Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/course_papers/lim5.pdf Дата изменения: Thu Mar 27 15:16:42 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:08:13 2016 Кодировка: Windows-1251

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В.ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ

Дипломная работа:

БИГРАДУИРОВАННЫЕ ЧИСЛА БЕТТИ НЕКОТОРЫХ ПРОСТЫХ МНОГОГРАННИКОВ

студента 503 группы Лимонченко Ивана Юрьевича

Научный руководитель: проф. Панов Тарас Евгеньевич

Москва 2011


1.

Введение

Биградуированные числа Бетти -i,2j (P ) простого многогранника P это размерности биградуированных компонент Tor-групп его кольца граней k[P ]. Числа -i,2j (P ) отражают комбинаторную структуру P , а также, топологическую структуру соответствующего момент-угол многообразия ZP и поэтому находят многочисленные приложения в комбинаторной коммутативной алгебре и торической топологии. В работе вычисляются некоторые биградуированные числа Бетти типа -i,2(i+1) для ассоциэдров и да?тся приложение вычисления биградуированных чисел Бетти для многогранников усечения к исследованию топологии их момент-угол многообразий. Эти две серии простых многогранников доставляют, предположительно, минимум и максимум значений -i,2j (P ) среди всех простых многогранников P с фиксированными размерностью и числом гиперграней. Структура дипломной работы такова. В Разделе 2 даны вычисления для многогранников Сташефа, известных ещ? как ассоциэдры. В Разделе 3 мы вычисляем биградуированные числа Бетти для многогранников усечения (получающихся из симплексов последовательным срезанием вершин) полностью. Это вычисление было впервые проделано в [10] с помощью похожей, но несколько отличающейся от нашей техники; комбинаторное доказательство частичного результата в этом направлении было получено в [4]. Наконец, мы применяем наши вычисления к известному описанию с точностью до диффеоморфизма многообразий ZP для многогранников усечения, см. [1]. Автор благодарен своему научному руководителю Т.Е.Панову за продолжительные обсуждения и полезные советы, столь необходимые во время выполнения этой работы.
2.

Основные понятия
1

Мы рассматриваем простые выпуклые n-мерные многогранники P в евклидовом пространстве Rn со скалярным произведением , . Такой


многогранник P может быть задан как пересечение m полупространств: (2.1)

P = x Rn : a i , x + b

i

0 для i = 1, . . . , m ,

где a i Rn , bi R. Мы предполагаем, что гиперграни, определяемые равенствами a i , x + bi = 0, находятся в общем положении, т.е. не более n из них имеют пересечением точку. Будем, также, считать, что в (2.1) нет лишних условий, т.е. ни одно неравенство не может быть вычеркнуто в (2.1) без изменения P . Тогда P имеет в точности m гиперграней, которые даются формулами

Fi = x P : a i , x + b i = 0 ,

для i = 1, . . . , m.

Пусть AP есть mЧn матрица векторов-строк a i , и пусть b P есть векторстолбец скаляров bi R. Тогда мы можем рассматривать (2.1) как

P = x Rn : A P x + b
и будем иметь аффинное отображение

P

0},

i P : Rn Rm ,
С его помощью P вкладывается в

iP (x ) = AP x + b P . 0 для i = 1, . . . , m}.

Rm = {y Rm : y

i

Следующая конструкция (см. [3, Конструкция 7.8]) позволяет определить пространство ZP из коммутативной диаграммы

(2.2)

Z P - Z Cm - ч P - P R -
i m

i

где ч(z1 , . . . , zm ) = (|z1 |2 , . . . , |zm |2 ). Последнее отображение можно представить себе, как орбитное отображение покоординатного действия стандартного тора

Tm = {z Cm : |zi | = 1 для i = 1, . . . , m}
на Cm . Таким образом, Tm действует на ZP с пространством орбит P , и iZ есть Tm -эквивариантное вложение.
2


В силу [3, Лемма 7.2], ZP является гладким многообразием размерности m + n, называемым момент-угол многообразием, соответствующим многограннику P . Обозначим через KP границу P двойственного симплициального многогранника. Она является симплициальным комплексом на множестве [m] = {1, . . . , m}, симплексы которого суть такие {i1 , . . . , ik } [m], что Fi1 . . . Fik = в P . Пусть k основное поле, k[v1 , . . . , vm ] есть градуированная полиномиальная алгебра от m переменных, deg(vi ) = 2, и пусть [u1 , . . . , um ] внешняя алгебра, deg(ui ) = 1. Кольцом граней (или кольцом Стенли Райснера ) симплициального комплекса K на множестве [m] называется фактор-кольцо

k[K ] = k[v1 , . . . , vm ]/IK ,
где IK есть идеал, порожд?нный мономами vi1 ћ ћ ћ vik , свободными от квадратов, прич?м {i1 , . . . , ik } не является симплексом в K . Мы будем называть IK идеалом СтенлиРайснера симплициального комплекса K . Заметим, что k[K ] оказывается модулем над k[v1 , . . . , vm ] благодаря отображению канонической проекции. Размерности биградуированных компонент Tor-групп,

k[K ]

-i,2j

= dimk Tor

-i,2j k[v1 ,...,vm ]

k[K ], k ,

0

i, j

m.

называются биградуированными числами Бетти кольца граней k[K ], см. [8] и [3, 3.3]. Эти числа являются важными инвариантами комбинаторной структуры K . Обозначим, для удобства,



-i,2j

(P ) =

-i,2j

(KP ).

