Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/course_papers/ver5.pdf Дата изменения: Thu Mar 19 21:31:20 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:08:37 2016 Кодировка: Windows-1251

Дипломная работа.

Гомотопический тип и гомологии пространств петель некоторых момент-угол комплексов.

Автор: Я.А.Вер?вкин. Научный руководитель: Т.Е.Панов.

Механико-математический факультет МГУ

Москва, 2014 год


ГОМОТОПИЧЕСКИЙ ТИП И ГОМОЛОГИИ ПРОСТРАНСТВ ПЕТЕЛЬ НЕКОТОРЫХ МОМЕНТ-УГОЛ-КОМПЛЕКСОВ.

Я.А.ВЕРВКИН.

1. Введение. В работе рассматривается задача вычисления алгебры Понтрягина (гомологий петель) момент-угол-комплексов и многообразий. Момент-угол-комплекс

Z

K представляет собой пространство с действием тора, сопоставляемое сим-

плициальному комплексу

K

. Момент-угол-комплексы

Z

K играют важную роль

в торической топологии [BP]. В случае, когда и интересными геометрическими структурами. Образующие алгебры

K

триангуляция сферы,

Z

K

представляет собой топологическое многообразие, которое обладает важными

H ( ZK )

в случае, когда

K

флаговый комплекс,

были описаны в работе [GPTW]. Тем самым вопрос заключается в описании соотношений. В данной работе мы описываем эти соотношения в случае, когда что

K представляет собой связную сумму произведений сфер, по две сферы в каждом произведении (см. Макгавран [M]). Таким образом в алгебре H ( ZK )
имеется всего одно соотношение, которое мы и находим. Тем самым мы получаем новое доказательсво результата Макгаврана. Интересной особенностью полученных нами соотношений в алгебре Понтрягина является то, что они включают итерированные произведения Уайтхеда, образы которых при гомоморфизме Гуревича нулевые. Поэтому данные соотношения нельзя получить опираясь исключительно на результат Макгаврана. 2. Основные понятия и предварительные результаты Пусть то есть

K Z

граница пятиугольника или шестиугольника. В этом случае известно,

K



K

совокупность подмножеств

чения. Подмножества

Симплициальный комплекс называется

ный несимплекс состоит из двух элементов. Другими словами, рождает симплекс. Пусть

симплициальный комплекс I [m] IK симплексами флаговым
называются

на множестве .

[m] = {1, 2, 3, . . . , m}

,

, замкнутая относительно вклю, если любой минималь-

K

флаговый

комплекс, если любой его набор вершин, попарно соедин?нных р?брами, по-

k

кольцо

Z

или поле.

K

называется градуированное кольцо

Кольцом граней

симплициального комплекса

k [K] = k [v1 , . . . , vm ]
где

vi1 . . . vik : {i1 , . . . , ik } K , / deg vi = 2.
2

k [v1 , . . . , vm ] D

кольцо многочленов,

Рассмотрим единичный полидиск в комплексном пространстве:

m

= (z1 , . . . , zm ) Cm : |zi | I [m]

1,

i = 1, . . . , m . iI / K
на

Для каждого подмножества

определим подмножество в полидиске: если

BI = (z1 , . . . , zm ) Dm : |zi |2 = 1,
Так же для

I [m]

имеется полный подкомплекс (ограничение

I

):

KI = {J K : J I }.
2


ГОМОТОПИЧЕСКИЙ ТИП МОМЕНТ-УГОЛ-КОМПЛЕКСОВ

3

K

, называется пространство

Момент-угол-комплексом

, соответствующим симплициальному комплексу

ZK =
I K
где объединение бер?тся в

BI D m ,

D

m

. Аналогично рассмотрим подмножество:

(CP )K =
I K
где

BT I BT
m

m

BT

m

= (CP )

m

,

B T = ( x1 , . . . , x m ) B T

I

Теорема 2.1 ([БП]).

Имеют место изоморфизмы колец:

: xi = ,

если

iI /

.

где

кольцо граней, dui = vi, dvi = 0, deg ui = 1, deg vi = 2. Теорема 2.2 . Момент-угол комплекс ZK является гомотопическим слоем вложения (CP )K (CP )m.
Z[K]
([БП]) Гомотопическое расслоение

H ((CP )K ) Z[K], = H ([u1 , . . . , un ] Z[K], d), H ( ZK ) =

Z

K

(CP )K (CP )m

приводит к точной

последовательности алгебр Понтрягина:

1 H ( ZK ; k ) H ((CP )K ); k [u1 , . . . , um ] 1, [u1 , . . . , um ] = H ( (CP )m ; k ) = H (T m ; k ) внешняя алгебра. Таким образом, H ( ZK ) представляет собой коммутаторную подалK гебру в некоммутативной алгебре H ((CP ) ); k . Эта алгебра может быть описана явно в случае когда K флаговый комплекс:
где

k

это

Z

или поле,

Теорема 2.3 ([GPTW]).

