выявлены многочисленные связи и приложения данного подхода в других областях современной математики и математической физиE киF В теории представлений полупростых алгебр Ли роль полученных резульE татов заключается в возможности эффективизации таких классических заE дачD как формула кратностейF Приложения такого типа возникают благодаря наличию специальных пределов системы ГоденаD образующие коммутативной подалгебры для которых интерпретируются как центральные элементы некоE торых подалгебр в U (sln )N PRF К этой же области приложений относится результат явного описания центра универсальной обертывающей аффинной алгебры на критическом уровне для алгебры Ли sln . Также следует отметить важность метода квантовой спектральной кривой в геометрическом обобщеE нии соответствия Ленглендса над C PSD в математической физике и теории конденсированных средF
1.8 Апробация работы

Результаты работы многократно использовались в качестве материалов для докладов на международных конференциях и школахX

ћ Конференция Квантование " ћ Конференция PHHVF Доклад

untum integrle systems" D ПрагаD июнь PHHSF Доклад " системы Годена" F

glssil nd quntum integrle systems" D ДубнаD январь " Анзац Бете и изомонодромные преобразования" F " ћ Конференция стипендиатов конкурса Делиня и фонда ДинастияD МоскваD январь PHHWF Доклад АлгеброEгеометрическое квантование интегрируеE " мых систем" F

ћ Конференция sntegrle systems nd quntum symmetries" D ПрагаD июнь " PHHWF Доклад Квантовая эллиптическая система Годена" F " ћ Школа и конференция qeometry nd quntiztion" D ЛюксембургD сенE " тябрь PHHWF Курс лекций Квантовые интегрируемые системы и програмE " ма Ленглендса" F ћ Конференция epresenttion theory nd quntiztion" D ЦюрихD январь " PHIHF Доклад fethe nstz nd isomonodromi deformtions" F "
T


На основе результатовD представленных в работеD были сделаны доклады на Московском математическом обществе в PHHU годуD в разные годы на сеE минарах в ИТЭФD МГУD НМУD МИАНD ris TD vri @ПарижD ФранцияAD ver @АнсиD ФранцияAD veiwe @АнжэD ФранцияAF На основе программы алгеброEгеометрического квантования были организованы некоторые коллекE тивные научные проектыD одним из которых является действующий грант РФФИ HWEHIEHHPQWE Квантовые интегрируемые системы и геометрическое " соответствие Ленглендса" F
1.9 Структура работы и личный вклад соискателя

Раздел I посвящен исследованию обобщения конструкции Хитчина на слуE чай кривых с особенностямиD важность которого в рамках данной работы связана с определением геометрического контекста рациональной и эллипE тической систем ГоденаF Материал основан на совместных работах с АFВF Червовым QD RF В разделе P описывается задача квантования интегрируE емой системыD строится квантовый характеристический полином и устанавE ливается связь с традиционными в теории квантовых интегрируемых систем методами их решенияF Основной результат получен в работе соискателя SF Анализ традиционного метода анзаца Бете частично основан на совместной работе с ОF Бабелоном UF Эллиптическая версия в классической ситуации исследована в работе соискателя PD квантование получено в совместной раE боте с ВFНF Рубцовым и АFВF Силантьевым WF В работе I исследуются основополагающие в теории квантовых интегрируемых систем REматричные структурыF В разделе Q строится дискретное семейство симметрий на спектре квантовой системы ГоденаD позволяющее рассматривать рекурсионные соотE ношения на спектрF Материал основан на работе соискателя VF В разделе R описываются некоторые приложения метода квантовой спектральной криE войX конструкция центра универсальной обертывающей алгебры аффинной алгебры Ли sln на критическом уровне и ее роль в геометрическом соотE ветствии ЛенглендсаD а также некоторые результаты некоммутативной геоE метрииD связанные со свойствами квантового оператора Лакса для системы ГоденаF Данные результаты получены в совместной работе с АFВF Червовым TF

2 Основные положения работы
2.1 Основные положения раздела 1

Данный раздел является вводнымD он посвящен изложению классического метода спектральной кривойD а также разработке формализма систем типа U


ХитчинаD отвечающих классу кривых с особенностямиD называемыми 4двойE ная схемная точка4F Основополагающим в современной теории классических интегрируемых систем оказалось представление типа Лакса ITX

L(z) = [M (z), L(z)],

@PFIA

здесь M (z), L(z) E некоторые матричнозначные функции формальной переE менной z, матричные элементы которых являются функциями на фазовом пространстве системыF Спектральная кривая модели в этом случае опредеE ляется уравнением

d et (L(z) - ) = 0

@PFPA

и является инвариантом динамикиF ОказываетсяD что уравненияD имеющие представление ЛаксаD допускают универсальное решение с помощью вспомоE гательной линейной задачи

L(z)(z) = (z).

