Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/teaching/students/geomtop/Skljarenko_dgt3.pdf Дата изменения: Sun Jan 10 17:34:48 2016 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:18:32 2016 Кодировка: Windows-1251

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ.

Часть I I
Лекции Е.Г. Скляренко
(сентябрь декабрь 1998.)

ВВЕДЕНИЕ
В этом курсе лекций мы должны научиться решать задачи такого типа: 1. На плоскости Лобачевского

R2 L2

Евклида кратчайшими, как известно, служат прямые линии. На плоскости кратчайшие прямые по Лобачевскомy, на сфере

S2

большие круги, а на

проективной плоскости

P

2

, на которую имеется проекция

S P

2

2

с сохранением (локально)

метрики обычные проективные прямые (двумерная геометрия Римана). 2. Что представляют собой кратчайшие линии на гладкой поверхности в обычном пространстве

R

3

?

3. При обходе на восток по параллели северного полюса наблюдатель постоянно сворачивает влево. Какова скорость его вращения влево? Эта скорость равна нулю на экваторе. Вблизи полюса наблюдатель повернется на угол около на остальных параллелях заключен между 0 и отворота, равный

2 , 2 .

вблизи экватора угол отворота нулевой, Однако на плоскости Лобачевского угол

2

вблизи полюса, увеличивается с увеличением радуса окружности!

4. При каких условиях поверхность может бытъ без искажений ее структуры уложена на плоскость? Если бы это было возжно для участков поверхности Земли, это дало бы возможностъ получитъ отличные географические карты. Этим занимался Гаусс, по своей профессии картограф. Наложение возможно в точности при условии, что гауссова кривизна равна нулю. Существуют, все же, карты, правильно изображающие углы между линиями. Они удобны в мореходстве.

1


СОДЕРЖАНИЕ Введение...
... ... ... .. стр.1

ГЛАВА 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ. НАПОМИНАНИЕ ПОНЯТИЯ МНОГООБРАЗИЯ.... ... ... ... ... 1.1 Вспомогательные теоремы о наличии специальных функций.... 1.2 О гладких и римановых многообразиях ... ... ... .

стр.4 ... ... стр.4 стр.5 ... ... стр.6 стр.7 стр.8 стр.9 стр.9 стр.11 стр.11 стр.12 стр.13 стр.14 стр.14 стр.15

ГЛАВА 2. ПРОСТРАНСТВО КАСАТЕЛЬНЫХ ВЕКТОРОВ В ТОЧКЕ. 2.1 Дифференциал гладкого отображения : N n M m ... ... ... .. 2.2 Векторные поля и их интегральные траектории... ... ... .. 2.3 Касательное расслоение.... ... ... .. 2.4 Расслоения.... ... ... .. 2.5 Коммутатор векторных полей.... ... ... .. 2.6 Признак голономности базисных полей.... ... ... .. 2.7 Ковекторные поля линейные дифференциальные формы.... ... ... .. ГЛАВА 3. ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИИ.... 3.1 Общие сведения о тензорах.... ... ... .. 3.2 Произведение тензоров.... ... ... .. 3.3 Операция свертки.... ... ... ..
... ... ..

ГЛАВА 4. КОСОСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕНЗОРЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ.... ... ... .. стр.16 4.1 Операции симметрирования и альтернирования.... ... ... .. стр.16 4.2 О пространствах кососимметрических тензоров.... ... ... .. стр.17 4.3 Операция внешнего умножения. ... ... ... .. стр.17 4.4 Преобразование базисов и координат в p ... ... ... .. стр.18 4.5 Об ориентации многообразий.... ... ... .. стр.19 4.6 Многообразия с краем и ориентация края ориентируемого многообразия.... стр.20 4.7 Внешнее дифференцирование.... ... ... .. стр.21 4.8 Вид операции d в координатах.... ... ... .. стр.21 3 4.9 Сопоставление с операциями над векторными полями в R ... ... ... .. стр.22 4.10 Когомологии де Рама.... ... ... .. стр.22 4.11 Действие гладкого отображения многообразий на дифференциальные формы и когомологии.... ... ... .. стр.23 4.12 Свойство гомотопии для когомологий де Рама. ... ... ... .. стр.24 4.13 Гомотопическая инвариантность когомологий. Теорема Пуанкаре. ... ... ... .. стр.25 4.14 Интегрирование дифференциальных форм. Формы степени n. ... ... ... .. стр.25 4.15 Интегрирование форм степени p < n.... ... ... .. стр.26 4.16 Сопоставление интегрирования функций по мере и интегрирования форм на римановых многообразиях.... ... ... .. стр.26 3 4.17 Интегрирование в R .... ... ... .. стр.27 4.18 Формула Стокса.... ... ... .. стр.27 4.19 Замечания и примеры.... ... ... .. стр.29

ЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ В
5.1 Свойства операции ... ... ... .. 5.2 Определение общей аффинной связности.... 5.3 Симметричные связности ... ... ... ..
2 ... ... ..

ГЛАВА 5. ПРОСТРАНСТВА АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ.

R

n

ДИФФЕРЕНстр.30

... ... ... ..

стр.30

стр.30 стр.32


5.4 Дифференцирование и параллельный перенос векторов вдоль кривой... 5.5 Параллельный перенос ковекторов и любых тензоров.... ... ... .. 5.6 Дифференцирование поля тензоров. ... ... ... .. 5.7 Вид DT в координатах карты.... ... ... .. dt 5.8 Выводы и следствия.... ... ... .. 5.9 Аффинная связность на римановом многообразии.... ... ... .. 5.10 Теорема Леви-Чивита.... ... ... .. стр.37 5.11 Связность на подмногообразиях.... ... ... ..

... стр.32 стр.33 стр.34 стр.35 стр.36 стр.37

стр.38

ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ. 6.1 Геодезические линии.... ... ... .. стр.40 6.2 Кривизны линий. ... ... ... .. стр.40 6.3 Геодезические на сфере и плоскости Лобачевского.... ... ... .. стр.41 6.4 Элементы вариационного исчисления новое, иное освещение геодезических).... ...
... .. стр.41 стр.42 стр.42 стр.45 стр.46 стр.46 стр.47 стр.47 стр.47 стр.48 стр.48 ... ... .. стр.49 стр.50

6.5 Случай кривых. (m = 1, uj = t и q (k, j ) = xk )... ... ... .. 6.6 Свойства геодезических линий.... ... ... .. 6.7 Геодезические линии кратчайшие.... ... ... .. Глава 7. ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ.... ... ... .. 7.1 Тензор кривизны.... ... ... .. 7.2 О координатах тензора кривизны.... ... ... .. 7.3 Свойства тензора кривизны и его координат. ... ... ... .. 7.5 Тензор Риччи... ... ... .. 7.5 Признаки локальной евклидовости.... ... ... .. 7.6 Кривизна в двумерном направлении.... ... ... .. 7.7 Кривизна K (A) как кривизна геодезической поверхности.... 7.8 Кривизна K (A) для поверхностей в R3 .... ... ... ..
-=-=-=-=-=-=-

7.9 Вращение векторного поля вдоль пути в двумерном многообразии. ... ... ... 7.10 Случай замкнутого пути. ... ... ... .. 7.11 Исследование формулы обнесения по контуру.... ... ... .. 7.12 Обнесение вектора по контурам поверхностей, касающихся бивектора.... 7.13 Обнесение и кривизна в двумерном направлении.... ... ... .. ДОБАВЛЕНИЯ........... 1. Формула Гаусса Бонне........... 2. Геодезические на сфере........... 3. Геодезические поверхностей вращения. Теорема Клеро........... 4. Полугеодезические координаты........... 5. Построение полугеодезической системы координат........... 6. Геодезические как кратчайшие........... 7. Экспоненциальное отображение........... 8. Соединение точек геодезическими...........

.. стр.50 стр.50 стр.51 . стр.52 стр.53 стр. 54 стр.54 стр.54 стр.54 стр.55 стр.57 стр.57 стр.57 стр.58

3


1 ГЛАВА I. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ.
НАПОМИНАНИЕ ПОНЯТИЯ МНОГООБРАЗИЯ.
Определение восходит к Гауссy, занимавшемуся геодезическими измерениями и давшему математическую теорию картографирования поверхности Земли. Участки поверхности Земли отображались на карты, согласовывались между собой общие участки, изображенные на разных картах. Именно так определяется многообразие Открытые части

n: j : Uj j (Uj ) Rn ) (локальные координаты -1 или карты ). Возникают функции-преобразования (взаимно обратные) i j : j (Ui Uj ) i (Ui -1 Uj ) и j i . Они описываются обычными функциями от n переменных: x = x (y 1 , . . . , y n ), = 1, . . . , n, и y = y (x1 , . . . , xn ), = 1, . . . , n. n k n k Если M лежит в большем многообразии N и карты в M индуцируются картами в N , то M n называется подмногообразием, а подмногообразия пространства Rk будут называться также
размерности

M

n

Uj M

n

отображаются в

R

n

(

геометрическими.
Топологическим многообразиям отвечают непрерывные функции. Мы будем предполагать, что функции всегда много раз дифференцируемы. Получим гладкие

многообразия.
Якобианы преобразований отличны от нуля и взаимно обратны. Достаточно считать, что отличен от нуля один из двуx, тогда обратное преобразование также гладко (теорема о неявных функциях). Имеют смысл понятия: гладкие кривые в поверхности,

M

n

, гладкие функции, определенные на

M

n

, гладкие

k

-мерные для любых

k
.

1.1

Вспомогательные теоремы о наличии специальных функций.

Вспомним, что такое финитная функция, со значением 1 на некотором шаре, и что такое разбиение единицы.

Tеорема.

1. Для любой пары концентрических шаров радиусов

финитная функция, заключенная между 2. Существует разбиение Доказательство. Пусть

0

и

1

, нулевая вне

и ( > 1) существует -шара и равная 1 в -шаре;

1

, подчиненное любому открытому покрытию.
при

(t) = 0

t0

и равна

e

-1 t

при

(и в остальных точках). По правилу Лопиталя предел

(t) t при

t > 0. Она t0

бесконечно гладкая при равен

t=0

(t) t2 . При дальнейших

дифференцированиях (по Лопиталю) возникают суммы членов вида при

(t) , так что все производные tk

t=0

равны

0

.

Функция

t=

x 1-x монотонно отображает полуинтервал

[0, 1)

на полупрямую, а функция

( x) =

x- 1 x ( 1-x ) (равная e x для x [0, 1)) монотонно отображает [0, 1) на [0, 1) (и равна нулю на отрицательной полуоси). По непрерывности она продолжается в конец 1 и при этом все (односторонние)

производные в концах

и 1 равны нулю. Продолжим ее постоянным значением 1 на отрезок [1, 2] (x + 2). Она равна нулю на (-, -2], отображает [-2, -1] на [0, 1] и равна 1 на [-1, 0]. Рассмотрим симметричную функцию (-x + 2) на положительной оси. Вместе эти функции определяют функцию (x) = (|x|) на всей прямой, бесконечно гладкую, равную нулю в точности вне отрезка [-2, 2], равную 1 на [-1, 1] и меньшую 1 в остальных точках. Гладким монотонным преобразованием числовой прямой можно перевести пару отрезков [-2, 2], [-1, 1] в пару [-, ], [-, ]. Заменяя |x| на (x1 - x1 )2 + . . . + (xn - xn )2 , где (x1 , . . . , xn ) центр концентрических шаров, 0 0 0 0 и рассмотрим функцию

0

получим функцию из утверждения 1.

Докажем второе утверждение. Впишем счетное локально конечное покрытие шарами радиусов

2

i так, чтобы и шары радиусов



i тоже давали покрытие, пусть

i

финитные функции на ниx,

построенные выше,



их сумма. Она корректно определена, так как покрытие шарами локально

конечно, и у каждой точки имеется окрестность, в которой только конечное число функций отличны от нуля. Тогда функции

i дадут требуемое разбиение единицы.

i

Замечание 1. В утверждении 2. теоремы единичное значение функций i на меньших шарах несущественно. Эта часть утверждения понадобится в следующем разделе и в дальнейшем.

4


1.2

О гладких и римановых многообразиях

Напоминания. Пусть r = r(u1 , . . . , uk ) отображение из U Rk в Rn , точка A U , при r этом mi = ui линейно независимы. Тогда это есть росток k-поверхности в A (в том смысле, что нам неважен размер окрестности U ). В частности, возможно k = n, тогда это переход в пространстве от обычных координат к криволинейным. Важный пример применения специальных функций. Tеорема 1.
шого Компактное многообразие

M

n

вкладывается в

R

N

для некоторого достаточно боль-

N

.

n Доказательство. Пусть Vi ,Wi две системы карт на M , причем замыкание [Vi ] Wi . Пусть n 1 xi , . . . , xi , координаты на карте Wi . Пусть функции fi равны 1 на [Vi ] и нулю вне Wi , при j n этом 0 fi 1. Пусть fij = xi fi , тогда fij функция гладкая на всем M . Рассмотрим векторы с
координатами

(f11 , f12 , . . . , f1n , f21 , . . . , f2n , . . . , fk1 , . . . fkn , f1 , . . . , fn ),
где

k

число карт. Это дает (очевидно, регулярное) отображение

f

:

M

n

RN , N = nk + n, f i1 , . . . , f
in ,

которое и есть искомое вложение. Действительно, если а если

A Vi , B Vi / r = r (t)

, то

A, B точки в fi (A) = 1,

одной и той же карте а

V

i , то для них отличаются

fi (B ) < 1

. Образ будет правильно параметризованным

геометрическим многообразием.

M k в Rn , {xi (uj )}, 1 i n, 1 j k i ij регулярная локальная параметризация M и r (t) = r (x (t)) = r (x (u )). Из того, что параметриза xi ция взаимно однозначна и ранг матрицы Якоби { uj }, 1 i n, 1 j k , равен k , следует, что r duj i 1 k r (t) = r (u (t), . . . , u (t)) и dr = uj dt = mi du . (Кривая ?перенесена? в координатную плоскость.)
Пусть гладкая кривая на поверхности

k

Понятие римановой метрики на гладком многообразии вводилось в 1-й части. Напомним: говорят, что в области с локальными координатами функции

gij (A)

в этой области, так что

(u1 , . . . , uk ) задана риманова метрика, если заданы матрица Грама gij = G = G(A) симметрична и положи-

тельно определена. При этом возникает скалярное произведение векторов скоростей кривыx, проходящих через точку

A: ds2 (u, v ) = gij dui dv

j

.

Это запись метрики на кривыми. При

k

-поверхности в

R

n

. Можно вычислять и углы между пересекающимися

k=n

получается евклидова метрика, но в криволинейных координатах: матрица Грама

G=

G(A)

зависит от точки

A

. При

k
возникает риманова метрика, симметричная и положительно

определенная). В общем случае она отлична от евклидовой (не приводится заменой переменной к единичной сразу во всех точках области). При переходе к другим координатам

(

dr dr dv , dv ) = Так что

(v 1 , . . . , v n ), ds2 = g dv dv , где g = (m , m ) = ui uj gij v v . ds2 можно вычислять во всех координатах. Карта в Rn называется областью с римаA)


новой метрикой. Аналогично можно рассматривать области с псевдоримановой метрикой (G( симметрична и невырождена, но может не быть положительно определенной).

Риманово многообразие (гладкое, конечно) это многообразие, такое что на всех картах заданы метрики Римана, а функции перехода

i - j

1

изометрии. Это означает, что на пересечениях карт

G

меняется по указанному закону. (В геометрии рассматриваются также и псевдоримановы многообразия).

Tеорема 2.
1 на

На любом гладком многообразии существуют римановы метрики.

Доказательство. Пусть

[Vi ]

и

благодаря метрикой

M n , причем [Vi ] Wi . Пусть функции fi равны нулю вне Wi , при этом 0 fi 1. Пусть i любая метрика на карте Vi . Она существует 1 n n томy, что у нас есть координаты xi , . . . , xi на Vi , дающие вложение Vi R . Искомой n на M будет i i (где сумма берется в координатах данной карты, т.е. каждая i Vi ,W
i две системы карт на

должна пересчитываться в эту карту из своей карты).

Замечание 2.
ной.

Сумма положительно определенных симметричных квадратичных форм, очевид-

но, положительно определенная симметричная форма. Доказательство не проходит для псевдоримановых форм, ибо сумма невырожденных квадратичных форм может оказаться вырожден-

5


2 ГЛАВА 2 ПРОСТРАНСТВО КАСАТЕЛЬНЫХ ВЕКТОРОВ В ТОЧКЕ.
r r = r (u1 , . . . , uk ) отображение области U Rk в Rn , при этом mi = ui линейно независимы. (Это k -поверхность, а при k = n переход к криволинейным координатам). Пусть r v 1 , . . . , v k новые координаты, mi = vi новый базис векторов. ui ui Они связаны соотношением m i = v j mj . Введем матрицу J = { v j }, называемую матрицей Якоби или матрицей перехода. Тогда предыдущее равенство запишется как m i = J mj . dr ui ui j i i Верны равенства i i dt = mi t = mi u ; dr = mi du . С другой стороны, u = v j v или du = i u j v j du . v j dui vj dv j j i В тензорном подходе обычно новое выражается через старое dt = ui dt или dv = ui du (*). -1 Итак, координаты вектора преобразуются контравариантно, с матрицей J = J , а касательный вектор это вектор касательный к кривой r = r (t), причем либо реальный (т.е. стрелка) в точке k -поверхности в Rn , либо на карте k -поверхности изображение реального вектора. Пусть VA 1 k все касательные векторы в точке A с координатами (u0 , . . . , u0 ) (ко всем кривым, проходящим через
Пусть эту точку).

Tеорема 3. VA

это

k

-мерное векторное пространство.

Доказательство. Фиксируем локальные координаты

u1 , . . . , u

k

. Любой набор чисел

координаты некоторого касательного вектора. Достаточно рассмотреть кривую Определены покоординатные операции сложения и умножения на числа

(1 , . . . , k ) u = ui + i t. 0
i k



.
в координатах

u ,...,u
законам

1

Второе определение касательного вектора
k
;

это наборы чисел:

1 , . . . ,

,...,

1

k

в координатах

v ,...,v

1

k

и т.д., при замене координат они преобразуются по

1 . . . k
или

=J

1 . . . k

1 . . . k

=J

-1

1 . . . k

df dt зависит не от кривой, а лишь от касательного вектора в точке A0 , и для всех кривых с одним и тем же вектором скорости в этой точке она одна и та же. Она равна f du1 dun i 1 n значению дифференциала d = f ui du на векторе ( , . . . , ) = ( dt , . . . , dt )
Производная

Заметим:

(1 , . . . , n )

Вывод.

Следует говорить не о производной по кривой, а о производной по вектору (в локальных координатах

m= . . , n) j ) =

u1 , . . . , u

n

).

1 Независимость от карты: при замене выражение дифференциала сохраняется. Если ( , . f i f vi f i 1 n координаты m в локальных координатах v , . . . , v , то: d = f v i dv = v i = v i ( uj f j f j uj = uj du

Замечание.

В анализе говорят о производной функции по направлению (а не по вектору), под-

разумевая производную по единичному векторy, характеризующую скорость изменения функции по направлению. Мы же рассматриваем производную по векторy, который может иметь произвольную величину (т.е. рассматриваем скорость изменения не только по направлению, но и по величине: если вектор возрастет в

p

раз, то и скорость изменения

f

возрастет в

p

раз).

df df Вместо dt пишем далее dv . Поскольку за f берутся любые функции, то f можно не d писать, а писать (имея в виду операцию дифференцирования) просто dv . Итак, каждому касательd ному вектору v соответствует отображение dv : C(M ) R. (C пространство гладких функций на d d d d d M .) Если v = v 1 + v 2 , то dv = dv1 + dv2 , v отвечает dv = -1 dd . При этом, очевидно, dmi = i v u r 1 n (ибо для mi = ui имеем ( , . . . , ) = (0 . . . 0, 1, 0 . . . 0)).

Вывод:

6


Свойства дифференцирования по вектору:
f (A
dg 0 ) dv i |A0 .
Обобщим это понятие:

d dv

i

(f1 +чf2 ) =

df1 dv i

+ч

df2 df g dv i , dv i

=

df dv i |A

0

g (A0 )+

Абстрактное дифференцирование в точке А кольца функций есть отображение
свойствами

: C(M ) R

со

(f + чg ) = f + ч g , (f g ) = f g (A) + f (A) g
Множество абстрактных дифференцирований

.

Лемма 1.

{ }

векторное пространство.

Доказательство. Это очевидно, ибо если
также их имеют.



и



имеют указанные свойства, то

= +

и

=
Оно,

Выше было построено линейное отображение очевидно, мономорфно.

V

A

{ },

а именно,

v

d dv

= { }.

Tеорема 4.

Это отображение

VA { }

изоморфизм.

Доказательство. Нужно показать, что любое абстрактное дифференцирование есть дифференцирование функций по некоторому вектору. Начнем с того, что покажем, что

f = g

, если

f

и

g

совпадают в окрестности точки

A

. Это будет

означать, что дифференцирование определено на росткаx функций. Две функции определяют один росток в точке, если они совпадают на какой-либо окрестности точки. (Это отношение симметрично и транзитивно, т.е. есть эквивалентность.) Функции могут как угодно отличаться вне окрестности или не быть определенными на всем многообразии результат дифференцирования будет один и тот же.

A. Пусть финитная f равна нулю, и равная нулю там, где f не нуль. Имеем f = 0, поэтому (f ) = 0. Но (f ) = f (A) + (A) f = f , т.е. f = 0, что и требовалось. Если f = c = const, то для любого абстрактного дифференцирования имеем c = (1 ћ c) = 1c + 1 c = (c ћ 1) + c = 2 c, значит, c = 0. 1 k Пусть u , . . . , u - локальные координаты в окрестности точки A. Можно считать, что эти функДостаточно показать, что если нулевая функция в окрестности функция, равная

f = 0,

f

1

на некоторой окрестности, где

ции определены на всем многообразии. Действительно, если это не так, то поступаем следующим образом. Мы знаем, что существует функция

A

и нулю вне того множества, где Функция

u1 , . . . , uk

на

M

, равная единице в достаточно малой окрестности

являются координатами. Тогда функции

будут определены уже на всем многообразии и будут совпадать с этом

hi (A) =

f (u) C (M ) представляется f i ui (A). Так как u - локальн

в окрестности

A

в виде

u1 , . . . , uk u , . . . , u в окрестности A. f (u) = f (A) + hi (u)(ui - ui ). При 0
1 k

ые координаты, то этот факт (лемма Адамара) известен

из математического анализа. Отсюда следует теорема (пользуемся тем, что ности точки).

f

зависит лишь от строения

f

в малой окрест-

f f f = (f (A)) + (ui - ui )hi (A) + (ui - ui ) |A hi = 0 + ( ui - 0) ui (A) + 0 = i ui (A), где i = ui . 0 0 d 1 n Мы можем положить = dv , где v = ( , . . . , ). i f i ui f i f Действительно, для двух систем координат имеем: f = ui (A) = v i (A) = v j ui (A). i Применяя это равенство к координатным функциям f = u , получим правильное преобразование j ui i коэффициентов: = vj . d Полезно обозначение dv x1 ui xN ui

= v

.

r = r (u1 , . . . , un ) в N -мерном пространстве за базисные векторы mi d =( ,..., ) . Теперь же mi это dmi , дифференцирование в кольце функций r (фактически ui отождествляется с дифференцированием по mi ). При замене координат имели: j ui mi = mj ui , теперь имеем j = i vj . v v u
Для поверхности

Выводы:

r брались ui

2.1
Пусть

Дифференциал гладкого отображения : N n M
1

m

A N , B = (A) M , (x1 , . . . , xn ), (y 1 , . . . , y m ) карты. Отображение гладкое, если y i = y (x , . . . , xn ) гладкие функции. Очевидно, определение не зависит от выбора карт. С помощью композиции переводит параметризованные кривые в N в параметризованные кривые в M .
i

Tеорема 5.
точке

Ставя в соответствие вектору скорости кривой в точке

A

, вектор скорости в

B

ее образа, мы получим линейное отображение

VA V

B.
и обозначается

Это отображение называется дифференциалом отображения



d |

A.

7


Доказательство. Гладкая кривая m1 n
...,

(x1 (t), . . . , xn (t))

переходит в гладкую кривую

(y 1 (x1 (t), . . . , xn (t))

,

y (x (t), . . . , x (t))
dy i dt

. (Строго говоря, в непрерывно дифференцируемую, не обязательно глад-

кую: у кривой-образа могут возникнуть и нулевые векторы скорости.) Имеем

=

y i dxj xj dt , или

dy i =

y x

i j

dxj

, или
i

Y

i

=

y x

i j

X

j

. С одной стороны это отображение

y действительно линейно с матрицей I = { xj } в качестве матрицы отображения, с другой оно переводит вектор скорости кривой в вектор скорости ее образа.
Прямоугольная матрица

yi xj } есть матрица Якоби отображения в точке A. Определение дифференциала не зависит от выбора карт, поскольку использует векторы ско-

I={

рости кривыx, а определения касательных векторов в конечном итоге инвариантны. Возникшее отображение

d : VA VB

можно записать в матричном виде:



... ... dy i = I dxj ... ...
Матрицу Якоби преобразования

y I = { xj } отображения не следует путать n m карт в N или M ) (i в I номер строки).

i

с аналогичными матрицами для

2.2

Векторные поля и их интегральные траектории
M
, либо на

Допустим, что либо на всем

U M

В локальных координатах возникают функции сказать, что нам дана функция, которая

v (A) из VA в каждой точке A. X 1 (A), . . . , X n (A) координаты v (A). Мы можем сопоставляет точке A вектор из касательной плоскости
, задано по вектору

в этой точке. Однако от обычной функции это сопоставление отличается тем, что образы векторов не лежат в одном векторном пространстве, а ?разнесены? по области

U

. Мы будем называть

такую функцию векторным полем. (Термин ?поле? по аналогии с хлебным полем). Поле называется непрерывным, гладким, если таковы в локальных координатах функции непрерывность поля не зависят от координат.

v (A)

X

i

. Гладкость,

Примеры.
1. координатные поля

A)i = (0, . . . 1, . . . , 0)

2. любое поле в пределах координатной окрестности задается набором координатных функций, и любой набор таких (гладких) функций задает векторное поле в координатной окрестности. Поля можно складывать, умножать не только на числа, но и на функции (с законами дистрибудивности). Множество векторных полей бесконечномерное векторное пространство. Интеграль-

ная траектория поля

это кривая

A = A(t),

такая что

dA dt

= v (A)

. Пусть

A0 = ( x 1 , . . . , x n ) 0 0



любая точка в области определения поля.

Tеорема 6.

Через

A

0 проходит единственная интегральная траектория.

Доказательство. Это следует из соответствующей теоремы для обыкновенных дифференциальных dxi (A) = X i (A), i = 1, . . . , n, с начальным условием A(0) = уравнений в применении к системе dt A0 .
Напомним координатные преобразования: для базисных полей координат векторных полей

ei =

x yi

A) , J = {

x y i }; для

Yi =

yi x

X



,

J={

yi x

}=J

-1

.

8


2.3

Касательное расслоение.
VM =

A

Множество

VA

состоит из слоев

V

A.

Tеорема 7. V M

2n

-мерное гладкое многообразие.

Доказательство. Пусть U карта, V U = AU V M часть V M . Введем в V U координаты: (x1 , . . . , xn ; X 1 , . . . , X n ), где (X 1 , . . . , X n ) = v касательный вектор в точке A = (x1 , . . . , xn ). Пусть V другая карта, содержащая A, следовательно, и v VA V V . Функции перехода таковы: i xj = xj (y 1 , . . . , y n ) для A и X i = X Y для v . Итак, старые координаты выражаются через y 1 n 1 n новые (y , . . . , y ; Y , . . . , Y ) гладко. Какова матрица Якоби? Она имеет вид:

J

0 J

(матрица Якоби линейного преобразования совпадает с матрицей самого этого преобразования.)

VU

Xi y j . Проверка хаусдорфовости V M : Если векторы касаются в разных точкаx, то берем карты U и V , так чтобы U V = , тогда и V V = . А если оба в точке А? Тогда V U = U Ч Rn прямое произведение! А оно хаусдорфово.
Часть * составлена членами вида Покажем, что из паракомпактности

M

следует паракомпактность

VM

. Счетность атласа

VM

из счетности для крытий.

M

. Из этого следует, что

VM

есть объединение расширяющейся системы (по-

следовательностй) компактов, откуда очевидно наличие как угодно мелких локально конечных по-

M M , сопоставляющая вектору точку его приложения, причем U данного атласа. n Говорят, что V M касательное расслоение над M со слоем R VA , VA называется слоем над A. Сечением расслоения над U называется отображение s : M V M , сопоставляющее точке A U точку B в ее слое VA . Примем, что M V M лежит как нулевое сечение расслоения: отождествляем A M с нулем в VA . Гладкое векторное поле v отождествляется с сечением, при котором v (A) = s(A) VA . При этом s = 1 тождественное отображение M .
Фиксирована проекция : V -1 U = V U = U Ч Rn для карт

Замечание 3.

Для поверхности

M2 R
3

3

касательное расслоение

VM

четырехмерно. Касатель-

ные плоскости пересекаются в с поверхностью разные).