где

H ( ((CP ) ); T u1 , . . . , u
m
Здесь

K

Пусть K флаговый комплекс. Тогда k ) T u1 , . . . , um /(u2 = 0, ui uj + uj ui = 0, если = i свободная (тензорная) алгебра, deg ui = 1.

{i, j } K),

ui H1 ( ((CP )K )) каноническая образующая, 1 K координатным отображением S = (CP ) (CP ) . Далее будем предполагать, что k поле и не будем явно
обозначениях гомологий.

задаваемая

i-м

его указывать в

Следующий результат описывает мультипликативные образующие коммутаторной алгебры

Пусть K флаговый комплекс. Тогда подалгебра мультипликативно порождается итерированными коммутаторами следующего вида:
Теорема 2.4 ([GPTW]).

H ( ZK )

.

H ( ZK ) H ((CP )K ) [ui , uj ], [uk1 , [uj , ui ]],

где k1 < k2 < ћ ћ ћ < kp < j > i, ks = i для всех s, и i есть минимальная вершина в связной компоненте полного подкомплекса K{k ,...,k ,j,i} K, которая не содержит j .
1 p

...,

[uk1 , [uk2 , [uk3 , . . . , [uk

m-2

, [uj , ui ]] . . . ]]],

3. Гомологии пространства петель момент-угол комплекса

пятиугольника
В этом разделе

K

граница пятиугольника.


4

Я.А.ВЕРВКИН.

Сначала посчитаем числа Бетти с помощью [Mac2], они такие:

Таблица 1. Числа Бетти.
. . 1 0 1 1 1 0 0 2 0 0 3 5 5 4 5 5 5 0 0 6 0 0 7 1 1

Отсюда следует, что в

H

3

и

H

4

будет по

5

образующих.

Опишем кольцо когомологий

Z

K . Возьм?м фундаментальный класс

t=

[u1 u2 u3 v4 v5 ]

и вычислим произведение в кольце когомологий. Для этого вос-

пользуемся следующим:

[d(u1 u2 u3 u4 v5 )] = [d(u1 u2 u3 u5 v4 )] = [d(u1 u2 u4 u5 v3 )] = [d(u1 u3 u4 u5 v2 )] = [d(u2 u3 u4 u5 v1 )] = 0,
отсюда:

[u2 u3 u4 v1 v5 ]-[u1 u2 u3 v4 v5 ] = [u1 u2 u5 v3 v4 ]-[u1 u2 u3 v4 v5 ] = -[u1 u4 u5 v2 v3 ]+[u1 u2 u5 v3 v4 ] = = [u3 u4 u5 v1 v2 ] - [u1 u4 u5 v2 v3 ] = [u3 u4 u5 v1 v2 ] - [u2 u3 u4 v1 v5 ] = 0.
Из этих равенств получаем таблицу произведений когомологий:

Таблица 2. Классы когомологий и их произведение.

H3 [u1 v3 [u2 v4 [u3 v5 [u4 v1 [u5 v2

] ] ] ] ]

H4 [u4 u5 v2 ] -[u1 u5 v3 ] [u1 u2 v4 ] [u2 u3 v5 ] [u3 u4 v1 ]

Произведение

t t t t t

Так как все произведения элементов из 1-го столбца на элементы из 2-го столбца, стоящие на разных строчках, равны нулю, а на одинаковых строчках равны фундаментальному классу, то это канонический базис в когомологиях. Выпишем двойственный ему базис в гомологиях. Обозначения:

Si

- окружность на

i-м

месте,

Dj
цепь

- диск на

j

-м месте.

Будем выписывать цепи в гомологиях. Например, коцепи

[u1 v3 ]

соответствует

S1 D3 + D1 S3

.

Получаем следующий канонический базис в гомологиях (дадим каждой строке номер особым образом):

Таблица 3. Базис в гомологиях.

S1 S2 S3 S4 S5

D3 D4 D5 D1 D2

H3 + + + + +

D1 D2 D3 D4 D5

S3 S4 S5 S1 S2

H4 -D2 S4 S5 + S2 S4 D5 S1 S3 D5 + S1 D3 S5 D1 S2 S4 - S1 S2 D4 D2 S3 S5 - S2 S3 D5 -D1 S3 S4 + S1 S3 D4

Номер 1 3 5 2 4


ГОМОТОПИЧЕСКИЙ ТИП МОМЕНТ-УГОЛ-КОМПЛЕКСОВ

5

Теперь напишем коммутаторы, соответствующие базисным элементам, по следующему правилу:

Si Dj + Di Sj [ui , uj ] Si Sj Dk + Si Dj Sk [ui , [uj , uk ]]
Если

S

и

D

находятся не рядом, то переставим их так, что они встанут рядом

(в конце слагаемого).

