Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/people/chernavski/program-difgeom2011.doc Дата изменения: Sun Jun 10 15:17:14 2012 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:50:34 2016 Кодировка: koi8-r

Программа по курсу классической дифференциальной геометрии
профессор А.В. Чернавский (страницы указаны по лекциям на сайте кафедры)

I. Кривые
Если даны две регулярные параметризации гладкой кривой в окрестности
некоторой ее точки, то два параметра монотонно и дифференцируемо зависят
друг от друга. стр.12, п.2.3

Три способа задания гладкой дуги. Простая дуга лежит на координатной линии
некоторой локальной системы координат в плоскости. стр. 13, п.2.4.

Локальные координаты в Rn. Координатные линии и поверхности. Якобиан.
стр.13-14, п.2.5.

Касательная прямая и вектор скорости параметризованной кривой. Линеаризация
в точке. Касательная не зависит от параметризации. стр.15 п.2.6.

Касательная как предел секущей. Расстояние от точек кривой до касательной
является величиной 2-го порядка малости от ?t= t-t0. Касательная прямая -
это единственная прямая с таким свойством. стр.15, п.2.6.

Касательные векторы к кривой F(x} = 0 в точке x0 и только они принадлежат
ядру дифференциала dF|x0. Уравнение касательной. стр.16, п.2.9.

Циклоида. Параметризация. Касательная в особой точке циклоиды. стр.16,
п.2.10.

Винтовая линия. Параметризация, касательная, репер Френе. стр.17, п.2.10.

Длина кривой. Определение. Независимость от параметризации.
Формулы длины дуги. стр.18, п.3.2; стр.20, п.3.4.

Натуральный параметр. Орт касательной. Ориентация кривой. стр.19-20, п.3.3.

-Вектор скорости параметризации имеет постоянную длину тогда и только
тогда, когда данный параметр линейно зависит от натурального параметра.
стр.20, п.3.3.

-Кривизна. Определение. Кривая имеет на некотором участке нулевую кривизну,
если и только если этот участок прямолинейный. стр.20-21, п.3.5.

Кривизна как скорость поворота касательной. ; стр.21-22, п. 3.6.

Главная нормаль и соприкасающаяся плоскость. Вектор главной нормали и
вектор ускорения параметризации. Соприкасающаяся плоскость и векторы
ускорения. стр.21, п.3.5; стр.23, п.3.8

Соприкасающаяся окружность. Определение. Расстояние от кривой до
соприкасающейся окружности - величина третьего порядка малости от s-s0. Эта
окружность единственная с таким свойством. стр. 22, п.3.8.

Репер Френе. Уравнения (система) Френе. Кососимметричность матрицы Френе.
Выражение высших производных. стр.23-24, п.п.4.2 - 4.4.

Направление ортов репера Френе, знак кривизны и ориентация кривой. стр.25,
п.4.5

Бинормаль ? и ее орт. Направление бинормали. Если ?'=0 в целом интервале, в
котором ? = r'[pic] 0, то кривая лежит в постоянной плоскости,
ортогональной ?. стр.25, п.4.6.

Ось и вектор мгновенного вращения репера Френе. стр.25, п.4.6.

Трактриса. Ее параметризация и геометрическое построение центров кривизны.
стр.26, п.4.8.

Теорема об эволютах и эвольвентах. 1) Эволюта данной кривой служит
огибающей семейства нормалей этой кривой. 2) Радиусы кривизны в точках
кривой равны длинам дуг на ее эволюте от некоторой начальной точки до точки
касания. стр.27-28, п.4.9.

Уравнения плоскостей трехгранника Френе. стр.28, п.4.10.

Вывод формул кривизны и кручения в произвольной параметризации кривой.
стр.28, п.4.10.

Проекции кривой на оси репера Френе вблизи данной точки. (Первые члены
разложения Тейлора координат радиус-вектора.) Вид кривой в проекциях на
плоскости репера Френе.
стр.29-30, п.4.12.

Восстановление кривой по натуральным уравнениям (по функциям кривизны и
кручения в натуральном параметре). стр.29-30, п.4.13.

I I. Поверхности. Первая квадратичная форма

Гладкая поверхность. Локальная параметризация. Преобразования
параметризаций.
Локальное представление поверхности в виде графика гладкой функции. стр.32,
п.5.1.

Эквивалентность трех способов задания гладкой поверхности. Продолжение
локальной системы координат на окрестность точки в R3. стр.33, п.5.2.

Касательная плоскость и касательные векторы поверхности в R3 в
параметрической форме. Нормальный вектор. Тензорное определение
касательного вектора. стр.34, п.5.3, 5.4.

Касательная плоскость как ядро дифференциала при неявном задании
поверхности в R3. стр.35, п.5.5.

Вектор в R3 как класс соприкасающихся кривых. стр.35-36, п.5.6.

Скалярное произведение векторов в касательной плоскости поверхности в R3 в
координатах локальной карты. Связь матрицы скалярного произведения и
матрицы Якоби карты.
Смысл коэффициентов. Ортогональные системы координат. стр.42-44, п.6.4.