Tor-группы и биградуированные числа Бетти допускают топологическую интерпретацию благодаря следующему результату о когомологиях ZP : Теорема 2.1 ([3, Теорема 8.6] или [6, Theorem 4.7]). Алгебра когомологий момент-угол многообразия ZP изоморфна следующим алгебрам: H (ZP ; k) Tork[v1 ,...,vm ] (k[KP ], k) = H [u1 , . . . , um ] k[KP ], d , =
3


где последняя алгебра есть алгебра когомологий дифференциальной биградуированной алгебры, прич?м биградуировка и дифференциал определяются как

bideg ui = (-1, 2), bideg vi = (0, 2);

dui = vi , dvi = 0.

Таким образом, алгебра когомологий ZP допускает биградуировку, и топологические числа Бетти bq (ZP ) = dimk H q (ZP ; k) удовлетворяют (2.3)

bq (ZP ) =
-i+2j =q



-i,2j

(P ).

Двойственность Пуанкаре в когомологиях ZP уважает биградуировку:
Теорема 2.2

([3, Теорема 8.18]). Имеет место следующая формула:



-i,2j

(P ) =

-(m-n)+i,2(m-j )

(P ).

В дальнейшем, мы опускаем поле коэффициентов k в записи групп (ко)гомологий. Для подмножества I [m] мы обозначаем через KI соответствующий полный подкомплекс симплициального комплекса K (ограничение K на I ). Следующий классический результат может быть получен в качестве следствия Теоремы 2.1:
Теорема 2.3

(Хохстер, см. [3, След. 8.8]). Имеет место изоморфизм:



-i,2j

(ZP ) =
J [m],|J |=j

dim H

j -i-1

(KJ ).

Введ?м, также, следующее подмножество границы P : (2.4)

PI =
iI

Fi P .

Заметим, что если K = KP , то KI является деформационным ретрактом PI для всякого множества I . Следующий факт непосредственно следует из Теоремы 2.3.
Следствие 2.4.

Имеем:



-i,2(i+1)

(P ) =
I [m],|I |=i+1

cc(PI ) - 1 ,

где через cc(PI ) обозначено число связных компонент множества PI .
4


3.

Многогранники Сташефа

Многогранники Сташефа, также известные как ассоциэдры, были введены как комбинаторные объекты в работе Сташефа по высшей ассоциативности [9]. Различные выпуклые реализации многогранников Сташефа были найдены Милнором и другими, см. [2]. Мы обозначаем n-мерный многогранник Сташефа через Asn . Тогда iмерные грани Asn (0 i n - 1) взаимно-однозначно соответствуют множествам из n - i попарно не пересекающихся диагоналей в (n + 3)угольнике Gn+3 (мы считаем здесь, что диагонали, исходящие из одной вершины, не пересекаются). Грань H содержится в грани H тогда и только тогда, когда множество диагоналей, соответствующее H , содержит множество диагоналей, соответствующее H . Так, вершины Asn соответствуют полным триангуляциям Gn+3 диагоналями, а гиперграни Asn соответствуют диагоналям Gn+3 . Таким образом, мы отождествляем множество диагоналей Gn+3 с множеством гиперграней {F1 , . . . , Fm } многогранника Asn и отождествляем оба этих множества с [m], когда это удобно. Нам понадобится выпуклая реализация Asn из [2, Lecture II, Th. 5.1]: n Теорема 3.1. Многогранник As может быть представлен как пересечение параллелепипеда

y Rn : 0
с полупространствами

y

j

j (n + 1 - j ) для 1 0

j

n

y Rn : yj - yk + (j - k)k
для 1

k
n.
Имеем:
Asn

Предложение 3.2.

b3 (Z

)=

-1,4

(Asn ) =

n+3 . 4

Доказательство. Число -1,4 (P ) равно количеству мономов vi vj в идеале СтенлиРайснера многогранника P , см. [3, 3.3], а также, количеству пар непересекающихся гиперграней P . В случае P = Asn , последнее равно количеству пар пересекающихся диагоналей (n + 3)-угольника Gn+3 ,
5


см. [2, Lecture II, Cor 6.2]. Оста?тся заметить, что для каждой четв?рки вершин многоугольника Gn+3 существует в точности одна пара пересекающихся диагоналей, концами которых будут эти 4 вершины.

Замечание. Вычисление, провед?нное выше, может быть проделано, также, при помощи общей формулы -1,4 (P ) = f20 - f1 , см. [3, Лемма 8.13], где fi есть число (n - i - 1)-граней многогранника P . Числа fi для Asn хорошо известны, см. [2, Lecture II].
В дальнейшем, мы предполагаем, что никакие 3 диагонали многоугольника Gn+3 не проходят через одну точку, что может быть достигнуто малым шевелением его вершин. Выберем и фиксируем циклический порядок на вершинах Gn+3 так, что 2 последовательные вершины соединены ребром многоугольника. Будем называть диагонали Gn+3 , соединяющие i-ую и (i + 2)-ую вершины (modulo n + 3) для i = 1, . . . , n + 3 короткими ; остальные диагонали длинными. Назов?м точки пересечения диагоналей, находящиеся внутри Gn+3 , отмеченными точками, а всякий отрезок диагонали, соединяющий 2 отмеченные точки, лежащие на этой диагонали, назов?м отмеченным отрезком. Наконец, будем называть отмеченным треугольником треугольник, вершинами которого являются 3 отмеченных точки, а сторонами 3 отмеченных отрезка.
Теорема 3.3.