D

коммутирует со всеми элементами,

S

коммутирует с

D

и антикоммутирует с

S

. Получим следующее:

Таблица 4. Коммутаторы.

deg [u3 , [u4 , [u5 , [u4 , [u5 ,
Теорема 3.1.

=2 u1 ] u2 ] u3 ] u1 ] u2 ]

deg = -[u4 , [u5 [u1 , [u5 , [u1 , [u4 , [u3 , [u5 , -[u3 , [u4

3 , u2 ]] u3 ]] u1 ]] u2 ]] , u1 ]]

Номер 1 3 5 2 4

ми:

Алгебра

H ( ZK )

представляет собой алгебру с 10 образующи-

a1 = [u3 , u1 ], a2 = [u4 , u1 ], a3 = [u4 , u2 ], a4 = [u5 , u2 ], a5 = [u5 , u3 ], b1 = [u4 , [u5 , u2 ]], b2 = [u3 , [u5 , u2 ]], b3 = [u1 , [u5 , u3 ]], b4 = [u3 , [u4 , u1 ]], b5 = [u2 , [u4 , u1 ]], -[a1 , b1 ] + [a2 , b2 ] + [a3 , b3 ] - [a4 , b4 ] + [a5 , b5 ] = 0,

которые удовлетворяют единственному соотношению:
(3.1)

где deg ui = 1, deg ai = 2, deg bi = 3, [a, b] = ab - (-1)deg aћdeg bba. При этом, если мы возьм?м коммутаторы построчно из таблицы 4 (первый столбец коммутируем со вторым), то на i-м номере строки (номере из 3-го столбца) будет стоять [ai, bi] из нашего соотношения (с уч?том знака). Доказательство. 10 a1 , . . . , a5 , b1 , . . . , b5
Данные образующих суть в точности образующие, описанные в теореме 2.4, в случае, когда ника. Геометрически образующая диаграмме:

K

граница пятиуголь-

a1 H2 ( ZK )
3

зада?тся верхней строкой в

S

2

/ S

/ Z

K

% ((CP )K )
где

S3 Z

произведением Аналогично, грамме:

S 3 ((CP )K ), задаваемого Уайтхеда (Самельсона) [u3 , u1 ]. образующая b1 H3 ( ZK ) зада?тся верхней строкой в диаK поднятие отображения

S

3

/ S

4

/ Z

K

% ((CP )K )
где

4 K поднятие отображения S произведением Уайтхеда (Самельсона) [u4 , [u5 , u2 ]].

S4 Z

((CP )K )

, задаваемого


6

Я.А.ВЕРВКИН.

Раскроем коммутаторы по правилу раскрытия коммутатора выше с помощью [WM]:

[a1 , b1 ] = -u1 -u3 +u2 +u2 [a2 , b2 ] = -u1 -u4 +u2 +u2 [a3 , b3 ] = +u2 +u4 -u1 -u1 u2 u5 u1 u1 u3 u5 u1 u1