R

, но пересечения игнорируются (ибо точки касания плоскостей

2.4

Расслоения.
M ЧN
гладкое многообразие суммарной размерности, причем проекции

Прямое произведение

произведения гладкие отображения. Они имеют максимальный ранг (все точки регулярны). Рассмотрим гладкое отображение М на N,

m = dimM dimN = n f
-1

. Пусть

BN

.

Лемма 2.

Если все точки

Af

-1

(B )

регулярны, то

(B )

многообразие (размерности

m-n

).

x1 , . . . , xm координаты вблизи A, y 1 , . . . , y n координаты вблизи B , n. Допустим, что минор в первых n столбцах ненулевой. Тогда при i n имеем x = x (y , . . . , y n ) диффеоморфно. Следовательно, вокруг A возникают координаты 0 (y 1 , . . . , y n , xn+1 , . . . , xm ), матрица Якоби перехода от них к x1 , . . . , xm имеет вид ( J E ), где E задана равенством A)ij = ij 1 n n+1 В этой системе координат отображение f выглядит так: f (y , . . . , y , x , . . . , x m ) = ( y 1 , . . . , y n ), 1 n -1 а его матрица Якоби имеет вид (E |0). Если B = (y0 , . . . , y0 ), то f (B ) вокруг A описывается как 1 n (y0 , . . . , y0 ; xn+1 , . . . , xm )) причем как раз xn+1 , . . . , xm и следует считать координатами в (m - n)-1 мерном слое f (B ) вблизи A. Если x1 , . . . , xm другие координаты вокруг A, то по ним строим сно1 n 1 n n+1 ва координаты (y , . . . , y ; xn+1 , . . . , xm ). Функции перехода между ними и (y0 , . . . , y0 ; x , . . . , xm )) i i гладкие, остается в этих функциях учесть, что y = y0 постоянные. Хаусдорфовость и параком-1 пактность f (B ) следует из того, что f -1 (B ) замкнутое подмножество в M .
Доказательство. Пусть yi матрица xj имеет ранг i i1

9


Определение 1.
малых

Отображение

U N

прообразы

f

-1

f : M N называется (U ) диффеоморфны U Ч f f
-1

гладким расслоением, если для достаточно -1 (B ) (а f действует как проекция).

В частности, если

N

связно, все

(B )

диффеоморфны. Пример расслоенного отображения

уже был касательное расслоение.

Tеорема 8.
зами точек,

Пусть

f :M

m

N

n

гладкое сюръективное отображение с компактными прообра-

N

связное и все точки

f

регулярны. Тогда

f

гладкое расслоение. (В частности,

все прообразы одинаковые многообразия). Доказательство. Пусть
чим его

B

0 любая точка в

N

. По предыдущему

f

-1

F . Пусть U карта вокруг B0 , диффеоморфная (x1 , . . . , xn ) на карте (считаем, что карта U реализована
карты с координатами в которых

шарy, причем как шар).

(B0 ) многообразие, обознаB0 = (0, . . . , 0) в координатах

В соответствии с предыдущим, вблизи каждой точки

(x , . . . , x , x , . . . , x ) (кстати, f (x1 , . . . , xm ) = (x1 , . . . , xn ). Такая карта содержит в себе декартово произведение неко1 n n+1 торой n-области (x , . . . , x ) в N на некоторую область (x , . . . , xm ) многообразия F вокруг A0 . j n+1 1 n m Однако n-поверхность (x , . . . , x , x0 , . . . , x0 ), где x0 при j > n координаты A0 в F , не совпадает с (аналогичной) координатам вокруг

1

n

n+1

m

A0 F = f -1 (B ) можно рассматривать при m = n теорема следствие леммы),

n

-поверхностью

(x1 , . . . , xn ; x

n+1 0

, . . . , xm ) 0

при переходе к другим таким же

0. m Чтобы устранить эту зависимость n-поверхности вокруг A0 , снабдим M некоторой римановой 1 m метрикой. На карте (x , . . . , x ) рассмотрим базисные векторные поля A)1, . . . , A)m с координатами

A

ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0). Матрица Якоби f имеет в этой карте вид (E |0). Таким образом, df (A)j ) = 0 при j > n и d (A)i) = A)i, i n, A)i базисные поля на карте N вокруг B0 . Поля A)1, . . . .A)n f вблизи A0 замeним на другиe a1 . . . , an слeдующим образом. 1 n Для фиксированных X , . . . , X найдем векторное поле вокруг A0 , ортогональное всем A)n + 1, . . . , A)m, 1 n n+1 с координатами (X , . . . , X , X , . . . , X m ). Условия (a, A)j ) = 0, j > n, или g1j X 1 + . . . + gnj X n + n+1 m gn+1j X . . . + gmj X = 0 дают всего m - n однородных уравнений относительно неизвестных X n+1 , . . . , X m . Матрица при них это матрица {gij } при i > n, j > n, часть матрицы Грама, она j 1 n невырождена. Поэтому X при j > n гладкие функции от X , . . . , X и от координат точек 1 n i (x , . . . , x ), входящих в gij . Всякое решение a есть a = X ai , где ai фундаментальная система n+1 m решений, ai = (0, . . . , 1i , . . . , 0, Xi , . . . , Xi ), i = 1, . . . .n : ai A)j, a A)j на карте вокруг A0 . 1 n Заданием чисел X , . . . , X поле a определяется из указанных m - n уравнений однозначно, поэтому поле a (и все a1 , . . . , an ) не зависят от выбора карты (рассматриваемого вида) вокруг A0 . -1 Поскольку f (B0 ) компактно, существует конечное число таких карт, покрывающих слой F (для некоторых точек A01 , . . . , A0N ). Таким образом, найдется малая шарообразная карта U вокруг B0 F , для которой f -1 (U ) будет покрыто указанными картами. -1 ? Построим отображение U Ч F f (U ): точкам (B , A) отнесем точку B , лежащую на выходящей из A0 F интегральной траектории поля a = X i ai при t = 1, где (X 1 , . . . , X n ) координаты B в карте U . Координаты (x1 , . . . , xn , xn+1 , . . . , xm ) точки B в карте вокруг A0 в M являются 1 n ? функциями от (X , . . . , X ) и (x ?n+1 , . . . , xm ) (координаты A в N ). Уравнение траектории dr = a ? dt dxi i 1 n n+1 m , . . . , X ). или dt = X , a = (X , . . . , X ; X j Функции x дифференцируемы по x ?n+1 , . . . , xm , это следствие гладкой зависимости решения ? r (t) дифференциального уравнения по начальным условиям. Координаты же (X 1 , . . . , X n ) точки B выступают как параметры в правой части дифференциального уравнения для r (t), поэтому xj дифференцируемы по параметрам X 1 , . . . , X n . Таким образом, матрица Якоби (от x1 , . . . .xm 1 n ? dr к X ,...,X ,x ?n+1 , . . . , xm ) гладкая. Но в точке A dxi = A)i при i > n. Меняя параметр X i и ?
оставляя остальные параметры нулевыми, получим, что точка движется по траектории с вектором скорости

ai , поэтому производная по параметру X i в ? (a1 . . . , an , A)n + 1, . . . , A)m) линейно независимы в точке A
Пояснения: 1) Координаты

точке

? A

коллинеарна

ai

. Но векторы

и, значит, якобиан отличен от нуля.

и по X , . . . , X a1 , . . . , an , а они вает луч на карте

1

n

функции.

(x1 , . . . , xn ) точки B гладко дифференцируемые по xn+1 , . . . , x ? ? ? При B = A их производными служат векторы A)n + j , . . . , A)m

m
и

линейно независимы. из

2) Для построенной точки

(X 1 , . . . , X n ) U вокруг B0

B

0в

), при

M

накрывают лучи от

B

0к

? B имеем f (B ) = B , поскольку интегральная траектория из A накрыB (поле a = (X 1 , . . . , X n ; X n+1 , . . . , X m ) отображается в (X 1 , . . . , X m ) ? 0 t 1 получаем, что интегральные траектории поля a от A до B в B в N.

10


2.5

Коммутатор векторных полей.

v отвечает dd , причем ei i = dd i . Что есть = dd ( dd )? Например, v x e w v 2f d xi xj ? Это не есть дифференцирование по векторy, не есть du для поля u. Неверна формула 2 (f g ) = f ћ g + f ћ g , из d f = 0 не следует, что f = const. dx2 2f 2 Хорошо известно, что xi xj = xj xi не зависит от порядка. А как для произвольных v и w ? d d d d 1 n i i1 n Вычислим ( dw ( dv )- dv ( dw ))(f ) для любой функции f . Пусть v = (X , . . . , X ), X = X (x , . . . , x ), 1 n i i1 n w = (Y , . . . , Y ), Y = Y (x , . . . , x ). Тогда: df 2f f Xi j 2f f Xi df d df d df i ij ji j dv = dxi X , dw ( dv ) = xi xj X Y + xi xj Y , dv ( dw ) = xj xi X Y + xi xj X i df df f Y i d X d j j После вычитания: dv dw - dw dv = xi ( xj X - xj Y ). Легко проверить (это упражнение!),
Итак векторному полю что выражение в скобках Обозначим его полей

v

и

w

к

Z i = Y j X j - Xj Y j преобразуется при замене переменных как вектор. x x u = (Z , . . . , Z n ). Тогда получается, что применение коммутатора двух векторных любой функции есть дифференцирование этой функции по вектору u (что может
1

i

i

быть проверено и непосредственно). Для базисных полей из-за постоянства их координат получится нуль. В общем же случае набор

{Z j }

ненулевой!

Итак, в общем случае коммутирования вторые прозводные исчезают, и третье векторное поле.

dd dv dw

-

dd dw dv

=

d du

Определение 2. u = [v w]
Ясно, что

коммутатор векторных полей (произведение Ли, скобка Пуассона).

[a, a]

= 0.

Свойства:
1.

[v w]

гладкое, инвариантное при диффеоморфзмах (видно из координат) векторное поле.

2. Антикоммутативность: 3. Линейность: 4.

[u, v ] = -[v .u].

[1 v 1 + 2 v 2 , w] = 1 [v 1 w] + 2 [v 2 w]
dh dv

dg [g v , hw] = g h[v w] - dw hv + g dd dd - g h dd dd - h dd dd . vw wv wv

gw

, ибо

d d dg v dhw

-

d d dhw dg v

=g

d dv

(h

d dw

)-h

d dw

(g

d dv

) = gh

dd dv dw

+

5. Тождество Якоби:

[u[v w]] + [v [wu]] + [w[uv ]] = 0
v w] u

. Для этого расписываем:

[u[v w]] = u

[v w]

- [

= u v w - u w v - v w u + w v u

[v [wu]] = v w u - v u w - w u v + u v w [w[uv ]] = w u v - w v u - u v w + v u w

2.6

Признак голономности базисных полей.
e1 , . . . , en , [A)iA)j ] = 0.
Верно ли обратное? Пусть

Для карты существуют базисные поля независимы и

a1 , . . . , an

гладкие поля, являются ли они базисными именно для карты? Необходимые условия: они линейно

[ai , aj ] = 0. ai = ei
, для некоторых координат вблизи

Tеорема 9.

Локально эти условия и достаточны, т.е.

любой точки.
Такие поля называются голономными. Мы докажем более общее

Предложение 1.
[ai , aj ] = 0

Пусть a1 , ..., ak , k n гладкие линейно независимые поля, для которых . Тогда вблизи каждой точки существуют координаты, для которых ei = ai при i k .

A0 возьмем маленькую плоскость, пересекающую a1 , 2 , . . . , n . В окрестности A0 проведем траектории поля a1 . Пусть x1 , . . . , xn прежняя система координат. Отнесем точке A ее параметр t по траектории 2 n j и координаты , . . . , пересечения траектории с плоскостью. Тогда x гладкие функции и по xi xi 2 n t, и по , . . . , (гладкая зависимость от начальных условий). Но { t } есть a1 , а { j } при t = 0 есть вектор ej . Система a1 , e2 , . . . en линейно независима, так что якобиан вблизи A0 не равен 0. При произвольном k воспользуемся индукцией. Считаем, что вблизи A имеются координаты x1 , . . . , xn , для которых ei = ai при i < k . Пусть ak = (X 1 . . . , X n ) в этих координатах. Поскольку
Доказательство. Пусть сперва
В точке в ней любой базис

k = 1.

e2 , . . . , e

n и координаты

11


ai = (0, . . . , 1i , 0 . . . , 0), i < k , условие Z = [ai , ak ] = 0 влечет Z j = 0 = Xi 1i . Это означает, что ak x j j k n не меняется в направлении ei при i < k , т.е. X = X (x , . . . , x ). i Координаты X при i k суть ненулевые, поэтому считаем, что a1 , . . . , ak , ek+1 , . . . незаk -1 1 n 1 висимы. Итак, векторы поля ak = (X , . . . , X ) одинаковы в точках (x1 , . . . , x1 , xk , . . . , xn ) и k -1 1 k n (x2 , . . . , x2 , x , . . . , x ). Считаем, что точке A0 отвечают координаты xj = 0. Рассмотрим координатную поверхность x1 = . . . = xk = 0, ее точки имеют кординаты (0, . . . , 0, k+1 , . . . , n ). Через каждую такую точку проведем траекторию поля ak , r(t, k+1 , . . . , n ), t параметр по траектории, dr = ak , остальные i это начальные условия, от которых dt 1 k-1 1 k -1 гладко зависит траектория. Поскольку ak не зависит от x , . . . , x , то для данных x , . . . , x dr dr i точки r (t) = i k некоторые гладкие векгоры (из дифференцируk+1 емости траектории по начальным условиям (0, . . . , 0, a , . . . , an )). Таким образом матрица Якоби r r r по крайней мере состоит из гладких функций (из координат xi , t , ai ), и ее невырожденность достаточно проверить в точке A, т.е. при t = 0. Но при t = 0 все указанные частные производные от r это векторы A)1, , . . . , ek-1 , ak , ek+1 , . . . , en . Это означает, что матрица Якоби перехода 1 n 1 k -1 от x , . . . , x к параметрам (x , . . . , x , t, ak+1 , . . . , an ) невырождена, т.е. указанные параметры r k координаты в окрестности точки A. Для них xi = ei при i k (здесь x = t).

j

.

2.7
на

Ковекторные поля линейные дифференциальные формы.
V A)1, . . . , en V
сопряженное пространство пространство линейных функций они записываются как

Напоминания из алгебры.

V . В базисе i = (ei ). В сопряженном 1 n ты , поскольку , . . . , (1 , , . . . , n )).

(a) = i X i (a = (X 1 , . . . , X n )). При этом базисе i V (a) = X и (a) = i i (a), т.е. = i i , i координа линейно независимы (dim V = n из изоморфизма пространству строк
i i
и

(a) = i X i : при фиксировании это линейная функция аргумента a V , при фиксировании a этот вектор функция линейная на всех V . Поэтому используется и симметричная запись: (a) =< , a >. Взаимная i i сопряженность базисов вытекает из определяющего соотношения < , A)j >= j . У нас V = VA , причем A изменяется, и VA определено сразу во всех точках M или карты U M . Теперь A)1, . . . , A)n это не базис в точке, а базисные векторные поля в U . Пусть VA заданы в каждой точке A U (или A M ). Говорят, что поле ковекторов или линейных функций. Оно непрерывное или гладкое, если i = i (A) соответствующего класса V
видна из симметрии записи функции. Встает вопрос о независимости определения от координатных карт. Решим этот вопрос. I. I I.

Взаимная сопряженность V



ei = Yi =

x yi

A)

;

y

i

=

x y i x ;

J ={

x yi

}=C

это матрица перехода к новым базисным полям.

yi yi -1 = C -1 . При переходе к новой координатной карте x X ; J = { x } = J Поэтому из [I] немедленно следует [I I I]:

i =< , ei >.

I I I.

i ==< , ei >=< ,

x yi

A) >=

x y i .

Следствие : независимость определения гладкости или непрерывности поля
нат. Координаты



от выбора корди-



преобразуются точно как базисные векторы. Поэтому говорят, что



тензор типа

(1, 0)

, один раз ковариантный (в отличие от вектора

a

, его координаты преобразуются с помощью

матрицы

= J; а вектор это контравариантный тензор типа (0, 1)). f служит дифференциал функции df = xi dxi , значение которого на векторе a есть f df i 1 n xi X = da производная от f по вектору a = (X , . . . , X ). Часто используют обозначение f f g rad f = ( x1 , . . . , xn ) и называют это вектором (в механике и физике). Однако такого вектора f xa f нет! В самом деле, y i = xa y i совпадает c I I I, но вовсе не с преобразованием координат векторов C
-1
Примером

по закону I I. Заметим, что в прямоугольных координатах законы I I и I I I совпадают, поскольку для ортогональных матриц функцию

C

-1

=C

t

.

Поскольку координаты вектора



можно записывать в

(X 1 , . . . , X n ) обозначаются также ( dx1 , . . . , dxn ), i виде < , a >= i dx в форме дифференциала.

то линейную Поэтому ко-

векторные поля именуют также полями линейных дифференциальных форм (т.е. имеющих форму дифференциала). Заметим, что у нас будут и не только линейные дифференциальные формы.

12


Не всякая линейная дифференциальная форма для этого необходимы соотношения

i xj

Простейший пример функции есть

< df , a >= X
Отметим:

i

, поэтому

= dx
-1

i

i

и

dxi = i ! A)i = i x

Итак,

есть дифференциал df от некоторой функции, = xj . i f (A) = xi (A) i-тая координата A. Для нее df = dxi , i i базисные ковекторные поля это dx . J
(ибо координаты в

. Уже по I I I можно заключить, что сопряженные базисы при смене

координат должны преобразовываться с матрицей матрицей

J =J

). Это независимо получаем из того, что

dx =

i

i

:

V преобразуются по II i yi yi = dy i = x dx = x

Iс .

3 ГЛАВА 3. ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ НА МНОГООБРАЗИИ.
Пусть точка

A

фиксирована на

M

и

VA = V

касательная плоскость. Обозначаем:

u, v , w . . . V p

,

, . . . V
ных и менту.



. Тензор T типа (p, q ) T = T (u, . . . , v ; , . . . , ) это полилинейная функция от вектор-

Первое определение тензора.
q
ковекторных аргументов: Говорят, что

линейно по каждому отдельному аргу-

T

Координаты тензора верхниx, каждый

p + q , или p раз ковариантный и q раз контравариантный. k,..., Ti,...,j l = T (A)i, . . . , A)j ; k , . . . , l ). Всего их np+q (p нижних индексов и q меняется от 1 до n).
тензор валентности

Лемма 3. T

полностью определяется своими координатами.
k,...,l T (u, . . . , v ; , . . . , ) = Ti,...,j X i . . . Y j k . . . l
, ибо это есть

В самом деле,

T (X i A)i, . . . , Y j A)j ; p+q
-

k k , . . . , l l ).

Следствие 1. Замечание 4.

мерная матрица, и наоборот (всего

Тензоров много: при фиксированном базисе в V каждому тензору отвечает np+q членов в матрице).

В частности, базисными можно считать матрицы, имеющие один ненулевой

элемент, равный 1, и остальные нулевые. Введенные координаты являются координатами в этом p+q базисе в n -мерном векторном пространстве.
Заметим, что нас интересуют не все базисы тензорного пространства, а только те, которые порождаются, как указано, тем или иным базисом в основном пространстве

V

. Их называют Tен-

зорными базисами.

Примеры.
1. Тензоры типа (0,0) числа (и 2. Ковекторы

n

0

= 1).

, i = (A)i), u

имели тип

(1, 0)

, валентность 1. , причем

3. Вспомним, что вектор

лежит в

V =V



X i = u(i ) =< i , u >

. Тип (0,1).

Другие примеры были в алгебре (преобразования векторных пространств, билинейные функции и т.п.). Еще примеры мы приведем дальше. Как меняются координаты

T

? Здесь имеется в виду замена базиса в векторном пространстве

V

,

не обязательно индуцированная заменой локальных координат в окрестности

A

.

T

k...l i...j

... = T...

x yi

ћћћ

k x y y j x

ћћћ

yl ( x

J =(

xi y j ),

J=(

y x

i j

)

- просто матрицы перехода).

Второе (классическое) определение тензора
т.п; индексы от

это таблицы чисел для каждой системы

координат, преобразующиеся по написанному выше закону (внизу

p

индексов, вверху

q

, тип

(p, q )

и

1

до

n).

Предложение 2.

Оба определения эквивалентны.

Доказательство. Мы уже получили 2-е из первого. Пусть дан указанный закон преобразования. k...l Берем любой базис в V , по (1) определяем полилинейную функцию (с коэффициентами Ti...j );
согласно этому законy, определение функции не зависит от базиса.

Тензорное поле:

Пусть теперь

A

меняется и

k...l Ti...j

функции от

A

. Требуем их гладкость.

Требование не зависит от координат. Итак, имеется два определения тензорного поля на 1. поле полилинейных функций

M

T = T (A)

типа

(p, q )

с гладко зависящими от

A

координатами;

13


2. поле

(p + q )-мерных

матриц (также гладко зависящих от

AM

).

Третье определение тензора. T
которого служат (гладкие) векторные гладкие функции

функционально полилинейный функционал, аргументами поля на

a, b, . . . и ковекторные , , . . . T (a(A), . . . , b(A); (A), . . . , (A)) от точки A M .

M

, а значениями

Функциональная полилинейность означает выполнение двух дистрибутивных законов с функциональными коэффициентам, т.е. если, например, ции, остальных векторных и ковекторных аргументов. Это новое определение следует из первого в силу формулы из леммы 1. Здесь предполагается, что если нием на

a = f1 a1 + f2 a2 , где f1 и f2 гладкие функT (a, . . . b, , . . . , ) = f1 (A)T (a1 , . . . , b, , . . . , ) + f2 (A)T (a2 , . . . , b, , . . . , ) Аналогично для всех

U U

любая открытая часть всех аргументов

M

, то ограничение функционала

T

на

U

получается ограниче-

T

(т.е. полей

карты задают координаты, из

a, . . . , b, , . . . , ) полилинейности T , так же,

и функций значений

T

. Поскольку

как в лемме, выводится та же самая

формула, из чего заключаем, что из третьего определения следует первое. Следствием является: если a, . . . b, , . . . , и a , . . . , b , , . . . , два наA (т.е. a(A) = a (A), . . . , . . . , (A) = (A)), то и T (a, . . . , b, , . . . , ) равно значению T (a , . . . , b , , . . . , ) в точке A. Таким образом, значения функционала T в точке A зависят от значений полей a, . . . , b, , . . . , только в точке A, но не в любых близких к A точкаx, бора полей, совпадающих в точке например, не зависит от производных. Пример, когда это не так: сопоставим трем векторным полям тензорное поле (типа (3,0)). Примером тензорного поля типа (2,0) служит риманова метрика на многообразии:

Свойство локальности тензорного поля:

a, b, c

функцию

([a, b], c)

(скаляр-

ное произведение коммутатора двух полей на третье векторное поле). Убедитесь, что это не есть

(a, b) =

gij = (ei , ej ), gij = g x i x j , или в матричной y y 2 2 i j Другие формы записи: dr = ds = gij dx dx . Матрица G симметрична и положительно определена. рожденая метрика G называется псевдоримановой. gij X i Y
j
,





форме

G = J t GJ

(линейная алгебра).

Симметричная и неопределенная невы-

3.1

Общие сведения о тензорах.
T
(поле на

Рассматриваем тензор

сложения однотипных тензоров:

k...l Ti...j = T1 k...l + T2 k...l Тензор в i...j i...j функцию = (A). При этом (поскольку координаты k...l k...l ковекторных аргументах) имеем: (T )i...j = Ti...j . .
Все тензорные поля типа

M ) как полилинейный функционал. T = T1 + T2 . Она коммутативна, и точке A M можно умножить на
это значения

Ясно, что имеется операция для координат имеет место число

,

а глобально на

T

на базисных векторных и

(p, q )

по отношению к этим операциям составляют модуль над кольцом

функций (дистрибутивные законы с функциональными коэффициентами), а в отдельной точке p+q

n

-мерное векторное пространство.

3.2

Произведение тензоров.

f (x) и g (x) в анализе определены два произведения (от одного и от двух f (x)g (x) и f (x)g (y ) = F (x, y ). Чтобы отличать второе от первого, его целесообразно обозначать иным символом, именно : f g = f (x)g (y ). При умножении тензоров употребляется именно второе. Если T1 и T2 тензоры типов (p1 , q1 ) и (p2 , q2 ), то определен тензор T = T1 T2 суммарного типа (p1 + p2 , q1 + q2 ): T (a, . . . , b, c, . . . , d; , . . . ., , , . . . , ) = T (a, . . . , b; , . . . , )T (c, . . . , d; , . . . , ). m...p q ...r m...p q ...r Для координат очевидно соотношение T i...j k...l = T1 i...j T2 k...l . Аналогично определяется произведение любого конечного числа тензоров: T = T1 . . . Ts , типов (pi , qi ). Результат есть тензор суммарного типа (p1 + . . . + ps , q1 + . . . + qs ). Очевидны свойства:
Для двуx функций переменныx, соотв.): 1. ассоциативность

(T1 T2 ) T3 = T1 (T2 T3 ); (1 T1 + 2 T2 ) T3 = 1 (T1 T2 ) + T1 , . . . , T

2. дистрибутивность по каждому из сомножителей, например

2 (T2 T3 ).
Координаты

T = T1 . . . Ts

получаются перемножением всевозможных координат

s

(с суммарным количеством индексов у

T

внизу и вверху).

14


T = i j ek , 1 n Для векторных полей u = (X , . . . , X ), v = (Y , . . . , Y ) i j ij T (u, v , ) =< u >< v >< ek >= X Y k .
Для примера рассмотрим на карте тензор

он имеет тип

1

n

и ковекторного

(2, 1) = (1, 0)+(1, 0)+(0, 1). = (1 , . . . , n ) имеем i . . . j ek . . . el np
+q
-

Tеорема 10.

На карте

U M

среди тензоров типа

(p, q )

базисными будут

Доказательство. Действительно, их

n

p+q

всего. В отдельной точке пространство тензоров

мерно, поэтому достаточно убедиться, что любой

T

есть их линейная комбинация (линейная неза-

висимость их окажется следствием, ибо иначе размерность линейной оболочки была бы меньше

k...l k...l np+q ). Имеем T (u, . . . , v ; , . . . , ) = Ti...j X i . . . Y j k . . . l = Ti...j < i u > . . . < j v >< ek > . . . < k...l k...l el >= Ti...j i . . . j ek . . . el . Tо есть T = Ti...j i . . . j ek . . . el на любом наборе
аргументов.

k...l Следствие 2. Ti...j = T (ei , . . . , ej , k , . . . , l )

настоящие координаты

T

в пространстве тензо-

ров относительно указанного базиса.

3.3

Операция свертки.
T (u, v , w; , ).
Выделяется по одному ме-

Дадим определение на примере тензора типа (3,2),

sT формулой T (u, v ; ) = (u, A)i, v ; i , ) (по i суммирование). Ясно, что sT полилинейный функционал типа (3 - 1, 2 - 1) = (2, 1). Но почему он не зависит от карты, на которой использованы координатные 1 n поля A)1, , . . . , A)n и , . . . , ? i yi x Докажем независимость: (sT ) (u, v ; ) = T (u, ei , v , , ) = T (u, y i A), v ; x , ) =
сту среди векторов и ковекторов, скажем, 2-е и 1-е. Определяется новый тензор

= T (u, A), v , , )

i x y y i x = T (u, A), v , , ) Полученный тензор sT называется сверткой

аргументу. Очевидно, что такая конечно), результат есть тензор 1. 2. 3.

= T (u, A), v , , ) = sT (u, v ; ). T по выделенным векторному и ковекторному операция применима к тензорам любых типов (p, q ) (при pq = 0, типа (p - 1, q - 1). Очевидны свойства:

s(T ) = sT s(T1 + T2 ) = sT1 + sT2
k (sT )k = Tik ij
суммирование по



от

1

до

n

на тех местах индексов, что соответствуют

выделенным аргументам в

T

(здесь в примере это 2-е и 1-е места для тензора типа (3,2)).

Примеры.
1. тензорное поле операторов точки

AM

, она равна

T : VA VA , A M имеет тип (1,1), sT тип (0, 0), т.е. функции T = a1 + . . . an след матричного оператора. Следствие : след n 1

матрицы оператора инвариант (не зависит от координат, в которых написана матрица). Этот факт известен и из линейной алгебры. 2. риманова метрика

G

тензор типа

(2, 0), G(u, v ) = gij ui v

j

.

15


4 ГЛАВА 4 КОСОСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕНЗОРЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ.
Далее довольно долго мы будем рассматривать тензоры только типа

= (a1 , . . . , ap ) (1, . . . , p). Через

(p, 0), символ T заменим на , VA ). Буквой обозначаем перестановку индексов обозначаем функцию: (a1 , . . . , ap ) = (a (1) , . . . , a (p) ) значения , но от переставленных в ином порядке аргументов. Соответствие линейно: если = 1 + 2 , то = 1 + 2 , а ( ) = () . Тем самым есть линейный оператор в пространстве тензоров типа (p, 0).
полилинейная функция (на

Определение 3.
(-1)
, где

Функция знак



симметрична (кососимметрична), если

=

(соответственно

=

(-1)





), причем это для всех перестановок.

Например, риманова (или псевдориманова) метрика

G = {gij }

симметричный тензор типа

(2, 0).

Tеорема 11.