Имеем:

b4 (Z

Asn

)=

-2,6

(Asn ) = 5

n+4 6

Доказательство. Нам нужно найти число порождающих 4-ой группы когомологий H [u1 , . . . , um ] k[KP ], d , см. Теорему 2.1 (заметим, что (n+3)n здесь m = 2 число диагоналей Gn+3 ). Эта группа порождена когомологическими классами коциклов вида ui uj vk , где все 3 индекса попарно различны, и ui vk , uj vk суть 3-коциклы. Эти 3-коциклы соответствуют парам {i, k } и {j, k } пересекающихся диагоналей многоугольника Gn+3 , а также, паре отмеченных точек, лежащих на k -ой диагонали. Таким образом, всякий коцикл ui uj vk представляется отмеченным отрезком. Равенство d(ui uj uk ) = ui uj vk - ui vj uk + vi uj uk показывает, что
6


когомологические классы, представленные коциклами, стоящими в его правой части, являются линейно зависимыми. Каждое такое равенство взаимно-однозначно соответствует отмеченному треугольнику. Таким образом, мы получили, что -2,6 (Asn ) = Sn+3 - Tn+3 , где Sn+3 есть число отмеченных отрезков, а Tn+3 есть число отмеченных треугольников внутри Gn+3 . Эти два числа находятся при помощи следующих тр?х лемм.
Лемма 3.4.

Число отмеченных треугольников внутри Gn n+3 Tn+3 = 6

+3

есть

Доказательство. Заметим, что для 6-угольника существует ровно один отмеченный треугольник (см. Рис. 1); таким образом, всякие 6 вершин многоугольника Gn+3 дают нам ровно один отмеченный треугольник.
4 4 t 44 t t 4 4 t 4 t 4 4 t 4 4 t 4 t 4 4 4 t 2 r Е 222 222 ЕЕ rr 2 2 2 Е r r 22222 ЕЕ r
Рис. 1

Пусть d есть диагональ Gn+3 ; обозначим через p(d) число отмеченных точек, лежащих на d. Определим длину диагонали d как наименьшее из двух чисел, равных количеству вершин Gn+3 , лежащих в одной из двух открытых полуплоскостей, определяемых диагональю d, соответственно. Таким образом, короткие диагонали имеют длину 1, и все диагонали n+1 имеют длины 2 . Будем называть диагонали максимальной длины максимальными. Очевидно, что p(d) зависит только от длины диагонали d, поэтому мы обозначим через p(j ) число отмеченных точек на диагонали длины j .
7


Лемма 3.5.

Если n = 2k - 1 неч?тное число, то

Sn

+3

n+3 = 2

k -1

4l2 k 2 - 2k (2l3 + l) +
l=1

n+3 2 2 k (k - 1). 4

Если n = 2k - 2 ч?тное число, то

S

n+3

n+3 = 2

k -1

4l2 k 2 - 2k (2l3 + 2l2 + l) + (l4 + 2l3 + 2l2 + l) .
l=1

Доказательство. Предположим, сначала, что n = 2k - 1. Тогда:

Sn

+3

=
d

p(d)(p(d) - 1) = 2
n+1 2

= (n + 3)
j =1

p(j )(p(j ) - 1) 2

-

n + 3 p( 2

n+1 2

)(p( n+1 ) - 1) 2 , 2

поскольку число отмеченных отрезков на максимальных диагоналях посчитано в сумме дважды. Обозначим через v (n + 3)-ю (для определ?нности) вершину многоугольника Gn+3 и занумеруем диагонали, исходящие из v , их длинами. Будем обозначать через c(i, j ) суммарное число точек пересечения j -ой диагонали, исходящей из v , с диагоналями, исходящими из i-ой вершины n+1 для 1 i j 2 . Положим,также, c(i, j ) = 0 при i > j . Тогда будем иметь:
n+1 2

(3.1)

p(j ) =
i=1

c(i, j ),

Для того, чтобы вычислить c(i, j ), заметим, что:

c(1, 1) = n; c(i, j - 1) = c(i, j ) + 1 для 1 i
c(i + 1, j + 1) = c(i, j ) - 1 для 1
8


Отсюда следует, что: (3.2) c(i, j ) = c(1, j - i + 1) - (i - 1) = c(1, 1) - (j - i) - (i - 1) = n - j + 1, при i j . Заметим, что c(i, j ) не зависит от i. Подставляя это в (3.1), а затем, подставляя результирующее выражение для p(j ) в сумму для Sn+3 выше, мы получаем требуемую формулу в этом случае. Случай n = 2k - 2 рассматривается аналогично. Единственное различие заключается в том, что теперь из каждой вершины исходят две максимальные диагонали Gn+3 , так что вычитание в сумме для Sn+3 не требуется.
Лемма 3.6.

Число отмеченных отрезков внутри Gn

+3

есть

Sn

+3

= (n + 3)

n+3 . 5

Доказательство. Это может быть получено из Леммы 3.5 суммированием, если использовать известные формулы для сумм n n-ых степеней первых (k - 1) натуральных чисел:

k (k - 1) , 2 k 2 (k - 1)2 3 = , 4 1 =

2 =

k (k - 1)(2k - 1) , 6 k (k - 1)(2k - 1)(3k 2 - 3k - 1) 4 = . 30

Теперь утверждение Теоремы 3.3 следует из результатов Леммы 3.5 и Леммы 3.6. Отметим следующий важный для дальнейшего факт (см. [2, Lecture II, Cor. 6.2]):
Предложение 3.7.