u3 u1 u5 u5 u4 u1 u5 u5 u4 u2 u3 u3 u5 u2 u4 u4 u5 u3 u4 u4

u u u u u u u u

2 u5 u4 2 4 4

+ u1 u5 u4 + u3 u1 u3 - u4 u3 u1 - u4 u1 u4 u3 u3 u2 u4 u1 u1 u u u u u u u u

u3 u1 u2 u2 u4 u1 u2 u2 u4 u2 u5 u5

u4 u4 u5 u5 u3 u3 u5 u5 u1 u1 u3 u3

u2 u2 u1 u3 u2 u2 u1 u4 u5 u5 u2 u4

u5 u5 u3 u1 u5 u5 u4 u1 u3 u3 u4 u2

+ + - - + + - - - - + +

u1 u3 u4 u4 u1 u4 u3 u3 u2 u4 u3 u3 u2 u5 u3 u3

u u u u u u u u

3 u4 u5 u2 1 5 5

- u4 u5 u2 - u2 u1 u3 + u2 u3 u1 +

u1 u3 u5 u5 u1 u4 u5 u5 u2 u4 u5 u5 u2 u5 u4 u4

u3 u1 u2 u2 u4 u1 u2 u2 u4 u2 u3 u3 u5 u2 u1 u1

u5 u5 u4 u4 u5 u5 u3 u3 u5 u5 u1 u1 u4 u4 u3 u3

u2 u2 u1 u3 u2 u2 u1 u4 u3 u3 u2 u4 u1 u1 u2 u5

u u u u u u u u

4 4 3 1 3 3 4 1

- + + , - + + , + - - , - + + ,

2 u5 u3 2 u5 u3 3 3

+ + u1 u4 - u4 u1 - u u u u u u u u u u u u
5 5 4 2 3 3 5 2 2

4 u3 u5 u2 1 u3 u5 u2 5 5

- - u2 u1 u4 + u2 u4 u1 + u u u u u u u u
5 u1 5 u1 2 4

u1 u1 u5 u5 u1 u1 u3 u3 u1 u1 u2 u2

u3 u3 u2 u4 u4 u4 u2 u5 u4 u4 u3 u5

+ + - - + + - - + + - -

u4 u2 u5 u5 u5 u2 u4 u4

u3 u3 u1 u1 u3 u3 u1 u1

- - u4 + u2 +

u1 u1 u4 u2 u3 u3 u5 u2

[a4 , b4 ] = - - + + [a5 , b5 ] = - - + +

2 u5 u3 u1 u4 5 u2 u3 u1 u4 3 3

+ + u1 u4 u2 u5 - u1 u4 u5 u2 -

4 u1 4 u1 2 5

- - u5 + u2 +

+ u3 u5 u2 u4 u1 - u3 u5 u4 u1 u2 - u3 u2 u1 u4 + u5 u3 u2 u4 u1 - u5 u3 u4 u1 u2 + 2 5 5 2 u1 u4 u3 u5 - u2 u4 u1 u3 u5 + u4 u1 u2 u3 u5 + 3 2 u1 u4 u5 u3 - u2 u4 u1 u5 u3 + u4 u1 u2 u5 u3 . Используя коммутационные соотношения u1 u2 = -u2 u1 , u2 u3 = -u3 u2 , u3 u4 = -u4 u3 , u4 u5 = -u5 u4 , u1 u5 = -u5 u1 в алгебре H ( ((CP )K )) (см. теоре3 u5 u2 u1 u4
му 2.3) привед?м каждое слагаемое в правой части к следующему каноническому виду: бер?м ния. Далее бер?м

uj u2

с минимальным номером

j

(в нашем случае

u1

) и сдвигаем

его максимально влево, используя всевозможные коммутационные соотношеи сдвигаем его максимально влево, не используя коммутационные соотношения с

u1

. И так далее, пока не дойд?м до

u5

. Например,

1 будет u3 u4 u1 u2 u5 . В результате получим следующую запись коммутаторов через мономы канонического вида:
каноническим видом монома

u4 u2 u3 u5 u

[a1 , b1 ] = - + + - [a2 , b2 ] = - - + + [a3 , b3 ] =

u1 u3 u2 u2 u1 u4 u2 u2

u2 u1 u4 u5 u4 u1 u5 u5 u4 u1 u3 u3 u2 u5 u4 u3

u3 u2 u1 u3 u2 u2 u3 u3 u1 u2 u5 u4 u5 u2 u2 u4

u4 u4 u5 u4 u5 u5 u1 u4 u3 u3 u2 u5 u3 u3 u3 u5

u u u u u u u u u u u u u u u u

5 5 3 1 3 3 4 1 5 5 4 2 4 4 5 2

+ + - - - - + + + - + + + + - -

u u u u u u u u u u u u u u u u

1 u4 u2 u3 u5 3 4 4

+ u1 u3 u1 u4 u2 u5 + u3 u1 u1 u2 u5 u3 - u4 u1 u2 u5 u3 u1 - u5 u3 u1 u4 u3 u3 u2 u3 u3 u3 u3 u1 u1 u5 u3 u4 u1 u1

u4 u4 u5 u4 u4 u3 u5 u2 u4 u1 u5 u4 u3 u3 u1 u1

u u u u u u u u u u u u u u u u

5 u2 5 2 1

- u1 u3 u2 - u3 u1 u3 + u5 u2 u2 - u5 u2 u1 u4 u5 u5 u2 u4 u5 u5 u4 u1 u3 u2 u5 u2 u3 u3

