Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/olympiads/2012/olymp_2012.pdf Дата изменения: Tue Nov 27 20:43:04 2012 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:38:56 2016 Кодировка: Windows-1251

Олимпиада по геометрии
Кафедра высшей геометрии и топологии и лаборатория геометрических методов в математической физике. 28 ноября 2012г.

Задача 1.

На плоскости дана прямая

и точка

A.

Найдите множество точек, которые

могут быть фокусами парабол с вершиной
Задача 2.

A

и касательной .

Дана окружность

C

и гипербола

,

фокусы которой лежат вне

C

. Докажите,

что фокусы



при инверсии относительно

C

переходят в точки, лежащие на директрисах

,

тогда и только тогда, когда
Задача 3.

C

касается обеих ветвей дана

.
механическая система

На

плоскости

следующая

(см. Рис. 1). Шарниры в точках стороной

A, B , C

жестко засвободно
C

креплены в вершинах правильного треугольника со

3,

а шарниры в точках

a, b, c, d

двигаются на плоскости. Длины всех звеньев равны

1

и остаются постоянными. Докажите, что каждоb a c

d

му положению такой системы можно так сопоставить точку на сфере, что данное сопоставление будет взаимно-однозначным и непрерывным причем в обе стороны. (То есть, другими словами, конфигурационное пространство такой системы гомеоморфно сфере.)
Задача 4.
A

B

Рис. 1: Механическая система

Докажите, что если единичный куб в

R

3

содержится в тетраэдре

S

, то в

S

полностью содержится отрезок длины
Задача 5.

3,

параллельный одной из сторон куба.

Для векторов

u, v

в четырехмерном пространстве обозначим через

S (u, v)

площадь параллелограмма, натянутого на ров

u, v

. Докажите, что для любых четырех векто-

a, b, c, d

выполнено неравенство

S (a, b)S (c, d) S (a, c)S (b, d) + S (a, d)S (b, c).