Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/elem/ncgt.pdf Дата изменения: Tue Mar 12 13:01:30 2013 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:23:43 2016 Кодировка: Windows-1251

НЕКОММУТАТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ
Основная идея некоммутативной геометрии и топологии пользуясь двойственностью между пространствами и алгебрами функций на них, расширить класс изучаемых объектов до не обязательно коммутативных алгебр, рассматривая их как некоммутативные пространства и исследуя на них геометрические и топологические вопросы. Этим направлением в МГУ занимаются А.С.Мищенко, Е.В.Троицкий и В.М.Мануйлов. Вот один из аспектов некоммутативной топологии, связанный с асимптотическими представлениями групп.
Пример. Рассмотрим матрицы размерности

в

C \ {0}

. Каждому такому отображению можно сопоставить

число

вращения.
Как обычно в топологии, если пошевелить

U

и

V

, заменив их на

близкие к ним матрицы, число вращения не изменится. Если

UV = V U

, то

f

не зависит от

t

и тождественно равна 1, ее

число вращения равно 0.
Упражнение. Проверить, что для матриц

Un, V

n (при

n3

) число

вращения равно 1.
Вывод: рядом с асимптотическим представлением

= ( n )

nN

n
2

группы

Z2

не существует настоящих представлений.

01 01 .. Un = 1
где




.

Vn =
-1 n


3
.. .

Такой подход позволяет определить асимптотические представления групп, заданных образующими и соотношениями (надо требовать, чтобы образы соотношений были близки к объекты, называющиеся

.

.. 0 1 0

и


, где

n

,

E

), а также на еще более общие

C



-алгебрами. Они включают также кольца

C (X )
ствах

непрерывных функций на хороших топологических простран-

X

.

= n = e2

i/n

. Тогда

- UnVnUn 1V

= n ћ E Un
и

E

единичная

Для одних

C



-алгебр любое асимптотическое представление можно

матрица. При

n , n 1

, и матрицы

V

n асимптотически ком-

продеформировать в настоящее представление, для других имеется много асимптотических представлений, не сводимых к настоящим (как в примере с

мутируют. Полезная точка зрения состоит в том, чтобы рассматривать

(Un, Vn) как асимптотическое представ2 ление свободной абелевой группы Z с двумя образующими, a, b (считаем, что представление n переводит a в Un , b в Vn ). -1 -1 В общем случае, если матрицы U , V таковы, что U V U V близко -1 -1 к единичной матрице, det(tU V U V + (1 - t)E ) = 0 для всех t [0, 1], таким образом получаем непрерывное отображение f : [0, 1] C \ {0}
такую последовательность пар в комплексную плоскость без 0. Ясно, что

Z2


).

С помощью асимптотических представлений можно определить инварианты

C

-алгебр (в том числе, топологических пространств). По-

лучаемая в результате

K K

-теория является важнейшим инструментом

некоммутативной геометрии и топологии. В коммутативном случае получается классическая мутативные -теория, а возможность рассматривать неком-

C



-алгебры позволяет усилить мощность этого инструмен-

f (0) = det E = 1, f (1) = det(U V U f

-1

V

-1

)=1

. Функцию

та.

на отрезке, имеющую равные значения на концах, можно считать заданной на окружности, поэтому задает отображение окружности

S

1