u5 u5 u4 u3 u5 u5 u1 u3 u3 u5 u1 u1 u1 u4 u2 u3

u2 u2 u1 u4 u2 u2 u2 u4 u4 u3 u2 u4 u5 u1 u3 u5

u4 u4 u3 u1 u3 u3 u4 u1 u1 u1 u4 u2 u3 u3 u5 u2

+ + - , - + + , - - + , + - - ,

1 u4 u2 u3 u5 4 u1 u2 u3 u5 3 2

- + u1 u2 u4 u5 - u3 u4 u1 u5 -

5 u2 5 u2 2 4

- - u4 + u1 +

+u2 -u4 -u1 +u1 +u1 +u1 -u1 -u1

2 u4 u1 u5 u3 4 u1 u2 u5 u3 1 1

- - u5 u2 u3 u4 - u4 u5 u2 u3 +

1 u5 2 u5 2 5

- - u4 + u2 +

[a4 , b4 ] =

2 u5 u3 u1 u4 5 3 3

+ u2 u5 u3 u1 u2 u4 + u5 u2 u1 u4 u2 u5 - u3 u4 u1 u4 u5 u2 - u3 u4

4 u1 4 2 5

- u2 u4 u1 - u5 u2 u5 - u4 u1 u2 + u4 u1


ГОМОТОПИЧЕСКИЙ ТИП МОМЕНТ-УГОЛ-КОМПЛЕКСОВ

7

[a5 , b5 ] = -u -u +u +u
Теорема 3.2.
3

3 u1 u4 u5 u2 5 u3 u1 u4 u2 1 1

+ - u4 u2 u3 u5 - u4 u2 u5 u3 +

u3 u5 u1 u1

u1 u3 u2 u2

u5 u1 u3 u5

u u u u

2 u4 2 u4 4 3

+ - u5 - u4 -

u3 u5 u2 u2

u5 u2 u4 u4

u2 u3 u1 u1

u4 u4 u3 u5

u1 u1 u5 u3

- - + +

u3 u5 u4 u4

u4 u3 u1 u1

u u u u

1 u5 u2 4 u1 u2 2 2

- + u3 u5 + u5 u3 .

Существует гомотопическая эквивалентность: ZK (S Ч S ) , где (S 3 Ч S 4 )#5 связная сумма 5-ти экземпляров Доказательство. f : ( S 3 S 4 )5 Z K
4 #5
Рассмотрим отображение как букет отображений, соответствующих образующим

Суммируя со знаками, получаем требуемое соотношение.

S3 Ч S4.
5 как

, задаваемое

a1 , . . . , a5 , b1 , . . . , b

описано в начале доказательства теоремы 3.1. Ввиду наличия соотношения (3.1) это отображение продолжается до отображения из связной суммы (которая отличается от букета одной клеткой), как показано на диаграмме ниже.

(S 3 S 4 )

5 f

/ (S 3 Ч S 4 ) ' Z
f K

#5

f

индуцирует изоморфизм в гомологиях, а значит

f

гомотопическая экви-

валентность, так как отображение в гомологиях.

f:XY

односвязных

CW

-комплексов

является гомотопической эквивалентностью, если

f

индуцирует измоморфизм

Теорема 3.3.

ной суммы произведений сфер

Соотношение в алгебре Понтрягина единственно. Доказательство. 3 4 #5
X = (S Ч S )

Мы построили гомотопическую эквивалентность

Z

K и связ-

. Для связной суммы произве-

H ( X ) единственно, так как H ( X ) происходит из соотношения на произведения Самельсона в алгебре Ли ( X ), которое происходит из соотношения на произведения Уайтхеда в (X ). По последнему соотношению мы приклеиваем клетку к букету сфер, получая X . Значит соотношение единственно и для ZK . Иначе изоморфизм не существовал бы.
дений сфер соотношение в алгебре Понтрягина соотношение на коммутаторы в 4. Гомологии пространства петель момент-угол комплекса

шестиугольника
Пусть

K

- граница шестиугольника.

Опишем кольцо когомологий щью [Mac2], они такие:

Z

K . Сначала посчитаем числа Бетти с помо-

Таблица 5. Числа Бетти.
. . 1 2 0 1 1 1 1 0 0 0 2 0 0 0 3 9 9 0 4 16 12 4 5 9 9 0 6 0 0 0 7 0 0 0 8 1 1 1

Из этого следует, что в

H

3

и

H

5

будет

Возьм?м фундаментальный класс

9 образующих, а в H 4 t = [u1 u2 u3 u4 v5 v6 ]. Теперь

их будет

16

.

запишем канони-

ческий базис в когомологиях. Для этого воспользуемся следующим:

[d(u1 u2 u3 u4 u5 v6 )] = [d(u1 u2 u3 u4 u6 v5 )] = [d(u1 u2 u3 u5 u6 v4 )] = [d(u1 u2 u4 u5 u6 v3 )] =


8

Я.А.ВЕРВКИН.

= [d(u1 u3 u4 u5 u6 v2 )] = [d(u2 u3 u4 u5 u6 v1 )] = 0,
отсюда:

[u2 u3 u4 u5 v1 v6 ] + [u1 u2 u3 u4 v5 v6 ] = [u1 u2 u3 u4 v5 v6 ] - [u1 u2 u3 u6 v4 v5 ] = = [u1 u2 u5 u6 v3 v4 ] - [u1 u2 u3 u6 v4 v5 ] = [u1 u2 u5 u6 v3 v4 ] - [u1 u4 u5 u6 v2 v3 ] = = [u3 u4 u5 u6 v1 v2 ] - [u1 u4 u5 u6 v2 v3 ] = [u2 u3 u4 u5 v1 v6 ] + [u3 u4 u5 u6 v1 v2 ] = 0. Из этих равенств получаем две таблицы произведений в когомологиях (3-х 5-ти мерные и 4-х на 4-х мерные):
Таблица 6. Классы когомологий и их произведение.