@PFQA

Данное уравнение определяет линейное расслоения на спектральной кривойF Решение динамической системыD а именно переменные типа угол" D описыE " вается в терминах линейных координат на пространстве модулей линейных расслоений на кривойD отождествляемом с ее ЯкобианомF Конструкция ХитE чина IR позволила интерпретировать фазовое пространство широкого класE са интегрируемых систем в терминах пространств модулей расслоений на некоторой алгебраической кривойF В разделе I строится аналог конструкции Хитчина для кривых с особенностямиF В том числе определяется система ГоденаD как система Хитчина на рациональной и эллиптической кривых с отмеченными точкамиY рассматривается классический метод спектральной кривой для этой системы и вводится аппарат разделенных переменныхD суE щественным образом используемый в дальнейшем в разделеD посвященном квантованиюF Опишем более подробно класс особенностейD для которых строится обобE щение конструкции ХитчинаF Класс особенностейF Рассмотрим кривую pro j , получающуюся склейкой 2Eх произвольных подсхем A( ), B( ) на CP1 @тFеF кривуюD получающуюся добавE лением одной гладкой точки к аффинной кривой a f f = S pec{ f C[z] : f (A( )) = f (B( ))}D где N = 0 AF Рассматриваются примерыX

ћ нильпотентные элементыX A( ) = , B( ) = 0; ћ корни из единицыX A( ) = , B( ) = , где k = 1;
V


ћ геометрически отличные точкиX A( ) = a0 + a1 + ... + a
так что a0 = b0 . РасслоенияF Описание пространства модулей голоморфных расслоений для особых кривых рассматриваемого класса производится на алгебраическом языке в терминах модулей над аффинной кривойF Модуль M ранга n в данE ном случае определяется подпространством в тривиальном модуле векторE нозначных функций s(z) на C элементовD удовлетворяющих условиюX
N -1



N -1

, B( ) = b0 + b1 + ... + b

N -1



N -1

,

s(A( )) = ( )s(B( )),
где ( ) = i=0,...,N -1 i i матричнозначный полиномF Условие проективности данного модуля M заключается в следующемX

ћ нильпотентный случайX 0 = I d ; ћ корень из единицыX ( )( )...(
k-1

) = Id;

ћ геометрически отличные точкиX 0 обратимF
Открытая клетка пространства модулей голоморфных расслоений на pro j получается при рассмотрении факторEпространства по отношению к дейE ствию сопряжением GLn на пространстве ( ) общего положенияF Дуализирующий пучок и глобальные сеченияF Глобальные сечения дуалиE зирующего пучка на pro j могут быть описаны в терминах мероморфных дифференциалов на C вида

= Res



( )d z ( )d z - z - A( ) z - B( )

@PFRA

при произвольном ( ) = i=0,...,N -1 i i1 1 . + Эндоморфизмы модуля M описываются матричнозначными полиномиE альными функциями (z), удовлетворяющими следующему условию

(A( )) = ( )(B( ))( )-1 .
Глобальные сечения H 0 (E nd (M ) K ) описываются выражениямиX

(z) = Res
где



( ) ( )-1 ( )( ) dz - dz , z - A( ) z - B( )

@PFSA

Res ( )( )( )-1 - ( ) = 0
и ( ) = i
i 1
i+1

E матричнозначная функцияF W


Симплектическая форма на кокасательном расслоении к пространству моE дулей расслоений может быть описана в терминах гамильтоновой редукции относительно действия сопряжением GLn по симплектической форме на проE странстве пар ( ), ( ) заданной выражениемX

Res T rd (( )-1 ( )) d ( ).

@PFTA

ИнтегрируемостьF Система Хитчина на кривой pro j описывается как сиE стема на фазовом пространствеD реализуемом в виде гамильтонового факE тора пространства пар ( ), ( ). Симплектическая форма задается форE мулой PFTF Гамильтонианы задаются коэффициентами разложения функций T r((z)k ) по некоторому базису голоморфных kEдифференциалов @то есть сечений H 0 (K k )AF В первой части работы представлено доказательство интегрируемости сиE стемы Хитчина на особой кривойD основанное на технике rEматричных вычисE ленийF Также в данном разделе описывается система Годена как обобщенная сиE стема ХитчинаD соответствующая рациональной кривой = CP1 с N отмеE ченными точками z1 , . . . , zN . Поле Хиггса в данном случае представляется рациональным сечением типа = L(z)d z, где

L(z) =

i=1...N



i . z - zi

@PFUA

Вычеты оператора Лакса системы Годена i являются n Ч nEматрицамиD матричные элементы которых лежат в gln . . . gln . (i )kl совпадает с kl E ым генератором iEой копии gln . В данном случае генераторы алгебры Ли интерпретируются как функции на двойственном пространстве gl . СимметE n рическая алгебра S(gln )N C[gl . . . gl ] снабжена Пуассоновой структуE n n ройD задаваемой скобкой КирилловаEКостанта на двойственном пространстве к алгебре ЛиX

{(i )kl , ( j )mn } = i j (l m (i )kn - nk (i )ml ).
Интегралы движения могут быть получены как коэффициенты характеE ристического полинома
n

d et (L(z) - ) =

k=0



Ik (z)

n-k

.

@PFVA

Традиционные квадратичные Гамильтонианы могут быть получены следуюE щим образом

H2,k = Resz

=z

k

T rL (z) =

2

j=k



2T rk j =2 (zk - z j )
IH

j=k



l m el m e zk - z j

(k) ( j) ml

.