Две гиперграни F1 и F2 многогранника Asn не пересекаются тогда и только тогда, когда соответствующие диагонали d1 и d2 многоугольника Gn+3 пересекаются (в отмеченной точке).
9


Лемма 3.8.

Число отмеченных точек на максимальной диагонали многоугольника Gn+3 равно

q = q (n) =

n(n+2) 4, (n+1)2 4,

если n ч?тно; если n неч?тно.

Доказательство. В случае n = 2 утверждение очевидно. Если n неч?тно, полагая j = n+1 в (3.1) и используя (3.2), получим 2
n+1 2

p(j ) =
i=1

(n + 1)2 n+1 = . c i, 2 4
n/2 i=1 n 2

Если n ч?тно, то максимальная диагональ имеет длину j = видеть, что в этом случае p(j ) = ние (3.2) сохраняется. Поэтому,
n 2

. Легко

c(i, j ) вместо (3.1), а соотноше-

p(j ) =
i=1

c i,

n(n + 2) n = . 2 4

Теорема 3.9.

Пусть P = Asn есть n-мерный ассоциэдр, n 3. Биградуированные числа Бетти многогранника P удовлетворяют соотношениям



-q ,2(q +1)

(P ) =

n + 3, если n ч?тно; n+3 если n неч?тно; 2, q + 1,

-i,2(i+1)

(P ) = 0 для i

где q = q (n) определено в Лемме 3.8. Доказательство. Будем доказывать теорему индукцией по n. База индукции n = 3 проверяется непосредственным вычислением, см. таблички биградуированных чисел Бетти ниже. По Следствию 2.4, для того, чтобы вычислить -i,2(i+1) (P ), мы должны найти все подмножества I [m], |I | = i + 1, для которых соответствующие PI имеют более одной связной компоненты. В случае i = q , мы докажем, что cc(PI ) 2 для |I | = q + 1,
10


и опишем явно все I , для которых cc(PI ) = 2. В случае i > q , мы докажем, что cc(PI ) = 1 для |I | = i + 1. Эти утверждения будут доказаны как отдельные леммы; переход индукции будет следовать из них в конце рассуждения. Будем нумеровать вершины Gn+3 целыми числами от 1 до n + 3. Тогда всякая диагональ d соответствует упорядоченной по возрастанию паре (i, j ) целых чисел таких, что i < j - 1. Нам будет удобно рассматривать диагональ, соответствующую паре (i, j ), как целочисленный отрезок [i, j ] внутри отрезка [1, n + 3] на вещественной прямой. Тогда Предложение 3.7 может быть переформулировано следующим образом:

Гиперграни F1 и F2 многогранника P = Asn не пересекаются тогда и только тогда, когда соответствующие отрезки [i1 , j1 ] и [i2 , j2 ] перекрываются, т.е
Предложение 3.10.

F1 F2 =



i1 < i2 < j1 < j2

или

i2 < i1 < j2 < j1 .

Пусть I есть множество диагоналей многоугольника Gn+3 (или целочисленных отрезков на [1, n + 3]), а PI соответствующее множество (2.4). Мы будем писать I = I1 I2 , как только PI имеет в точности две связные компоненты, соответствующие I1 и I2 . Обозначим, также, через e(I ) множество концов отрезков из набора I ; это есть подмножество целых чисел от 1 до n + 3.
Предложение 3.11.

не пересекаются.

Если I = I1

I2 , то подмножества e(I1 ) и e(I2 )

Доказательство. Непосредственное следствие Предложения 3.10.
Для данного целого числа m [1, n + 3] и набора отрезков I , обозначим через cI (m) число отрезков из I , исходящих из m (эквивалентно, число диагоналей из I , исходящих из вершины m). Тогда 0 cI (m) n.
Предложение 3.12.

cI (m)

n+1 2

.

Если I = I1

I2 , то существует m такое, что

Доказательство. Предположим противное. Выберем целые точки m1 e(I1 ) и m2 e(I2 ). Поскольку cI (m1 ) > n+1 , cI (m2 ) > n+1 и e(I1 ), e(I2 ) 2 2 не пересекаются по предыдущему предложению, мы получаем, что общее
11


число элементов в множестве e(I ) больше, чем 2 + Противоречие.
Лемма 3.13.

n+1 2

+

n+1 2

= n + 3.

Имеем cc(PI )

2 при |I | > l(n) =

n(n+2) 4

.