на

H3 [u1 v3 [u1 v4 [u1 v5 [u2 v4 [u2 v5 [u2 v6 [u3 v5 [u3 v6 [u4 v6

] ] ] ] ] ] ] ] ]

H5 [u4 u5 u6 v2 ] -[u2 u3 u5 v6 ] + [u2 u3 u6 v5 ] [u2 u3 u4 v6 ] -[u1 u5 u6 v3 ] -[u1 u3 u6 v4 ] + [u1 u4 u6 v3 ] -[u3 u4 u5 v1 ] [u1 u2 u6 v4 ] [u1 u2 u4 v5 ] - [u1 u2 u5 v4 ] -[u1 u2 u3 v5 ]

Произведение

t t t t t t t t t

Таблица 7. Классы когомологий и их произведение.

[ [ [ [ [ [ [ [

H4 u1 u5 v u3 u5 v u2 u3 v u5 u6 v u1 u6 v u3 u4 v u5 u6 v u1 u6 v

3 1 6 2 3 6 3 4

] ] ] ] ] ] ] ]

-[u

4

-[u -[u -[u

2 2 3

H4 -[u2 u6 v4 u6 v2 ] + [u -[u4 u5 v1 [u3 u4 v1 ] [u4 u5 v2 ] u5 v1 ] + [u u4 v1 ] + [u u5 v2 ] + [u

Произведение

]
2

u6 v4 ]

]

1 u5 v2 1 u4 v2 2

] ] u5 v3 ]

t t t t t t t t

Так как все произведения элементов из 1-го столбца на элементы из 2-го столбца, стоящие на разных строчках, равны нулю, а на одинаковых строчках равны фундаментальному классу, то это канонический базис в когомологиях. Выпишем двойственный ему базис в гомологиях. Все обозначения из прошлого параграфа. Получаем следующий канонический базис в гомологиях:


ГОМОТОПИЧЕСКИЙ ТИП МОМЕНТ-УГОЛ-КОМПЛЕКСОВ

9

Таблица 8. Базис в гомологиях.

S1 S1 S1 S2 S2 S2 S3 S3 S4

D3 D4 D5 D4 D5 D6 D5 D6 D6

H3 + + + + + + + + +

D D D D D D D D D

1 S3 1 S4 1 S5 2 S4 2 S5 2 S6 3 S5 3 S6 4 S6

H5 -D2 S4 S5 S6 - S2 S4 S5 D6 S2 S3 S5 D6 + D2 S3 S5 S6 -D2 S3 S4 S6 - S2 S3 S4 D6 -S1 S3 S5 D6 + S1 D3 S5 S6 -S1 D3 S4 S6 + S1 S3 S4 D6 D1 S3 S4 S5 + S1 S3 S4 D5 -S1 S2 D4 S6 - S1 S2 S4 D6 -D1 S2 S4 S5 - S1 S2 S4 D5 S1 S2 S3 D5 + D1 S2 S3 S5

Таблица 9. Базис в гомологиях.

H4 -S1 S3 D5 - S1 D3 S5 S1 S3 D5 - D1 S3 S5 -S2 S3 D6 + D2 S3 S6 -D2 S5 S6 + S2 S5 D6 -S1 D3 S6 - S1 S3 D6 -S3 S4 D6 + D3 S4 S6 S3 S5 D6 - D3 S5 S6 -S1 S4 D6 - S1 D4 S6

H4 D2 S4 S6 + S2 D4 S6 -S2 S4 D6 + D2 S4 S6 -S1 S4 D5 + D1 S4 S5 S1 S3 D4 - D1 S3 S4 S2 S4 D5 - D2 S4 S5 -S1 S2 D5 + D1 S2 S5 -D1 S2 S4 + S1 S2 D4 -D2 S3 S5 + S2 S3 D5

А теперь запишем две таблицы с коммутаторами, которые соответствуют цепям в таблицах выше (по правилу из прошлого параграфа). В первой таблице первым двум столбцам соответствует цепи в 1-й таблице выше, а в столбце Дополнительные коммутаторы будут записаны коммутаторы, которые, возможно, появятся в соотношении с неизвестным коэффициентом, так как им соответствуют нулевые цепи. Коммутаторы из столбца дополнительные коммутаторы являются итерированными коммутаторами каких-то му могут участвовать в соотношении. Получаем следующее:

ai

и

aj

, поэто-

Таблица 10. Коммутаторы.

