Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/elem/orthogonal.pdf Дата изменения: Tue Mar 12 16:04:46 2013 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:31:14 2016 Кодировка: Windows-1251

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В
Одной из важнейших, но до сих пор недостаточно изученных, классических задач дифференциальной геометрии является задача описания и построения ортогональных криволинейных координат в Rn , т.е. построение в n-мерном евклидовом пространстве с евклидовыми координатами (x1 , . . . , xn ) криволинейных систем координат r(u) = (x1(u1, . . . , un), . . . , xn(u1, . . . , un)), det( xi/ uj ) = 0, таких, что в каждой точке все координатные линии ортогональны. Условие ортогональности криволинейных координат эквивалентно условию диагональности евклидовой метрики в этих криволинейных координатах:

R

n

И ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ

gij (u) =

r r , ui uj

n

=
k =1

xk xk = ui uj

r r , ui ui

ij ,

1 i, j n.

Задача имеет и локальную (в некоторой области), и глобальную (во всем пространстве Rn ) формулировки, причем в глобальном случае координатные гиперповерхности могут иметь нетривиальную топологию. Криволинейные системы координат xi (u), 1 i n, удовлетворяют линейной системе деривационных уравнений (1)

2 xk = ui uj

n

s ij
s=1

xk (u) s , u

1 i, j, k n,

где s (u) символы Кристоффеля метрики gij (u). Условием совместноij сти линейной системы (1) является равенство нулю тензора римановой k кривизны Rij l (u) метрики gij (u) (такие метрики называются плоскими). Таким образом, локально задача сводится к описанию и построению диагональных плоских метрик. Условие, что диагональная метрика является плоской, приводит к системе уравнений в частных производных классическим уравнениям Ламе. При n = 2 эта система уравнений является линейной и на евклидовой плоскости несложно описать и построить ортогональные криволинейные системы координат. При n > 2 система уравнений Ламе является нелинейной, задача становится очень сложной, этой проблеме были посвящены труды многих классиков дифференциальной

геометрии, в частности, было выяснено, что пространство решений параметризуется n(n - 1)/2 произвольными функциями двух переменных. В последние десятилетия была открыта глубокая связь этой задачи с важными современными проблемами математической физики, теории систем гидродинамического типа, теории интегрируемых систем, гамильтоновых систем, топологическими теориями поля, современными проблемами дифференциальной геометрии, теорией фробениусовых многообразий, теорией согласованных метрик. При значительном интересе к этой проблеме в последние годы в ее решении был достигнут значительный прогресс. Было доказано, что нелинейная система уравнений Ламе является интегрируемой системой, построение ее решений сведено к решению линейных уравнений по заданному набору произвольных функций двух переменных, развит алгебро-геометрический подход, позволяющий строить решения по набору алгебро-геометрических данных, построены конкретные примеры. В работах О.И. Мохова была, в частности, доказана интегрируемость задачи описания полупростых пар согласованных плоских метрик, играющей важную роль в современной дифференциальной геометрии и математической физике. Эта задача была сведена к описанию и построению пар диагональных плоских метрик вида g1,ij (u) = gi (u)ij , g2,ij (u) = i (ui )gi (u)ij , где i (ui ), 1 i n, произвольные заданные функции одной переменной. Доказано, что такие пары диагональных плоских метрик описываются интегрируемой нелинейной дифференциальной редукцией классических уравнений Ламе, и построение таких пар диагональных плоских метрик сведено к решению линейных уравнений. Много важных вопросов в этой области остаются открытыми. В частности, для многих известных ортогональных криволинейных систем координат, даже для таких фундаментальных как эллипсоидальная система координат в R3 , не известно как они получаются в рамках развитых подходов теории интегрируемых систем.