Доказательство. Докажем эту лемму индукцией по n. Положим n = 3 и докажем наше утверждение от противного, т.е предположим, что существует множество I = I1 I2 I3 . . . диагоналей G6 , |I | 4, такое, что cc(PI ) 3. Поскольку многоугольник G6 имеет лишь 3 максимальных диагонали, найд?тся короткая диагональ d I ; пусть d I1 . Так как cc(PI ) 3, любые диагонали e I2 и f I3 пересекают d. Поэтому, e и f исходят из общей вершины A многоугольника G6 . Мы получили противоречие с тем, что e(I2 ) и e(I3 ) не пересекаются (см. Предложение 3.11). Пусть теперь n > 3 и предположим, что существует множество I = +2) I1 I2 I3 . . . диагоналей Gn+3 , |I | > n(n4 , такое, что cc(PI ) 3. Если найд?тся целая точка m [1, n + 3] такая, что cI (m) = 0, то мы можем считать, что m есть первая вершина и рассматривать I как множество диагоналей Gn+2 (отрезок [2, n + 3] не может принадлежать I , поскольку иначе cc(PI ) = 1). Так как l(n) > l(n - 1), применение предположения индукции завершает доказательство леммы в этом случае. Пусть cI (m) 1 для всякой целой точки m [1, n + 3]. Тогда рассуждение, аналогичное привед?нному в доказательстве Предложения 3.12, n показывает, что существует точка m такая, что cI (m) 3 . Рассмотрим 2 случая: 1. Найд?тся точка m0 e(Ik ), для некоторого 1 k cc(PI ), с миниn мальным значением cI (m) 3 , такая, что |Ik | > cI (m0 ). Можно считать, что одна из таких m0 является первой вершиной. Выбрасывая из I все отрезки, исходящие из 1, мы получаем новое множество ~ I отрезков внутри [2, n + 3] (отрезок [2, n + 3] не может принадлежать I , т.к иначе cc(PI ) 2). Имеем:

n(n + 2) n (n - 1)(n + 1) ~ |I | = |I | - cI (1) > -> = l(n - 1). 4 3 4
По предположению индукции, 2

cc(PI ) ~
12

cc(PI )

3. Противоречие.


Для всякой вершины m0 с минимальной величиной cI (m) 1 имеем |Ik | = cI (m0 ), где m0 e(Ik ). Снова мы можем считать, что одна из таких m0 является первой вершиной 1 Ik . Тогда cI (1) = 1, т.к иначе найд?тся 2 целых точек m внутри [2, n + 3], которые принадлежат e(Ik ) и имеют cI (m) = 1 (напомним, что |Ik | = cI (m0 )). Без потери общности рассуждения можно считать, что k = 1. Тогда
2.

|I | = 1 + |I2 | + |I3 | + . . .

1 + (1 + q (n - 1))

n2 2+ 4

n(n + 2) . 4

~ Первое из неравенств выше имеет место, т.к I = I2 I3 . . . есть набор диагоналей Gn+2 (отрезок [2, n + 3] не может принадлежать I , поскольку ~ cc(PI ) 3), и мы можем применить к набору I предположение индукции ~ в доказательстве основной Теоремы 3.9, что да?т нам |I | 1 + q (n - 1). n(n+2) Получили противоречие с предположением |I | > 4 .
Лемма 3.14.

Пусть I = I1 I2 , |I | q + 1, |I1 | 2 и |I2 | 2. Тогда найд?тся другой набор I такой, что I = I1 I2 , |I1 | = 1 и |I | > |I |.

Доказательство. Доказательство проводится индукцией по n. Случаи n = 3, 4, 5 проверяются непосредственным вычислением (см. таблички в конце этого раздела). Изменяя, если необходимо, нумерацию вершин Gn+3 , мы можем считать, что первая вершина имеет минимальное значение cI (m). Тогда cI (1) n+1 по Предложению 3.12. Без потери общности можем считать, 2 что 1 e(I1 ). / Докажем, что отрезок [2, n + 3] не принадлежит I . В самом деле, в противном случае cI (1) > 0 (иначе cc(PI ) = 1), 1 e(I2 ), [2, n + 3] I1 . Если cI (1) 2, то найд?тся целая точка m e(I2 ) внутри [2, n + 3] такая, что cI (m) = 1 < cI (1), что противоречит выбору первой вершины. Тогда cI (1) = 1 и [2, n + 3] I1 дают нам |I2 | = cI (1) = 1, что противоречит предположению |I2 | 2 в утверждении леммы. Выбрасывая из I все отрезки, исходящие из 1, мы получим новый набор ~ целочисленных отрезков внутри [2, n + 3]. Заметим, что I
(3.3)

~ |I | = |I | - cI (1)
13

|I | -

n+1 2

.


~ Мы хотим применить предположение индукции к набору I целочисленных отрезков внутри [2, n + 3], рассматриваемых как диагонали (n + 2)угольника Gn+2 . Чтобы сделать это, мы должны проверить предположе~ ния леммы для набора I . ~ ~ ~ Во-первых, мы утверждаем, что I = I1 I2 , т.е PI имеет в точности ~ две связные компоненты. В самом деле, это множество, очевидно, имеет не менее двух компонент, и число компонент не может быть больше двух по Лемме 3.13, поскольку n + 1 (n + 1)2 n + 1 n+1 q+1- > - = l(n - 1). |I | - 2 2 4 2 ~ ~ ~ Во-вторых, |I1 | = |I1 | 2 и |I2 | |I2 | 1. Если |I2 | = 1, то мы имеем либо cI (1) = 1, либо cI (1) = 2. (В самом деле, если cI (1) = 0, ~ то |I2 | = |I2 | = 1, что противоречит предположениям леммы, а cI (1) не может быть больше 2, т.к иначе cI (1) не является минимальным.) ~ Таким образом, |I2 | 3. Мы, также, имеем |I1 | = |I1 | p(d), где ~ = {d}, т.к d пересекает всякую диагональ из I1 . В силу Лемd I2 2 мы 3.8, p(d) q (n - 1) n . Поэтому, 4 ~ |I | |I | = |I1 | + |I2 | p(d) + 3 n2 +3 4 (n + 1)2 < q (n) + 1 4 |I |