Измерение длин кривых и углов между кривыми на поверхности с помощью первой
квадратичной формы. стр.44, п.6.5.

Выражение метрики поверхности в R3 в трех случаях задания. стр.46, п.6.8.

Измерение площади поверхности. Определение площади двойным интегралом.
Независимость от параметризации. Формулы для вычисления площади в трех
способах задания поверхности. стр.48-50, п.6.10.

Метрика поверхности вращения в конформном виде. стр.50-51, п.6.11.

Выражение кривизны кривой на поверхности: k/cos ?= - <(dr,dn)>/ds2 .
Определение второй квадратичной формы и ее инвариантность. стр.51-52,
п.7.2.

Формулы для коэффициентов формы I I для параметрического задания
поверхности и задания в виде графика. Обозначения Монжа. стр.53, п.7.3.

Совпадение кривизн кривых на поверхности, имеющих общую соприкасающуюся
плоскость. Плоские сечения поверхности являются гладкими кривыми в
окрестности точки. стр.54.п.7.4.

Нормальная кривизна. Ее знак. Теорема Мёнье. стр.55, п.7.4

Главные кривизны. Формула Эйлера. Экстремальное свойство главных кривизн.
стр. 56, п.7.6.

Главные кривизны как собственные числа матрицы второй квадратичной формы.
Гауссова кривизна и средняя кривизна. Определение и формулы. стр.57-58,
п.7.7

Классификация точек поверхности. Роль знака полной кривизны. стр.57, п.7.6
и стр.58, п. 8.1.

Гауссова кривизна в точке как предел отношения площади сферического образа
окрестности точки к площади самой окрестности при стягивании окрестности к
точке.
стр.61-62, п.8.3.

Гауссова кривизна в точке как якобиан сферического отображения в
окрестности точки в подходящих координатах. стр.62-63, п.8.3.

Если кривизна поверхности нулевая в каждой точке, то образ сферического
отображения есть регулярная кривая или точка. (Теорема о ранге без
доказательства.) стр.63-64, п.8.4.

Если ранг сферического отображения равен 1 в каждой точке (т.е. К=0, но
одна из главных кривизн не нулевая), то поверхность является огибающей
однопараметрического семейства плоскостей и в этом случае является
линейчатой. стр.64-65, п.8.5.

Линейчатые поверхности, для которых касательные вдоль образующих не
меняются, принадлежат к одному из трех типов (цилиндрические, конические,
поверхности касательных). стр.65, п.8.5.

Псевдосфера Бельтрами. Опираясь на свойства трактрисы, доказать, что
гауссова кривизна псевдосферы постоянна и отрицательна. стр.50, п.6.11;
стр.60, п.8.2.

Определение ковариантного дифференцирования на поверхности.
Символы Кристоффеля. стр.68-69, п.9.3.

Свойства операции ковариантного дифференцирования. стр.70-71, п.9.4.

Выражение символов Кристоффеля через метрику поверхности. стр.71, п.9.4.

Вывод формулы гауссовой кривизны через коэффициенты 1-ой формы
поверхности.
стр.72-73, п.9.5.

Формулы Петерсона - Кодацци в матричной форме. Теорема Бонне о
восстановлении поверхности по ее формам. (Формулировки). стр.74-75, п.9.7.

Параллельный перенос. Уравнение (система) параллельного переноса.
Изометрический перенос касательной плоскости. Параллельный базис. стр.76-
77, п.10.1.

Геодезическая кривизна. Геодезические. Определение и основные свойства.
стр.77, п.10.2.

Уравнение геодезических. Параметр этого уравнения пропорционален
натуральному.
стр.78, п.10.3.

Теорема Клеро. стр.79-80, п.10.4.

Полугеодезические координаты. Формула кривизны в полугеодезических
координатах.
стр.80, п.10.5.

Построение и свойства полугеодезических систем координат. стр.81-82, п.10.5

Доказательство экстремального свойства геодезических с помощью
полугеодезических координат. стр.81, п.10.5

Экспоненциальное отображение. Доказать, что любая точка на поверхности
имеет пару окрестностей U[pic] V так, что для каждой пары точек в U
имеется ровно одна соединяющая их геодезическая в V. стр.83, п.10.6.

Метрики трех типов поверхностей постоянной кривизны. стр.84, п.10.7.

Внутреннее определение ковариантной производной. стр.86-87, п.11.1

Теорема о параллельном перенесении вектора вдоль замкнутого контура.
Формула суммы углов геодезического треугольника. стр.87-88, п.11.2-11.4.

Полная кривизна. Теорема Гаусса - Бонне. стр.89, п.11.5.

Инвариантность гауссовой кривизны. Второе доказательство теоремы Гаусса.
стр.90,п.11.6

Псевдоевклидово пространство. Псевдосферические координаты. Псевдосфера.
стр. 85-86, п.10.8.