симметрична



координаты

{i
...ip

1

дексов. Аналогично,



кососимметрична

i i
1

1

...ip } не изменяются = (-1) (i1 )...(ip ) .

при перестановках ин-

Доказательство. Импликация



верна, т.к.

...ip

сой симметрии. Пусть координаты кососимметричны. Имеем

= (A)i1 , . . . , A)ip ). Докажем обратное для ко (a1 , . . . , ap ) = (a(1) , . . . ., a(p) ) =
i1 ...ip i X11 . . . Xpp = i i
1

i

1

...ip

i X1 . . . Xp p (1) (

i

) , где

1 n ai = (Xi , . . . , Xi )

. Также

(a1 , . . . , an ) =

...ip

X(1) . . . X(p) (1) (p)

i

i

.

Справа мы поменяли местами множители, указанные в середине равенства. Переставим ин-

i(1) i(p) ...ip = (-1) i(1) ...i(ip ) тоже. Получим (-1) i(1) ...i(ip ) X (1) . . . X (p) . По индексам i(1) . . . i(ip ) происходят суммирования от 1 до n, и их можно заменить на i1 , . . . , ip . Но тогда вто рое выражение совпадает с правой частью первого с точностью до знака (-1) .
дексы у

i

1

4.1

Операции симметрирования и альтернирования.

типа

Для любой формы

(p, 0)

пусть

всем перестановкам аргументов).

= Аналогично,
ym

S

1 p! Alt




1 p!

(среднее арифметическое значений



по

=



(-1)

.

Из самого определения операций S y m , Alt следует, что координаты (S y m )i1 ,...,ip = 1 i(1) ...i(ip ) среднее арифметическое координат с тем же, но переставленным всеми p! способами набором индексов. Аналогично, координаты Alt альтернированные средние арифметические координат

Замечание 5.

. (1 +2 )
S ym

Обе операции, очевидно, линейны:

= 1

S ym

для операции альтернирования. Это следует из линейности

+2 S ym , S ym = () и операции

S y m и аналогично .

Tеорема 12.
1. 2. 3.

Для любой

Al
t кососимметричная функции; t;

S

y m симметричная, а S ym

( )

= S

y m , но

( )

Alt

= (-1) Al

симметрична (кососимметрична)

S

ym

= (Alt =

).

Доказательство. Доказательство проведем для операции Alt. 1 1 1 0 0 1). Имеем Alt 0 = ( (-1) )0 = p! (-1) ( 0 ) = p! = 0 (-1) (-1) (-1) p! 1 (-1)0 p! (-1) = (-1)0 Alt . 1 1 1 0 0 2). (0 )Alt = (-1) (0 ) = p! (-1) (0 ) = p! =0 (-1) (-1) (-1) = p! 1 (-1)0 p! (-1) = (-1)0 Alt .
Импликация Докажем

=



в 3) следует из 1).



. Имеем



Alt

=

1 p!



(-1) =

1 p!



(-1) (-1) = .

Теорема доказана.

16


4.2
n
p+q

О пространствах кососимметрических тензоров.
. Для полилинейных функций на

Фиксируем Пусть Alt p? При



q A . Пространство p всех тензоров типа V имеем dimp = np . Alt Alt только кососимметричные функции тензоры, p p

AM

n

, пусть

V =V

(p, q )

имеет размерность

p . Какова размерность



p=0



При р = 1

Alt константы, и dim 0 Alt = V линейные 1

Alt = 1. 0 функции одного векторного аргумента, они удовлетворяют

определению косой симметрии пустым образом. Можно их считать и симметричными это не

dimAlt = n. 1 Alt Но уже 2 = 2 , а только часть (причем, как легко установить, Alt сумма). Разумеется, тем более p = p при остальных p.
имеет значения. Итак,

2 = S 2

ym



Alt прямая 2

Tеорема 13. dim

Alt n

= 1, dim

Alt p

=0

при

p > n. = (A)i1 , . . . , A)ip ). При p > n среди индексов i1 ,...,ip = 0, следовательно, = 0 . индексов, а без повторений i1 ,...,ip = +1,...,p . Таким
1

Доказательство. Обратимся к координатам
При

i

,...,ip

обязательно встретятся равные, и в силу косой симметрии

p=n

i1 ,...,i

p

нулевые при повторении

образом, имеется лишь одна существенная координата, чем и доказывается теорема. Вспомним, что

i

1

,...,i

p

координаты

в

p , но не в



Alt p,

. . . dx

ip

(т.е. для тензорного поля при переменной точке

A

i1 i1 ,...,ip i1 ). Но базис .

=

. . . ip = i1 ,...,ip dxi1 . . ip лежит вне Alt . p

Постараемся найти базисы в



Alt p . Для этого введем новую операцию.

4.3
Пусть

Операция внешнего умножения.
1 , . . . ,

Alt t кососимметричные функции, i pi . Операция 1 . . . t = (1 . . . t )Alt Alt дает функцию p , где p = p1 + . . . + pt . Она называется внешним произведением всех i , Alt (поскольку она определяется посредством операции внешней для p ).

Свойства операции :
1. Полилинейность (линейность по каждому множителю):

1 . . . (1 i1 + 2 i2 ) . . . t =

1 1 . . . i1 . . . t + 2 1 . . . i2 . . . t
2. Косая коммутативность. тогда

.

2 1 =

, где

четность равна четности

2 1 = (-1)pq 1 2 , где 1 Alt , 2 Alt . Пусть = 1 2 , p q перестановка последующих q аргументов перед первыми p, ее pq , и 2 1 = (2 1 )Alt = ( )Alt = (-1)pq Alt = (-1)pq 1 2 . (1 2 ) 3 =

3. Ассоциативность. Как известно из алгебры, ее достаточно доказать в форме

1 (2 3 ).

Лемма 4.
первым

p

Пусть (a1 , .., ap ap+1 , . . . , aN ) полилинейная функция и аргументам (при фиксировании остальных). Тогда Alt =

Alt .

ее альтернация по То же верно, если



альтернация



по последнему пакету аргументов.

Доказательство. В самом деле,

Alt = (

1 p!



(-1) )Alt =

1 p!



(-1) ( )Alt = 1, 2, . . . , p
).

1 p!



(-1) (-1)

Alt

= Al

t

(в этой выкладке

перестановки

= 1 2 3 , а = (1 2 )Alt 3 = (1 2 ) 3 . Тогда Alt = (1 2 ) 3 и по лемме Alt = Alt = 1 2 3 . Аналогично доказывается, что 1 (2 3 ) = 1 2 3 (с использованием второй половины леммы.
В нашем случае пусть

Следствие 3.

Если в выражении

i1 . . . ip = dxi1 . . . dx

ip

есть повторяющийся индекс, то

это выражение равно нулю. Однако, другой пример:

= dx1 dx2 + dx3 dx4 , = 2dx1 dx2 dx3 dx4 = 0.
Alt составляют p

(Отличие от нуля здесь вытекает из следующей теоремы).

Tеорема 14.

Базис в пространстве

ных наборов индексов i1 в этом базисе суть

i

1

...ip

< . . . < ip . Координаты = p!i1 ...ip .

i1 . . . ip = dxi1 . . . dxip для всевозможi i кососимметричного тензора = i1 ...ip 1 . . . p

17


Следствие 4. dim

Alt p

p = Cn

(напомню, что



Alt p

=0

лишь при

pn

).

Отметим, что индексы i1

,...,i

p должны быть различны в силу косой коммутативности, и по той

же причине их можно упорядочивать по возрастанию.

ров, полученных альтернированием базисных тензоров набором индексов. Каждая группа имеет вид

Доказательство. Ясно, что каждый кососиметрический тензор есть линейная комбинация тензоi1 ip i1 ip

ћћћ

, т.е.

dx ћ ћ ћ dx

.

В данной линейной комбинации кососимметрических тензоров сгруппируем члены с одинаковым

c (-1) (i1 ) ћ (ip ) , i1 < ћ ћ ћ < ip , c = i1 ...ip . 1 (i1 ) ћ ћ ћ (ip ) ) = p!c dxi1 ћ ћ ћ dxip Умножив и разделив на p!, получим p!c( (-1) p! Alt i1 (?)Если = Alt p , то = i1 ...ip dx ћ ћ ћ dxip = i1 ...ip (dxi1 ћ ћ ћ dxip )Alt = i1 ...ip dxi1 ћ ћ ћ dxip . В последнем выражении индексы различны (для ненулевых членов суммы). {i1 . . . ip },
но переставленных другим способом,

Сгруппируем слагаемые по наборам индексов, отличающимся лишь на перестановки. Тогда слагаемыx, содержащих один и тот же набор индексов будет

p !.

Меняя порядок индексов, мы не меняем знака слагаемого (поскольку кососимметрична

как операция

,

так и коэффициенты



i1 ...ip ), и, в конечном итоге,

i1 < . . . < ip

. Остается доказать линейную независимость тензоров

i1 ...ip dxi1 ћ ћ ћ dxip не все 1 i1 ...ip и k1 ...kp , полученные упорядочиванием индексов. Они равны 1 ...ip p! нулю при совпадении некоторых индексов и +i1 ...ip в зависимости от знака перестановки при i i упорядочивании индексов по возрастанию. Тогда = i1 ...ip dx 1 . . . . dx p ненулевой кососимметричный тензор (поскольку имеет отличные от нуля координаты). Но по предыдущему 0 = = p!i1 ...ip dxi1 ћ ћ ћ dxip = i1 ...ip dxi1 ћ ћ ћ dxip .
Предположим, что в сумме смотрим числа

= p!i1 ...ip dxi1 ћ ћ ћ dxip , dxi1 ћ ћ ћ dxip . коэффициенты i1 ...ip нулевые. Рас-

i

=

4.4
точке

Пространства дифференциальных форм p . Преобразование базисов и координат

(p, 0) на M n (как элементы Alt при переменной p A M n ) называются дифференциальными формами степени p. Их множество обозначаегся p (M ), или, для открытых U M , p (U ). Вместо символа будем использовать = i1 ...ip dxi1 . . . dxip , i1 < . . . < ip . Здесь функции i1 ...ip координаты (на карте U ) формы в базисе dxi1 . . . dxip для всех i1 < . . . . < ip в подпространствах p t в каждой точке A U . Al 1 i i Координаты в базисах dx 1 . . . dx p пространства p формы равны p! i1 ...ip = (A)i1 . . . ip ).
Кососимметричные тензорные поля валентности Предыдущая запись карте

V с координатами i1 < . . . < ip ).

= i1 ...ip dxi1 . . . dxip получена y 1 , . . . , y n запись изменится: = (a1 , . . . , ap )

на карте

j1 ...jp

U с координатами x1 . . . xn . На dy . . . dy jp (всегда j1 < . . . < jp ,
j
1

1 n (Xi . . . Xi )

(p, 0)), ai = A)1, . . . , A)n V (где V = VA , при A M n ). ij i1 i Сначала пусть p = n. Тогда (a1 , . . . , an ) = (A)i1 , . . . , A)in )X1 . . . Xnn . В этой сумме числа Xj взяты по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы из координат a1 , . . . , an (i = i при = в силу косой симметрии ), а коэффициенты (A)i1 , . . . , ip ) отличаются лишь знаком, как при вычислении определителя из координат a1 , . . . , an . Итак, (a1 , . . . , an ) = (A)1, . . . , A)n). Поскольку j1 ...jp = p! (ej . . . ej ) , j1 < . . . < jp , а при p = n имеем (j1 , . . . , jn ) = (1, . . . , n), 1 p i i1 n и координаты e1 , . . . , en составляют матрицу перехода J (матрицу Якоби для x = x (y , . . . , y ),
Начнем с примера. Пусть кососимметричная функция (тензор типа координаты берутся в некотором базисе получаем:

Следствие 5.

1...n

= |J |1,...,n ,

где

|J | = det J

.

Alt Далее, dim n = 1, в нем старый базис есть dx1 . . . dxn , а новый преобразуются наоборот по сравнению с координатами, поэтому имеем

dy 1 . . . dy

n

. Базисы

Следствие 6. dy 1 . . . dy n =

1 |J |

dx1 . . . dxn = |J| dx1 . . . dx

n

Alt n содержат по одному элементy, матрицей перехода к новому базису служит число |J |, а обратной матрицей |J| = det J. i ...ip Рассмотрим теперь любые p < n. В этом случае (a1 , . . . , ap ) = 1 (A)i1 , . . . , A)ip ), где i1 ...ip минор матрицы из n строк и p столбцов, составленной координатами a1 , . . . , ap , причем xi расположенный в строках i! < . . . < ip . В матрице J = { y j } пусть i номер строки, j номер столбца. Поскольку j1 ...jp = p ! (ej , . . . , ej ) (все выводы делаются при упорядоченных по
Заметим, что в силу одномерности базисы
1 p

возрастанию индексах!), то:

18


Следствие 7.
Здесь

j1 ...jp

= |Jj

i1 ...ip 1 ...jp

|i

1

...ip .

j

i1 ...ip | минор матрицы J , расположенный в строках i1 1 ...jp p . Так преобразуются координаты тензоров в . p

|Jj

< . . . < ip

и столбцах

j1 < . . . < j
1

|J

Остается найти преобразование базисных полей. (Mожно этого не делать, ибо обратно i1 ...ip j1 ...jp |. Отсюда вытекает и любопытное следствие приведенное ниже.) Имеем: y j1 y jp y j1 y jp dy j1 . . . dy jp = ( xa dx1 ) . . . ( xp dxp ) = x1 . . . xp dx1 . . . dxp . В этом выражении участвуют элементы матрицы из строк j1 < . . . < jp , индексы

...jp

=

t

пока

не упорядочены. Фиксируем для них набор подобных членов к базисному тензору

i1 < . . . < ip . Учитывая dxi1 . . . dxip , получим:
j ...jp ...ip

смены знака при собирании

Предложение 3. dy j1 . . . dy
J=J
к

-1

, стоящий в строках

1 = |J|i1 j1 < .., < jp и

i

p

dx

i1

. . . dxi

p

. Здесь

столбцах с номерами

1 p |J|i1 ...ip i1 < . . . < ip .

j ...j

минор матрицы

p p Cn Ч Cn ) от dxi1 . . . dxip p по какому-то правилу упорядочены) состоит из Alt миноров порядка p матрицы J, в то время как обратная к ней из таких же миноров матрицы J ! p2 (количество миноров (Cn ) ).
Квадратная матрица перехода (размера

dy i1 . . . dy

Любопытное следствие.
ip

(предполагаем, что базисы в



4.5
то

Об ориентации многообразий.
J
преобразования координат всегда невырождена. Скажем, что карты

Матрица Якоби

U

и

V

в

M

ориентированы одинаково, если в точках пересечения

|J | > 0. U

Если и

U V

связное множество,

|J |

не меняет знак, следовательно, сменив порядок координат в

столбцов в

J

), можно всегда добиться совпадения ориентаций

V V

, (чему ответит смена порядка (этого нельзя сделать, вообще

говоря, если

U V

не связно: пример лист Мебиуса).

Связное многообразие называется ориентируемым, если на нем существует ориентирующий ат-

лас атлас с одинаково ориентированными соседними картами. В противном случае многообразие
неориентируемо. Два ориентирующих атласа задают одну и ту же ориентацию, если их объединение образует ориентирующий атлас. (Несвязное многообразие ориентируемо, если ориентируема каждая компонента. Но в несвязном многообразии ориентации компонент не сравнимы, и поэтому говорят об ориентации только связных многообразий.) Например, сфера для

Sn

ориентируема (сли

n > 1,

на ней есть две карты со связным пересечением;

S

1

надо взять по крайней мере три карты). Лист Мебиуса (двумерное многообразие, если его

рассматривать без края) неориентируемое многообразие. Поверхность тора ориентируема. Неориентируемы проективная плоскость, бутылка Клейна и другие поверхности, содержащие в себе лист Мебиуса. Любопытное замечание. Если наше 3-мерное пространство не ориентируемо, то космонавт, совершив далекое путешествие, может вернуться зеркально отраженным, нам он покажется необычным, а ему наоборот мы. Можно дать иное определение ориентируемости. Под перенесением базиса векторов вдоль кривой в

M

будем понимать непрерывное семейство базисов (касательных) векторов, определенных

в каждой точке кривой (т.е. базисов пространств

V

A для точек

A A

на кривой). Пусть

A

0и

A

1

две точки, соединяем их путями, и переносим базисы вдоль путей. Связное многообразие назовем

ориентируемым, если при всех перенесениях данного базиса из
во ориентированные базисы в

0в

A

1 (причем это для любых пар точек

A1 будем получать одинакоA0 , A1 M ). Равносильно,

многообразие ориентируемо, если при любых обнесениях базиса по замкнутым путям (петлям) в исходной точке будут получаться базисы той же ориентации. В противном случае многообразие назовем неориентируемым. Поскольку ориентацию обносимого базиса можно сравнивать с ориентациями карт, встречающихся по пути, то это определение ориентируемости многообразия совпадает с данным выше в терминах атласа.

Определение 4.

Если

M

ориентируемо, то его ориентацией называется выбор атласа из согласо-

ванных по ориентации карт (выбор ориентирующего атласа). На связном ориентации, либо ни одной (если Если

M

может быть либо две

M

не ориентируемо).

M

ориентировано выбором атласа, то некоторая карта

U

с координатами

(x1 , ..., xn )

на-

зывается положительно ориентированной (или положительной), если ее ориентация совпадает с ориентациями пересекающихся с ней карт атласа. В противном случае карта называется отрицательно ориентированной.

19


Tеорема 15.

n Многообразие M тогда и только тогда ориентируемо, когда существует дифференn циальная форма (M ), отличная от нуля в каждой точке A M (как тензор на VA ).

Доказательство. Если такая форма существует (она называется ориентирующей и также формой 1 n объема, см. дальше), то на любой связной карте U M она записывается как 1...n dx . . . . dx ,
причем функция которой

1...n

всюду отлична от нуля. Назовем карту положительной, если

1

...n

>0

. Если

это не так, сменим, например, порядок

x

1

и

x2

на карте

U

, получим (формально) новую картy, на

1...n = -1...n . (y , . . . , y n ) две такие
1
Наоборот, пусть

Итак, существует атлас из положительных карт. Пусть карты. Для них



1...n

>0

и



1...n

> 0,

следовательно,

(x1 , . . . , xn ) и |J | > 0. Таким

образом, все карты атласа одинаково ориентированы и дают ориентацию

M

.

M ориентируемо. Воспользуемся тем, что на M имеется некоторая риманова G = {gij }. Определим на M форму , задав ее на каждой карте формулой = det Gdx1 1 . . . dxn , где = 1, если карта (x . . . , xn ) положительно ориентирована, и = -1 в противном , det G dy 1 . . . dy n . Эти формы совпадают на пересечении: случае. На соседней карте = 1 n 1 n dy . . . dy = det J dx . . . dx , G = J t GJ , поэтому det G = | det J| det G, det J = (det J )-1 . Если = , оба детерминанта положительны и формы совпадают. Если = -, det J < 0, так что | det J | = - det J , и с учетом знаков и снова получим равенство. Итак, ориентирующая форма определена на всем многообразии, и везде отлична от нуля (поскольку det G > 0).
метрика

Замечание 6.

Для построения формы объема, не опирающегося на существование метрики,

можно воспользоваться существованием разбиения единицы (i ) для (локально конечного) атласа из положительно ориентированных карт Ui . Именно, в каждой карте Ui возьмем n-форму i dx1 . . . dxn . Сумма этих форм определена в каждой точке многообразия и положительна в каждой точке. (Если фиксировать карту для данной точки, то координата формы



в ней будет

i det J

i , где

det J

i определитель перехода от

i-ой

карты к данной в данной точке.)

4.6

Многообразия с краем и ориентация края ориентируемого многообразия
Хаусдорфово пространство

Определение 5.

M

со счетной базой называется

n-мерным

многооб-

разием с краем, если каждая точка M имеет окрестность гомеоморфную открытому подмножеству n замкнутого полупространства R+ . n Точки M делятся на внутренние (имеющие окрестности гомеоморфные R ) и Tочки края (с n окрестностями гомеоморфными R+ ).

Замечание 7.

теоремы Брауэра об инвариантности области: в подмножеству само открыто.

Точка не может быть одновременно точкой края и внутренней. Это следствие Rn подмножество гомеоморфное открытому

В гладком случае это следствие теоремы об обратном отображении.
Гладкая структура в

M

задается так же, как для многообразий без края: ориентирующим ат-

ласом (якобианы на пересечении карт положительны) или ориентациями касательных плоскостей непрерывно зависяшими от точки. Точки края образуют край

M

n

многообразия

M

n

. Край сам, очевидно, является гладким

(n - 1)-мерным

многообразием. Компактное многообразие без края называется замкнутым, а некомпактное связ-

Определение 6. Tеорема 16.
M

ное многообразие без края открытым.

Край ориентируемого многообразия ориентируем.

Доказательство. Покажем, что ориентация n n
(такая ориентация

M
n

может быть однозначно определена ориентацией

M

называется согласованной с ориентацией

M

n

). координаты

x2 , . . . , x n . n n Поскольку окрестность A в M диффеоморфна полупространствy, координаты x , . . . , x на M n 1 n n 1 продолжаются в M до координат x , . . . , x вокруг A так, что M отвечает условию x = 0. n 1 Сменой знака можно добиться, чтобы внутренним точкам M отвечало условие x < 0. Наконец, 1 n будем считать, что координаты x , . . . , x имеют положительную ориентацию в M (этого можно 2 добиться, например, сменой знака у x ).
Для доказательства берем точки

A M

, выбираем на

M

n

вокруг

A

n

2

20


Пусть

y1 , y2 , . . . , y

n

другая такая же карта вблизи

A

. Поскольку матрица Якоби

матрица перехода от базиса и координата вектора что

A)1, . . . , A)n

к

e1 , . . . , en

, а векторы

A)i

и

x J = { yj } ei , i 2, касаются M n

i

Ji1 = 0

при

e i2

1 по вектору A)1 положительна, то матрица J обладает тем свойством, и J11 > 0. Пусть Jn-1 подматрица, получаемая из J выбрасыванием

первого столбца и первой строки. Так как ориентацией

det J > 0,

то и

получен ориентирующий атлас. Возникшую ориентацию

det Jn-1 > 0. Это означает, что n на M и считаем согласованной

на

M

n

с данной

M

n

.

4.7

Внешнее дифференцирование.
d : 0 dx
i 1
, для

Известен оператор

f ( x)

0

:

df =

f xi

dxi

1

,

= df
f xi

градиентная ли-

нейная форма. Ее определение не зависит от системы координат:

=

dx = (

i

f xi xi xi

)dxi =

f xi

(

x xi

i

dxi ) =

f xi

получилась такая же запись этой формы в другой системе координат.

Tеорема 17.

Для любого

kn

существует и единственен оператор

d : k (M )

k+1

(M )

,

обладающий свойствами: 1. линейность: 2.

d(1 + 2 ) = d1 + d2 , d = d
, где

d(1 2 ) = d1 2 + (-1)p 1 d2 k=0
оператор совпадает с для любой функции и

1
1

p

,а

2

q

3. при 4.

d : 0
0

, т.е. с дифференциалами функций;

d(df ) = 0

f

.

5. при

UV

k (V ) d

ограничение

d

на

U

совпадает с образом

d

ограничения



на

U

.

Последнее свойство называется свойством локальности

d

.

Определение 7.
градиент тензора).

Оператор

называется внешним дифференцированием, а записаниый в коорди-

натной форме (см. ниже) иногда и кососимметричным градиентом формы



(альтернированный

Доказательство. Единственность достаточно установить на каждой карте (тогда на пересечениях
должны быть совпадения, и это для

d будет и глобально единственным). В силу 1) достаточно установить вида f dxi1 . . . dxik , а в силу 2) для f и dxi , но в силу 3) df дифференциал, а в i силу 4) d(dx ) = 0. Существование достаточно доказать на картаx, причем хотя бы в одной системе координат (на карте). Тогда в силу 5) дифференциал d будет существовать на пересечениях карт, причем в силу единственности один и тот же при ограничении с обеих карт. Следовательно, d n будет определен по всему M . i i i В силу 1) достаточно определить d для форм вида f dx 1 . . . dx k . Определим d(f dx 1 . . . ik ik i1 dx ) как d = df dx . . . dx . При этом 1) выполнено автоматически, а также 3) и 5). i i j j Проверим 2). Достаточно взять 1 = f dx 1 . . . dx p и 2 = g dx 1 . . . dx q (p + q = k , i1 < . . . < i1 ip j1 jq ip , j1 < . . . < jq ). Имеем d(1 2 ) = d((f dx . . . dx ) (g dx . . . dx ) = d(f g ) (dxi1 . . . dxip dxj1 ћ ћ ћ dxjq ) = (g df + f dg ) (dxi1 . . . dxip ) (dxj1 ћ ћ ћ dxjq ) = (df dxi1 . . . dxip ) (g dxj1 . . . dxjq ) + f dg dxi1 . . . dxip dxj1 . . . dxjq = d1 2 + (-1)p (f dxi1 . . . dxip ) (dg dxj1 . . . dxjq ) = d1 2 + (-1)p 1 d2 , что и требовалось. f i 2f i i j i j i Проверим 4). Имеем d = i dx , где i = f f xi , d(d ) = di dx = xj dx dx = xj xi dx dx , i i сумма по всем парам (i, j ). Если i = j , то слагаемое нуль, т.к. dx dx = 0. Если i = j , то 2f 2f 2f 2f j i i j xj xi dx dx = - xi xj dx dx , т.к. xj xi = xi xj , а dx dx = -dx dx .

4.8

Вид операции d в координатах.
i

Для произвольной формы

d = di dx =
для всех форм

1 (не обязательно dx dx , < , где =

дифференциала функции),

x

k . Пусть = j1 ...jk dxj1 . . . dx dx . . . dx = i1 ...ik+1 dxi1 . . . dxik+1 , i1 < . . . формы d ). Набор i1 < . . . < ik+1 появляется при приведении
j
1

jk

, запишем - x . Аналогичная формула имеет место j1 ...jk jk , j1 < . . . < jk . Имеем d = ( dxi ) xi < ik+1 (i1 ...ik+1 = (d )i1 ...ik+1 координаты подобных ровно

= i dxi

k+1

раз в каждой

21


из ситуаций: образом,

i = i , (j1 , . . . , jk ) = (i1 , . . . , i , . . . , i
k+1

k+1

)

(?крышка? означает пропуск индекса). Таким

(d )

i1 ...ik

+1

=

(-1)
=1

-1

i1

k+1 ,...,i ,i+1 ,...,ik xi
+1

и

d =

(-1)
=1

-1

i1

,...,i ,i+1 ,...,ik xi

+1

dxi1 ћ ћ ћ dxi

k+1

.

Выразим операцию

в базисе
Так

d в тензорных координатаx, т.е. выразим координаты Tj1 ...jk+1 формы d dxj1 . . . dxjk+1 в k+1 через координаты Tj1 ,...,jk = (A)j1 , . . . , A)jk ) тензора в k . -1 как j1 ...jk = k ! (A)j1 , . . . , A)jk ), то Tj1 ...jk = (k !) j1 ...jk , аналогично Tj1 ...jk+1 = (k +
,...,jk
+1

1)!(d )j T

. =1 В таком виде формула известна как кососимметричный градиент кососимметричного поля
1 1

. Поэтому

Tj

...jk

+1

=

1 k+1

k+1

(-1)

-1

Ti

1 ...i ...ik+1 xi

k . Градиент кососимметричное тензорное поле типа

(k + 1, 0).

Тензор

T

называется так-

же альтернированным градиентом кососимметричного

T

. Поскольку важно только, что

d2 T = 0,

1 множитель k+1 в классическом анализе часто отсутствует.

4.9
В

Сопоставление с операциями над векторными полями в R3
3
мы имеем три операции:

R

0

0 -d - g r ad



d 1- r ot

В классическом анализе, механике и физике в

2 R3

d - div

3 0.

обычно, используя прямоугольные координаты,

рассматривают в них векторные поля и операции над ними, связанные с дифференциалами форм: 1.

d : 0

1

,

f

поскольку матрица Якоби ортогональна, векторы, так что 2.

df = fx dx + fy dy + fz dz . Возникает векторное поле g rad f = (fx , fy , fz ): C -1 = C t , то ковекторы преобразуются так же, как функцией f однозначно определено векторное поле g r ad f .
,

0

вводят векторные поля

= Adx + B dy + C dz , d = P dy dz + w = (A, B , C ) и также w = ( j правилу ij = - xi имеем P = C - B , Q = A j xi y z z формально векторное произведение ( , y , z ) и (A, x
, поля

d : 1

2

Qdz dx + Rdx dy . При такой записи P, Q, R). Как выразится w через w? По - C , R = B - A . Т.е. w = rot w есть x x y B , C ). Из d2 = 0 вытекает: rot g rad = 0.
векторного

3.

d : 2 3 , = P dy dz + Qdz dx + Rdx dy , d = (Px + Qy + Rz )dx dy dz . Для w = (P, Q, R) имеем Px + Qy + Rz = div w. Из d2 = 0 вытекает: div rot = 0.