при n 6. Противоречие. Итак, |I2 | 2. ~ Осталось проверить, что |I | q (n - 1) + 1. Если n неч?тно, то

n+1 |I | - 2 Если n ч?тно, то ~ |I | ~ |I |

(n + 1)2 n + 1 (n - 1)(n + 1) +1- = +1 = q (n-1)+1. 4 2 4

n(n + 2) n n2 +1- = + 1 = q (n - 1) + 1. 4 2 4 ~ Теперь, применяя предположение индукции к набору I , находим новый ~ ~ ~ ~ набор целочисленных отрезков J внутри [2, n + 3] с |J | > |I | и |J1 | = ~ 1. Тогда J1 = {d}, где d есть диагональ многоугольника Gn+2 . Таким ~ ~ ~ образом, |J | = |J1 | + |J2 | 1 + p(d). Имеем p(d) q (n - 1), и равенство имеет место тогда и только тогда, когда d = dmax есть максимальная n |I | - 2
14


~ диагональ в Gn+2 . Поэтому, мы можем заменить J набором J = J1 J2 , где J1 = {dmax } и J2 есть множество всех диагоналей Gn+2 , которые пересекают dmax в е? отмеченных точках. Действительно, мы имеем
(3.4)

|J | = 1 + q (n - 1)

1 + p(d)

~ ~ |J | > |I |.

Выбирая в качестве dmax в Gn+2 диагональ, соответствующую отрезку [2, k ], где k = n+7 , мы замечаем, что она является, также, и макси2 мальной диагональю для Gn+3 . Теперь положим I1 = {dmax } и бер?м в качестве I2 объединение J2 и всех диагоналей, исходящих из 1 и пересекающих dmax . Поскольку число внутренних целых точек на dmax есть n+1 2 , мы получаем из (3.4) и (3.3)

|I | = 1 + |I2 | = 1 + |J2 | +
Лемма 3.15.

n+1 2

= |J | +

n+1 2

~ > |I | +

n+1 2

|I |,

что завершает переход индукции.

Пусть cc(PI ) = 2, I = I1 |I1 | = 1, либо |I2 | = 1.

I2 и |I |

q + 1. Тогда либо

Доказательство. Предположим противное, т.е |I1 | 2 и |I2 | 2. По Лемме 3.14, мы можем найти другой набор I = I1 I2 такой, что |I1 | = 1 и |I | > |I | q + 1. С другой стороны, |I1 | = 1 да?т I1 = {d} и |I | 1 + p(d) 1 + q . Противоречие. Пусть cc(PI ) = 2, I = I1 I2 и |I | = q + 1. Тогда I1 состоит из одной максимальной диагонали dmax , а I2 состоит из всех диагоналей Gn+3 , пересекающих dmax .
Лемма 3.16.

Доказательство. Согласно Лемме 3.15, мы можем считать, что I1 состоит из одной диагонали d. Тогда

1 + q = |I | = |I1 | + |I2 |
что да?т нам p(d) = q и |I2 | = p(d).
Лемма 3.17.

1 + p(d)

1 + q,

Пусть |I | > q + 1. Тогда cc(PI ) = 1.

Доказательство. Имеем |I | > q + 1 > l(n). Поэтому, cc(PI ) 2, в силу Леммы 3.13. Предположим, что cc(PI ) = 2 и I = I1 I2 . Тогда |I1 | = 1, по Лемме 3.15, т.е I1 = {d} и |I | 1 + p(d) 1 + q . Но это противоречит предположению |I | > q + 1.
15


Теперь мы можем закончить переход индукции в доказательстве Теоремы 3.9. В силу Следствия 2.4 и Леммы 3.16, мы получаем, что число -q,2(q+1) (P ) равно количеству максимальных диагоналей многоугольника Gn+3 . Последнее равно n + 3, если n ч?тно, и n+3 , если n неч?тно. 2 Тот факт, что -i,2(i+1) (P ) равно нулю при i q + 1, вытекает из Следствия 2.4 и Леммы 3.17. Привед?м, также, результаты вычисления биградуированных чисел Бетти для ассоциэдров Asn при n 5, полученные с использованием компьютерной программы Macaulay 2, см. [5]. Таблички ниже имеют n - 1 строк и m - n - 1 столбцов. Число, стоящее на пересечении k -ой строки и l-го столбца равно -l,2(l+k) (Asn ), где 1 l m-n-1 и 2 l+k m - 2. Остальные биградуированные числа Бетти равны нулю, за исключением 0,0 (Asn ) = -(m-n),2m (Asn ) = 1, см. [3, Ch.8]. Биградуированные числа Бетти, которые даются Теоремой 3.9, отмечены жирным шрифтом. 1. n = 2, m = 5.
5 5

2.
15

n = 3, m = 9.
35

0

3

24 24

3

0

35

15

3.
35 0

n = 4, m = 14.
140 28 217 266 154 784 49 1094 49

7
784 154

0
266 217

0
28 140

0
0 35

0
4.
70 0

0

0

7

n = 5, m = 20.
420 144 1089 1796 12 1544 8332 264 1300 20924 2053 680 32309 8480 226 32184 20798 44 44 20798 32184 226 0

4
8480 32309 680

0
2053 20924 1300

0
264 8332 1544 . . .

