Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://higeom.math.msu.su/elem/raidemaister.pdf
Дата изменения: Thu Mar 14 11:28:00 2013
Дата индексирования: Sat Apr 9 23:45:44 2016
Кодировка: Windows-1251
Из второй части курса высшей алгебры хорошо известна следующая замечательная теорема Бернсайда-Фробениуса: число классов сопряженности конечной группы равно числу попарно неэквивалентных неприводимых (унитарных) представлений этой группы. В центре доказательства лежит следующий факт: в пространстве класс-функций (функций, постоянных на классах сопряженности) имеются два естественных базиса: базис из характеристических функций классов и базис из характеров неприводимых представлений. Нас интересует обобщение этой теоремы, с одной стороны, на бесконечные группы, а с другой на случай действия некоторого автоморфизма f : G G. Роль классов сопряженности играют теперь классы Райдемайстера (или классы скрученной сопряженности), т.е. классы эквивалентности отношения g hgf (h-1). Следующая теорема не является сложной, но была доказана только 20 лет назад. Задача 1. Докажите, что для конечной группы G следующие три числа совпадают: число классов Райдемайстера R(f ) (число Райдемайстера), число обычных классов сопряженности, неподвижных при действии f , и число неподвижных представлений, т.е. таких неприводимых представлений , что f эквивалентно . Для бесконечных групп это утверждение верно только отчасти: Задача 2. Рассмотрите группу целых чисел Z и ее (единственный нетривиальный) автоморфизм f = - id. Убедитесь, что R(f ) равно числу неподвижных представлений и равно двум, в то время как число неподвижных обычных классов сопряженности равно одному. Эти и близкие задачи, лежащие на стыке теории групп и некоммутативной геометрии, исследуются, в первую очередь, с точки зрения применения к топологической динамике, но как оказалось, в последнее время они нашли ряд неожиданных применений, в том числе в криптографии с открытым ключом. Дальнейшие ссылки можно найти, например, по адресу