Эта система описывает модель магнетикаD состоящего из набора парно взаиE модействующих частиц на прямой с внутренними спиновыми степенями своE бодыF ~ Спектральная кривая системы Годена описывается уравнением

d et (L(z) - ) = 0.

@PFWA

Для построения неособой компактификации кривой необходимо рассмотреть тотальное пространство расслоенияD в котором лежат собственные значения оператора Лакса

(z) = L(z)d z H 0 (CP1 , E nd (O n ) ),
где = K (k) = O (k - 2). Слоение Хитчина позволяет сопоставить точке странства модулей M спектральную кривую и линейное расслоение на L , строящееся как собственное подрасслоение в O n по отношению к ствию оператора ЛаксаF В данном разделеD в частностиD вычисляется спектральной кривой проE ней дейE род

(k - 2)n(n - 1) - (n - 1) 2 и степень данного расслоения g() = d eg(L ) = g + n - 1 - .

@PFIHA

Также в разделе I излагается традиционная конструкция разделенных переE менных для системы Годена
2.2 Основные положения раздела 2

Второй раздел работы является основнымD в нем определяется центральный объект описываемого методаD а именноD квантовый характеристический поE линомD и исследуются некоторые его свойстваF Прежде всегоD ставится задача квантования в строгом" смыслеD при котором деформируется параX ПуассоE " нова алгебра C коммутативная подалгебра в нейD соответствующая некотоE рой интегрируемой системеF Строгая задача квантования предполагает также нахождение аналога спектральной кривой модели и соответствующих разE деленных переменныхF Квантование в указанном смысле далее называется алгеброEгеометрическимF Базовым примером Пуассонова многообразия работы является двойственE ное пространство к алгебре Ли gln с соответствующей классической алгеброй наблюдаемых S(gln ). Квантованием в данном случае является универсальE ная обертывающая алгебра U (gln ) с естественной процедурой классического пределаD заданного отображением

l im : U (gln ) Gr(U (gln )) = i Fi /F
II

i-1

= S(gln ).

@PFIIA


В случае рациональной системы Годена классическая пара определяется следующими объектамиX Пуассонова алгебра и коммутативная подалгебра

Acl = S(gln )N C[gl . . . gl ]; n n Hcl - подалгебра порожденная Гамильтонианами Годена @PFVA.
Алгебраическая часть задачи квантования сводится к построению парыD в которой квантовая алгебра наблюдаемых совпадает с тензорной степенью универсальной обертывающей алгебрыX

A = U (gln )N ,
а коммутативная подалгебра H является деформацией подалгебрыD порожE денной классическими Гамильтонианами ГоденаF Для определения деформации подалгебры используется обобщение поняE тия определителя матрицы для пространства матриц с некоммутирующими элементамиD а именно полностью симметризованный определительX

d et (B) =

1 n!

, n



(-1) B

(1), (1)

...B

(n), (n)

.

Далее определяется квантовый оператор ЛаксаX
N

L(z) =


ij

Ei j

e

s=1



(s) ij s

z-z

.

L(z) является рациональной функцией переменной z со значениями в E nd (Cn ) U (gln )N . Квантовым характеристическим полиномом квантового оператора Лакса называется выражение
n

d et (L(z) - z ) =

k=0



QIk (z)

n-k z

.

@PFIPA

Следующая теорема говорит о томD что именно такая деформация классичеE ского характеристического полинома @PFVA позволяет строить производящую функцию квантовых ГамильтониановF Теорема PFIF Коэффициенты QIk (z) коммутируют

[QIk (z), QIm (u)] = 0
и квантуют классические Гамильтонианы Годена в следующем смысле

l im(QIk ) = Ik .
IP


Доказательство этого факта использует существенные результаты теории квантовых группD такие как конструкция ЯнгианаD его подалгебры Бете и в общем укладывается в концепцию квантового метода обратной задачиF СтроE ится предел подалгебры БетеD при этом существенным оказывается рассмотE рение квантового характеристического полинома для ЯнгианаD именно его коэффициенты оказываются однородными выражениями в рассматриваемом пределе и ведут себя контролируемым образомF В разделе P вводятся необхоE димые определения и приводится набросок доказательства теоремы квантоE вания системы ГоденаF Далее излагается традиционный для квантовых интегрируемых систем метод анзаца Бете и квантовый метод разделения переменных и описывается эквивалентная форма анзаца Бете в терминах свойств монодромии некоторой Фуксовой системыD непосредственно связанной с квантовым характеристичеE ским полиномом моделиF В sl2 случае для системы Годена известноD что если E общий собственный вектор Бете в представлении V = iVi , где Vi конечномерное неприводимое представление старшего веса i , с собственными значениями Hi , тогда уравE нение