[ [ [ [ [ [ [ [ [

u3 u4 u5 u4 u5 u6 u5 u6 u6

1 , u1 , u1 , u1 , u2 , u2 , u2 , u3 , u3 , u4

] ] ] ] ] ] ] ] ]

-[u4 [u3 , -[u3 [u1 , -[u1 [u3 , -[u1 -[u2 [u2 ,

2 , [u5 , [u6 [u5 , [u6 , , [u4 , [u6 [u5 , [u6 , , [u4 , [u6 [u4 , [u5 , , [u2 , [u6 , [u4 , [u5 [u3 , [u5 ,

Дополнительные коммутаторы

, u2 ]]] k1 ћ [[u2 , u5 ], [u4 , u6 ]] u2 ]]] k2 ћ [[u5 , u3 ], [u6 , u2 ]] + k3 ћ [[u6 , u3 ], [u5 , u2 ]] , u2 ]]] k4 ћ [[u4 , u2 ], [u6 , u3 ]] u3 ]]] k5 ћ [[u6 , u3 ], [u5 , u1 ]] , u3 ]]] k6 ћ [[u4 , u1 ], [u6 , u3 ]] + k7 ћ [[u6 , u4 ], [u3 , u1 ]] u1 ]]] k8 ћ [[u5 , u3 ], [u4 , u1 ]] , u4 ]]] k9 ћ [[u4 , u1 ], [u6 , u2 ]] , u1 ]]] k10 ћ [[u4 , u2 ], [u5 , u1 ]] + k11 ћ [[u4 , u1 ], [u5 , u2 ]] u1 ]]] k12 ћ [[u5 , u2 ], [u3 , u1 ]]


10

Я.А.ВЕРВКИН.

Таблица 11. Коммутаторы.

-[u1 -[u3 [u3 , -[u5 -[u1 [u4 , -[u5 -[u1

1 , [u5 , [u5 [u6 , , [u6 , [u6 [u6 , , [u6 , [u6

2 , u3 ]] -[u6 , [u4 , u2 ]] , u1 ]] [u4 , [u6 , u2 ]] u2 ]] [u4 , [u5 , u1 ]] , u2 ]] -[u3 , [u4 , u1 ]] , u3 ]] -[u4 , [u5 , u2 ]] u3 ]] [u2 , [u5 , u1 ]] , u3 ]] [u2 , [u4 , u1 ]] , u4 ]] [u3 , [u5 , u2 ]]

Будем коммутировать элементы из первого столбца с соответствующими элементами из второго столбца, а также из первой таблицы дополнительно добавим коммутирование элементов из е? первого столбца со столбцом Дополнительные коммутаторы. Не обращая внимания на знаки, поставим около каждого полученного коммутатора какой-то неизвестный коэффициент. Применим метод неопредел?нных коээфициентов, предварительно раскрыв коммутаторы и приведя каждое слагаемое к каноническому виду [WM]. Получим систему линейных уравнений, которую решим с помощью [WM]. Получим ровно одну серию решений (с точностью до умножения на число). Коэффициенты у всех коммутаторов будут тированием

+1,

прич?м у коммутаторов, полученных комму-

1-го

и

2-го

столбцов обеих таблиц они совпадут с теми, которые

получаются при взятии их из таблицы как есть. А у дополнительных коммутаторов возьм?м их из решения системы линейных уравнений выше. В итоге, получаем такие значения коэффициентов у дополнительных коммутаторов:

k1 = 1, k2 = 1, k3 = -1, k4 = 1, k5 = -1, k6 = 1, k7 = -1, k8 = -1, k9 = 0, k10 = 0, k11 = 0, k12 = 0.
Теперь если мы будем брать коммутаторы элементов из первого столбца со вторым, а так же первого с дополнительными коммутаторами с указанными выше значениями коэффициентов, то получим соотношение для алгебры Понтрягина границы шестиугольника. Выпишем соотношение:

-[[u3 , u1 ], [u4 , [u5 , [u6 , u2 ]]]]+[[u3 , u1 ], [[u2 , u5 ], [u4 , u6 ]]]+[[u4 , u1 ], [u3 , [u5 , [u6 , u2 ]]]]+ +[[u4 +[[u5 -[[u5 +[[u6 -[[u6 -[[u3 +[[u1 , , , , , , , u1 ], u1 ], u2 ], u2 ], u3 ], [u5 , [u6 , [[u5 , u3 ], [[u4 , u2 ], [u1 , [u4 , [ [u3 , [u4 , [ [u2 , [u4 , [ u1 ]], [u4 , u3 ]], [u4 , [u6 [u6 u6 , u5 , u5 , [u6 [u5 , u2 ]]]-[[u4 , u1 ], [[u6 , u3 ], [u5 , u2 ]]]-[[u5 , u3 ]]]+[[u4 , u2 ], [u1 , [u5 , [u6 , u3 ]]]]-[[u4 u3 ]]]]+[[u5 , u2 ], [[u4 , u1 ], [u6 , u3 ]]]-[[u5 u1 ]]]]-[[u6 , u2 ], [[u5 , u3 ], [u4 , u1 ]]]-[[u5 u1 ]]]]+[[u6 , u4 ], [u2 , [u3 , [u5 , u1 ]]]]+[[u1 , u2 ]]]+[[u3 , [u6 , u2 ]], [u4 , [u5 , u1 ]]]+[[u5 , u2 ]]]+[[u4 , [u6 , u3 ]], [u2 , [u5 , u1 ]]]-[[u5 -[[u1 , [u6 , u4 ]], [u3 , [u5 , u2 ]]] = 0. H ( ZK ) , , , , , , , u1 ], u2 ], u2 ], u3 ], [u5 , [u6 , [u6 , [u3 , [u4 , [u6 , u2 ]]]]+ [[u6 , u3 ], [u5 , u1 ]]]- [[u6 , u4 ], [u3 , u1 ]]]+ [u1 , [u2 , [u6 , u4 ]]]]- u3 ]], [u6 , [u4 , u2 ]]]- u2 ]], [u3 , [u4 , u1 ]]]+ u3 ]], [u2 , [u4 , u1 ]]]-

