AngeomLive
Целью этого проекта, осуществляемого Лабораторией Геометрических Методов Математической Физики, является визуализация мехматского курса аналитической геометрии. Использование и распространение приведенных здесь материалов разрешается только при наличии ссылки. Чертежи изготовлены с помощью свободно распространяемого пакета GeoGebra.
-
Оптическое свойство эллипса. Как известно, любой эллипс обладает следующим свойством: лучи света, выходящие из одного фокуса эллипса после отражения от эллипса возвращаются в другой его фокус (отраженным считается луч, отраженный от касательной к эллипсу по правилу "угол падения равен углу отражения"). Соответствующую анимацию можно посмотреть здесь.
-
Оптическое свойство гиперболы. Как и эллипс, любая гипербола тоже обладает оптическим свойством, которое состоит в следующем: пусть луч света выходит из одного фокуса гиперболы. Тогда продолжнние его отражения от гиперболы за гиперболу проходит через ее другой его фокус. Соответствующую анимацию можно посмотреть здесь.
-
Оптическое свойство параболы особенно хорошо известно, поскольку оно лежит в основе приница действия параболических антенн. Лучи света, исходящие из фокуса произвольной параболы после отражения от параболы образуют пучок, параллельный оси этой параболы. Соответствующую анимацию можно посмотреть здесь.
-
Конфокальное семейство эллипсов и гипербол. Рассмотрим семейство всевозможных эллипсов и семейство всевозможных гипербол с заданными фиксированными фокусами. Нетрудно проверить, что из оптических свойств этих конических сечений следует, что любой эллипс из этого семейства ортогонален любой гиперболе из этого семейства во всех их точках пересечения. Соответствующую анимацию можно посмотреть здесь. Таким образом, эти два семейства образуют что-то вроде прямоугольной
сетки координат.
-
Теорема Паскаля. Эта классическая проективная теорема состоит в следующем: точки пересечения противоположных сторон произвольного шестивершинника (на проективной плоскости), вписанного в эллипс, гиперболу или параболу, лежат на одной прямой. Соответствующую анимацию для случая эллипса можно посмотреть
здесь.
-
Теорема Брианшона. Эта классическая проективная теорема двойственна теореме Паскаля и состоит в следующем: диагонали шестиугольника, описанного около коники, пересекаются в одной точке. Соответствующую анимацию для случая эллипса можно посмотреть здесь.
-
Диаметры кривой второго порядка. Как известно, для любой кривой второго порядка середины хорд любого неасимптотического направления лежат на одной прямой (она называется диаметром, соответствующим данному направлению). Соответствующую анимацию для случая эллипса можно посмотреть здесь. Диаметры параболы обладают следующим свойсвом: все она параллельны ее оси. Соответствующую анимацию для случая параболы можно посмотреть здесь.
-
Главные диаметры. Среди всех пар взиамно сопряженных диаметром эллипса выделяются те, которые перпендикулярны друг другу. Они называются главными диаметрами. Соответствующую анимацию можно посмотреть здесь.
|