1 - 4
2


i

i (i + 2) - (z - zi )2


i /2

Hi z - zi

(z) = 0

@PFIQA

имеет решение вида

(z) =

(z
i

- zi )-i

(z
j

- ч j ),

где набор параметров ч j удовлетворяет системе уравнений БетеF Рассмотрим квантовый характеристический полиномX

d et (L(z) - z ) = -

2 z


i

Ci - (z - zi )2

(2)


i

Hi z - zi

Пусть H E алгебраD порожденная коэффициентами квантового характериE стического полиномаF Назовем E характер алгебры H E допустимымD если на центральных элементах он совпадает с центральным характером данноE (2) 1 го представленияX (Ci ) = 4 (i + 2)i . Ниже приводится теорема ВарченкоD Мухина и ТарасоваD демонстрирующая связь квантового характеристическоE го полинома и задачи описания спектра квантовой системыF Теорема PFP @PTAF Имеется взаимнооднозначное соответствие между множеE ством допустимых характеров D для которых дифференциальное уравнение

(d et (L(z) - z ))(z) = 0
IQ


имеет монодромию +1, и множеством общих собственных векторов системы Годена в представлении V . В заключении раздела P описывается процедураD аналогичная представE ленной вышеD квантования эллиптической системы ГоденаF Классическая сиE стема в данном случае отвечает пространству модулей голоморфных полуE стабильных расслоений с тривиальным детерминантным расслоением на элE липтической кривой с набором отмеченных точекF Модули расслоений параE метризуются набором точек эллиптической кривой = {1 , . . . , n }, удовлеE творяющим условию i i = 0. Соответствующее сечение расслоения эндоморE физмов или оператор Лакса представляется выражением видаX

L (z; ) =
где
N

n i j=1



Ei j e ji (z; ),

eii (z; ) = ei j (z; ) =

s=1 N s=1



(z - zs ) (s) e, (z - zs ) ii (z - zs + i j ) (s) e. (z - zs ) (i j ) i j

@PFIRA @PFISA



В данных формулах используются обозначения i j = i - j , а также обознаE чения нечетных Eфункций Римана на эллиптической кривойX пусть CD Im > 0 параметр эллиптической кривой C/D где = Z + Z решетка периE одовD нечетная Eфункция (z) = - (-z) определяется соотношениями

(z + 1) = - (z),

(z + ) = -e-2

iz- i

(z),

(0) = 1.

@PFITA

Для построения квантового характеристического полинома используется модифицированная подлежащая алгебраическая структураD а именно gln диE намическое эллиптическое RLL уравнениеD соответствующее представлению динамической эллиптической квантовой группы" E ,h (gln ), определенной в ? " PUF Квантовая алгебра наблюдаемых в данном случае задается тензорным произведением U (gln )N Di f f (T n ), где под Di f f (T n ) понимается алгебра дифференциальных операторов на nEой степени эллиптической кривой T n с мероморфными коэффициентамиF Коммутативность в динамическом случае подразумевается по модулю диагональной подалгебры Картана h U (gln )N . Для получения интегрируемой системы требуется ограничить построенное семейство на пространство нулевого веса в представлении относительно диаE гонального действия алгебры ЛиF Теорема PFQF Введем обозначениеX

D =


k

Ekk k .

IR


Тогда коэффициенты выражения

Q(z, z ) = det - D + L (z; ) = z
коммутируют в следующем смысле

n m=0



sm (z)

z

n-m

sm (z)sl (u) = sl (u)sm (z) mod h.
2.3 Основные положения раздела 3

Данный раздел посвящен исследованию роли квантового характеристическоE го полинома в проблеме решения квантовых интегрируемых системF ТрадиE ционные методы решения конечных квантовых интегрируемых систем позE воляют сводить задачу диагонализации квантовых гамильтонианов к задаче исследования системы алгебраических уравнений БетеF ОднакоD сама система уравнений допускает явные решения только в специальных случаяхD наприE мерD в случае термодинамического пределаF Основой методаD изложенного в этом разделеD является эквивалентная формулировка квантовой спектральE ной задачи в терминах Фуксовых систем со специальными представлениями монодромииF В случае алгебры ли sl2 исследуются симметрии множества опеE раторов ШтурмаEЛиувилля типа PFIQF Для построения данного семейства преобразований в первую очередь наE ходится матричная" форма Фуксовой системыF ОказываетсяD что для любого " оператора типа PFIQ с монодромией +1 может быть найдена Фуксова система

(z - A(z))(z) = 0

@PFIUA

с монодромией +1, определяемая связностью в тривиальном расслоении ранE га 2 на диске с проколами видаX

A(z) =

a11 (z) a12 (z) a21 (z) a22 (z)

k

=

i=1



Ai , z - zi

@PFIVA

вычеты которой удовлетворяют условиям

T r(Ai ) = 0;

Det (Ai ) = -di2 ;


i

Ai =

0 0 -

.