4.10

Когомологии де Рама.
M
n
имеем

0- 0 - 1 - . . . - n - 0. Форма называется замкнутой, p если d = 0, т.е. лежит в ядре дифференциала d. Замкнутые формы в (M ) образуют подпроp p p -1 странство Z (M ). Форма называется точной, если = d , где , т.е. лежит p в образе d. Векторное подпространство в , образованное всеми точными формами, обозначаем B p (M ). Из d2 = 0 следует, что всегда B p (M ) Z p (M ). Фактор-пространство Z p (M )/B p (M ) обознаp чается H (M ) и называется группой p-мерных когомологий многообразия M или p-мерной группой p де Рама. H (M ) вещественное векторное пространство.
Для многообразия Разумеется, в общем случае не всякая замкнутая форма является точной, так что, вообще говоря,

d

d

d

d

H p (M ) = 0.

ненулевых 2-форм.) Пусть

M = S 1 , напримeр, любая форма степени 1 замкнута. (Ввиду отссутствия ориентирующая форма для S 1 . Тогда = df ни для какой функции f 0 (S 1 ). В самом деле, f = f (), где угол точки на S 1 от оси O, и df = f d. Но f обращается в нуль в точках минимума и максимума f , форма же не обращается в нуль ни в 1 1 1 одной точке S . Итак, H (S ) = 0. n 0 0 0 Если M связно, то H (M ) = R. В самом деле, H (M ) = Z (M ) пространство замкнутых 0-форм, т.е. функций, для которых df = 0. Hо df = 0 только для f = const. Задача. H 0 (M ) = R прямое произведение R в числе компонент связности многообразия M .
В случае

Tеорема 18.
гиями
p

(де Рама )(без доказательства) Когомологии де Рама

H p (M )

совпадают с когомоло-

H (M , R),

определяемыми в топологии. Они зависят только от топологичеекого строения

M

ностях (см. дальше)). В частности, для компактных многообразий всегда

(т.е. инварианты при гомеоморфизмах многообразий и даже при гомотопических эквивалентdimH p (M ) < )
Ниже будет показано, что для компактного ориентируемого многообразия

H n (M n ) = 0

(в каче-

стве одного из следствий общей формулы Стокса).

22


4.11

Действие гладкого отображения многообразий
: Nn M
m
гладкое отображение,

на дифференциальные формы и когомологии.
d : V N V M соответствующее отображение A N и B = (A) M оно линейно отображает VA в VB . Если (x1 . . . , xn ) карта вблизи A, (y 1 , . . . , y n ) карта вблизи B , то d описывается yi i j равенством dy = xj dx . Имеется двойственное отображение = (d ) : VB VA для каждой пары точек A B = (A). Из этого вытекает:
Пусть касательных векторов. Для каждой пары точек

Tеорема 19.
форм

. Отображение



: 1 (M ) 1 (N ). U M.

В частности,

индуцирует линейное отображение линейных дифференциальных 1 (U ) 1 ( -1 (U )) для любого открытого множества

Доказательство. Остается найти вид в координатах. Для этого напомним, что для VB и a VA по определению < ( ), a >=< , d (a) > (или (d (a))) Пусть ( ) = = i dxi и j = i dy i , a = (dx1 , . . . , dxn ) и d (a) = (dy 1 , . . . , dy n ), где dy i = y i dxj . Таким образом < , a >= x yi yi yi j dxj =< , d (a) >= i dy i = i xj dxj = (i xj )dxj или i = xj j , это и есть искомое описание в yi t координатах. Заметим, что матрица этого отображения есть { xj } (транспонированная, поскольку суммирование идет по верхнему индексy, в отличие от d : VA VB ).

Следствие 8. Замечание 8.
функции

Образом формы

= i dy i = i (B )dy
i

i

служит
yi xj

(i (B )

y x

i j

)dxj = j (A)dxj

, где

AB

всевозможные пары, и произведена замена

dy =

dx
0

j

дифференциалов. кций. Каждой

f

Определено также отображение на M ставится в соответствие (f

: (M ) 0 (N ) гладких фун ) по правилу (f )(A) = f ( (A)).

Возникает вопрос как для всех других дифференциальных форм. Для этого начнем вообще с

(p, 0). Если = (a1 , . . . , an ) полилинейная функция на VB , то определена функция () на VA : ()(a1 , . . . , an ) = (d (a1 ), . . . , d (an )). Таким образом, возникает отображение : p (M ) p (N ) тензорных полей. Оно линейно: (1 + 2 ) = (1 ) + (2 ), () = () это очевидно из определения. Очевидно также, что симметричной или кососимметричной отвечает такая же (). Тем самым определено отображение дифференциальных форм : p (M ) p (N ). Остается дать описание в координатах.
тензоров типа

Tеорема 20.

Для формы y i1 = i1 ...ip ( (A)) ( xj1 dxj1 ) . . . так что окончательный вид суммированиях). Далее, d ( )

= i

y ( xjp dx ) (здесь j1 , . . . , jp пока не упорядочены по ( ) получится после перестановок и приведения

1 ip

...ip (B jp

) dy

i

1

. . . dy

i

p

форма

( )

имеет вид

( ) =

возрастанию, подобных при

= (d ). 0) (включая (0, 0)). Из ) , т.е. отображение то (S y m ) = ()S y m ,
y x
i j

Доказательство. Начнем опять с произвольных тензорных полей типа (p, 1 2 определения очевидно, что ( ) = (1 ) (2 ), ( ) = (

перестановочно с и с перестановками аргументов. Так как оно линейно, (Alt ) = ()Alt . Отсюда вытекает первое утверждение теоремы. Проверим второе. i ...i i ...i (d ) = (d(i1 ...ip dy i1 . . .dy ip )) = ( 1yi p (B ) dy i dy i1 . . .dy ip ) = 1yi p ( (A))(

dxj )

( (



y x y x

i1 j1 i1 j1

dxj1 ) . . . ( dx 1 ) . . . (
y x
ik jk

j

y xjp y ip xjp

ip

dxjp ) =
j



i1 ...ip ( xj

(x))

(A) dxj (

y x

i1 j1

dxj1 ) . . . (

y xjp

ip

dxjp ) = d(i
.

1

...ip

( (A)))

dx p ) = d( ( ))



. В конце выкладки мы воспользовались тем, что

d(dy ik ) =

0 = d(

dxjk )

и правилом дифференцирования

d(1 2 ) = d1 2 + (-1)p 1 d2

Следствие 9.
также



переводит замкнутые формы в замкнутые, а точные в точные.

Доказательство. Действительно, если

d = 0

, то

d( ( )) = (d ) = (0) = 0,

а при

= d

( ) = (d ) = d ( )

.

Следствие 10.

Возникают отображения когомологий де Рама

: H p (M ) H p (N )

.

Доказательство. В самом деле, если p
отбражение факторпространств Если

Z p (M ) Z p (N ) H (M ) H p (N )

и

B p (M ) B p (N ),
всех где

то определено линейное

диффеоморфизм, то изоморфизмы (для то ( ) = , посколькy, если имеем VA VB VC , VB VC из линейной алгебры знаем, что ( ) = (и

23

p). Если дано также : M m Ll , C = (B ) = ( (A)), то для VA

это очевидно).


4.12

Свойство гомотопии для когомологий де Рама.

Отображения ражение

0 , 1 : N n M m называются гомотопными ( 0 1 ), если имеется гладкое отобF : N n Ч I M m , где I = (-, 1 + ) интервал чуть больше единичного [0, 1], такое, что 0 = F i0 , 1 = F i1 (для A M i0 (A) = (A, 0) N n Ч I и i1 (A) = (A, 1) N n Ч I ). Иными словами, 0 (A) = F (A, 0) и 1 (A) = F (A, 1). Гомотопия 0 1 означает, в частности, наличие семейства t : N n M m гладких отбражений, гладко зависящих от t (-, 1 + ), постепенно изменяющего 0 , превращая его в 1 .

Tеорема 21.
(для всех

Для гомотопных отображений

0 , 1 : N n M

m

всегда

0 = 1 : H p (M ) H p (N )

p

).

Доказательство. Рассмотрим сперва устройство форм на
карты вида

N ЧI

. Условимся рассматривать только

U Ч I , где U карта в N. Таким (x1 , . . . , xn , t) и (x1 , . . . , xn , t), так что функции

образом, координаты на разных картах имеют вид перехода имеют вид

xi = xi (x1 , . . . , xn ), i n ? ?

и

t=t

,

а вид матрицы Якоби такой

J 0
здесь

0 1

, n
нулей.

J

означает

nЧn

-матрицy, а нули столбец и строку из

Лемма 5.

Всякая форма степени p на При этом i0 ( ) = i0 (1 ), i1 ( ) = i (1 )
Здесь i0

N ЧI

имеет вид

= 1 +2 dt,
и

однозначно определяемый.

, i1

любые гладкие отображения

N N Ч0 N ЧI

N N Ч1 N ЧI

(определенные

выше вложения являются частным случаем).

Доказательство. Доказательство сводится к группировке членов формы
натах карты, на содержащие и не содержащие выше не зависит от

, записанной в коорди-

dt.

Это разбиение совместимо с переходом к другим

координатам (рассматриваемого типа !), поскольку

x

i

преобразуются отдельно от

t

(и матрица

J

t !). Коэффициенты 1 , конечно, (гладко) от параметра t. То же

1 это форма на N , зависящая 2 . Второе утверждение следует из того, что i0 (1 + 2 dt) = i0 (1 ) + i0 (2 dt) = i0 (1 ) + 1 n 1 n n+1 i i1 n i0 (2 ) i0 (dt), но i0 (dt) = 0 ибо i0 (x , . . . , x ) = (y , . . . , y , y ), где y = y (x , . . . , x ) при i n и y n+1 = t = 0 = const.
зависят от . Можно считать, что самое справедливо относительно

t

Лемма 6.

1 Для формы 1 , многообразия N , зависящей от параметра t, определена форма 0 1 dt. 1 1 n При этом 0 (dN 1 )dt = dN ( 0 1 dt). Здесь dN - внешнее дифференцирование в N (но не в объемлющем многообразии N Ч I ).

i i Доказательство. Запишем 1 в координатах на карте: 1 = 1 i1 ...ip dx 1 . . . dx p и определим 1 1 dt как 0 1 i1 ...ip dt dxi1 . . . dxip . На пересечениях карт это определение дает одну и ту же 01 j1 ...jp j1 ...jp форму: в других координатах 1 i ...i = Ji ...i 1 j1 ...jp , где Ji ...i миноры матрицы J выше, не 1 p 1 p 1 p 1 i i зависящей от t. Миноры выносятся за знак интеграла и мы имеем: dt dx 1 . . . dx p = 0 1 i1 ...ip 1 1 j ...j i i Ji11...ipp 0 1 j1 ...jp dx 1 . . . dx p = 0 1 j1 ...jp dxi1 . . . dxip . 1 1 1 i1 ...ip dt dxi dxi1 . . . dxip , а Далее, (dN 1 )dt = 0 xi 0 1 1 1 i dN 0 1 dt = d dt dxi1 . . . dxip = dxi1 . . . dxip . xi ( 0 i1 ...ip dt)dx 0 i1 ...ip
Это выражение совпадает с первым, поскольку в наших условиях допустимо внесение производной под интеграл.

Следствие 11.
форма на

1 0

1 dt

замкнута или точна, если такова форма

1

.


Доказательство. Это очевидно, если

1

, замкнута (относительно

N

степени

p - 1,

зависящая от параметра

t

, то

1 0

dN ). Если 1 = dN 1 , где 1 1 1 1 dt = 0 (dN 1 )dt = dN ( 0 1 dt).
, где

Лемма 7.

Если n форма на N .
В лемме



замкнутая форма на

Nn Ч I

, то i1

( ) - i ( ) = d 0



некоторая

p-1

p > 0.

При

p=0

форма



функция

f

, из

df = 0

следует, что

f = const

и утверждение

очевидно.

24


Доказательство. Используем то, что

(значения 1 при t = 1 и i1 ...ip d1 (как и в случае интеграла по t, это dt обозначена форма с координатами на каждой карте t определение совместимо с переходом к координатам других карт). Ясно, что dN 1 = 0 (ибо этим i i членам не с чем сократиться при разложении по базису dx 1 . . . dx p dt в многообразии N Ч I ). p d1 Следовательно, (-1) dt + dN 2 = 0 (при приведении подобных окончательные коэффициенты при i i базисных формах dx 1 . . . dx p dt обратятся в нуль, так что соотношения между ними будут d1 p -1 верны и без dt), поэтому dN 2 . Проинтегрируем это равенство по t от 0 до 1, получим dt = (-1) 1 p -1 1 1 (1) - 1 (0) = (-1) (dN 2 )dt = dN ((-1)p-1 0 2 dt). Лемма доказана. 0

1 (1) - 1 (0)

= 1 + 2 dt, так что i ( ) - i ( ) = i (1 ) - i (1 ) = 1 0 1 0 t = 0). Далее 0 = d = (dN 1 + (-1)p d1 dt) + dN 2 dt. Через dt

Доказательство теоремы. Имеем 0 = (F i0 ) = i0 F , 1 = i1 F , и достаточно убедиться, что p m p для когомологий i1 = i0 . Пусть q произвольный элемент H (M ) и h = F q . Для (N Ч I ), p p n определяющей элемент h H (N Ч I ), i1 ( ) - i0 ( ) принадлежит B (N ) в силу лемм 5 и 7.

4.13

Гомотопическая инвариантность когомологий. Теорема Пуанкаре.
M
m
и

N n считаются гомотопически эквивалентными (гладко), если найдутся гладкие отображения : N M и : M N , композиции которых : N N и : M M гомотопны тождественным отображениям соответствующих многообразий. Сами отображения и называются (взаимно обратными) гомотопическими эквивалентностями между M m и N n . СлеМногообразия дующий результат гомотопическая инвариантность когомологий.

Tеорема 22.
H (N )
p

и

и взаимно обратные гомотопические эквивален : H (N ) H p (M ) взаимно обратные изоморфизмы.


Если p

тности, то

: H p (M )

Доказательство. Поскольку p p

гомотопно тождественному диффеоморфизму N N , то ( ) = =: H (N ) H (M ) H p (N ) тождественный изоморфизм. Следовательно, монор физм, а - эпиморфизм. Точно также из ( ) = заключаем, что мономоорфизм, а
эпиморфизм. Примеры гомотопических эквивалентностей: куб и точка, цилиндр и окружность, лист Мебиуса и окружность, полноторие (бублик) и окружность (и т. д.).

Следствие 12.

(теорема Пуанкаре).

H p ( Rn ) = 0 R
n

при

p>0

(заметим,

H 0 ( Rn ) = R

как для

связного многообразия).

Dn n внутренность единичного шара, D диффеоморфна R , H (R ) = H (D ). Строим F : D ЧI D по формуле F (A, t) = tA, где tA конец вектора tO A . Оно определено при всех t, гладкое. Но F (A, 1) тождественное отображение, а F (A, 0) отображение в точку 0. Пусть i : 0 Dn вложение. Тогда F (A, 0)i : 0 0 тождественное отображение точки, а iF (A, 0), отображение Dn 0 Dn , гомотопно тождественному отображению Dn . Итак, Dn и точка 0 гомотопически
Доказательство. Достаточно показать, что n
гомотопически эквивалентно точке. Пусть

n

p

n

p

n

n

эквивалентны.

Следствие 13. H p (U ) = 0 Следствие 14.
точки

при

p>0

для любой области, диффеоморфной

R

n

.

Любая замкнутая форма



p

AM

(поскольку имеются окрестности точек в что 3

точна в достаточно малой окрестности любой M диффеоморфные Rn или Dn ).

Знаем, что

Следствие 15. Мы знаем, div rot = 0. Но

в

D

rot grad = 0. из div w = 0

Но в

D

3

из

следует, что

rot v = 0 следует v = grad f w = rot v .

.

4.14

Интегрирование дифференциальных форм.
n
-мерных форм на

Начнем с

M

n

. В классическом анализе рассматривается интерирование функции

по области. При замене переменных функция не меняется, а произведение дифференциалов меняется с умножением на якобиан преобразования. Мы хотим определить интеграл от

n

-формы по

n

-

области, т.е. сопоставление такой паре числа, линейное по форме и аддитивное по области. Но здесь при замене переменных меняется все подинтегральное выражение с умножением на якобиан. Выражение в



i1 ...ip

= det J 1...n

все же напоминает закон преобразования подинтегрального выражения

n

-кратном интеграле при замене переменныx, где однако вместо

det J

берется модуль

| det J |

). На

25


первый взгляд можно было бы определить интеграл от формы мыканием как для
... D

1...n (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn

D



по области

. При координатной замене
... D

D с компактным заx1 = y 2 , x2 = y 1 , xi = y i
n
.

i>2

написанный выше интеграл будет отличаться знаком от

1...n (y 1 , . . . , y n ) dy 1 . . . dy { x1 , . . . , x n }
через

Чтобы избежать противоречий, интеграл определяют по-другому. Прежде всего, многообразие предполагается ориентируемым и на нем выбирается ориентация. Для карты обозначим

x

1

или

-1

в зависимости от того, положительна или отрицательна карта.

Определение 8.
бора координат:

D

=
j

D



1...n

(x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn =

x

... D

1...n (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn

Здесь пока считается, что область


i

y



y

)-1 1...n ). Но легко видеть, что x = y (sig n det J ) = y (sig n det J). D компактна, но не содержится в одной карте. Тогда D разбиваем на куски: D = i Di и определяем D = . Здесь Di Dj = , Di имеют открытую внутренность, Di замыкания их компактны, каждая Di содержится внутри карты (индекс i принимает конечное
(ибо

...n = (det J Пусть область

... D

1...n (..y (. . . x . . .) det J (sig n det J) dx . . . dx = y (sig n det J)
1 n

... D

1...n

D расположена в (y 1 , . . . , y n ) dy 1 . . . dy n = y

одной карте. Определение не зависит от вы... D

1...n (. . . y i (. . . xj . . .) . . .)| det J| dx1 . . . dxn =
... D

1

...n

(x1 . . . xn ) dx1 . . . dxn

1

число значений). Независимость

D = j Dj

D



от разбиения доказывается стандартно, как в математическом анлизе: если

другое разбиение, то

D = ij Dij

, где

Dij = Di Dj

и интеграл через третье разбиение

совпадает с теми, что дают первые два (свойство аддитивности интеграла).

4.15

Интегрирование форм степени p < n.
p интегрируют (M ) на N M .
p
по многообразиям

Естественно, что формы степени уметь ограничивать формы Вложение

N

p

M

n

. Для этого надо

Процесс ограничения не следует считать новым.

: N M , рассматривавшегося i : k (M ) k (N ) (и отображения когомолоk k гий H (M ) H (N ), которые, естественно, автоматически окажутся нулевыми при k > dim N , поскольку на N нет ненулевых кососимметричных тензоров степени больше dim N ). Мы должны уметь описывать i для конкретных форм. j j 1 q На картах отображение i описывается как x = x (u , . . . , u ), q = dim N , причем векторы e = xn x1 ( u , . . . , u ) (касательные к подмногообразию) линейно независимы. Расположим их столбцами, и получим матрицу I , описывающую дифференциал d i гладкого отображения (вложения) i.
частный случай гладкого отображения выше. Таким образом, определены отображения

i:NM

p (M ), = i1 ...ip dxi1 . . . dxip . При ограничении на N получится xi1 xip 1 p вычисляемая по правилу: i ( ) = i1 ...ip (A)( u1 du ) . . . ( up du ), где A N .
Пусть Индексы

форма

i ( )

p пока не упорядочены по возрастанию. Но после такого упорядочивания и i1 ...ip i1 ...ip приведения подобных получим i ( ) = i1 ...ip (A)I1 ...p du 1 . . . du p . Здесь I1 ...p минор
матрицы

1 , . . . ,

I

, расположенный в строках

В частности, если

q = p = dim N i). p

, получим

i1 < . . . < ip и столбцах 1 < . . . < p . i ...i i ( ) = i1 ...ip (A)I11 p du1 . . . dup ...p NM

. Аналогичные

рассуждения и выводы формул справедливы, очевидно, для любого гладкого отображения

:N N

M

(а не только вложения Итак, формы



степени

интегрируют по подмногообразиям

. Подмногообразия

предполагаются ориентируемыми, области чивают на

D

имеющими компактные замыкания. Форму



ограни-

N

, теория же интегрирования не отличается от описанной в случае

p=n

.

4.16 Сопоставление интегрирования функций по мере и интегрирования форм на римановых многообразиях.
Из предыдущего ясно, что достаточно рассматривать случай выше интеграл от формы

p=n

. Отметим, что определенный

AM в ...

на многообразии

f (A), D M : интеграл . . . f (A) dx1 . . . dxn после замены переменных превращается f (A)| det J | dy 1 . . . dy n = . . . f (A) dy 1 . . . dy n . Интеграл от функции зависит от выбора
ни в коей мере не является интегралом от некоторой функции



карты, а интеграл от формы не зависит. Для того, чтобы определить интеграл от функции, необходимо иметь на многообразии меру меру

n-мерного объема (интеграл f (Ai )Vi , где Vi объем малых

от

f = f (A)

определяется как предел интегральных сумм

областей, предел берется при измельчении этих разбиений).

26


На римановом многообразии мерой объема служит форма объема, равная




x

det G dx1 . . . dxn

(знак в зависимости от ориентации карты), объем на малом криволинейном кубике примерно



равен

det Gx1 . . . x

n

(

det G

берется в точке этого кубика).

Tеорема 23.

от дифференциальной формы

f = f (A) по мере, задаваемой формой объема, это интеграл det G f dx1 . . . n , определенной так на положительных dx картах. То есть, на положительных картах 1...n = det G f На отрицательных картах для 1...n берется то же выражение со знаком минус: 1...n = - det G f .
Интеграл от функции

=

Доказательство. Доказательство очевидно (такое же, как при проверке корректности определе 1 n
ния формы объема, сделанной выше,

+ det G dx . . . dx ). Для функции f берется форма = x f det G dx1 . . . dxn , = x . . . 1...n dx1 . . . dxn = x . . . x f det G dx1 . . . dxn = . . . f det G dx1 . . . dxn интеграл от функции по мере.
Смысл интеграла от функции:

точке графика или масса

f (A) означает либо плотность (заряда, вещества), либо высоту в (n + 1)-мерном пространстве, det G dx1 . . . dxn , элемент объема, либо заряд вещества в данном объеме, либо (n + 1)-мерный объем под графиком функции f . f
в

функция

D

произвольная n-форма на римановом многообразии. Тогда определена 1...n 1...n f (A) = det G на положительных картаx, или - det G на отрицательных. Ясно, что = ... f (A)dV , однако мы должны убедиться, что определение не зависит от выбора карты,
Наоборот, пусть
D

т.е. что

f

функция точек

AM

, а не формула от

Но в координатах

y ... y

1

n

получим 1...n det G

=

det J 1...n det(J t GJ )

x1 . . . xn (меняющаяся при смене 1...n = + det G (в случае det J > 0

координат). знак

+

, при

det J < 0

знак

-,

и выбор знака согласуется с данным выше определением).

4.17

Интегрирование в R3 .

Интегралы от функций по мере называются в классическом анализе обычными (или 1-го рода), а интегралы от дифференциальных форм интегралами 2-го рода. В трехмерном пространстве фигурируют два интеграла 2-го рода это интеграл по кривой от выражения Adx + B dy + C dz , где A, B , C функции от x, y , z и интеграл по поверхности от выражения P dxdz + Qdz dy + Rdxdy , где P, Q, R аналогичные функции. В прямоугольных координатах вводятся векторы v = (A, B , C ) и w = (P, Q, R) (векторные поля). В первом случае Adx + B dy + C dz = = 1 dx + 2 dy + 3 dz , при ограничении на 1-мерное dy dz dx подмногообразие (кривую x(t), y (t), z (t)) получаем i ( ) = (1 dt + 2 dt + 3 dt )dt = (v , r )dt = (v , e(t))ds элементарная работа по перемещению единицы массы или заряда по кривой (s длина). Во втором случае P = 23 , Q = 31 = -13 , R = 12 . Пусть поверхностъ задана как x = x(u1 , u2 ), y = y (u1 , u2 ), z = z (u1 , u2 ), векторы e1 и e2 образуют матрицу:

I =

x u1 y u1 z u1

x u2 y u2 x u2



D область на поверхности, то i ( ) = (P I 23 + QI 31 + RI 12 ) du1 du2 = (w, [e1 , e2 ]) du1 du = (w, n)|[e1 , e2 ]| du1 du2 = (w, n)dS , где n единичный нормальный вектор к поверхности, dS элемент площади на ней. Итак, = (w, n)dS поток векторного поля w. Поле w может быть полем скоростей D D жидкости или газа, тогда интеграл количество, протекающее за секунду через область D .
Если

2

4.18

Формула Стокса.
d
. Пусть .

Эта формула касается связи операций интегрирования и внешнего дифференциала многообразие с ориентацией и

M

D

область в

M

с кусочно гладкой границей

D

(состоящей из

конечного числа гладких кусков подмногообразий). Ориентация

M

задает ориентацию

D

Лемма 8.

Граница

D

ориентируема.

Доказательство. См. теорема 16, стр. 20.

27


Пусть

N

подмногообразие в

M

размерности

p, i : N M

отображение вложения. Пусть

N

ориентируемо,

D

область в

N

с компактным замыканием и кусочно гладкой границей, и пусть



p -1

(M ).
(Tеорема Стокса )

Tеорема 24
d

.

D

=

D

d

.

(или от i ( ) и i (d ). Поскольку i d = d i (это было показано для любых отображений то i (d ) = d(i ( )). Обозначив i ( ) через , видим, что теорему достаточно доказать для случая p = n. Перед доказательством рассмотрим важные следствия. В качестве D может быть взято все многообразие M , если оно компактно и при этом M пустое множество.
В теореме ориентация считается согласованной с . Ясно, что под интегралами от ) понимаются интегралы от ограничений

D

D

и d , то : N M ),

есть

Следствие 16.

n-1

Если

M

компактно, ориентируемо и без края, то

M

d = 0

для любой формы

(M ). M
для форм

То же самое верно и для некомпактного



, имеющих компактные носители (т.е.



обращается в нуль вне некоторого компактного множества).

Следствие 17.
торой

Для замкнутого ориентируемого многообразия

H n (M ) = 0. n (M ),
для ко-

Доказательство. Для доказательства достаточно указать какую-либо форму
M

=0

(ибо согласно предыдущему следствию эта форма не будет точной). Но в качестве



может быть взята любая форма объема.

Задача.

На любом многообразии (не обязательно компактном) имеются

n

-формы с компактны-

ми носителями



, для которых

M

= 0.

D гладкое многообразие. OA M такую, что она содержится внутри некоторого i i координатного кубика, описываемого условиями |x - xA | < , i = 1, . . . , n. При этом для точек 1 1 A D считаем, что xA = 0 (и что x = 0 отвечает D, а для D имеем x1 < 0). Поскольку замыкание D компактно, из его покрытия {OA } выберем конечное O1 , . . . , OK (отвечающее точкам A1 , . . . , AK ), D Oi . Пусть {fi } разбиение единицы, подчиненное покрытию {Oi } объединения i Oi : fi = 1 на D (и даже немного за пределами D). Пусть i = fi . Тогда = i , причем каждая форма i сосредоточена внутри Oi . Формулу Стокса достаточно доказать для каждой формы i . В самом деле, тогда = D i = i D di = D d( i i ) = D d . D Итак, можно считать, что носитель содержится внутри некоторого координатного кубика. При сделанном выше подборе окрестностей OA можно считать, что либо кубик лежит внутри D 1 1 (не задевает D ), либо на нем точкам D отвечает условие x < 0 (а точкам D условие x = 0). В первом случае = 0. Заметим, что носитель d содержится в носителе (если = 0 вне D замкнутого множества, то там же, очевидно, и d = 0). Таким образом, d сосредоточена внутри куn i i 1 j -1 бика |x - x0 | < , i = 1, . . . , n. Внутри этого кубика = dxj +1 . . . dxn и d i=1 j dx . . . dx j 1 j n сумма (с точностью до знаков +1) форм вида xj dx . . . dx . . . dx . Интеграл от такой фор j j 1 n j мы имеет вид . . . xj dx . . . dx . Вычисляем его как . . . { - xj dx }dx1 . . . dxj -1 dxj +1 . . . dxn . j Но интеграл по x в фигурных скобках равен нулю (посколькy, как и , каждая j = 1...^...n равна j нулю на границах кубика). Итак, d = 0 в этом случае, как и D = 0. D i Рассмотрим второй случай. Носитель не задевает граней x = + кубика (и сосредоточен 1 i внутри него), но интегрировать придется по кубику - < x < 0, |x | < и по границе этого кубика. j 1 n Начнем с интеграла от d по этому кубику. Снова d сумма форм вида xj dx . . . dx . При j j > 1 n-кратный интеграл вычисляем сперва по оси x , получаем 0. Форма же отлична от нуля 1 1 n на единственной грани x = 0, но на ней слагаемое вида j dx . . . dxj . . . dx обращается 1 1 в нуль, поскольку на грани x = 0, dx = 0. Таким образом, i = 0 = D di , где i = j dx1 D
Доказательство теоремы. Проведем его сперва для случая, когда
У каждой точки

AD

выберем окрестность

. . . dxj . . . dxn . Остается рассмотреть 1 = 1 dx2 . . . dxn . Эта форма отлична от нуля лишь 1 1 на грани x = 0 и = . . . x1 =0 1 (0, x2 , . . . , xn )dx2 . . . dxn , D d1 = . . . 1 dx1 . . . dxn . x D i 1 Этот n-кратный интеграл вычислим сначала по x от - до 0, получим, очевидно, (n - 1)-кратный 2 n интеграл от 1 (0, x , . . . , x ). Итак, теорема доказана для гладкой границы D . Кратко о том, как рассуждать в общем случае. Пусть D часть D , где нарушена гладкость D. Множество D имеет меру нуль (и для (n - 1)-интегрирования по D, и для n-интегрирования в M ). При выборе покрытия {Oi }, как выше, i = 1, . . . , N , и соответствующих форм i для которых = i , пользуясь непрерывностью координат и d , следовательно, их ограниченностью, и тем,

28


что меры всех

D

равны нулю, добьемся, чтобы

D



меньше чем на



отличался от суммы интегралов



i , носители которых не задевают D

D

, и аналогично для

D



. Но для таких

i

формула

Стокса верна. Следовательно, совпадают.