Теорема 4.1.

ми:

Алгебра

представляет собой алгебру с 34 образующи-

a1 = [u3 , u1 ], a2 = [u4 , u1 ], a3 = [u5 , u1 ], a4 = [u4 , u5 ], a5 = [u5 , u2 ], a6 = [u6 , u2 ], a7 = [u5 , u3 ], a8 = [u6 , u3 ], a9 = [u6 , u4 ], b1 = [u1 , [u5 , u3 ]], b2 = [u3 , [u5 , u1 ]], b3 = [u3 , [u6 , u2 ]], b4 = [u5 , [u6 , u2 ]],


ГОМОТОПИЧЕСКИЙ ТИП МОМЕНТ-УГОЛ-КОМПЛЕКСОВ

11

которые удовлетворяют единственному соотношению:
9 8

b5 = d1 = d5 = c1 c4 c7

[u1 , [u6 , u3 ]], b6 = [u4 , [u6 , [u4 , u2 ]], d2 = [u4 , [u4 , [u5 , u2 ]], d6 = [u2 , = [u4 , [u5 , [u6 , u2 ]]], c2 = [u1 , [u5 , [u6 , u3 ]]], c5 = [u1 , [u2 , [u6 , u4 ]]], c8

[u6 , u3 [u6 , u2 [u5 , u1 = [u3 , = [u1 , = [u2 ,

]], b7 ]], d3 ]], d7 [u5 , [ [u4 , [ [u4 , [

= = = u6 u6 u5

[u5 , [u6 , u3 ]], b8 [u4 , [u5 , u1 ]], d4 [u2 , [u4 , u1 ]], d8 , u2 ]]], c3 = [u3 , , u3 ]]], c6 = [u3 , , u1 ]]], c9 = [u2 ,

= [u1 , [u6 , u4 ]], = [u3 , [u4 , u1 ]], = [u3 , [u5 , u2 ]], [u4 , [u6 , u2 ]]], [u4 , [u5 , u1 ]]], [u3 , [u5 , u1 ]]].

[ai , ci ] +

j ћ [bj , dj ] = 0,
j =1

deg ui = 1, deg ai = 2, deg bi = deg di = 3, deg ci = 4, c1 = -c1 + [a5 , a9 ], c2 = c2 + [a7 , a6 ] - [a8 , a5 ], c3 = -c3 + [a4 , a8 ], c4 = c4 - [a8 , a3 ], c5 = -c5 + [a2 , a8 ] - [a9 , a1 ], c6 = c6 - [a7 , a2 ], c7 = -c7 + 0 ћ [a2 , a6 ], c8 = -c8 + 0 ћ [a4 , a3 ] + 0 ћ [a2 , a5 ], c9 = c9 + 0 ћ [a5 , a1 ],
j

где

i=1

=

слагаемые к каноническому виду и привед?м подобные члены. Тем самым получим ноль, что доказывает теорему.

Доказательство.

-1, 1,

если если j

j {2, 7, 8} . {1, 3, 4, 5, 6}

Раскроем все коммутаторы по правилу выше, привед?м все

Список литературы

В.М.Бухштабер, Т.Е.Панов. Торические действия в топологии и комбинаторике. Москва, издательство МЦНМО (2004). [ХАТ] А. Хатчер Алгебраическая топология Москва, издательство МЦНМО (2011). [BP] V. M. Buchstaber, T. E. Panov. Toric Topology. A book pro ject. arXiv: 1210.2368. [GPTW] Jelena Grbic, Taras Panov, Stephen Theriault, Jie Wu. Homotopy types of moment-angle complexes for ag complexes. Preprint (2012), arXiv: 1211.0873. [M] D. McGavran. Adjacent connected sums and torus actions. Trans. Amer. Math. Soc. 251 (1979), 235254. [WM] A software system devoted to supporting research in mathematica. Avaliable at http://www.wolframalpha.com/ [Mac2] A software system devoted to supporting research in algebraic geometry and commutative algebra. Avaliable at http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2/ [БП]
Механико-математический факультет МГУ

E-mail address : verevkin_j.a@mail.ru