@PFIWA

В компонентах эта система может быть представлена следующим образом



1 2

= a11 1 + a12 2 , = a21 1 + a22 2 .
IS


Связь между матричной и скалярной задачами в одну сторону тривиальE наX выражение = 1 / , где = a12 , удовлетворяет уравнению ШтурмаE Лиувилля

+ U = 0,
в котором потенциал определяется формулой
k-2

U=

j=1



-3/4 + (z - w j )2

k i=1



1/4 + d et Ai + (z - zi )2

k-2 j=1



Hw j + z-wj

k i=1



Hzi , z - zi

@PFPHA

дополнительные полюса w j являются нулями a12 (z), а коэффициенты разлоE жения задаются формулами

Hw

j

= a11 (w j ) + 1 +a 2
i 11

1 2

i= j



1 - w j - wi


i

1 wj -z

,
i j

Hzi =


j

1 - zi - w j



j=i

T r(Ai A j ) + ai + a11 + 1/2 11 . zi - z j

Обратное соответствие строится столь же явноF А именноD по скалярному sl2 EоперуD имеющему тривиальную монодромию в смысле уравнений БетеD строится связность ранга 2 вида @PFIUA также с монодромией в Z/2ZF Теорема PFRF Если набор чисел i , где i = 1, . . . , M , удовлетворяет системе уравE нений БетеD соответствующей набору полюсов {z1 , . . . , zk , w1 , . . . , wk-2 } и набоE ру старших весов {2s1 - 1, . . . , 2sk - 1, 1, . . . , 1}, то вектор
k

=
где

(z
i=1

- zi )-si

1 (z) 2 (z)

,

@PFPIA

M

1 =



(z - j ), j , z-j
@PFPPA

j=1 M j=1

2 /1 =



а коэффициенты j задаются выражениями

j =

i ( j - zi ) , i ( j - wi )
IT

@PFPQA


решает матричную линейную задачу @PFIUAD для которой

a

i 12

=

j (zi - w j ) . j=i (zi - z j )

Предъявленное соответствие позволило построить дискретную группу преE образованийD которые сохраняют форму связности @PFIUA иD более тогоD не меняют класс представления монодромииF Тем не менееD эти преобразования меняют характеристические экспоненты уравнений в особых точках на полуE целые значения специфическим образомF В терминах соответствующей кванE товой модели возникает семейство рекурсионных операторовD действующих на множестве собственных векторов семейства моделей ГоденаD меняющих значения параметров неоднородностиD а также старшие веса представленийF Такие преобразования называются преобразованиями ШлезингераD Гекке или Бэклунда в зависимости от контекстаF Они имеют простую геометричеE скую интерпретациюF Рассмотрим кривую C, F E голоморфное расслоение на нейD F E соответствующий пучок сеченийD дополнительный набор данныхX точка кривой x C и точка двойственного пространства к слою расслоения F в точке x l Fx . Нижнее" преобразование Гекке T(x,l ) F определяется подE " пучком F = {s F : (s(x), l ) = 0}. Действие преобразований Гекке на классах расслоений может быть проE должено на множество парX @расслоениеD связность с дополнительными услоE виями совместностиAF Опишем подробнее индуцированное действиеF СвязноE стью называется отображение пучков модулейD удовлетворяющее тождеству ЛейбницаD по отношению к операции умножения на функциюX

: F F 1 .
Преобразования Гекке могут быть определены на пространстве связностейD которые сохраняют Annl = {v Fx :< l , v >= 0}

x : Annl Annl 1 . x
В работе явно вычисляется действие таких преобразований в терминах связности ранга 2. Локальные рассмотрения в окрестностях полюсов покаE зываютD что собственные значения вычетов Ai преобразуются по следующим 4Eправилам в зависимости от выбора верхнего или нижнего преобразования Гекке и выбора разных собственных направлений вычетаX

(. (. (. (.

. . . .

. . . .

, , , ,



i i i i

, , , ,

. . . .

. . . .

. . . .

, , , ,



j j j j

, , , ,

. . . .

. . . .

.) .) .) .)

- - - -

(. (. (. (.
IU

. . . .

. . . .

, , , ,



i i i i

+ + - -

1, 1, 1, 1,

. . . .

. . . .

. . . .

, , , ,



j j j j

- + - +

1, 1, 1, 1,

. . . .

. . . .

.), .), .), .).


Полученный результат позволяет рассматривать рекурсионные соотношеE ния на множестве решений уравнений Бете для семейства систем ГоденаF Последовательным применением таких преобразованийD в частностиD можно понизить старшие веса до нулевого значенияD которое соответствует тривиE альному представлению квантовой алгебрыD иD соответственноD тривиальной задаче диагонализации квантовых гамильтониановF В эллиптическом случае системы Годена также существует семейство опеE раторовD действующих на множестве собственных векторов семейства модеE лейF Центральным оказывается соответствие между эллиптическими операE торами ШтурмаEЛиувилля с тривиальной монодромией и связностями в расE слоении ранга 2 на эллиптической кривой с тривиальной монодромиейF В эллиптическом случае также имеется подход Бете к описанию собственE ных векторов квантовой системыF Собственный вектор соответствует решеE нию эллиптического уравнения ШтурмаEЛиувилля
2 u -


i

ci(u - ui ) -


i

d

i

(u - ui ) (u) = 0 (u - ui )

@PFPRA

частного видаX

(u) =


i



-i /2

(u - ui )


j

(u - j ).