сколь угодно мало отличается от

D

d

, т.е. эти интегралы

4.19

Замечания и примеры.

В частном случае, когда

n = 1 и p = 0, формула Стокса превращается в формулу Ньютона-Лейбница b b f = f (b) - f (a) = a df . Однако она не есть следствие формулы Стокса, поскольку она испольa зовалась при нашем доказательстве. 2 При n = 2 и p = 1 пусть D область в R , = Adx + B dy . Здесь частным случаем общей формулы Стокса является формула Грина: Adx + B dy = D ( B - A )dxdy . x y Далее пусть n = 3.
1. Пусть до

p = 0, f 0 (R3 ) (или на области B точки B . Тогда df = f (B ) - f (A). A
поверхность в

в

R

3

). Подмногообразие

В частности, интеграл

N это кривая от точки A от d не зависит от кривой, а f

лишь от концевых точек. 2.

p = 1, D
Стокса
потоком

R

3

с границей

D

гладкой (или кусочно гладкой) замкнутой

кривой. В классическом анализе известна формула

-

D

(v , e)ds =

D

(rot v,n) dS

(формула

rot v

циркуляция векторного поля

v = (A, B , C )
D

по замкнутому контуру совпадает с

через натянутую на контур поверхность, при этом любую). Но, как мы видели,

криволинейный интеграл есть не что иное как



, где

d = P dy dz + Qdz dx + Rdx dy , и w = rot v , а интеграл D d как раз и есть
выше. 3.

для векторного поля

= Adx + B dy + C dz , причем w = (P, Q, R) имеет место

двойной интеграл в формуле Стокса, приведенной

n = 3, p = 2, D

трехмерная область,

D

ее граница,

к поверхности. Известна формула Гаусса-Остроградского

D D (поток векторного поля через замкнутую поверхность совпадает с интегралом от его дивергенции в ограниченном поверхностью объеме). Но для векторного поля интеграл, как было показано, есть

n внешняя (w,n)dS =

нормаль (|

div w dxdy dz

n|=1)

w = (P, Q, R)

двумерный

d = div w dx dy dz

для формы = P dx dz + Qdz dy + Rdx dy , а D , так что указанная классическая формула частный случай общей

формулы Стокса (следствие).

29


5 Глава 5. Пространства аффинной связности. Дифференцирование векторных полей в R
n
.

v = (X , . . . , X ), X = X i (x1 , . . . , xn ). Через точку A dv i i проведем гладкую кривую r = r (t), что дает n функций x = x (t). Что такое dt ? Это предел v (t+t)-v (t) v 1 n = t . Здесь мы пользуемся аффинными координатами (x , . . . , x ), и операции с вектоt dv dX i Xi j Xi j 1 n i рами равносильны операциям с координатами, dt = (X , . . . , X ). Но X = dt = xj x = xj Y , v dv j 1 n где (Y , . . . , Y ) = r = w касательный вектор к кривой. Итак, dt = xj Y . Для функций сопоdf f j ставление dt = t Y уже было, и сейчас v для нас просто набор из n функций.
Пусть

v

гладкое векторное поле,

1

n

i

v j xj Y : Результат дифференцирования поля v вдоль кривой зависит не от самой кривой, а от ее касательного вектора скорости w = r . Следовательно, определена производная dv поля v по вектору w . dw 1 n Далее, можно считать, что w не одиночный вектор, а тоже векторное поле, w (x) = (Y , . . . , Y ), dv i i1 n Y = Y (x , . . . , x ). Чтобы подчеркнуть это, изменим обозначение: dw будем обозначать через w v производная поля v по векторному полю w :
Вывод из формулы

(

w

v )k =

X k j Y. xj w
.

()

Лемма 9. v
или

постоянно



w

v=0

для всех полей
w

Доказательство. Действительно, условие k

v=0

для всех полей

w

влечет

A)i

v = 0,

т.е.

Xk xi

=0

X = const.

Обратное очевидно.

5.1

Свойства операции
переходом. Оно гладкое, согласно формулам

1. Результат операции векторное поле (вытекает из определения производной с предельным

()

.

2. Для постоянных 3. 4.



1и

2

имеем

w

1

(1 v 1 + 2 v 2 ) =

1

w v1

+ 2

w v2 .

w
w

f=

df d.

w

(f v ) =

df dw

v+f

w

v

эта формула также есть следствие

()

.

Анализ выводов: 1. Использовалась аффинная структура Rn , именно параллельный перенос век1 тора v (t + t) в точку r(t), после чего имеет смысл t (v (t + t) - v (t)) = . . .. На произвольном гладком многообразии структура параллельного переноса не определена, поэтому нет операции. 2. При выводе () использованы аффинные координаты (координаты v (t + t) не меняются при параллельном переносе). Ниже будет найдено изменение () в криволинейных координатах. 3. Операция по формуле () не сохраняется при произвольных диффеоморфизмах (например, параллельное поле v может перейти в непараллельное).

5.2

Определение общей аффинной связности.
(M n , ) называется пара, в которой M
n

Пространством аффинной связности

гладкое многообразие с заданной на нем операцией над векторными полями, удовлетворяющей условиям 1)-4) выше. Операция с такими свойствами называется ковариантным n n дифференцированием. Пример пока один: M = R и конкретное дифференцирование, рассматриваемое в аффинных координатах. Наша цель установить наличие такой операции на римановых многообразиях, задаваемой в произвольных локальных координатах. Заметим, что задать можно на картах (например, задать стандартное дифференцирование в каждой карте, но такое задание не будет совпадать на пересечениях карт, ибо общие части карт только диффеоморфны друг другу).

30


Предполагая существование, найдем общий вид операции w v , удовлетворяющей условиям 1)-4) в координатах какой-то карты (в частности, получим при этом вид ( w v )k и для покоординатного дифференцирования в евклидовом пространстве в общих криволинейных координатах).

Пусть в координатной карте многообразия, т.е. в Rn , стандартные координаты обозначены xi , другие (криволинейные) координаты y i и ei (x) поля координатных векторов криволинейной системы. Пусть v = X k ek , w = Y j ej два векторных поля, (X i (x)) и (Y i (x)) их координаты в криволинейной системе. k k Имеем: w v = Y j ej X k ek = Y j ej X k ek = Y j ( Xj ek +X k ej ek ) = ( Xj ek +X i ( ej ei )k ek )Y j = y y k ( Xj + k X i )Y j ek (мы поменяли индекс суммирования и записали производную в коорij y динатах), или
(
w

v )k = (

X k + k X i )Y j ; ij yj

(

e

j

v )k =

X k + k X i ; ij yj

k = ( ij

e

j

ei )k .

()

Итак, () отличается от () новыми слагаемыми, содержащими k символы Криij стоффеля. Их определение: ej ei = k ek , или k = ( ej ei )k координаты производной ij ij одного векторного поля по другому. В случае k = 0 покоординатные -производные совпадают в y -карте с покоордиij натными обычными производными, т.е. ковариантное дифференцирование в этой карте совпадает с обычным покоординатным. Если это ковариантное дифференцирование также и в стандартных x-координатах k совпадает с покоординатным, то матрица Якоби xj постоянна и обе карты аффинно y эквивалентны. k xt Действительно, в x-карте et есть yq , а ( ej A)i)k = k = 0 есть в этом случае ei es , q ij xs j т.е.

xk yi xs

xs yj

=

2 xk yj y

i

=0 и

xk yi

постоянны.
и

Определение 9.
наоборот).

Аффиные связности

ществует диффеоморфизм

M

n

? M

(M n , )

и

? (M n , ? )

считаются эквивалентными, если сув

n

, сохраняющий операции (переводящий операцию

?

и

Предложение 4.

Связность

(M , )

тогда и только тогда эквивалентна евклидовой (локально!),

если хотя бы в одной системе координат символы Кристоффеля обращаются в нуль. Доказательство. В евклидовой связности (с покоординатным дифференцированием) A)i постоянk = 0. ij k Если в некоторой карте все ij = 0, то, как мы только что видели, ковариантное дифферен-

ны и

цирование совпадает в ней с покоординатным и координатный диффеоморфизм переводит данную связность в евклидову. Отметим, что это утверждение не дает эффективного способа ответить, когда связность для нас в будущем найти критерий для эффективного ответа на этот вопрос. Отметим, что

(M , )

эквивалентна евклидовой (ибо нельзя перебрать все криволинейные координаты). Одна из задач

{k } ij

это не тензор (ибо в случае

R

n

эти числа равны нулю в аффинных

координатах, но отличны от нуля в криволинейных). В заключение этого пункта вычислим символы 1 n ? а y ,...,y криволинейные координаты, e1 , . . . 1 r = ( xi , . . базис в y -координатах, то есть A)i = yi y

k для случая Rn . Пусть x1 , .., xn аффинные, ij ? , en аффинные базисные поля, а A)1, .., A)n n ? ? . , x i ) в базисе e1 , . . . , en . В аффинном базисе y
A)j

наша операция есть покоординатное дифференцирование:

A)i =

A)i A)j

=(

2 x1 yi y

j

,...,

2 xn yi y

j

)=

x ? y i y j e . Это ?старые? (аффинные) координаты вектора
мощью матрицы

2



J=J

-1

A)j

A)i

в самом базисе

={ A)1, . . . , A)n,

y }: x

k ij

=(

а не в

A)i) = ? ? e1 , . . . , en !).
A)j

A)j k

A)i,

через них выражаются ?новые? с поk

2 x y yi yj x

(учтем, что



k ij координаты

31


5.3
k

Симметричные связности
k ji

Для евклидова пространства

[v , w] + ( -

k ij

)X Y

i

j

.

k = ki ij j Для vw в

. Какова связь формуле

w

v

и

v

w

? Из

()

меняем индексы

() имеем: ( i j , j i.

v

w-

w

v )k =

Tеорема 25.

Для

в евклидовом пространстве всегда

v

w-

w

v = [v , w]

Доказательство. В декартовых координатах
в одной системе, то равны и в любой другой.



k ij

=0

, а равенство векторное: если векторы равны

Определение 10.
векторных полей

Связность .

называется симметричной, если

v

w-

w

v = [v , w]

для всех

v, w

Tеорема 26.
то, что

Связность

симметрична

k = ki ij j

.

Доказательство. Имликация k = [ ei ej ]k . Но e ij

следует из формулы выше. Докажем . Для этого используем ej ei = [ei , ej ] = 0, поскольку координатные поля e1 , .., en i ej =
ej ei

голономны.

Следствие 18.
полей.

симметрична тогда и только тогда, когда

=

ei ej для голономных

5.4

Дифференцирование и параллельный перенос векторов вдоль кривой
A(t) гладкая кривая в M n , w(t) = (x , . . . , xn ) всюду на ней отличны от
. Пусть

Всюду далее рассматриваем только симметричные связности правильно параметризованная: касательные векторы нуля. Пусть

1

v (t)

гладкое векторное поле, но определенное только в точках кривой. Операция

w

v

имеет смысл и в этой ситуации, что вытекает из такой леммы:

Лемма 10.

1 n Произвольное векторное поле v (x (t), . . . , x (t), заданное на кривой, локально продол1 n ~ жается до гладкого поля v (x , . . . , x ) в окрестности кривой.

Доказательство. В самом деле, поскольку 1 1 1

x1 x = x (t) обратима, t = t(x ) (локально). Следовательно, вместе с (x , . . . , 2 n 1 можно рассмотреть координаты (t, x , .., x ). Для точки B с координатами x 1 2 n 11 2 n n1 2 ~ v (B ) = v (x (t), x , . . . , x ) = (X (x (t), x (t), . . . , x (t)), . . . , X (x (t), x (t w(t) = 0,
можно считать, что

1

= 0. Но тогда функция xn ) в окрестности A(t) (t), x2 , . . . , xn полагаем: ), . . . , xn (t))).
w v.

Итак, продолжим оба поля

v (t), w(t)

на окрестность кривой и рассмотрим

Лемма 11.
жения

Векторное поле .

w v , рассмотренное на самой кривой, не зависит от способа продол-

v (t), w(t)

(X (t), . . . , X (t))

Доказательство. Действительно, 1 n 1
и Поскольку результат

( w v )k = ( w(t) = (Y (t), . . . , Y n (t)).

Xk xi

+ k )Y i = ij

dX k dt

+ k X j x ij

j

. Здесь

Y i = xi , v (t) =

обозначим его через

w v на кривой не зависит от продолжений полей на окрестности кривой, Dv Dv k dX k k i dxj . В координатах: ( dt dt ) = dt + ij X dt .

Свойства операции
2)

Dv dt : 0) результат гладкое по

t

векторное поле вдоль кривой;

v; D (f v ) = df v + f Dv . dt dt dt Доказательство прямо вытекает из выражения для
1) операция линейна по аргументу Еще одно важное (полезное)

(

Dv k dt ) .

Следствие 19. Если векторное поле в области Dv то определена производная dw в этой точке.

U

,а

w

одиночный вектор в точке

A0 U

,

Действительно, проводим через A0 кривую A(t) с касательным вектором w в A0 и определяем Dv Dv dX k dX k Xk i dw как dt . Результат в точке A0 не зависит от кривой, а только от w ибо dt = dw = X i Y , i dx 1 n i (w = (Y , . . . , Y ) ) и dt = Y . n Параллельность векторов v в R = постоянство координат в аффинных систе-

Напоминание:
R
n w

мах координат (мы рассматриваем параллельные системы векторов одинаковой длины!). Но как быть в , если координаты криволинейны? В этом случае критерием параллельности поля

v

яв-

ляется условие

v=0

для всех полей

w

, или

Dv dt для полей

v

вдоль кривых.

32


Dv если dt области.

Определение 11.
=0
. Поле

Поле

v = v (t)

называется параллельным вдоль кривой в пространстве

v

параллельно в некоторой области, если

w

v=0

для всех полей

(M n , ), w в этой

Выражением параллельности вдоль кривой в координатах служит условие для всех заменах Если вектора

k = 1, . . . , n t = t( ), так что определение зависит от самой кривой, векторы v (t) параллельны вдоль кривой, говорят, что v 0 = v 0 (t) в остальные точки.
В

dX k k i dxj dt + ij X dt = 0 . Заметим, что это условие сохраняется при смене параметризации кривой (при
но не от способа параметризации. это есть параллельное перенесение

Замечание 9.
векторов.

R

n

мы определили операцию

, пользуясь наличием параллельных переносов. Те, определили понятие параллельного переноса

перь же, наоборот, пользуясь наличием операции

Tеорема 27.

Для любого вектора v0 в точке A0 параллельных векторов, для которого v (t0 ) = v0 .
Рассмотрим карту координаты это система из

= A(t0 )

существует и единственно поле

v (t)

(x1 (t), . . . , xn (t)) вокруг A0 . Пусть (X 1 (t), . . . , X n (t)) неизвестные функции dX k k i dxj искомого поля v (t). Они должны удовлетворять уравнениям dt + ij X dt = 0. Но n однородных уравнений, коэффициенты в которой известные функции от t. По
i X i (t0 ) = X0
, решение имеется на всей карте. Участок кривой между двумя

теореме теории дифференциальных уравнений она имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям кривой. Поскольку система однородна, то сумма решений есть решение, и аналогично для произведения решения на число. Иными словами, перенос суммы двух векторов есть сумма результатов переноса каждого из слагаемых. Аналогично, перенос вектора вектора значениями параметра покрывается конечным числом карт, так что решение продолжается по всей

v

0 . Если

v0 = 0,

то

v (t) = 0

при всех

силу единственности результата окажется

v t (иначе, v0 = 0).

0 есть умноженный на
если



результат переноса

v (t1 ) = 0 A(t)

, то при обратном переносе в

Следствие 20.
V
Пусть

Определен параллельный перенос вдоль кривой

всего векторного пространства

A0 . Этот перенос семейство изоморфизмов

VA0 V

A(t) для всех

t

.

A)1, . . . , A)n
в базисах

базис в

V

A0 , и пусть

? ? e1 , . . . , en

перенос этих векторов по

A(t).

Следствие 21.
динаты

Векторное поле

v (t)

v (t) ? ? e1 (t), . . . , en (t) v
t

тогда и только тогда параллельно вдоль кривой, когда коорпостоянны.

Еще одно оправдание обозначения

A(t).

Обозначим через

(t)

Dv dt . Пусть v произвольное (гладкое) поле векторов вдоль вектор, полученный как результат переноса v (t + t) в точку A(t).
t

Tеорема 28.

Dv dt

= lim

t0

v

(t)-v (t) t

?i Доказательство. Пусть X (t) координаты ? Dv D ?i Dv k dX k ? Тогда dt = dt (X ei ), то есть ( dt ) = dt . v t (t)-v (t) ?k Вычислим l imt0 . Но X (t + t
? dX переходе к пределу тоже получим dt
k

v (t)

в параллельном базисе

?? ? ? e1 (t), . . . , en (t) , v = X i e

i.

t) = (v

t

(t))

k

(при параллельном переносе коорди-

наты относительно параллельного базиса не меняются). Поэтому

v

t

-v t

=

? ? X k (t+t)-X k (t) ek ? t

(t)

, при

? ek

.

5.5

Параллельный перенос ковекторов и любых тензоров.
V0 V
(взаимно обратные) векторных про-

Начнем с замечания. Если заданы изоморфизмы соответствующих базисах

странств, то ими определяются изоморфизмы пространств тензоров

q (V0 ) p

q (V ). p

Именно, в

e1 , . . . , en

координаты. Поскольку матрицы

? ? e1 , . . . , en V соответствующие тензоры имеют одинаковые ? ? ? ? перехода от e1 , . . . , en к e1 , . . . , en и от e1 , . . . , en к e1 , . . . , en совпаи

дают, то это соответствие между тензорами не зависит от используемых базисов. Очевидно также, что значения соответствующих тензоров на соответствующих аргументах совпадают (поскольку полилинейные функции имеют идентичные координатные записи). В частности, это относится к тензорам типа

(1, 0),

то есть к линейным функциям (или ковекторам).

Этим оправдывается

Определение 12.

Поле

любого векторного поля

(t) v (t),

ковекторов вдоль кривой

параллельного вдоль кривой

A(t) называется параллельным, < (t), v (t) >= const.

если для

33


В частности, если ность

? ? e1 (t), . . . , en (t)

параллельные вдоль кривой базисные поля, то параллель-

(1 (t), . . . , n (t)) ковектора в этих базисах. Отсюда 0 , заданного в точке A(t0 ): берем в качестве t ? ? поле с координатами в базисах e1 , . . . , en , равными координатам исходного ковектора 0 . Поскольку постоянные числа гладкие функции от t, то поле (t) автоматически окажется гладким (матрицы ? ? перехода от e1 , . . . , en к базисам e1 , . . . , en , определяемым картой, гладкие). В частности, для любого векторного поля v (t) функция < (t), v (t) > от t гладкая (и она постоянна для параллельных v (t)).
эквивалентна постоянству координат существование параллельного переноса ковектора

(t)

Tеорема 29. (t)
всех

параллельны вдоль кривой тогда и только тогда, когда

dk dt

- i j k

dxj i dt

=0

для

k = 1, . . . n

Очевидно, это условие сходно (и является его аналогом) с условием параллельности векторного поля, см. выше.

Доказательство. Параллельность
ных полей

v (t) =

j ,X ( dk - i j i dx )X k dt dt нее вектор с такими координатами можно параллельно переносить вперед и назад), то последнее

d< (t),v (t)> dt i 0. Распишем в координатах: d = dk X k + i dX dt dt dt k = 0. Поскольку это верно для любых наборов X 1 , . . .

(t)

эквивалентна условию
k

=0 =

для всех параллель-

dk k i k dxj dt X - kj i X dt = n в точке A(t) (ибо из

условие эквивалентно сказанному в теореме.

Определение 13.
если значения

Тензорное поле

Tt

определенное вдоль кривой

A(t)

, называется параллельным,

Tt

(как полилинейного функционала) постоянны на любых параллельных векторных

и ковекторных полях аргументах. В частности, ных базисах

Tt тогда и только тогда параллельный тензор, когда его координаты e1 , . . . , en постоянны. Отсюда существование параллельных тензорных ? ? e1 , . . . , en ? ?
к голономным полям

в параллельполей вдоль

кривой (поля с постоянными координатами относительно указанных базисов) и их гладкость (постоянные функции гладкие по t, и матрицы перехода от координат тензоров при смене базиса. Таким образом, любой тензор, заданный в точке кривой.

A)1, . . . , A)n

и обратные матрицы состоят из гладких функций, остается применить формулы преобразования

A(t0 ) = A

0 можно параллельно разнести вдоль

Tеорема 30.

а) перенос

б) перенос свертки

sT

T = T1 T2 равен тензорному произведению перенесенных совпадает со сверткой перенесенного тензора T .

T1

и

T2

;

Доказательство. Утверждение а) следствие постоянства параллельных тензоров на параллельных аргументах. Поскольку свертка (ее результат) не зависит от используемых базисов запишем ее в параллельно переносимых базисах

A)1, . . . , A)n

и

1 , . . . ,

n

,

? ? 1 , . . . , n

< i , a >= X i координата i т.е. ковекторные поля тоже параллельны. Следовательно, при определении лельных аргументах значения T и sT постоянны, откуда и следует б). ?k...l ?k......l (Если Ti...j постоянны, то постоянны и T1......j , где на тех же местах, по
. Поскольку свертка второй, координатный, способ доказательства).

? ? e1 , . . . , en , и сопряженном базисе ковекторов a, для параллельных a = a(t), < i , a >= const,
свертки на паралкоторым делается

5.6
Пусть

Дифференцирование поля тензоров.
Tt
поле тензоров вдоль кривой

A(t) (тензоры любого типа (p, q )). Имеет ли смысл поdTt ? Сперва рассмотрим вопрос в евклидовом пространстве и в аффинных dt k...l i j координатах, Tt (a, . . . , b; , . . . , ) = Tt i...j X . . . Y k . . . l . В точке A(t + t) будет такая же запись t k...l с координатами Tt+t i...j . Пусть Tt это тензор Tt+t перенесенный из A(t + t) в точку A(t). n Поскольку базисные векторные поля в R постоянны (параллельны), то при переносе координаты t тензора не изменятся: координаты Tt суть координаты Tt+t . Поэтому для выражения, данного
нятие производной выше для никает

- Tt (a, . . . , b; , . . . , ), имеет смысл TttTt = Tt новый тензор типа (p, q ), который обозначим

t

+t

вдоль кривой. Координаты

k...l dTi...j dT dt суть dt , так что тензоры гладкое поле вдоль кривой.

-Tt и переход к пределу при t 0. Возt dT и будем называть производной по t от T dt

34


Наши рассуждения проходят лишь в аффинных координатах. В криволинейных координатах базисные поля в точке координатами

A(t + t)

отличаются от базиса в точке

A(t),

и координаты

t Tt не совпадут с

dT +t . Так что вывод о существовании производной dt остается в силе, но координаты этого тензора не будут равны производным от координат T .

Tt

Рассмотрим общий случай, т.е. когда кривая ности

A(t) T

расположена в пространстве аффинной связ-

(M n , ).
Производной

Определение 14.

DT dt от тензора

вдоль кривой называется предел

lim
Здесь

t Tt t0

-Tt . t A( t + t ) Tt
в в

t Tt это тензор

Tt+

t , параллельно перенесенный из точки

A(t)

.

Такое определение оправдывается разобранным примером для через предельный переход операции

Dv dt для векторного поля

R

n

, а также определением

v

(поля тензоров типа

(0, 1)

).

Tеорема 31.
кривой

DT Производная dt существует и является гладким полем тензоров типа

(p, q )

вдоль

A(t).
в этих координатах:

Доказательство. Пусть

T = Tt

? ? e1 , . . . , en параллельные базисные поля вдоль кривой. Запишем тензор ? ? T (a, . . . , b; , . . . , ). Поскольку базисные поля e1 , . . . , en параллельны,
совпадают с координатами

t
координаты

T

в точке

A(t)

T

в

A(t + t)

. Поэтому разность, указанная

t 0. ? D Tt k...l i...j ? i j? ? Результат: X . . . Y k . . . l . Очевидно, что это есть координатная запись тензора типа (p, q ) с ? dt ? ? гладко зависящими от t коэффициентами. Поскольку переход от вспомогательных базисов e1 , . . . , en n к голономным e1 , . . . , en , определяемым картой на M , описывается гладкими функциями, то коDT ординаты dt будут гладкими на любых картах.
в определении, имеет аналогичную запись (как выше), корректен переход к пределу при

Замечание 10.

DT ? ? Результат dt не зависит от выбора базисов e1 , . . . , en , само определение не свя?1 , . . . , en мы доказали существование. Независимость следует ? зано с выбором базиса. С помощью e

и из того, что для других параллельных базисов так что операция дифференцирования координат ния координат тензора.

? ? e 1 , . . . , e n матрица перехода к ним постоянна, ? T k...l перестановочна с формулами преобразоваi...j DT dt

Следствие 22.

Тензор

T = T (t)

тогда и только тогда параллелен вдоль кривой, когда

= 0.

В самом деле, параллельность равенству нулю их производных по

T t

равносильна постоянству его координат типа .

?k..l Ti...j

, то есть

Следствие 23.

а)

D T1 T dt

2

=

D T1 dt

T2 + T1

D T2 D sT dt ; б) dt ...k i...i

=s

DT dt .

Доказательство. Если k...l В случае б) sT i...j

?k...l ?k T = T1 T2 , то Ti...j = T1 ? = T k......l (суммирование
i.......j

?l T1...l...j j

, откуда немедленно получаем а).

по индексу



от .

1

до

n,

индекс на тех местах,

по которым производится свертка), и при дифференцировании этих равенств по учесть, что производная перестановочна с конечной суммой по

t

следует только



5.7

Вид

DT dt

в координатах карты.
=
k...l D Ti...j dt

Tеорема 32. (
T k...l { i...j - x служит

D T k...l dt )i...j

k...l k...l ...l - T...j x - . . . - Ti... x + Ti...j i j

k x

k... + . . . + Ti...j

l x

=

D k...l k...l ...l k... T...j - . . . - Ti... + Ti...j k + . . . . + Ti...j l }Z = dxT Z . (Если i j t = x , касательным вектором является w = A) = (0, ..., 1 , ..., 0), и D T k...l . dx i...j

параметром выражение в

фигурных скобках есть в действительности Доказательство. Здесь

w = (x1 , . . . , xn ) = (Z 1 , . . . , Z n ). Для доказательства запишем T в коорди k...l i j натах карты: T (a, ..., b; , . . . , ) = Ti...j X . . . Y k . . . l . Заметим, что для изучения T достаточно рассматривать только параллельные поля аргументов a, . . . , b; , . . . , : при этом в каждой точке A(t) будут реализованы любые наборы аргументов. Для
таких полей

t Tt

(a, . . . , b; . . . , ) = T (a(t + t), . . . ; . . . . (t + t))
35

. Поэтому операция

lim

1 t0 t

(T

t


-T )

означает операцию дифференцирования функции

выше, и производная есть сумма произведений из множителя дает

T (a(t), ., b(t); (t), . . . , (t)) от t, записанную p + q + 1 множителей. Дифференцирование первого

k...l dTi...j i j dt X . . . Y k . . . l . При дифференцировании по второму множителю проведем dX i i j замену dt = -j X x , учитывая параллельность поля a. Далее, заменим индекс j на i, чтобы j i вместо X было X . При этом возникла необходимость замены i, заменим i на . k...l i j Получим (-T...j i x )X . . . Y k . . . l . Аналогичная процедура применяется ко всем p векторным множителям. Например, после ее i j j k...l применения к множителю Y (с номером p) получим (-Ti... i x )X . . . Y k . . . l . j dk При дифференцировании по (p + 1)-му множителю k замена возможна dt = k j x (из-

j , лучше иметь k , поэтому заменяем индекс j на ...l (Ti...j k x )X i . . . Y j k . . . l . Точно так же посту пим со всеми множителями координатами ковекторов. После дифференцирования последне...l l j го получим (Ti...j x )X . . . Y k . . . l . Просуммируем по всем p + q + 1 результатам, получим i DT k...l i j k...l dt (a, . . . , b; , . . . , ) = Si...j X . . . Y k . . . l . Здесь Si...j совпадают с (первыми) выражениями в формулировке теоремы. Но представление тензора (полилинейной функции) в виде полилинейной D T k...l k...l формы единственно (в каждой точке), и Si...j = ( dt )i...j . Параллельность полей, еще раз отметим, не ограничительна, поскольку в каждой точке ими реализуются любые наборы аргументов. Переход k...l D Ti...j T k...l от первого выражения в теореме ко второму очевиден, т.к. = i...j dx . dt dt x
за параллельности поля



k !). Но вместо



k

, а прежний

k

на



. В результате получим

5.8

Выводы и следствия.
T =f
получаем просто , тензоров типа

1. Для 2. Для 3. Для

df dt (тензор типа

(0, 0)

).

v = v (t)

(0, 1)

, получаем уже имеющиеся формулы для (то есть ковекторов)

Dv dt .

