Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/olympiads/2013/olymp_2013.pdf Дата изменения: Wed Nov 27 21:57:49 2013 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:39:03 2016 Кодировка: Windows-1251

Олимпиада по геометрии
Кафедра высшей геометрии и топологии и лаборатория геометрических методов в математической физике. 25 ноября 2013г.

Задача 1.

Докажите, что вокруг любого выпуклого центрально-симметричного ше-

стиугольника можно описать ровно один эллипс.
Задача 2. Задача 3.

Можно ли трехмерный куб покрыть четыремя кубами меньшего размера? Выпуклый многогранник

M

с треугольными гранями разрезан на тетраэд-

ры; все вершины тетраэдров являются вершинами многогранника, и любые два тетраэдра либо не пересекаются, либо пересекаются по одной общей вершине, либо пересекаются по одному целому общему ребру, либо пересекаются по одной целой общей грани. Может ли оказаться так, что у каждого тетраэдра ровно одна грань лежит на поверхности
Задача 4.

M

?

В угол



с вершиной

A

вписаны две параболы



1и



2 (то есть каждая

парабола касается каждой стороны угла). Каждый луч внутри угла



с началом в точке

A,

лежащий



, пересекают каждую из этих парабол в одной или двух точках; пусть

F1 ( )

и

F2 ( )

обозначают первые точки пересечения с параболами



1и

2

соответственно, считая

от точки прямых

A. Для каждой пары F1 ( )F1 ( ) и F2 ( )F2 ( ).
Точки

таких лучей



и



построим точку

M ( , )

пересечения

Докажите, что все точки

M ( , )

лежат на одной прямой.

Задача 5.

x1 , . . . , xk Rn

расположены на единичной сфере

жат в своей выпуклой оболочке начало координат. Докажите, что при выполнено неравенство
k

{ x = 1} условии x

и содерk+1

=x

1

|xi x
i=1

i+1

| 4. |ћ|
расстояние между двумя

(

ћ

обозначает расстояние от точки до начала координат, а

точками.)