Это условие эквивалентно следующей системе уравненийX

ci = 2 /4 + i /2, i di = 0=
i


j

(ui - j ) - (ui - j ) ( j - ui ) - ( j - ui )



j=i

j (ui - u j ) , 2 (ui - u j ) ( j - i ) . ( j - i )
@PFPSA


i

i /2

i= j



Последнее семейство уравнений называется эллиптической системой БетеF По скалярной задаче строится матричная Фуксова система вида

(u - A(u))(u) = 0,
где

@PFPTA

(u) =

1 (u) , 2 (u)
i (u-zi ) 11 (u-zi ) i (u-zi + ) 21 (u-zi ) ( )

a (u) a12 (u) A(u) = 11 = a21 (u) a22 (u)

a a

a

(u-zi - ) i 12 (u-zi ) (- ) (u-z ) ai (u-zii) 11

.

IV


Связь скалярной и матричной формы Фуксовых систем выражается условиE емD что функция w = 1 / a12 , полученная по решению матричной формыD решает скалярное уравнение PFPR с потенциаломD старший член которого даE ется формулойX

U (u) = -

(1

/4 + d et (Ai ))(u - zi ) +



3/4(u - wi ) + ...

Здесь точки w j определяются условием

a12 (u) = c

(u - wi ) . (u - zi )

В свою очередь Ai являются вычетами A(u) в точках zi . ОказываетсяD что метод построения матричной задачи по оператору ШтурмаE Лиувилля также является явнымF Теорема PFSF Рассмотрим скалярную задачу PFPRD соответствующую набору отмеченных точек {z1 , . . . , zl , w1 , . . . , wl }, набору старших весов 2s1 - 1, . . . , 2sk - 1, 1, . . . , 1} и набору корней Бете {1 , . . . , }. В этом случае 2Eвектор функция с компонентамиX
k



1

=


i=1

(u - ui )

s

i



(u - j ),
@PFPUA

j=1

2 =

j=1



j (u - j + ) 1 , (u - j )

коэффициенты j которой заданы формулой

j =

i ( j - wi ) , i ( j - ui )

удовлетворяет матричному уравнению PFPTF Данная теорема также используется для построения семейства преобраE зований на множестве решений эллиптических уравнений БетеF Как и в раE циональном случаеD эти преобразования меняют параметры системыX набор отмеченных точек и набор старших весов в представленииF
2.4 Основные положения раздела 4

Раздел R посвящен двум основным приложениям метода спектральной криE войF Первое приложение связано с геометрическим соответствием Ленглендса и главным образом состоит в эффективном описании центра Ucrit (gln ) коE торыйD в свою очередьD имеет ключевую роль в конструкции Бейлинсона IW


и Дринфельда квантования системы ХитчинаF ЗаметимD что данная задаE ча имеет непосредственное отношение к теории представлений аффинных алгебр ЛиF Опишем сначала конструкцию центра Ucrit (gln ). ПрокомментиE руем обозначение Ucrit (gln ), которое соответствует локальному пополнению U (gln )/{C - crit }, где CEцентральный элементD а crit = -h = -n критичеE ское значениеD обратное дуальному числу Кокстера алгебры Ли sln . В работе PW было доказаноD что Ucrit (gln ) имеет центрD изоморфный как линейное проE странство алгебре полиномов от подалгебры КартанаF Не смотря на наличие геометрического описания центраD отсутствовала явная конструкция семейE ства генераторов этой коммутативной подалгебрыF Для решения этой задачи в настоящей работе используется схема АдлераEКостантаEСимаF Определим (k) производящие функции k для генераторов алгебры токов ei j = ei j t k выраE жением

k =


ij

Ei j ei j .

(k)

Введем следующие операторы ЛаксаX

L(z) = L
f ul l

k>0


k

k z

-k-1 -1

,

(z) =



k z-k

.

Рассмотрим естественную проекцию : Ucrit (gln )) U (t gln [t ]) и ограничим ее на центр z(Ucrit (gln )). В REй части работы доказывается следующая Теорема PFTF Коммутативная подалгебра в U (t gln [t ]), определенная с помоE щью квантового характеристического полинома d et (L(z) - z ), совпадает с подалгебройD полученной из z(Ucrit (gln )) с помощью проекции : Ucrit (gln ) U (t gln [t ])F Аналогичным рассуждением доказывается более общее утверждениеD свяE занное с разложением алгебры Ли токов в сумму положительных и отрицаE тельных компонентF Теорема PFUF Центр Ucrit (gln ) изоморфен как коммутативная подалгебра поE op далгебре в U (gln [t -1 ] t gln [t ]) определенной формулой d et (L f ul l (z) - z )F ИзоE морфизм определяется отображением

I : U (gln [t

-1

]) U (t glo p [t ]) Ucrit (gln ), n

I : h1 h2 h1 h

2

@PFPVA

ЗаметимD что благодаря данному описанию центраD геометрическое соответE ствие Ленглендса на проколотом диске над C QH выражается следующей PH


диаграммойX

DEмодуль Хитчина Характер на z(Ucrit (g)) d et (L

F F, BD

CT

f ul l

- z ),

устанавливая соответствие между DEмодулями Хитчина с автоморфной стоE роны и представлениями монодромии плоской связностиD ассоциированной с дифференциальным оператором d et (L f ul l - z ) со стороны ГалуаF Во второй половине части R работы исследуются некоторые свойства кванE тового оператора ЛаксаD находящиеся в области некоммутативной геометрииF Пусть L(z) M atn U (gln )N F un(z) E квантовый оператор Лакса модели ГоE денаD здесь F un(z) означает пространство рациональных функций параметра z. Обозначим L[i] (z) квантовые степени оператора ЛаксаD определяемые слеE дующими формуламиX

L[0] = I d , L[i] = L[i-1] L + z L

[i-1]

.