= (t), поля D i )Z = ( dx )i Z
теореме).

тензоров

(1, 0)

(

D dt )i

=

di dt

. Нелишне вспомнить, что условие параллельности

i - x = ( x - i D теперь есть dt = 0,

т.е. обращение всех

(

D dt )k в нуль. (Получаем прежнее условие но мы им пользовались в

4. Если тензор кривые

A0 , проводим через A0 DT 0 и вычисляем dt в этой точке. Результат DT не зависит от кривой, а лишь от w . Поэтому обозначаем его dw производная от тензорного df поля по одиночному вектору (обобщение dw ). Если w тоже векторное поле в области, то DT определена операция w T (т.е. dw в каждой точке). Результат гладкое тензорное поле того k...l же типа (p, q ). При этом для ( w T )i...j справедлива формула (вторая) в теореме выше. В k...l фигурных скобках там стоит выражение ( e T )i...j . Поэтому w T = ( e T )z (поскольку
задан в области, а одиночный вектор в точке в точке

T

w

A(t)

с касательным вектором

w

A

это верно для всех координат тензора, отвечающих всем индексам 5. Из доказанных для

i . . . j; k . . . l

).

DT dw соотношений имеем:

w

(T1 T2 ) = (

w T1

) T2 + T1 ( = 0 - k x i

w T2 ),

w

sT =

s

w

T

.

6. Если в качестве

T =

взять



k

поле базисного ковектора, то

(

D k dt )i



. В частности,

беря за параметр Кристоффеля. 7. Набор

t=x



, получим

(

D k dt )i

=-

k i

=(

A)

)i

k

новая интерпретация символов

{

e

1

T, w
w
2

e

2

T, . . . ,

en

T ]}

в силу полученного равенства

же роль, что и частные производные. Поэтому его Если, далее, отнести считать тоже переменным векторным

f

w

1

wк T +g

аргументам, то из координатных формул

T

. Таким образом,

T = g rad T (1, 0)

).

)Z играет ту нередко обозначают как T = g rad T . полем, то есть, подобно a, . . . , b; , . . . , , для w T выше видно, что f w1 +g w2 T = это тензорное поле типа (p + 1, q ), т.е.
w

T=(

e T

результат вычисления в данной точке не зависит от значений функций в других точках (так же как

g rad f

от

f

типа

(0, 0)

есть поле типа

8. Сворачивая зор типа

wT (p, q - 1)

по аргументу

w

и некоторому контравариантному аргументу, получим тен-

, который можно считать дивергенцией тензора векторного поля

T : s( v

w

T ) = div T

(одна из

q

возможных дивергенций),

связности

div T = s(g rad T ). В (M n , ) определена дивергенция div v

частности, в любом пространстве аффинной , как свертка тензора типа

36


Xi Xk k j i j k A)i v ) = xi + ij X , div v = xi + ij X . Так выглядит, в частности, диверn генция от векторного поля в пространстве R в криволинейных координатах (выражения для k в этом пространстве были получены нами выше). Для поля v = (A, B , C ) в R3 обычная ij дивергенция div v = Ax + By + Cz есть s(g r ad v ), где g r ad v тензор типа (1, 1), составленный

(1, 1)

. Имеем

(

частными производными

A, B , C

.

5.9
в

Аффинная связность на римановом многообразии.
(M n , )
дифференцирование в

Пока мы имеем только один пример связности

R

n

. Отметим, что

R

n

при параллельных переносах сохраняются длины векторов.

Пусть

M

n

риманово многообразие. 1) Связность

Определение 15. Следствие 24.
w

совместима с римановой метрикой, если длина

|v |

векторов

постоянна для параллельных векторных полей. Из определения вытекает

(в силу равенства

(v , w) постоянно |v + w| = |v | + 2(v , w) + |w|2 ). 3) Метрический тензор G (типа (2, 0)) параллелен по G = 0 для всех полей w.
2) скалярное произведение 2 2

для параллельных векторных полей всему многообразию. В частности,
d(v ,w) dt

Tеорема 33.
Для

4) Каждое из предыдущих утверждений эквивалентно

=(

Dv dt

, w ) + (v ,

Dw dt ).

4) 1). v = (X , . . . , X ), w = (Y , . . . , Y ) имеем (v , w) = gij X i Y j = s2 (G v w), поэтому d(v ,w) d D = dt s2 (G v w) = s2 dt (G v w) = s2 (G Dv w + G v Dw ) = ( Dv , w) + (v , Dw ) dt dt dt dt dt DG (воспользовались тем, что = 0 ). Этим доказано 4). dt 2 Чтобы получить из 4) утверждение 1), продифференцируем |v | = (v , v ) и воспользуемся паралDv лельностью v , т.е. dt = 0, получим, что (v , v ) = const. (ei ,ej ) g Наиболее удобным является условие 4). Его частным случаем служит 4 ) = xij = k xk ( ek ei , ej ) + (ei , ek , ej ).
Доказательство. Осталось доказать импликации 3) 1 n 1 n

Tеорема 34.

Условие 4 ) (для всех

i, j, k Z
k

) эквивалентно 4).
D dt

d Доказательство. Поскольку dt

(Z 1 , . . . , Z k ) = (x1 , . . . , xk ) касательные (v ,w) D = ( xv , w) + векторы к кривой, то условие 4) эквивалентно требованию (для всех k = 1, ..., n) k xk Dw (v , xk ). Докажем, что эти равенства вытекают из 4 ). Для этого вычислим выражения, стоящие в i j этом равенстве, считая, что v = X A)i, w = Y A)j . =
,

xk

=

D xk

Z

k

, где

(v , w) (gij X i Y j ) gij i j Y j X i = = X Y + gij k Y j + gij X i k xk xk xk x x ( v , w) = ( X i A)i, Y j A)j ) = X i (A)i, A)j )Y j + ( xk A)i, A)j )X i Y A)h)X i Y
j

A)k

A)k

A)k

(v ,
Исходя из

A)k

w) = (X i A)i,

A)k

Y j A)j ) = X i (A)i, A)j )

Y j +(A)i, xk

A)k

j

4

), показываем, что первое выражение равно сумме второго и третьего (с учетом

совпадения одинаково отмеченных членов).

5.10

Tеорема Леви-Чивита.
На римановом многообразии существует, и притом только одна, симметричная , совместимая с метрикой.

Tеорема 35.

аффинная связность

Доказательство. Достаточно доказать теорему на карте. В силу единственности, тогда связности,
построенные в картах, будут совпадать на пересечениях карт, и операция будет определена на всем многообразии. Перепишем 4 ) трижды, пользуясь круговой заменой индексов.

gij = gj + k gi ik j xk

37


gj k = i gk + i gj j k xi gki = j gi + gk k ij xj
получим





gij gik xj - xk ). Это выражение называется первым тождеством Кристофk феля. обратная матрица. С учетом того, что gk g = , получим второе gj k gij gik 1 k тождество Кристоффеля : ij = 2 ( xi + xj - xk )g . Ясно, что оба тождества эквивалентны. Фактически для карты найдены символы ij связности . Если они действительно определяют , то связность совместима с метрикой, поскольку ij удовлетворяют условию 4 ), ибо они искались из уравнения 4 . (Впрочем, это нетрудно проверить и непосредственно.) Отметим, что ij = j i , то есть связность должна быть симметричной. Символы 1 gk = 2 ( xij + i ij k Пусть {g } = G-1
найдены однозначно, поэтому операция единственна. формулой Остается проверить, что символы действительно определяют связность. Определим

Считаем символы Кристоффеля симметричными, вычтем первое из суммы второго и третьего,

g

(

w

v )k = (

Xk xj

+ k X i )Y ij ( v
1 w

j

и проверим исходное определение. гладкие функции.

1. Очевидно, что 2. Линейность по 3.

v )k

очевидна (для

v = 1 v 1 + 2 v

2 с постоянными



1,



2 ).

f1 w1 +f2 w

2

v=f fv (

w

1

v+f

2

w

2

v

, как видно из определяющей формулы. , поэтому

4. Координаты

суть

(f X 1 , . . . , f X n )
f xj

(f X k ) xi

=

f xj

Xk + f

Xk xj . w

Следовательно,

w

(f v ))k = (

Xk + f

Xk xj

+ k f X i )Y j = ij

df dw

Xk + f (

v )k

.

Замечание 11.
2. операция ства). 3. метрика

1. Теорема справедлива и для псевдоримановых многообразий (использована

лишь симметрия и невырожденность скалярного произведения

G).

сохраняется при изометриях многообразия (как и все определяющие ее тожде-

G

определяет символы Кристоффеля, которыми затем задается операция

.

4. Ниже будет видно, что без условия совместимости с метрикой могут существовать и n многие иные (даже симметричные) на M .

5.11
Пусть

Связность
M
m

на подмногообразиях.
N
n
(например,

гладкое подмногообразие риманова многообразия

M

m

лежит в евкли-

довом пространстве

R

n

). Метрика объемлющего многообразия индуцирует риманову метрику на

M M

m

: касательные базисные поля

e1 , . . . , em

му определены в

R

их скалярные

M m это касательные векторы и для N n , поэтопроизведения (ei , ej ) = gij , задающие метрический тензор на
карт

m

.

Замечание 12.

Построения ниже справедливы и в случае, когда

N

n

(или

R

n

многообразие (или псевдоевклидово пространство), однако мы будем предполагать, что на индуцируется обычная риманова метрика.
Пусть Чивита), и операция операция дифференцирования, определяемая на

) псевдориманово m

M

M

m

метрикой (по теореме Леви-

0 w

аналогичная операция в объемлющем многообразии. Как было отмечено ранее, определена не только для полей

результат совпадает с

w, но и для одиночных векторов w. Кроме того, Dv m для кривых, касающихся w . Для полей v , определяемых в M , гладкие dt m 0 кривые тоже можно брать лежащими в M . Это означает, что операцию можно применять не
w

v

v , w, касательным к подмногообразию. 0 v уже не будет (вообще говоря) касательным полем к M m , w m n а полем на M , состоящим из векторов, касательных к N . dv 2 2 3 Для S R векторное поле v касательные к экватору постоянной длины, dt в R 2 лежат в плоскости экватора, но направлены к центру и не касаются S .
только к полям в объемлющем пространстве, но и к полям Правда, в отличие от

v

результат

Пример.

38


Наша задача выяснить связь между полями разия

w

v

и

0 w

v

для векторных полей

v, w

многооб-

M

.

Существование

0 w

v

можно показать и иначе.

Лемма 12.

Локально координаты с

M

m

продолжаются до координат в

N

n

.

1 m m Доказательство. В самом деле, пусть r = r (x , . . . , x ) локальная параметризация M на карте r n N , ei = xi . Пусть em+1 , . . . , en дополнение до базиса e1 , . . . , em векторов в точке A0 на карте. 1 m m+1 Тогда r = r (x , . . . , x ) + x em+1 + . . . xn en определяет координаты вокруг A0 в N n . В самом r 1 n деле, это гладкие функции от x , . . . , x , и в точке A0 векторы xi = ei линейно независимы для 1 n n

i = 1, . . . , n (то есть матрица x1 , . . . , xn невырождена).
всех

Якоби перехода от координат

r = r (u , . . . , u )

в

N

к переменным

M m продолжаемы (локально) до полей в N n , для которых операция v определена (координаты v , w в точке (x1 , . . . , xn ) равны координатам ис1 m 0 i ходных полей на M в точках (x , . . . , x )). Однако ( w v ) зависят лишь от координат v и w в m m точках A0 , т.е. в точках из M они не зависят от способа продолжения v и w за пределы M . n-m n Касательное пространство к N в точках A M есть прямая сумма VA RA , где VA касаn-m m тельное пространство к M , RA линейная оболочка A)m + 1, . . . , A)n. Пусть w v проекция 0 v на Va параллельно Rn-m . w A
Из леммы следует, что любые поля

v, w

на

0 w m

Tеорема 36.

Операция

симметричная аффинная связность на

M

m

.

Доказательство. Требуется проверить условия 0) 3) определения операции связности. Условие A)1, , . . . , A)n и гладкости 0 v , то есть гладкости координат этого w 0 поля в базисах A)1, . . . , A)n. Условия 1) 3) справедливы для w v и сохраняются при проектирова0 df df ниях. Например, в случае 3) имеем (f v ) = проекция w (f v ) = проекция ( dw v + f 0 v ) = dw v + f ћ w df 0 проекция w v = dw v + f w v (здесь проекция v равна v , поскольку v VA ). ?k ?k Проверим симметрию: A)j A)i = A)i A)j при i n (отсюда будет следовать ij = j i , а 0 0 это эквивалентно симметрии ). Однако, обсуждаемое A)j A)i = проекция A)j A)i, а для
0) следствие гладкости полей соотношение верно для всех и проекции Поскольку координаты с

N

n

на

i, j = 1, . . . , N . M m можно продолжать на окрестности в N n многими способами, то m m касательные к M имеются различные. Может показаться, что на M имеется
. Однако пока мы не учитываем одно из важнейших требований с метрикой

много симметричных операций

совместимость получаемых операций

M

m

.

Tеорема 37.
тированиях

Совместимая с метрикой 0 m на M .

M

m

связность

получается при ортогональных проек-

n-m были ортогональными. Кстати, поскольку A метрика на M невырождена, то R разлагается в прямую сумму VA VA (то есть VA и ортогональn n ного дополнения) даже в случае, когда N псевдориманово ( RA псевдоримановы пространства).
Итак, требуем, чтобы разложения

m

n

Rn = VA R A

Следствие 25.
для любых

w

Векторное поле v на M 0 ), когда w v VA для всех

m

AM

тогда и только тогда параллельно (то есть n m и касательных к M векторных полей

w

v=0

w

.

S2 R

Задача
3
.

Доказать это для векторов

v

постоянной длины, касающихся экватора (или меридиана)

Доказательство теоремы

: Пусть

A)1 . . . , A)n

базисные поля на карте

зации в алгебре описывается операциями, гладко зависящими от точки щиеся в результате ортогональные векторные поля Ортогональная проекция вектора

A

в

Mm Mm ,

. Процесс ортогоналитак что получаю-

n A на V гладкое векторное поле (этим мы заново проверили условие 0) в определении ). m 0 Докажем совместимость с метрикой M . Имеем w v + v , где v VA . Здесь v и wv = u, w касательные поля для M m . Проверим критерий 4) (поле u тоже на M m ). d(dwv) = ( 0 v , u) + w 0 (v , w u) = ( w v + v , u) + (v , w u + u ) = ( w v , u) + (v , w u), ибо v u, v u . В силу теоремы Леви-Чивита = . Теорема доказана.

uR

n гладкие (хотя они и не голономны). ?? ?? A есть сумма (u, e1 )e1 + . . . + (u, en )en , а потому

? ? e1 , . . . , e

Замечание 13.

Одно и то же риманово многообразие можно по-разному вкладывать в

R

N

(на-

пример, лист бумаги можно сворачивать то конусом, то цилиндром, не обязательно круговыми к тому же). Но та же самая операция проектированием на многообразие классической операции на нем получается при всех вложениях ортогональным 0 N вR .

39


6 ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ.
6.1 Геодезические линии.
Человеку, идущему по экватору, кажется, что он идет прямо, не сворачивая. Иное дело по параллели, особенно если она близка к (северному) полюсу: при движении на восток он будет постоянно отворачивать влево. Наша задача найти математический язык для описания подобных явлений. как

|v

A(t) гладкая линия в M n . На карте она описываегся dr dt = 0 при правильной параметризации. Однако длина |, вообще говоря, не постоянна, она определяет собой скорость движения по траектории. Будем
Пусть многообразие и причем

M n риманово r (t) = (x1 (t), ..., xn (t))

v (t) =

рассматривать только равномерные движения, когда

|v | = const.

Поскольку

ds = |v |dt,

это означает,

s = |v |t + s0 линейная считать, что s = |v |t. Итак,
что

зависимость. При измерении обоих параметров от одной точки можно

Вывод:

Вектор скорости

v

тогда и только тогда имеет постоянную длину, когда параметр

t

лишь множителем отличается от натурального

s.

При этом

s = |v |t

, этот множитель скорость.

Поставим вопрос о том, в каких случаях вектор линии?

v

не только постоянен по длине, но и параллелен

вдоль своей кривой. Для этого, как мы знаем, необходимо и достаточно, чтобы

Dv dt

= 0.

Что это за

Лемма 13.

В

R

n

это в точности прямые.

dv Доказательство. Действительно, если линия прямая, то это очевидно. Наоборот, пусть dt = 0, или d2 r i i i i dt2 = 0. Интегрируя, получим x = x0 + X t для постоянных X , i = 1, ..., n, а это параметрические
уравнения прямой линии.

Определение 16.
векторы скорости

Кривая

A(t)

в римановом многообразии

M

n

называется геодезической, если ее

v

образуют параллельное векторное поле вдоль кривой.

Напоминание.

Мы рассматриваем параметризации параметрами, пропорциональными натураль-

ному (иначе при движении по той же линии вектор Итак, геодезические линии в Если

v

, характеризующий скорость движения, не

будет перенесением одного и того же вектора вдоль кривой, например, его длина меняется).

Mn v = (X , ..., X ) = (x , ..., xn ),
1 n 1

аналог прямых в

R

n

. Они определяются условием

то уравнения параллельности для

v

Dv dt = 0. немедленно приводят к
, где кривая

n

(нелинейным) уравнениям 2-го порядка, в которых искомыми являются координатные функции

точек кривой (в отличие от линейных уравнений параллельности задана, а ищутся координаты переносимого вектора):

dX k dt

+ k X i xj = 0 ij

d2 xk + k xi xj = 0, k = 1, ..., n. ij dt2

(1) (x1 (t), . . . , xn (t))

Tеорема 38.

Линия тогда и только тогда геодезическая, когда ее координаты

удовлетворяют уравнениям (1). Доказательство. Если

{xi (t)}

решение системы, то для поля

(X 1 (t), . . . , X n (t)) = (x1 (t), . . . xn (t)))

выполнено условие параллельности (параллельного переноса). В частности, для решений системы параметр

t

оказывается пропорциональным натуральному.

6.2
Пусть

Кривизны линий.
A(t)
произвольная кривая, касательный вектор которой

v

, вообще говоря, не параллелен,

но имеет постоянную длину, и

Dv dt

= 0.

Лемма 14.

Dv dt

v (v , v ) = const,

Доказательство. В самом деле, достаточно продифференцировать тождество 0 = d(v,v) = ( Dv , v ) + (v , Dv ) = 2( Dv , v ). dt dt dt dt
Перейдем к натуральному параметру Френе.

t = s.

В этом случае

v=

1 первый вектор в репере

Определение 17.
вом многообразии

Величину

kg =

M

n

D 1 ds

будем называть геодезической кривизной линии в римано-

.

40


D 1 1 D 1 kg ds (или ds = второго вектора в репере Френе.
Пусть

? 2 =

? kg 2

) единичный вектор. По лемме

? 2 1

. Вектор

? 2

аналог

Следствие 26.
Часто

Линия тогда и только тогда геодезическая, если для нее

kg = kg (s) = 0

(т.е.

когда она не искривлена в многообразии).
называют ?внутренней? кривизной линии в многообразии. n N реализовано в качестве гладкого подмногообразия в R с индуцированной на нем 3 метрикой (например двумерная поверхность в R ). Пусть

kg M

? Tеорема 39. kg 2

ортогональная проекция

k

2 на

VA

(в каждой точке

1

AM

).

Доказательство. В самом деле, 0 ортогональная проекция 1 1 .

k 2 =

0

1

1 =

d1 ds , но

? kg 2 =

1 =

D 1 ds по определению есть

Мы ощущаем только внутреннюю (геодезическую) кривизну ности Земли. Поскольку

kg

(но не

k

!) линий на поверх-

k

g определяется ?внутренним? образом, эта кривизна не меняется при

?изгибаниях? (поверхностей, многообразий), изометриях диффеоморфизмах многообразий, не изменяющих метрику. Примеры изгибания плоскости на цилиндрические или конические поверхности (или наоборот).

6.3

Геодезические на сфере и плоскости Лобачевского.
S
n-1
стандартным образом вложена в

Считаем, что сфера

R

n

, а плоскость Лобачевского

L2

реали-

зована как нижняя полость двуполостного гиперболоида в псевдоевклидовом пространстве

R

3 1.

Tеорема 40.

Геодезические линии на

S

n-1

мерными плоскостями). Геодезические линии на

большие окружности (центральные сечения двуL2 центральные сечения.

Доказательство. В самом деле, в каждой точке
центральное сечение. Вектор

A

в любом касательном направлении



1 имеется

1 лежит не только в касательном пространстве VA , но и в центральном d1 n сечении (A; 1 ), поэтому в этой же двумерной плоскости лежит и вектор dt производная в R d1 d1 3 или R1 . Поскольку 1 O A и ds 1 , ds параллелен вектору . . . A. . . . A VA , следовательно, d1 VA , а D1 ортогональная проекция d1 на VA . Следовательно, D1 = 0. ds ds ds ds



6.4

Элементы вариационного исчисления (новое, иное освещение геодезических).
m
-поверхности в

Рассматриваются

R

n

, с общей границей:

xi (u1 , ..., um ) = xi , i = 1, ..., n, ai ui bi

x одни и те же для всех этих поверхностей). xk Лагранжиан : L = L(u , ..., u ; , x , ..., x ; ..., uj , ...) гладкая функция от m + n + mn перемен xk ных. Для удобства и краткости введем обозначение uj = q (k , j ). Задача оптимизации: Найти на таких m-подмногообразиях либо минимум, либо максимум 1 n функционала J (x) = J (x , ..., x ), где J (x) = ... L(u1 , ..., um ; x1 , ..., xn ; ..., q (k , j ), ...) du1 ...dum . Примеры. Длины дуг от A до B в римановом многообразии; площади поверхностей с заданным i i i контуром; в механике x = x (t), и скорости q = x и т.д. i ? i i1 m k k xk Возьмем функции = (u , ..., u ), равные нулю на крае, x = x + , x = x + , ? ?k uj =
(на границе области определения функции

i

1

m

1

n

xk uj

k uj = q (k , Рассмотрим J

+

j ) + q 0 (k , j ). (x + ), -0 0
dJ d

. Это гладкая функция от



, и если

экстремаль, критическое, стационарное подмногообразие), то производная по

x(u)

оптимально (иначе: нулевая.

Определение 18.

=l

im0 1

(J (x + ) - J (x)

.

Как найти эту производную, чтобы, приравняв к нулю, найти условия для быть стационарной поверхностью?

xk = xk (u1 , ..., um )

J = (J (x + ) - J (x)) = за скобку и поделим на
равенство

(

L q (k,j ) uj

k )

=

L k L + qk,j ) q 0 (k , j ) + o()) (где o() 0 при 0). Вынесем ( xk обе части равенства. Под интегралом слегка преобразуем, используя L ( qk,j ) ) k ( L + qk,j ) q 0 (k , j ). uj (

... (

Последний член заменим на разность первых двух. Интеграл на нулевой, ибо это первообразная по обращаются в нуль.

...

. . . du1 ... dum

от левого чле-

j

-ой координате, а все



k

на границе области интегрирования

41


После перехода к пределу под интегралом останутся выражения вида

dJ d = 0. Отсюда k = 0 (ибо можно произвольно брать например, и с малыми носителями). Это дает уравнения Эйлера :



равен нулю:

k k , k = 0

и интеграл для всех лишь для одного

k

,

L ( qk,j ) ) L ( - = 0. xk uj

Tеорема 41.

Если поверхность

xk = xk (u1 , ..., um )

стационарна, то она удовлетворяет урав-

нениям Эйлера (признак экстремальной поверхности).

6.5
1 0

Случай кривых (m = 1, uj = t и q (k, j ) = xk )
1 g xi xj 0 ij

Рассмотрим два функционала: 1) ?действия?:

dt =

1 0

v 2 dt,

и 2) просто длину кривой

gij xi xj dt, x(0) = A, x(1) = B s)

фиксированные точки на многообразии

M

n

.

Tеорема 42.
ральному

В обоих случаях экстремаль геодезическая (параметр

t

пропорционален нату-

(конечно, если она существует).

gkj i j gij i j L L Доказательство. 1). xk = xk x x , xk = gkj x + gik x = 2gkj x , t ( xk ) = 2 xi x x + 2gkj x , j i j L Еj gk j i j gk j i j gk j i j 2 xi x x = xi x x + xj x x . Выпишем уравнение Эйлера, сменив знак и поделив на 2: 0 gk g gkj xj + 1 ( gkji xi xj + xij xi xj - xij xi xj ) или 0 = x + xj xi после умножения на g k . Е Е k ij 2 x 1 i xj dt = 1 |v |dt. gij x 2). Теперь другой функционал 0 0 1 d 1 d 1 i j i j Пишем уравнение Эйлера (сократив на ): 2 dt ( |v | xk (gij x x )) - |v | xk (gij x x ) = 0. Далее dt d d st ds = |v | ds ; xi = (xi ) s |v | и т.п. d 1 1 0 = ds ( |v| (gkj xj + gik xi ))|v | - |v| k (gij (xi ) (xj ) |v |2 ) x 2 i i
Во втором слагаемом

=

=

|v |

сокращается на

|v |.

В первом после замены
i d gij x x ds ( x k j

x

на

(x ) |v |

сокращение

внутри скобки. Оставшееся

|v |

в обоих слагаемых сократим! Остальные вычисления, очевидно,

совпадают с вычислениями из примера 1). Остается в первом примере, с заменой

-

t s).

(gij x i x j ) xk

)=0

(точно так же как

Tеорема 43.

Экстремали длины геодезические.

6.6
const,

Свойства геодезических линий.
t
. Помним, что

Исследуем уравнения геодезических, записанные через параметр поскольку вектор скорости

s = |v |dt, |v | =

v

к геодезической параллельно переносится по ней.

Уравнения 2-го порядка, их всего

n,

перепишем в виде системы из

2n

уравнений 1-го порядка:

dxm dz k = zm, = - k z i z ij dt dt
Функциями от

j

(2)
касательный вектор

t

оказываются

x1 , . . . , x n ; z 1 , . . . , z

n

, где

(z 1 , . . . , z n )

v

. Си-

стема является частным случаем системы уравнений в

2n

-мерном прстранстве:

dz k dxm = F (x1 , . . . , xn ; z 1 , . . . , z n ), = k (x1 , . . . , xn ; z 1 , . . . , z n ) dt dt

(3)

1 n1 n В правых частях в (3) (и в (2)) стоят известные функции от координат x , . . . , x , z , . . . , z в 2n R. 1 n Любое решение x (t), . . . , z (t) этой системы гладко зависит не только от t, но и от начальных 1 n 1 n i i 1 n1 n условий (x (0), . . . , x (0), z (0), . . . , z (0)) и решение x (t) можно записать как x (t, x0 , . . . , x0 , z0 , . . . , z0 ). 1 n В случае системы (2) решение это выходящая из точки (x0 , . . . , x0 ) геодезическая с касательным 1 n (z0 , . . . , z0 ) (x1 , . . . , xn )). 0 0
вектором в этой точке. Пусть

|v | =

ij gij z0 z0 = s

длина этого вектора (в точке

Лемма 15.

i 1 n1 точка с координатами x (1, x0 , . . . , x0 , z0 , . . 1 n длины s, выходящей из точки (x0 , . . . , x0 ) с направляющим вектором

Для малых

s

n . , z0 ) v.

конец геодезической

42


Доказательство. Так как

|v |

длина векторов скорости вдоль всей геодезической и

s = |v |t

, то

t = 1.

Предположение о малости не для всех

s

объясняется тем, что геодезическая, вообще говоря, определена

s.

Например, если

M

n

круг на плоскости, то геодезическая (прямая) ограничена

границей круга.

1 n xi (1, x1 , . . . , xn , z0 , . . . , z0 ), то есть, 0 0 1 n 1 конец геодезической, выходящей из (x0 , . . . , x0 ) с направляющим вектором v = (z0 , 1 n 1 n1 n длиной |v | = s. Точка (y , . . . , y ) гладко зависит от x0 , . . . , x0 , z0 , . . . , z0 .
Обозначим для краткости через

y

i

координату

(y 1 , . . . , y n ) n . . . , z0 ) и с

Tеорема 44.
окрестность

Для каждой точки , что через любую

U

ческая с параметром

s

в пределах

(x1 , . . . , xn ) многообразия найдется такое > 0 и такая ее 0 0 1 n точку (x , . . . , x ) U в любом направлении проходит геодези- < s < . y i = xi (t, x1 , . . . , xn , 0, . . . , 0) = x 0 0 t
i

Доказательство. Для начала рассмотрим постоянное решение
(определенное для всех ние существует при

t

, в частности для

t0 = 1).
и от начальных данных реше-

По теореме о непрерывной зависимости решений системы (3) от

t0 - < t < t0 + 1 n окрестности точки (x0 , . . . , x0 , 0, . . . , 0) 1 n в окрестности U точки (x0 , . . . , x0 ) и в 1 n тельного в точке (x , . . . , x ) U ).
Поскольку касательное расслоение

(в частности, для пространства окрестности

t=1

) и для всех

R , а в случае (2) V нулевого вектора

2n

(x1 , . . . , xn , z 1 , . . . , z n ) в 1 n для всех точек (x , ..., x ) n пространства R (как каса-

M n устроено (локально) как декартово n n произведение U Ч R , то векторы заполнят собой U Ч D , где D = V некоторый шар. n-1 n Пусть S граница D . Переходя к меньшей, чем U , окрестности, можно считать ее компактn-1 ной, компактно будет и произведение U Ч S U Ч Rn . Функция длины |v | = gij (x1 , . . . , xn )z i z j непрерывна, а потому достигает отличного от нуля минимума . Для этого и существуют геодемногообразия

n

V Mn (z , . . . , z n )
1

зические, фигурирующие в теореме.