0

0

0

0

0

0

4

Топология момент-угол многообразий ZP , соответствующих ассоциэдрам, пока ещ? слабо изучена даже для 3-мерных многогранников P . В последнем случае, кольцо когомологий H (ZP ) обладает нетривиальными тройными произведениями Масси, согласно результату Баскакова (см. [3,
16


8.4] или [6, 5.3] ), откуда вытекает, что многообразие ZP не является формальным в смысле рациональной теории гомотопий.

4.

Многогранники усечения

Пусть P простой n-мерный многогранник, и v P его вершина. Выберем гипергрань H такую, что H отделяет v от остальных вершин и v принадлежит положительному полупространству H , определяемому H . Тогда P H будет n-мерным симплексом, а P H простым многогранником, который мы назов?м усечением P . В том случае, если выбор срезаемой вершины ясен из контекста или неважен, мы будем использовать обозначение vc (P ). Мы, также, будем обозначать через vc k (P ) многогранник, получающийся из P последовательным усечением, примен?нным k раз. В качестве примера описанной выше процедуры рассмотрим многогранник vc k (n ), где n есть n-мерный симплекс, n 2. Будем называть vc k (n ) многогранником усечения ; у него, очевидно, m = n + k + 1 гиперграней. Заметим, что комбинаторный тип vc k (n ) зависит от выбора срезаемых вершин при k 3, однако это обстоятельство не отразится на наших обозначениях. Рассмотрим, также, симплициальный многогранник Q, двойственный к vc k (n ). Он известен под названием многогранника пирамидальной надстройки и получается из n последовательным добавлением пирамид над гипергранями. Числа Бетти для многогранников усечения были вычислены в [10], но градуировка, использованная там, отлична от нашей. Мы формулируем этот результат ниже и да?м его доказательство с несколько отличающейся от [10] аргументацией, используя нашу 'топологическую' градуировку и обозначения.
17


Теорема 4.1.

n

Пусть P = vck (n ) многогранник усечения. Тогда для 3 биградуированные числа Бетти даются следующими формулами:
-i,2(i+1)



(P ) = i

k+1 , i+1 k+1 , k+2-i для i + 1 < j < i + n - 1.

-i,2(i+n-1) -i,2j

(P ) = (k + 1 - i)

(P ) = 0,

Остальные биградуированные числа Бетти нулевые, кроме

0,0 (P ) =

-(m-n),2m

(P ) = 1.

Замечание. Первая из формул выше была доказана в работе [4] комбинаторно. Доказательство. Начн?м с анализа поведения биградуированных чисел Бетти при одном усечении. Пусть P произвольный простой многогранник и P = vc (P ). Обозначим через Q и Q двойственные симплициальные многогранники, соответственно, а через K и K их граничные симплициальные комплексы. Тогда Q получается с помощью добавления пирамиды с вершиной v над гипергранью F многогранника Q. Мы, также, введ?м обозначения V , V и V (F ) для множества вершин Q, Q и F , соответственно, так что V = V v . Доказательство первой формулы основано на следующей лемме:
Лемма 4.2.

Пусть P простой n-мерный многогранник с m гипергранями, и P = vc(P ). Тогда:
-i,2(i+1)



(P ) =

m-n + i
18

-(i-1),2i

(P ) +

-i,2(i+1)

(P ).


Доказательство. Применяя Теорему 2.3 при j = i + 1, мы получаем:


(4.1) (4.2)

-i,2(i+1)

(P ) =
W V , |W |=i+1

dim H0 (KW ) dim H0 (KW )
W V , v W, |W |=i+1

= +
W V , v W, |W |=i+1 /

dim H0 (KW ).

Сумма (4.2) равна -i,2(i+1) (P ) по той же Теореме 2.3. Для суммы (4.1) получим: во множестве W имеется i 'старых' вершин и одна 'новая' v . Поэтому, число связных компонент KW (на единицу большее размерности H0 (KW )) либо оста?тся тем же (если W F = ), либо увеличивается на 1 (если W F = , и, в этом случае, новая связная компонента есть новая вершина v ). Количество подмножеств W последнего типа равно числу способов выбрать i вершин из m-n 'старых' вершин, не лежащих в F . Сумма (4.1), таким образом, да?тся формулой

dim H0 (KW ) +
W V ,|W |=i

m-n i

=

-(i-1),2i

(P ) +

m-n , i

в которой мы снова использовали Теорему 2.3. Теперь первая из формул Теоремы 4.1 следует по индукции по числу усечений, если использовать тот факт, что, очевидно, -i,2(i+1) (n ) = 0 для всех i и Лемму 4.2. Вторая формула в утверждении основной теоремы вытекает из биградуированной двойственности Пуанкаре, см. Теорему 2.2. Доказательство третьей формулы основывается на следующей лемме:
Лемма 4.3.