Теорема PFVF Выражение C(z) M atn U (gln )N F un(z), определенное форE мулой

v vL C(z) = ... , vL[n-1]



@PFPWA

где v Cn E вектор общего положенияD задает следующее калибровочное преE образование

C(z)(L(z) - z ) =

0 1 0 0 ... ... 0 0 QHn QHn-1

0 ... 0 1 ... 0 ... ... ... ... 0 1 ... QH2 QH1




@PFQHA

- z C(z).

Коэффициенты нижней строки правой части определяются квантовым хаE рактеристическим полиномом

d et (L(z) - z ) = T rAn (L1 (z) - z ) . . . (Ln (z) - z ) = (-1)n (zn - QHn-i zi ).
i

@PFQIA

Данная теорема позволяет установить очевидную связь уравнения

d et (L(z) - z )(z) = 0
и уравнения КнижникаEЗамолодчикова @КЗAX PI

@PFQPA


Теорема PFWF Пусть S(z) решает уравнение КЗ

(L(z) - z )S(z) = 0
где S(z) E функция переменной z со значениями в Cn V , где V E конечE номерное представление U (gln )N . Тогда любая компонента по пространству Cn решения Si (z) решает уравнение Бакстера PFQPF Важным следствием данной теоремы является тождество ГамильтонаE Кэли для квантового оператора ЛаксаX Следствие PFWFIF Квантовые степени оператора Лакса удовлетворяют квантоE вому тождеству ГамильтонаEКэли

L[n] (z) =

n i=1



QHi (z)L

[n-i]

(z).

@PFQQA

3 Публикации по теме диссертации
I llev hFD niversl Emtrix formlism for the spin glogeroEwoser system nd its di'erene ounterprtD swx PHHHD xoF IIF P Талалаев ДFD Эллиптическая система Годена со спиномD Теоретическая и Математическая Физика @ТМФAD PHHPD IQHXQD RPT!RRIF Q Талалаев ДFD Червов АFD Система Хитчина на особых кривыхD ТеоретиE ческая и Математическая Физика @ТМФAD PHHRD IRHXPD IUW!PISF R ghervov eFD llev hFD rithin systems on singulr urves ssF qluing sushemesD sntFtFqeomFwethFwodFhysFRXUSIEUVUDPHHUF S Талалаев ДFD Квантовая система ГоденаD Функциональный Анализ и его приложения RH xoF I ppFVTEWI @PHHTAF T Талалаев ДFD Червов АFD Уравнение КЗD qEоперыD квантовая редукция ДринфельдаEСоколова и квантовое тождество ГамильтонаEКэлиD Записки Научных семинаров ПОМИD Выпуск QTHD ?Теория представленийD ДинаE мические системыD Комбинаторные методыF Часть IT?D стрF PRTEPTHF U felon yFD llev hFD yn the fethe enstz for the tynesEgummingsE qudin modelD tF ttF wehF @PHHUA HTHIQF V Талалаев ДFD Анзац Бете и изомонодромные преобразованияD ТеореE тическая и математическая физикаD ТМФD PHHWD том ISWD номер PD стрF PSP!PTSF PP


W utsov FD ilntiev eFD llev hFD wnin wtriesD untum illipti gommuttive pmilies nd ghrEteristi olynomil of illipti qudin modelD sqwe S @PHHWAD IIHEIQIF

Список литературы
I hiot FD ghrteriztion of toin vrieties in terms of soliton equtionsD snventF wthFD VQ@PAXQQQ!QVPD IWVTF P urihever sFD sntegrle liner equtions nd the iemnnEhottky prolemD inX elgeri qeometry nd xumer heoryD firkh? userD fostonD PHHTF urihever sFD ghrterizing toins vi trisents of the uummer rietyD rivXmthGHTHSTPSF Q Атья МFD Геометрия и физика узловF МF Мир IWWSF R honldson FD en pplition of guge theory to fourE dimensionl topologyD tF hi'erentil qeometry IV eWVQD PUWEQISF S uronheimer FfFD wrowk FFD he genus of emedded surfes in the protetive plneD wthF eserh vetters I eWWRD UWUEVHVF T xkyshikiD eFD yn the ohomologies of thet divisors of hyperellipti toinsD gontemporry wthF QHW @PHHPAD IUUEIVQF xkyshikiD eF nd mirnovD pFD iuler hrteristis of thet divisors of toins for spetrl urvesD gw roF nd vetF xotes QPD dim fF uuznetsovD edF @PHHPAD PQWEPRTF U hddeus wF gonforml (eld theory nd the ohomology of the moduli spe of stle undlesD tF hi'erentil qeomF IWWPF F QSD IF F IQIEIRWF V Барановский ВFЮFD Кольцо когомологий пространства модулей стабильE ных расслоений с нечетным детерминантомD ИзвF РАНF СерF матемFD IWWRD том SVD выпуск RD страницы PHR!PIHF W peigin fFD pinkelerg wFD xegut eFD ynikov vFD ngins nd ohomology rings of vumon spesD rivXHVIPFRTSTF peigin fFD pinkelerg wFD prenkel sFD ynikov vFD qelfndEsetlin lgers nd ohomology rings of vumon spesD rivXHVHTFHHUPF IH qudin wFD v pontion d9 ynde de fetheD wssonD ris @IWVQAF II Якоби КFD Лекции по динамикеF Москва IWQTF PQ