Следствие 27.

Если

M

компактно или геодезически полно, то любая геодезическая продолжа-

ется в обе стороны бесконечно.
(Риманово многообразие геодезически полно, если оно полно в метрике, определенной через геодезические: расстоянием между точкам называется нижний предел длин соединяющих их кусочно гладких дуг). Примерами многообразий, где это не так, служат открытый круг, плоскость с выколотой точкой.

Доказательство. В компактном случае выберем для каждой точки

AM

n

окрестность



A в соответствии с теоремой. Из покрытия

{UA }

выберем конечное, тогда минимальное

UA и число среди A

отвечающих этому покрытию годится для всех точек многообразия. Таким образом, продолженную геодезическую (до некоторой точки) можно продолжить по

s

еще на



, и так бесконечно.

Во втором случае предположим, что геодезическую удается продолжить лишь для всех Пусть тогда

s < s0
n

.

{si }

сходящаяся к

s0

последовательность чисел,

A

i соответствующие точки на

геодезической. Они составляют фундаментальную последовательность в дезически полно, имеется предел Применим теорему к

M

n

. Поскольку

M

гео-

lim Ai = A

0 (в этом и состоит свойство геодезической полноты).

A

0 , получим ее окрестность и конечное

> 0,

для которых любая геодези-

ческая в этой окрестности продолжается по

s

на



. Применяя это к

A

i с большим номером

i

ик

интересующей нас геодезической, видим, что она должна иметь продолжение в точку

A

0.

Tеорема 45.

yi xj

=

yi zj

=

i j в точке

(x1 , . . . , xn ; 0, . . . , 0) R
i

2n

.
имеем

Доказательство. В самом деле, при
первое утверждение. Для вычисления

(z 1 , . . . , z n ) = (0, . . . , 0)
j

v = (0, ..., 0, z , 0, ..., 0), |v | =

j



gj j z =

j

y z j следует положить d s; dz j = ds j , поэтому dz gj

= xi , откуда очевидно z k = 0 при k = j . В этом случае d = gj j ds . Рассмотрим систему: y

i

dxm dz k = zm, = -k z i z j . ij dt dt
dx ds y m m Отождествим y сx в точке, где берутся производные (учитывая, что x j j m j dy dy dy 1 . Но при m = j и gj j ds = dzj . Следовательно, y j = 0 и yj ds = gj j z z единичная матрица.
Заменим параметр

t

на натуральный

s.

Первая система заменится на

= (0, . . . , 0,
i j

1 gj

j

, 0, . . . , 0)
m

.

=

=1

i j ). Получим dy ds ym и потому { j} z

=0 =E

43


Все дальнейшие результаты о геодезических фактически следствия из этой теоремы.

Tеорема 46.

У каждой точки

A0 M

n

существует окрестность, любые две точки в которой

соединимы единственной геодезической (возможно, где-то и выходящей за пределы окрестности).

A0 = (x1 , . . . , xn ) рассмотрим отображение 0 0 (x , . . . , x ; z , . . . , z ) (x , . . . , x ; y , . . . , y ), где (y 1 , . . . , y n ) конец геодезической длины s = gij (x1 , . . . , xn )z i z j = |v |, выходящей из точки (x1 , . . . , xn ) в направлении вектора (z 1 , ..., z n ).
Доказательство. На некоторой карте, содержащей 1 n1 n 1 n1 n
Как показано выше, в точке

(x1 , . . . , xn ; 0, . . . , 0) R 0 0

2n

имеем

y x

i j

=

yi zj

=

i j . Очевидно также, что

x xj

(x

i x j , z j = 0. Пользуемся тем, что указанное отображение гладкое. Таким образом, его матрица Якоби в точке 1 n 0 , . . . , x0 ; 0, . . . , 0) имеет следующий вид,

i

=

i

E 0 (x1 , ..., xn ; 0, ..., 0) 0 0

E E

,

и невырождена. Следовательно, отображение взаимно однозначно (и обратимо) в окрестности начальных данных . Теорема доказана.

1 n1 n Рассмотрим предыдущее отображение в самой точке A0 , т.е. отображение (x0 , . . . , x0 ; z , . . . , z ) 1 n1 n 1 n (x0 , . . . , x0 ; y , . . . , y ). Вектору v = (z , . . . , z ) касательного пространства VA0 ставится в соответgij z i z j по направлению v . ствие конец выходящей из A0 геодезической длины s =
Обозначим это отображение

E.

Tеорема 47.

При

s<

для достаточно малого



отображение

E

диффеоморфизм

-шара { A
yi zj 0 ).

в

VA

0

на некоторую окрестность точки Доказательство. В самом деле, 1 n
при

A

0.
гладкие функции от

(y 1 , . . . , y n )

z1, . . . , z

n

, причем

}=E

z = . . . = z = 0.

Следовательно, имеется обратное (для малой окрестности точки

-Шар в касательном пространстве n той многообразия M вокруг точки A0 .

Следствие 28.

V

A0

=R

n

с отображением

E

является кар-

= VA0 . Поскольку ? ? e1 , . . . , en касаются M в точке A0 , то вокруг A0 в координатах карты, индуцированных из Rn , имеем gij (A0 ) = ij (матрица G римановой метрики единична в точке A0 ). Проходящим через A0 d2 xi ? dxi ? i n геодезическим отвечают на карте, т.е. в R = VA0 , прямые dt = z = const, dt2 = 0. Таким образом, в силу основных уравнений геодезических в координатах x , . . . , x в точке A0 ?1 ?n ? k z i z j = 0 для всех (z 1 , . . . , z n ) из -шара в Rn = VA . Для каждого k k z i z j есть квад? имеем: ij 0 ij ?k ?k ратичная форма с симметричной матрицей (ij = j i ). Из равенства нулю квадратичной формы
На этой карте можно выбрать ортонормированный базис

? ? e1 , . . . , e

n

R

n

n

следует равенство нулю соответствующей симметричной билинейной. Применяя ее к парам базис-

i, j, k . k = 0 в точке A0 , называется нормальной ij системой (такие координаты называются также римановыми). Таким образом, получено
ных векторов , получим для всех индексов для которой Система координат

?? ei , ej

? k (A0 ) = 0 ij вокруг точки A0 ,



Следствие 29.

У каждой точки

A0 M

n

существует окрестность

ми) координатами. При этом можно считать, что
Выходящие из точки ном пространстве в

gij (A0 ) =

ij (G

U с нормальными (A0 ) единичная

(римановыматрица).

A

0 геодезические линии образы лучей, выходящих из начала в касатель-

VA

0

. Они называются геодезическими радиусами. Диффеоморфный образ



-шара

VA

называется геодезическим шаром с центром в

A

0 , образы сфер в

VA

0

геодезическими сферами

вокруг

A

0.

Tеорема 48.
отображения пусть

Геодезические радиусы перпендикулярны геодезическим сферам.

Доказательство. Рассмотрим римановы координаты вокруг

A

E)

0 , их отождествляем (с помощью

с координатами в касательном пространстве. На геодезической сфере радиуса


.

w

любой касательный к ней вектор,

(x1 ( ), . . . , xn ( )) ? ?
n n

любая кривая на сфере, касающа-

яся этого вектора при

= 0

. Рассмотрим двумерную поверхность

(tx1 ( ), . . . , txn ( )), 0 t 1 + ? ?

(Поверхность имеет уравнения: по

t = 0. Поскольку t имеют постоянную длину. Как векторы скорости геодезических радиусов, они параллельны ~1 xn ~ ?1 xn ? ? t в M n : Dv1 = 0. Пусть v 2 векторы скорости по , v 2 = ( dx , . . . , dd ) = t( dx , . . . , dd ) = tv 2 . dt d d
44

x = tx ( ), . . . , x = tx ( )). Она гладкая во всех точках, кроме ~ ? ~ ? gij xi (t)xj (t) = = const, касательные к этой поверхности векторы скорости v 1 ? ?
по

1

1


Лемма 16.

Dv d

1

=

Dv2 dt .

Dv1 k d dxk ~ d ) = d ( dt ) + ? k по от порядка дифференцирования и симметрии ij d(v 1 ,v 2 ) = ( Dv1 , v 2 ) + (v 1 , Dv2 ) = 0 + Далее имеем dt dt dt const. Следовательно, (v 1 , v 2 ) = const. Но при t

Доказательство. В самом деле,

(

k ij i, j

dxi dxj ~~ dt d .

=(

Dv dt

2

)

k

в силу независимости

d2 d dt

1, (v 1 , Dv1 ) = 1 d(vdv1 ) = 0, ибо (v 1 , v 1 ) = |v 1 |2 = d 2 0 имеем v 2 0. Следовательно, (v 1 , v 2 ) = 0.

Поскольку

w

один из

v

2 , теорема доказана.

6.7

Геодезические линии кратчайшие
Геодезические линии локально являются кратчайшими.

Tеорема 49.

A0 с точA(0) = A0 . Поскольку она правильно параметризована, считаем, что A(t) = A0 при t > 0. Пусть (t) = ?i gij xi (t)xj (t) длина геодезического радиус-вектора A(t) = (t)v 1 , где координаты v 1 равны x ((tt)) ? ? и |v 1 | = 1. Кривая записывается в виде A(t) = (t)v 1 . dA(t) dv 1 Пусть v вектор скорости кривой A(t), v = dt = (t)v 1 + (t)v 2 , v 2 = dt . Вектор (t)v 2 при малых t касается геодезических сфер, поэтому v 2 v 1 (в евклидовом пространстве VA0 вектор v 2 производная от единичного вектора v 1 , поэтому там v 2 v 1 и v 2 касается сфер). Таким образом, |v | = (t)2 + (t)2 |v 2 |2 , ds = |v | dt = 2 + (t)2 |v 2 |2 dt. Если v 2 = 0, то v 1 = const (и кривая A(t) = (t)v 1 луч в VA0 или геодезический радиус в точке A0 , ds = dt, получим длину геодезического радиуса. Если v 2 (t) = 0 для некоторого t, то и в окрестности этого t. Тогда |v | > | | , и при вычислении длины дуги получится большее значение, чем величина s по геодезическому радиусу.
Доказательство. Достаточно показать, что радиус кратчайшая линия, соединяющая 1 n
кой геодезической сферы. Пусть

(x (t), . . . , x (t)) = A(t) ? ?

любая кривая, для которой

45


7 Глава 7. ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ.
7.1
v
и

Тензор кривизны.
d v f = df для v u v - v u = [vu] vи
производной от функции

Введем обозначение соотношение

f

по векторным полям

v

. Нам известно

(так определялся коммутатор

[v u]

векторных полей). Что, если

u

заменить на

u производные уже не от функций, а от векторных полей? v u

Tеорема 50.

В

R

n

всегда

w-

u

v

w=

[v u]

w
.

Доказательство. Для доказательства достаточно использовать аффинные коорординаты, в них по
каждой координате Пусть

v

операции

v превращаются в

v

u

v

M w-

n

риманово многообразие. Что представляет собой выражение:

R(v , u)w =

v

u

w-

[v u]

w

? Разумеется, это гладкое векторное поле.

Tеорема 51.
функции

Выражение R(u, v )w линейно по каждому аргументу. f : R(f u, v )w = R(u, f v )w = R(u, v )(f w) = f R(u, v )w.

Более того, для любой гладкой

Доказательство. Очевидно, что

дят в выражение одинаково, утверждения достаточно проверять для

R(u, v )(w1 + w2 ) = R(u, v )w1 + R(u, v )w2 . Поскольку v и u вхоv . Имеем R(v 1 + v 2 , u)w = w + v2 u w + u v1 w + u v2 w - [v1 u] w - [v2 u] w = R(v 1 , u)w + R(v 2 , u)w. Здесь мы v1 u пользуемся линейностью операций vи u , [v u] и т.п. (по любым аргументам). Вычислим R(v , u)(f w )
v u

(f w ) =
u

v

((u f )w + f
v

u

w) = (v u f )w + u f
u

v

w +v f
u

u

w+f w

v

u

w

(f w) = (u v f )w + v f
[v u]

w + u f
[v u]

v

w +f

v

(f w) =

[v u]

fw + f

w

Вычтем из первого два других равенства, одинаково отмеченные члены взаимно уничтожатся. Вычислим

R(f v , u)w
fv

:

u

w=f

v

u

w,

u

fv

w=

u

(f

v

w) = (u f ) w-f
[v ,u]

v

w+f

u

v

w,

(1)

[f v ,u]
ибо

w =(u f )

v

w,

[f v , u] = f [v u] - (u f )v

. Вычитая из 1-го два других, получаем нужный результат.

В частности,

Следствие 30.
Пусть

При фиксированных

v, u h

соответствие

касательных пространствах, т.е. тензорное поле типа

w R(v , u)w (1, 1).

поле операторов в



любое ковекторное поле,

векторное поле.

Следствие 31.
(R(v , u)w, h)

Выражение

тензор типа

< , R(v , u)w > (4, 0).

тензор (тензорное поле) типа

(3, 1)

. Выражение

Доказательство. В самом деле, (a, b) = gij X i Y j , поэтому (f a, b)

< f , a >= f < , a >=< , f a >=< , f a > = f (a, b) = (a, f b).

(ибо

< , a >= i X

i

),

Здесь мы пользуемся одной из характеристик тензорного поля:

T = T (a, ...; , ...) Mn AM

это полили-

нейный функционал, гладкие функции как множители аргументов выносятся из тензора. Оба тензора называются тензорами кривизны (Римана) многообразия ные пространства евклидовы (или псевдоевклидовы), в каждой точке изоморфизм . Поскольку касательимеется естественный или что

h=

-1

: VA VA

векторного пространства сопряженному, при котором для пар

( )

имеет место тождество

Таким образом, для указанных Отметим, что тензор

h = < , a >= (a, h). (( h)i = gij hi = j ; j aj = gij hi aj = (h, a).) и h имеем < , R(u, v )w >= (R(u, v )w, h). Это означает,

оба тензора получаются друг из друга посредством операций опускания и поднятия индекса. быть определен для любого

< , R(u, v )w > не M n с аффинной

использует скалярное произведение, так что может связностъю .

46


7.2
Имеем

О координатах тензора кривизны.
R(ei , ej )ek =
jk

(

x

i

k )e + j

Выражение в Для тензора место.

ej ek - ej ei ek = (поскольку [ei , ej ] = 0) = ei (j k e ) - ei e - ( xi ik )e - ik ej e = ( xi j k - xj ik + j k i - ik j )e скобках это < , R(ei , ej )ek > = Rij,k координата тензора. (R(v , u)w, h) имеем Rij,kl = (R(ei , ej )ek , el ) = Rij,k (e , el ) = Rij,k g e
i

e .

j

( e ) = ik

l . Эти коор-

динаты результат опускания верхнего индекса тензора Отметим: по метрическому тензору координаты тензора кривизны.

< , R(v , u)w >

типа

(3, 1)

на последнее

G = {gij }

находятся символы Кристоффеля, а по ним затем

7.3
Итак,

Свойства тензора кривизны и его координат.
Rij,kl = (R(ei , ej )ek , el ).
1.

Tеорема 52.
2. 3. 4.

(R(v , u)w, h) = -(R(u, v )w, h), R
k.

ij,kl

= -R

j i,kl .

(R(v , u)w, h) = -(Rv , u)h, w), Rij,kl = -Rij,l R(v , u)w + R(u, w)v + R(w, v )u = 0, R (R(v , u)w, h) = (R(w, h)v , u), R
ij,kl ij,kl

+R

j k,il

+ Rk

i,j l

=0

(тождества Риччи).

=R

kl,ij .

Таким образом, координаты далеко не независимы, существенных намного меньше, чем

n

4

. При

n=2

имеется только одна существенная координата это

R

12,12 .

Доказательство. Утверждение 1) очевидно. Остальные утверждения достаточно доказать для коv = X i ei , u = Y j ej , w = Z k ek , h = H l el , то, расписывая тензор как полилинейную ijkl форму (R(v , u)w , h) = Rij,kl X Y Z H и используя соотношения для координат, получим нужные
ординат: если соотношения вообще. Поскольку координатные поля частный случай голономных векторных полей, достаточно доказывать утверждения для полей Косая коммутативность по случае

(R(v , u)w, w) = ( v v = ei , u = ej
u w

u

w w, w) - (

и

u

v , u, w, h с нулевыми коммутаторами. h эквивалентна обращению в нуль (R(v , u)w, w). Но имеем: 1 v w , w ) = 2 (v u (w , w ) - u v (w , w )) = 0, ибо [v u] = 0 (в R(v , u)w =
v u

тут сразу вторые частные производные). Этим доказано 2).

Для утверждения 3) просто выписываем все три члена:

w-

u

v

w; R(u, w)v =
, на). Для

v-
v

w u

пример,

R(w, v )u = w - v wu = +Rk + Rl
i,j l

u v;

w v

v u

(

u- w-

v w

u u) =
w

и при сложении пользуемся симметрией

v

(0) = 0

(использовано, что

[v u] = 0

доказательства 4) складываем четыре тождества Риччи:

Rij,kl + R Rj
k,li l,ij

j k,il l,j i

=0 =0 =0 = 0. 2(Rk
i,j l

+Rk +R +R

j,ki ik,lj

Rk Rl

li,kj ij,lk

+R +R

i,j k

j l,ik

Уничтожаются одинаково отмеченные члены. Из правого столбца получим Теорема доказана.

- Rj

l,ki

) = 0.

7.4

Тензор Риччи
R
, называемый тензором Риччи : = Rч
и

Свертка тензора кривизны по двум не антисимметричным индексам (иначе был бы нуль!) дает новый тензор

g Rч

s Rч = R ч

ч ч

= R

(sч оператор свертки)

.

Этот тензор симметричен, что следует из симметрий тензора кривизны:

Rч



=R

ч

=R

ч

и

R = g

ч

Rч



=g

ч

R

ч

= R .

47


7.5

Признаки локальной евклидовости.

k ij

Как было отмечено ранее, риманова метрика тогда и только тогда эквивалентна евклидовой (локально), если существуют координаты, в которых признак нельзя перебрать все координаты. В самом начале, при определении тензора кривизны было замечено, что для евклидова пространства он равен нулю.

=0

. Однако невозможно применить этот

Tеорема 53.

Эквивалентны утверждения:

1. Риманова метрика (локально) эквивалентна евклидовой; 2. Тензор кривизны обращается в нуль; 3. Параллельный перенос векторов (локально) не зависит от пути. Доказательство. Как только что замечено, из 1) следует 2). Докажем импликацию
Пусть

A

0и

A

1 две точки на карте (достаточно близкие). Рассмотрим два пути из

t, 0 t 1. Считаем, что на них натягивается гладкая A(0, ) = A0 , (1, ) = A1 , первый путь пусть A(t, 0), второй A(t, 1). Пусть w 0 некоторый вектор из VA0 . При каждом перенесем его в A по пути A(t, ), в точке A1 получим семейство векторов w( ) = w(1, ), где w(t, ) векторы вдоль пути A(t, ). Имеем: j k w(t, ) = (X 1 , . . . , X n ), X i = X i (t, ), dX + k X i dx = 0, k и xj функции от t и . ij ij dt dt В этой системе уравнений играет роль параметра, поэтому w (t, ) гладкое векторное поле от t и . В частности, векторы w (1, ) = w ( ) в A1 гладко зависят от . Пусть v векторы касательные к поверхности по параметру t а u по . На этой поверхности 0 = R(v , u)w = v u w - u v w. Здесь [v u] = 0, поскольку координаты с поверхности t, n продолжаются (локально) до координат в M (показано раньше). Поскольку w параллельны по t, k v w = 0, значит, v u w = 0, поэтому по t параллельно векторное поле u w . Имеем ( u w ) = k j X k i x + ij X . Рассмотрим это при t 0, в малой окрестности точки A0 . Поскольку там 0 , k то ( u w ) 0, следовательно, | u w | 0. Но этот вектор параллелен по t, | u w | = const, поэтому u w = 0 всюду. Вывод: поле w (t, ) параллельно не только по t, но и по . Рассмотрим ситуацию при r 1, в окрестности A1 , где пользуемся доказанным равенством Xk xj Xk k i xj = -ij X . Поскольку по той же причине 0, то 0 при t 1. Следовательно,
с общим параметром

2) 3). A0 в A1 поверхность A(t, ),

dX k (1, ) = 0, X k (1, ) = const. d Итак, результат переноса не зависит от пути (правда, при переносе по простым путям, без заузливаний и т.п., поскольку на пути натягивались пленки). Докажем импликацию простыми путями. Пусть окрестности

3) 1)

, пользуясь

A

0 . В любой

w0 , . . . , w0 базис в A0 . Разнесем параллельно его n 1 точке A возникают векторы w 1 , . . . , w n , т.е. базисные

по всем точкам в векторные поля в

0 0 w1 , . . . , wn 1 1 1 1 по линии x в интервале x0 - x x0 + , поля окажутся гладкими. Считая x параметром, с 2 этой линии разнесем по координатным x -линиям, на малую координатную поверхность координат 1 2 x и x (используем гладкую зависимость решения).
окрестности. Эти поля можно считать гладкими по следующей причине. Сперва разнесем

1

Имеем Поскольку

ui uj = 0, ибо в точку A вектор симметричная связность, то

u

j мы могли принести по линии, касающейся ui . ui uj - uj ui = [ui , uj ] = 0. Следовательно, поля

u1 , ..., u

системе координат

n голономные, т.е. являются базисными для некоторой системы координат (карты). В этой k = ( ui uj )k = 0. Следовательно, связность эквивалентная евклидовой. ij Теорема фактически доказана.
В самом деле, раз геометрия (локально) евклидова, то результат переноса векторов не зависит от пути не только простого, но и любого.

7.6
Пусть

Кривизна в двумерном направлении.

двумерная плоскость в касательном пространстве

V

A в точке

AM

n

. Условимся рас-

v , u . Поскольку тензор кривизны кососимметричен по v и u, то всегда (R(v , u)w, h) = 0, если v = u, так что v и u будем считать базисными в . Изучим выражение (R(v , u)v , u). Пусть v , u другая пара в , и C матрица перехода от v и u к v , u , фактически составленная координатами v ,u в базисе v , u. Вспомним, что значение кососим2 метричного тензора на плоскости R (типа (2, 0)) на каждом базисе его координата в этом базисе, преобразующаяся по закону T12 = det C T12 (такая формула преобразования была установлена n для кососимметричных T типа (n, 0) в R ). Поэтому имеем (R(v , u )v , u ) = det C (R(v , u)v , u ) =
сматривать касательные векторы 48


(det C )2 (R(v , u)v , u).

v и u ортонормированы, то (det C )2 = (v , u ) определитель Грама векторов, то есть (R(v , u )v , u ) = (v , u )(R(v , u)v , u). Если v , u тоже ортонормированы, то (v , u ) = 1. Таким образом, для всех ортонормированных базисов в число (R(v , u)u, v ) одно и то же. Оно обозначается K (A) и называется кривизной многообразия M в точке A M по двумерному направлению VA . (R(v ,u)u,v ) для любой пары неколлинеарных векИз сказанного выше заключаем, что K (A) = (v ,u) торов v , u (ибо, если a, b ортонормированны, то (R(v , u)u, v ) = (v , u)(R(a, b)b, a)).
В случае, если

Замечание 14.

Смена порядка векторов

v, u

во второй паре аргументов тензора кривизны Ри-

мана продиктована некоторыми соображениями, которые выяснятся позже, при сопоставлении 3 с теорией поверхностей в R .
Если

K (A) M
n

в каждой точке

M

n

не зависит от



, то при

3n

эта кривизна оказывается ло-

кально постоянной, и, в случае связного

M

n

, следовательно, постоянной (независящей и от точки

A

) по всему

. Такие римановы многообразия называются пространствами постоянной кривиз-

ны. Сформулированный факт сложная теорема. Мы докажем некоторый частный результат, а
именно, что пространство постоянной нулевой кривизны локально евклидово.

Tеорема 54.

Если

(R(v , u)v , u) = 0

Римана равен нулю (и, следовательно,

для любых векторных полей M n локально евклидово).

v

и

u,

то тензор кривизны

Доказательство. Имеем тождество Риччи:

(R(v , u)w, h) + (R(u, w)v , h) + (R(w, v )u, h) = 0 3(R(v , u)w, h) = 0,

. Если

убедимся в косой симметрии тензора по 2-му и 3-му аргументам, то с помощью косой симметрии по первым двум аргументам тождество превратим в занной. Проверим косую симметрию. Для этого достаточно убедиться, что (R(v , u)u, h) = 0. Исходя из (R(v , u)v , u) = 0 имеем 0 = (R(v , u + w)v , u + w) = (R(v , u)v , u) + ((R(v , w)v , u) + (R(v , u)v , w) + (R(v , w)v , w) = (R(v , w)v , u) + (R(v , u)v , w) = 2(R(v , w)v , u) = -2(R(w, v )v , u) = 0. Теорема доказана. и теорема окажется дока-

7.7

Кривизна K (A) как кривизна геодезической поверхности.
dim M = 2 двумерное направление VA , поэтому в этом случае K (A)
в точке

В случае плоскость

AM

единственно это касательная

K (A) точки A M , (R(v ,u)u,v ) K (A) = (v,u) для любых линейно независимых векторных полей v , u на двумерном M . Эта функция называется полной кривизной поверхности M (будет показано, что в случае поверхности 3 в R она совпадает с гауссовой, то есть полной кривизной поверхности, чем и объясняется термин). n Рассмотрим, однако, M , n 3, и точку A M . Пусть двумерная плоскость в VA . Ее образ n вM при экспоненциальном диффеоморфизме -шара в VA на окрестность точки A есть гладкая
просто некоторая функция поверхность

S , она состоит из всех выходящих из A геодезических по направлениям S называется геодезической поверхностью, проходящей через точку A направлении .
, поэтому

векторов

v

в двумерном

Tеорема 55. K (A) = K (A)
полной кривизне поверхности Доказательство. Пусть

для

S

: кривизна

M

в точке

A

в двумерном направлении



равна

S

в точке

A

.

, а e1 , . . . , en его дополVA . Так как (e1 , e2 ) = 1, то K (A) = R12,12 . Геодезическая 3 n ? поверхность определена условиями x = . . . = x = 0. Пусть R(v , u)w тензор кривизны на S . По ? 12,12 , так что следует доказать равенство R12,12 = R12,12 в точке A. ? той же причине K (A) = R k Рассматриваемые координаты нормальные (римановы), ij = 0 в точке A. Ковариантное дифференцирование ? в S получается ортогональным проектированием результата на S . Поскольку ? e ei = 0 при i, j 2, то есть k = 0 (для индексов 1, 2). ? в точке A имеем ej ei = 0, то также j ij 12 11 ? Имеем R12,21 = -R12,12 = (- 1+ 2 )g 2 (аналогично для R12,21 ). Но в точке A имеем
2 ортонормированный базис в плоскости
нение до ортонормированного базиса в

e1 , e

x

x

g 2 = 2 , то есть = 1 при = 2 (и нуль при = 1), поэтому R12,21 = - x12 + x11 (аналогично для 1 2 k k ? ? R12,21 ). 2 = 1 ( g12 + g21 - g12 )g k2 . Здесь суммирование по k от 1 до n. Для 2 аналогичное 12 12 2 x x xk выражение (причем с теми же gij при i, j 2, поскольку метрика на S ограничение метрики M n на поверхность x3 = . . . = xn = 0, но суммирование в нем по k от 1 до 2. При вычислении 2 k2 12 производной не представляет интереса, поскольку x1 по правилу произведения производная от g gij выражение в скобках равно нулю в точке A: = k (ei , ej ) = ( ek ei , ej )+(ei , ej ) = (e , ej )+ ik xk x
49

2

2


2 12 . Таким образом, следует учитывать лишь 22 производные от скобок. Но g (A) = , поэтому остается лишь скобка при k = 2. Итак, g = 1, 2 2 ? 12 2 g12 g22 g12 1 1 g22 12 поэтому в точке A имеем: x1 = 2 x1 ( x2 + x1 - x2 ) = 2 x1 x1 . Тот же результат для x1 . 2 g2k g11 1 g1k 2 k2 11 ?2 Рассмотрим 11 = ( 2 x1 + x1 - xk )g . При вычислении x2 (аналогично к 11 ) учитываем 2 11 g12 g11 1 те же нюансы, что и выше, получаем x2 = 2 x2 (2 x1 - x2 ), и этому же равна производная ?2 x2 11 . Теорема доказана.

j (ei , e ) ( k



= 0).