Пусть P многогранник усечения, K симплициальный комплекс двойственного симплициального многогранника, V множество вершин K , и W непустое, собственное подмножество V . Тогда: Hi (KW ) = 0 для i = 0, n - 2.
19


Доказательство. Доказательство проводится индукцией по числу m = |V | вершин комплекса K . Если m = n + 1, то P n-мерный симплекс, и KW является стягиваемым для всякого непустого, собственного подмножества W V . Для того, чтобы сделать шаг индукции, рассмотрим V = V v , и V (F ) то же, что и в начале доказательства основной Теоремы 4.1. Предположим, что утверждение доказано для V , и пусть W непустое, собственное подмножество V . Рассмотрим следующие 5 возможных случаев. Case 1: v W, W V (F ) = . Если V (F ) W , то KW подразбиение KW -{v} . Если же W V (F ) = V (F ), то имеем:

K

W

=K

W -{v }

K

W V (F ){v }

,

KW

-{v }

K

W V (F ){v }

=K

W V (F )

,

а тогда и KW V (F ) , и KW V (F ){v} являются, очевидно, стягиваемыми. С помощью точной последовательности МайераВьеториса, получаем:

Hi (KW ) Hi (K =
Case 2: v W, W V (F ) = . В этом случае, легко видеть, что: K

W -{v }

). {v }. Отсюда имеем:

W

=K

W -{v }

Hi (KW ) =

Hi (K Hi (K

W -{v } W -{v }

) k, при i = 0; ), при i > 0.

Case 3: W = V - {v } = V . В этом случае, KW симплициальный (n - 1)-диск и, потому, стягиваем. Case 4: v W, V (F ) W, W = V . Мы имеем:

K

W

=K

W

F,

KW F = F,

где F обозначает границу гиперграни F . Поскольку, очевидно, F есть симплициальная (n - 2)-сфера, а F есть симплициальный (n - 1)-диск,
20


точная последовательность МайераВьеториса да?т:

Hi (KW ) =

Hi (KW ), при i < n - 2; Hi (KW ) k, при i = n - 2.

Case 5: v W, V (F ) W. В этом случае, мы получаем сразу, что KW KW . = Итак, во всех рассмотренных случаях, мы получили: Hi (K ) Hi (KW -{v} ) = 0 для 0 < i < n - 2, =
W

чем и заканчивается доказательство нашей леммы по принципу математической индукции. Теперь третья из формул Теоремы 4.1 следует из Теоремы 2.3 и Леммы 4.3. Последнее утверждение Теоремы 4.1 следует из [3, След. 8.19]. Для полноты изложения мы включили в этот раздел вычисление биградуированных чисел Бетти в случае n = 2, т.е., когда P есть многоугольник.
Предложение 4.4.

Если P = vck (2 ) есть (k + 3)-угольник, то



-i,2(i+1)

(P ) = i

k+1 k+1 + ( k + 1 - i) , i+1 k+2-i (P ) = 1,
иначе.

0,0 (P ) =
-i,2j

-(k +1),2(k +3)

(P ) = 0,

Доказательство. Это вычисление было проделано в [3, Пример 8.21]. Результат может быть получен, также, из рассмотрения точной последовательности МайераВьеториса, как в доказательстве Теоремы 4.1. Биградуированные числа Бетти многогранников усечения P = v c ( ) зависят только от их размерности и числа гиперграней P и не зависят от комбинаторного типа P . Более того, числа -i,2(i+1) не зависят и от размерности n.
Следствие 4.5.

k

n

Топологический тип соответствующих момент-угол многообразий Z описывается следующим образом:
21

P


Теорема 4.6

(см.[1, Theorem 6.3]). Пусть P = vck (n ) есть многогранник усечения. Тогда соответствующее момент-угол многообразие ZP диффеоморфно связной сумме произведений сфер:
k

#S
j =1

j +2

ЧS

2n+k -j -1 #j

+1 (k+1) j

,

где через X

#k

обозначена связная сумма k копий X .

Легко видеть, что числа Бетти связной суммы, см. выше, согласованы с биградуированными числами Бетти многогранника P , см. (2.3).
Список литературы

I pr? ? fosio nd vurent weerssemnF Real quadrics in Cn , complex manifolds and convex polytopes. et ederi wthF 197 @PHHTAD noF ID SQ!IPUF P itor wF fuhsterF Lectures on toric topologyF sn Proceedings of Toric Topology Workshop KAIST 2008F rends in wthF 10D noF IF snformtion genter for wthemtil ienesD uesD PHHVD ppF I!TRF Q ВF МF Бухштабер и ТF ЕF ПановF Торические действия в топологии и комбинаторикеF МЦНМОD МоскваD PHHRD PUP стрF R uyoung ghoi nd tng oo uimF A combinatorial proof of a formula for Betti numbers of a stacked polytope. iletronF tF gominF 17 @PHIHAD noF ID eserh per WD V ppFY rivXmthFgyGHWHPFPRRRF S Macaulay 2F e softwre system devoted to supporting reserh in lgeri geometry nd ommuttive lgerF eville t http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2/ T rs novF Cohomology of face rings, and torus actionsD in urveys in gontemporry wthemtisF vondon wthF oF veture xote eriesD volF 347D gmridgeD FuFD PHHVD ppF ITS!PHIY rivXmthFeGHSHTSPTF U rs novF Momentangle manifolds and complexesF sn Proceedings of Toric Topology Workshop KAIST 2010F rends in wthF 12D noF IF snformtion genter for wthemtil ienesD uesD PHIHD ppF RQ!TWF V ihrd F tnleyF Combinatorics and Commutative AlgebraD seond editionF rogrF in wthF 41F firkh? userD fostonD IWWTF W tmes hF tshe'F Homotopy associativity of H-spaces. I. rnstions emerF wthF oF 108 @IWTQAD PUS! PWPF IH xoki eri nd kyuki riiF Computation of Betti numbers of monomial ideals associated with stacked polytopes. wnusript wthFD WP@RAX RRU!RSQD IWWUF

22