IP Дубровин БFАFD Матвеев ВFБFD Новиков СFПF Нелинейные уравнения тиE па КортевегаEде ВризаD конечнозонные линейные операторы и Абелевы многообразияF УМНD QID ID STEIQT @IWUTAF Кричевер ИFМFD Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравненийD УМН IWUU QP R IVHEPHVF IQ Веселов АFПFD Новиков СFПFD О скобках ПуассонаD совместимых с алгебE раической геометрией и динамикой КдФ на множестве конечнозонных потенциаловF" ДоклF АН СССРD IWVPD PTTD QF IR rithin xFD tle undles nd integrle systemsF huke wthF tournl IWVU SR xI WIEIIRF IS qrdner gFFD qreen tFwFD uruskl wFhFD wiur FwFD wethod for solving the uortewegEde ries equtionD hysFevFvettF IWTUF F IWF F IHWSEIHWUF IT vx FD sntegrls of nonliner equtions of evolution nd solitry wvesD gommF ure epplF wthF IWTVF F PIF SF F RTUERWHF IU Дубровин БFАFD Кричевер ИFМFD Новиков СFПFD Интегрируемые системыD sF Итоги науки и техникиD Современные проблемы математикиD ФундаE ментальные направленияD том RF IV Переломов АFМF Интегрируемые системы классической механики и алE гебры ЛиD МF НаукаD IWWHF IW Демидов ЕFЕFD Иерархия Кадомцева!Петвиашвили и проблема ШотткиD Фундаментальная и прикладная математика IWWVD тF RD выпуск ID стрF QTUERTHF PH Склянин ЕF КFD Фаддеев ЛF ДF Квантовомеханический подход к вполне интегрируемым моделям теории поля ДАН СССРF"IWUVF" ТF PRQD T"СF IRQH"IRQQF Склянин ЕF КF Метод обратной задачи рассеяния и квантовое нелинейное уравнение Шредингера ДАН СССРF"IWUVF"ТF PRRD TF"СF IQQU" IQRIF Склянин ЕF КFD Тахтаджян ЛF АFD Фаддеев ЛF ДF Квантовый метод обE ратной задачиF ТеорF и матF физикаF"IWUWF" ТF RHD PF" СF IWR"PPHF PI Дринфельд ВFГFD Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга"Бакстера ДАН СССРF IWVSF ТFPVQD SF PP edler wFD yn tre funtionl for forml pseudodi'erentil opertors nd the sympleti struture for the ud type equtionsD snventF wthF @IWUWA SHD PIWEPRVF PR


uostnt fFD untiztion nd epresenttion heoryD inX epresenttion heory of vie qroupsD roF gGvw esF ympFD yxford IWUUF vondon wthF oF veture xotes eriesD QRD PVUEQITD IWUWF ymes FFD ystems of od typeD inverse spetrl prolemsD nd representtion theoryF snventF wthF SWD IQESI @IWVHAF PQ swski uFD uimur rFD himomur FD oshid wFD prom quss to inleveD e modern theory of speil funtionsD IWWIF PR ghervov eFD plqui qFD ynikov vFD vimits of qudin ystemsX glssil nd untum gsesD rivXHWHQFITHRvI mthFeF PS ghervov eFD llev hFD untum spetrl urvesD quntum integrle systems nd the geometri vnglnds orrespondeneD hepEthGHTHRIPVF PT wukhin iFD rsov FD rhenko eFD he fF nd wF hpiro onjeture in rel lgeri geometry nd the fethe nstzD mthFeqGHSIPPWWF PU pelder qFD gonforml (eld theory nd integrle systems ssoited to ellipti urvesF roF sgw urih IWWRD IPRUESSD firkh? ? user @IWWRAY illipti quntum groupsD roF sgw ris IWWRD PIIEVD snterntionl ress @IWWSAF PV llev hFD fethe nstz nd ssomonodromi deformtionsD heorF wthF hysF PHHWD ol ISWD PD ppF PSPEPTSD mthEphXHVHPFHQVQvPF PW peigin fFD prenkel iFD sntF tF wodF hysF eUD upplF Ie IWWPD IWUEPISF QH prenkel iFD vetures on the vnglnds rogrm nd gonforml pield heoryD hepEthGHSIPIUPF

PS