Аналогично, для производной от

?

k2

k2

7.8

Кривизна K (A) для поверхностей в R3 .
Для поверхности в

Tеорема 56.

R

3

функция

K ( A)

совпадает с гауссовой (то есть полной) кри-

визной поверхности в каждой точке

A

.

Следствие 32.

Гауссова кривизна поверхности внутренний инвариант (не меняется при изо-

метричных наложениях изгибаниях поверхностей).
Это знаменитая theorema egregium Гаусса.

Следствие 33.

Поверхность (локально) изометрична плоскости в точности, когда гауссова кри-

визна нулевая (в этом случае обращается в нуль тензор кривизны). Доказательство теоремы. Фиксируем точку
сательную плоскость, причем оси запишется как поверхности

A0 = 0

, и в качестве плоскости

xOy

возьмем ка-

Ox, Oy

направим по главным направлениям (в которых 1-я и

2-я квадратичные формы примут диагональный вид), а ось

Oz перпендикулярно. Поверхность z = f (x, y ), f (0, 0) = 0 = fx (0, 0) = fy (0, 0). В системе координат x1 = x, x2 = y на e1 = (1, 0, fx ), e2 = (0, 1, fy ), g11 = 1 + (fx )2 , g22 = 1 + (fy )2 , g12 = fx fy . Коэффициенты n=e
3 в точке

2-й квадратичной формы имеют вид ли к поверхности (

l

y y , l12 = 0 гауссова кривизна в точке 11 22
В точке

= fxx , l

=f

O = fxy (поскольку оси Ox 0 есть l11 l22 = fxx fyy .

[e1 ,e2 ] 2r xi xj , n), где n = |[e1 ,e2 ]| единичный вектор норма) (здесь [e1 , e2 ] векторное произведение). В точке O имеем

l

ij

=(

и

Oy

главные направления). Таким образом,

O

матрица

G

метрического тензора единична,

y

от

gij

в точке

O

нулевые, поэтому

является нормальной (римановой). Следовательно,

G(O) = E . Кроме того, производные по x и k (O) = 0 выбранная система координат x, y в точке O = (0, 0) ij Имеем K (AO ) = K (O ) = R12,21 , ибо (e1 , e2 ) = 1 в этой точке.
2 12 x

K (O) = -R
2 12 x

12,12

предыдущей теоремой

fy f

xxy

=0

в точке

= O = (0, 0).

2 11 y (см. предыдущую теорему). В соответствии с 2 2 1 g22 1 2 12 2 ( x)2 , причем g22 = 1 + (fy ) . Итак, x = 2 x (2fy fxy ) = fxy fxy +

=-

+

(fxx fy + fx fxy - 1 2 2fx fxy ) = fxxy fy + fxx fy y + нули = fxx fy y = l11 l22 гауссова кривизна. Мы воспользовались здесь видом g12 , g11 и тем, что fx = fy = fxy = 0 в точке O. Теорема доказана.
Также в соответствии с предыдущей теоремой

2 11 y

=

g12 y ( x

-

1 g11 2 y

)=

y

7.9
Пусть

Вращение векторного поля вдоль пути в двумерном многообразии.
A(t)
гладкая кривая в двумерном римановом многообразии (путь), и

гладкое векторное поле на этой кривой. Пусть переносом вектора кривой). Ясно, что ляет вращение Очевидно,

a(t0 )

для

t>t

0,





a(t) ненулевое ? a(t) векторное поле, полученное параллельным ? угол от a(t) до a(t), отсчитываемый в положительном
ориентировано, по крайней мере в области изучаемой

направлении (считаем, что многообразие

M

2

характеризует меру отклонения поля

a(t)

от параллельного, то есть опреде-

a(t)

(например, если

a(t)

касательные к кривой, то



отклонение от геодези-

ческого движения, равное нулю при движении по геодезической).

? a(t)

зависит от выбора t0 , следовательно, и



тоже. Но при изменении t0 угол между

? a(t)

и новым параллельным переносом

? a (t)

постоянен, поэтому



изменится на константу. Нас

же будет интересовать зависит от выбора Угол

d dt

=

скорость изменения

(скорость вращения поля

a(t)),

она не

t

0.



от

? a

до

a

совпадает, очевидно, с углом от

a(t0 )

до

t

a (t0 )

, где

лученный параллельным переносом

a(t)

по

t

в обратную сторону в точку

a (t0 ) вектор, A(t0 ), t = t - t0

t

по(та-

Dv dt ). Без ограничения общности можно считать, что a(t) единичные векторы (любое ненулевое поле можно нормировать). Имеем t at -a - Da = limt0 a a , откуда | Da | = (ибо |a| = 1). Кроме того, Da a, dt = limt0 t t dt dt Da поэтому = b, где b единичный вектор, b a и пара a, b имеет положительную ориентацию. dt
кое обозначение уже использовалось ранее при изучении

50


Такие векторы

b

можно построить во всех точках, возникнет ортогональное

a(t)

векторное поле

b(t).

Можно написать

|

Da dt

|=(

Da dt

, b)

Получим

=

t Da ( t0 dt

, b)dt.

7.10

Случай замкнутого пути.
L
, параметризованный с периодом Мы предполагаем, что это гладкая замкнутая кривая,

В ситуации предыдущего пункта рассмотрим замкнутый контур

c > 0 (A(t) = A(t + c), - < t < ). A(t2 )
, если

расположенная в координатной области (гомеоморфной

R

n

), и без самопересечений, т.е.

A(t1 ) =

|t1 - t2 | < c.

Хорошо извествно, что такой конту ограничивает в карте область, замыкание

которой гомеоморфно (в нашем случае диффеоморфно) диску. Пусть обнесения

a a

вектор в точке

t

0, а

? a

в той же точке

по замкнутому пути (т.е. имеет параметр

A(t0 ), но полученный t0 + c). Под здесь

после параллельного естественнее считать

? a до a. Угол теперь это угол отклонения обнесенного = - ( Da , b)dt. dt Заметим, что вектор a, заданный в точке t0 , мы продолжаем до векторного поля (единичных) векторов на всем контуре, затем строим поле b(t) единичных векторов ортогональных полю a. Результат интегрирования определен, конечно, с точностью до 2 k (ибо продолженное поле a(t) может вращаться). Если изменить продолжение a(t), то поскольку вектор a(t0 +c) = a(t0 ), результат ? ? может измениться только на 2 k . Пусть вращение поля a(t) после одного обхода, = Da ? ( dt , b) dt, а угол от вектора a(t0 ) до параллельно обнесенного. Тогда, либо = -, ? = 2 k (в отличие от , малого при малых контурах, угол , поскольку поле a ? либо + Da может совершать обороты, не обязательно мал). Тем самым = - ( dt , b) dt + 2 k . В случае, ? = 2 . если a(t) касательные к контуру L, + Результат не зависит от выбора (единичного) вектора a в точке t0 , ибо это поворот всей касательной плоскости после ее обнесения по контуру, углы между a и a остаются постоянными, так что a и a после обнесения повернутся на один и тот же угол. Еще несколько замечаний. а) не зависит не только от выбора a в точке A0 , с параметром t0 , ? но и от выбора исходной точки A0 . Если 0 отвечает t0 > t0 , пусть a перенос a в точку t0 , и a ? ? перенос a туда же. Ясно, что от a до a совпадает с углом от a до a . б) меняет знак при обнесении в обратном направлении: в качестве исходного возьмем вектор ? ? a, тогда a результат обратного обнесения a.
уже не угол от до

? a

a,

а наоборот от

вектора от исходного. Имеем:

Условимся производить обнесение контура без самопересечений только в положительном направлении, которое определяется направлением вектора такого, что вeктор этом случае



e2 из положитeльного базиса e1 , e2 , в точкe A0 , 2 касаeтся кривой, а e1 направлeн вовне от ограниченной контуром области. В 2 не зависит от выбора ориентации многообразия M : при смене ориентации меняется e .

положительное направление обхода, но изменяется и положительное направление отсчета

7.11

Исследование формулы обнесения по контуру.
x1 , x2
. В качестве векторного поля

Считаем, что контур находится внутри карты с координатами в качестве

a
),

возьмем любое поле единичных векторов на всей карте (например, нормированные векторы

A)1

b

ортогональные к

ориентацией карты. Тогда

a единичные векторы, для которых ориентация a, b D D = - (( dxa , b) dx1 + ( dxa , b) dx2 ), и по формуле Грина 1 2
D Da dx2 Db dx2 x2 Da dx1

совпадает с

= =
D Da dx1

,b -
D dx2 Db dx1

x

1

Da dx2

,b

dx1 dx2 =
D dx1 Da dx2

,

Db dx2

- ,

,

Db dx1

+ ,

Da dx1

,b -

,b

dx1 dx2 =

=
пусть

D

Da dx1

-

Da dx2

- (R (A)1, A)2) a, b) dx1 dx2 . 2-формы, то det Gdx1 dx2 , где G - матрица метрики. Тогда точек A D (вспомним, что равен интегралу

Область интегрирования

D

область, ограниченная контуром. Для сокращения обозначений

(a, b)
D

все выражение под интегралом. Заметим, что здесь интеграл берется от

есть без учета меры (площади), которая есть

d =

=

(a,b)



|G|

d

это уже интеграл от функции

Римана от функции точек по мере в области интегрированияпорожденной формой объема, в нашем случае метрической).

Лемма 17.

Подинтегральная функция не зависит от выбора векторных полей

a

и

b

.

Доказательство. В самом деле, если бы для некоторых полей
нилась бы в некоторой точке

a ,b

функция под интегралом изме-

AD

, то изменилось бы значение интеграла от нее в малой области

D

51


вокруг

A

. Но результат интегрирования есть угол



поворота обнесенного по контуру

D

вектора,

а он зависит только от контура. Значит, для вычисления подинтегральной функции можно подбирать поля расчетов способом.

a

и

b

удобным для

,b Tеорема 57. (aG|) = K (A) |
верхности в

полная кривизна многообразия

M

(гауссова кривизна в случае по-

R

3

).

Доказательство. Возьмем вокруг
векторами

A

координаты из касательной плоскости (геодезический круг) с

A)1, A)2

ортонормированными в точке

параллельным переносом линии в обе стороны по

A)1, A)2
1

сперва по координатной линии

x

линиям (при

A
в

|G| = 1, и обращаются в нуль (a, b) есть -R12,12 = K (A) в точке A.
имеем

b возьмем поля, получающиеся x2 (при x1 = 0), затем с этой 2 x = const , где - < const < ). В этих условиях в точке Da Db dx1 и dx1 в выражении для (a, b). Оставшееся слагаемое
. В качестве и Теорема доказана.

A

a

Следствие.
2. Если

1.

=

D

K (A)d =

D

R12,21 |G|

d =

R12



,21

|G|

dx1 dx

2

, ,

углы геодезического треугольника, то

двигаться из вершины влево на угол угол

A A

по геодезической стороне

+ + = + . В AB , то в вершине B

самом деле, если сделаем поворот

-

(отклонение от параллельного переноса). Далее сделаем в на угол

C

поворот на

-

, в вершине

-

. Если бы мы сохраняли параллельное направление

вектора при обходе, то отклонение от первоначального в точке образом, к



мы добавили 3 поворота влево, получили ).

и требовалось. (Ранее доказывалось соотношение

A было бы только . Таким + - + - + - = 2 , что ? + = 2 k = 2 (у нас k = 1), причем

? = ( - ) + ( - ) + ( - )
3. Если кривизна

контуром. На сфере радиуса

= K , где площадь области, окруженной 1 = , сумма углов геодезического треугольника площади есть + + = + > . При K = 0 обычные соотношения евклидовой плоскости (планиметрии). Известно, что в некотором масштабе для плоскости Лобачевского K = -1, = - , + + = - < .
постоянная, то

K (A) = K

7.12
Пусть

Обнесение вектора по контурам поверхностей, касающихся бивектора.

A0 точка многообразия M n , u0 , v 0 и w0 - касательные векторы в точке A0 . Можно считать, что u0 , v 0 , w 0 значения векторных полей u,v , и w , определенных в окрестности A0 . Поскольку R(v , u)w = R(A)i, A)j )A)k X i Y j Z k , A)1, . . . , A)n базисные поля карты (x1 , . . . , xn ), а X i , Y j , Z k координаты u, v , w , значение R(v 0 , u0 )w 0 определено независимо от продолжений векторов в точке A0 до векторных полей в ее окрестности. n Пусть VA0 линейная оболочка u0 , v 0 . Будем рассматривать поверхности в M , касающиеся i i 1i 2i плоскости . Такие существуют (например, x = x0 + t Y + t X , i = 1, ..., n). x1 xn i i12 Пусть S одна из таких поверхностей, x = x (t , t ). Пусть u = ( 1 , . . . , t t1 ) векторное поле 1 2 12 по линиям t , v аналогичное векторное поле по t . Поскольку координаты t , t с поверхности n продолжаются (локально) до координат в M , то [v , u] = 0. Считаем, что точке A0 , отвечают 1 2 координаты t = t = 0 на S . 1 2 1 Пусть w 1 результат переноса w 0 по линии t (при t = 0) в точку (t , 0) на S , w 2 результат 2 2 2 1 2 переноса w 1 , по линии t (при t = t ) в точку (t , t ) на S , w 3 результат переноса w 2 по 1 2 2 2 2 1 линии t (при t = t ) в точку (0, t ) и w 4 -результат переноса w 3 по линии t (при t = 0) в точку A0 .

Tеорема 58. R(v 0 , u0 )w0 = lim
линии

w 4 -w 0 t0 t1 t2 (независимо от выбора

S

).

S векторное поле w следующим образом. Сперва разнесем w0 по t = 0 ) на участок - t1 , а полученное (гладкое по t1 ) поле разнесем по линиям t2 для значений - t2 . Поле w гладко на S (гладкая зависимость решений дифференциальных DD уравнений от начальных условий). Имеем R(v 0 , u0 )w 0 = v uw - u vw = v u w = dt2 dt1 w 2 (здесь учтено, что [v u] = 0 и что w параллельно по t -линиям, касающихся векторов v ). D Dw Dw 2 Для вычисления dt2 ( dt1 ) (а к этому сведено доказательство теоремы) нужно ( dt1 )(0, t ) переDw Dw 2 2 2 нести из (0, t ) в (0, 0), вычесть dt1 (0, 0), поделить на t и найти предел при t 0. Но dt1 = 0
Доказательство. Определим на 1 2

t

(при

52


t2

в точках

(t1 , 0)

(ибо

w

перенос

w

0 на этой линии). Пусть
тогда

D w параллельный перенос в точку dt1
t2 t2

D Dw 1 Dw Dw 2 dt2 ( dt1 ) = limt 0 t2 dt1 . Изучим dt1 . 2 w3 -w(0,t2 ) Dw 1 ), или Dw = w3 -w(0,t ) + (t1 , t2 ) (где w3 = Прежде всего, dt1 = limt 0 ( t1 dt1 t1 (t1 , w2 )t , w = w(t1 , t2 )), причем векторное поле стремится к нулю при t1 0. При этом (t1 , 0) = 0, поскольку на линии (t1 , 0) w2 = w1 , w(0, 0) = w0 и (t1 , w1 )t = w0 . В силу гладкости 2 1 2 поля имеем = t 1 , и 1 0 при t 0. Имеем из предыдущего равенства w 3 - w (0, t ) = Dw 1 1 2 2 dt1 t - 1 t t . Нам следует перенести это равенство из точки (0, t ) в точку A0 = (0, 0), при 1 2 1 2 2 t 2 2 Dw t этом w 3 w 4 , w (0, t ) w 0 , w 4 - w 0 = (t , dt1 ) t - (t , 1 )t t . Далее (t , ) 0 при 1 t 0 (непрерывная зависимость результата переноса от начальных условий). Остается поделить 1 2 1 2 это равенство на t t и взять предел при t 0, t 0. Теорема доказана.

A0 (0, 0)

вектора

Dw dt1 из точки

(0, t2 ),

S , касающейся . Найдем переформулировку, u0 , v 0 в этой плоскости. 1 2 12 22 Для этого заметим, что (t u0 , t v 0 ) = (t ) (t ) (v 0 , u0 ), а площадь криволинейного (v 0 , u0 )t1 t2 + (t1 , t2 ), где 0 при параллелограмма на этих векторах есть = w 4 -w 0 w 4 -w 0 t1 , t2 0. Имеем t1 t2 = ( (v 0 , u0 )+ t1 t2 ) и R(v 0 , u0 )w0 = lim0 w4 -w0 (v 0 , u0 )
Итак, результат не зависит от выбора поверхности в которой будет несущественным и выбор

.

Tеорема 59.
висимых пар

Соотношение

R(v 0 ,u0 )w



0

(v 0 ,u0 )

= lim

0

w 4 -w

0

одно и то же для всех линейно неза-

u0 , v 0

, но только меняет знак при изменении ориентации базисных векторов

u0 , v

0.

Доказательство. В самом деле, если

det C R(v 0 , u0 )w M

0, и

C матрица (v 0 , u0 ) = (det C )2 (v 0 , u0 ).

перехода в



от

v0 , u

0к

v

0,

u0

, то

R(v 0 , u0 )w0 =

Таким образом, предел в правой части не зависит ни от выбора касающейся поверхности в n , ни от базисов u0 , v 0 в , но изменяется знак при изменении направления обнесения w 0 по

контурам.

7.13

Обнесение и кривизна в двумерном направлении.

Рассмотрим частный случай, в котором

w0 = u0 . Пусть u4 результат обнесения u0 (в ориентации u0 ,v 0 , то есть сперва по линии t1 вектора u, затем по t2 -линии в точку (t1 , t2 ) при t2 > 0 (и ? t1 > 0) и т.д.). Обнесенный вектор u4 уже не касается . Пусть u4 его ортогональная проекция ? на , угол от u0 до u4 (измеряемый в ориентации от u0 до v 0 ).

Tеорема 60. K (A0 ) =
где

(R(v 0 ,u0 )u0 ,v 0 ) (v 0 ,u0 )

= lim

0 . Таким образом,

= K (A0 ) + ( ) u0 , v 0 , но зависит, v 0 . Возьмем в

,

0

при

0

.
конечно, качестве

Доказательство. Результат предыдущей теоремы не зависит от выбора
от

w

0 . Таким образом, мы не имеем права изменять

u

0 , но можем изменять R(v 0 ,u0 )u0

v

0 единичный вектор, перпендикулярный

u

0 (и той же ориентации к

что в этом случае

(v 0 , u0 ) = |u0 |

. Имеем

K A = (

u0 , что и прежний). Заметим, v 0 ) = lim 0 ( u4 -u0 , v 0 ) = , |u0 |

? ? 4 | cos u4 ,v ) u4 ,v ) ? lim0 (u4 |0 = lim0 (u0 |0 = lim0 |uu0 | . Но lim |u4 | = |u0 |. Угол же между векторами | | | ? v 0 и u4 удовлетворяет соотношению cos = sin (если < , например, то от u0 направлен в ту 2 sin sin же сторону, что и v 0 , и наоборот при > 2 ). Итак, K A = lim 0 = lim 0 , причем sin

1.

Теорема доказана.

Отметим, что результат не зависит от ориентации

u0 , v

0 при ее смене изменится направление



, но меняется и направление отсчета углов.

53


8 ДОБАВЛЕНИЯ
8.1
v, b

Формула Гаусса Бонне
r (u1 (t), u2 (t))
, лежащий в пределах некоторой карты на поверхности, репер

Рассмотрим контур вдоль контура.

, полученный ортонормализацией координатного репера в этой области, и касательный орт

(t)

При обходе контура вектор ?.11, на угол

2 = -



v повернется относительно параллельного перенесения, согласно п. 1 = S K d . Поворот (t) относительно паралельного перенесения, см.п. 7.9, равен k . Поворот касательного вектора относительно координатного орта v равен 2 . = g 2
, но при регулярной деформации с непрерывно меняющимся

(Мы можем продеформировать малый контур в пределах координатной области в окружность, для которой этот поворот равен ненулевым вектором скорости число оборотов (целое число) не меняется.) Первый угол равен сумме второго и третьего. В итоге мы получаем важную формулу

K d +
S
Она называется формулой Гаусса Бонне.

kg ds = 2 .
=

8.2

2. Геодезические на сфере

Мы отмечалив введении, что экватор сферы очевидно нужно считать аналогом прямой на сфере, т.е. геодезической. Мы теперь можем это установить, не решая уравнения.

Задача

. Написать и решить уравнение геодезической для единичной сферы.

Для любого большого круга на сфере вектор кривизны направлен к центру и его направление совпадает с направлением нормали к сфере. Значит, геодезическая кривизна равна нулю и большой круг является геодезической. Других геодезических нет, т.к. через каждую точку в каждом направлении можно провести большой круг. С другой стороны мы можем рассуждать иначе. Геодезические переходят в геодезические при изометриях, т.к. они принадлежат внутренней геометрии поверхности. В частности, это так при симметриях поверхности. Но каждый большой круг определяет отражение сферы в плоскости этого круга. Если бы в направлении круга проходила через данную точку геодезическая отличная от круга, то при этом отражении она перешла бы в отличную от нее геодезическую с тем же направлением, чего быть не может по теореме единственности.

8.3

3. Геодезические поверхностей вращения. Теорема Клеро

Предыдущее рассуждение показывает более общим образом, что меридианы поверхности вращения являются геодезическими.

Контрольный вопрос.

Когда окружность, ортогональная оси, будет геодезической?

Вообще, для геодезических кривых поверхности вращения справедлива

8.3.1 Теорема Клеро
Для точек геодезической на поверхности вращения произведение расстояния от точки до оси вращения на синус угла кривой с меридианом постоянно.

Доказательство.
виду

Рассмотрим, вообще, поверхность, метрика которой может быть приведена к

ds2 = du2 + g (u)dv u

2

. В нашем случае поверхности вращения

g = (u)

есть квадрат расстояния



от точки кривой до оси вращения (см.п.11 Лекция 6). Заметим, что для кривых

v = const
dg du .

пара-

метр

нормальный. Подсчитаем символы Кристоффеля по известной формуле. Мы получим, что

ненулевыми являются только символы Запишем уравнения геодезических:



1 22

= -g g

и

2 = 2 = 12 21

1 2g

g

, причем

g=

u = -1 v 2 = g g v 2 Е 22 1 1 v = -2 uv - 2 v u = - g g uv = - g g v . Е 12 21

54


Нам удобнее считать косинус, а не синус. Поэтому введем угол координаты направляющего вектора геодезической ческой нормальный. Поэтому



между направлением гео-

дезической и параллелью. Координаты направляющего вектора параллели

(0, 1),

а его длина



g

,

(u, v ),

длина равна

1

, т.к. параметр геодези-

gv cos = = g v g ( cos ) = ( g cos ) = (g v ) = g v + g v , Е

и

что равно нулю, благодаря второму уравнению геодезических.

Контрольный вопрос.

Верно ли обратное?

Приведем еще одно доказательство теоремы Клеро, не опирающееся на подсчет кристоффелей. (Это доказательство взято из лекций И.А.Дынникова на сайте кафедры.) Доказательство. Пусть

q (s)

натуральная параметризация геодезической на поверхности вра-

2 векторов, первый из которых параллелен оси (q (s)) от точки q (s) до оси равно |q 2 |, а касательная к параллели, проходящей через эту точку, имеет своим направляющим вектором векповерхности, а второй перпендикулярен. Тогда расстояние торное произведение мы имеем

щения. Разложим радиус-вектор

q

в сумму

q = q1 + q

q ,q

[q 1 , q 2 ]. Так как параметризация рассматриваемой геодезической натуральна, = 0. Кроме того, так как кривая q (s) является геодезической, вектор ускорения

q

(который в натуральной параметризации совпадает с вектором кривизны) ортогонален всей ка-

сательной плоскости в соответствующей точке, в частности, направляющему вектору параллели, т.е.

q , [q 1 , q 2 ] = 0.

Отсюда

cos ) =

q ,[q 1 ,q 2 ] |[q 1 ,q 2 ]|

=
2

(q ,q 1 ,q 2 ) |q 1 | q q
1 1

= q, ,q
2

q q

1 1

,q

2 q q
1 1

= ,q
2

= q,

q q

1 1

,q

+ q,

+ q1 ,

+ q2 ,

q q

1 1

,q

2

.

Мы уже выяснили, что первое слагаемое в этой сумме равно нулю. Второе слагаемое равно нулю, поскольку вектор

q 1 /|q 1 |

является единичным направляющим вектором оси поверхности, а

значит, он постоянен. Третье слагаемое равно нулю, так как вектор поскольку дважды содержит

q

1 коллинеарен

q

2 в смешанном произведении. Таким образом,

q 1 , а последнее ( cos ) = 0, т.е.

cos

постоянная величина.

8.4

4. Полугеодезические координаты

Мы теперь должны выяснить второе основное свойство геодезических показать, что это кратчай-

шие кривые. Иными словами, эти кривые минимизируют функционал длины, т.е. служат точками
минимума для функции длины на бесконечномерном пространстве кривых, соединяющих две данные точки. Естественный подход к доказательству этого факта лежит через вариационное исчисление уравнение геодезической служит уравнением Эйлера - Лагранжа для функционала длины (это уравнение в функциональном анализе является аналогом условия равенства нулю производной в стационарных точках для обычных функций). Однако в рамках дифференциальной геометрии предпочитают обходиться своими средствами, не прибегая к бесконечномерному анализу. Так мы и поступим. Но для этого нам нужно ввести и рассмотреть специальный тип координат. Как мы знаем, система координат, в которой средний коэффициент

g12 = F

первой квадратичной

формы обращается в нуль, имеет важное свойство: координатные линии ортогональны. Мы встречались также с так называемыми конформными координатами, в которых, кроме этого условия, выполнено также условие

g11 = g22 (E = G).

В этом случае углы между кривыми на

поверхности те же, что и у их прообраза в координатной плоскости. Введем еще один интересный пример ортогональной системы координат, в которой

g11 = 1.

Определение

. Полугеодезической называется система координат, в которой метрика имеет вид

ds2 = du2 + g22 (u, v ) dv 2 .
Частным случаем является метрика, которая была введена для поверхностей вращения. В ней

g22

не зависит от

v

.

Задача

. Подсчитать символы Кристоффеля в полугеодезической системе.

55


[

Решение.

(Обозначим элемент

g22 = G
0 b
-2

здесь через

b

2

(т.е.

b = |r v ||),

чтобы не путать его с

обычным обозначением самой матрицы первой формы. ) Заметим, во-первых, что обратная матрица к матрице метрики будет

(
2

1 0

). Из частных производных от gij , через которые выражаются

b кристоффели, остаются только xi , где xi есть u или v . В выражении для 1 оба индекса могут быть ij 2 b2 1 только 2 и остается только - u . Таким образом, 1 = - 2 b . В выражении для 2 отпадает случай 22 ij u 2 ln i = j = 1. Если оба индекса равны 2, то мы получаем 2 = 212 bv = v b . Если индексы различны, то 22 b 2 ln 2 = 2 = 212 b = u b .] 12 21 b u
Задача

. Показать, что гауссова кривизна поверхности в полугеодезической системе равна K = -



2

b v2

/b.

Легко получается следующее свойство полугеодезической системы координат:
Утверждение 1. В полугеодезической системе координат (u, v ) длины дуг координатных линий v = const между любой парой координатных линий u = u1 и u = u2 > u1 все равны u2 - u1 . Доказательство. Действительно, на координатной линии v = const мы имеем dv = 0 и ds = du. Иными словами, u является натуральным параметром на каждой кривой v = const. Возьмем какую-либо кривую u = const = u0 в качестве начальной и заменим переменные: (u, v ) (u - u0 , v ). Очевидно, мы не изменим при этом вид метрики и координатные линии, а точки на начальной линии будут иметь первую координату u = 0. В таком случае для любой точки (u, v ) в области нашей координатной системы первая координата будет выражать длину дуги координатной линии v = const от этой точки до начальной кривой. Второе свойство полугеодезических координат состоит в том, что дуги кривых v = const имеют следующее свойство минимальности. Грубо говоря, длина дуги такой кривой меньше длины любой другой кривой, соединяющей ее концы. Однако, тут имеется небольшая тонкость, которую мы проясним позже, из-за которой нам приходится ввести дополнительное требование на малость такой дуги. Утверждение 2. Пусть имеется область U на поверхности, в которой введены полугеодезические координаты (u, v ). Пусть отрезок кривой v = const = v0 , длина которого меньше расстояния от до границы U . (Имеется в виду расстояние в римановом многообразии, как оно было определено в п.5 главы 11А.) Тогда длина меньше длины любой другой дуги, соединяющей ее концы. Доказательство. Пусть ч дуга, соединяющая концы p и q дуги . Если ч выходит за пределы U , то ее длина больше длины . Пусть она целиком лежит в U . Тогда ее длина, согласно нашему условию на вид метрики есть

q

1 + g22
p

dv du

2

du.
q p

Ясно, что поскольку g22 > 0, это выражение не меньше, чем dv возможно, если и только если du = 0, т.е. v = const.

du, т.е. длина . При этом равенство

Теперь мы объясним, почему система координат с таким свойством называется полугеодезической. Дело в том, что кривые v = const на самом деле являются геодезическими:

В полугеодезической системе координат с метрикой ds2 = du2 + g22 dv 2 координатные кривые v = const являются геодезическими. Доказательство. Мы видели, что параметр u является натуральным на кривых v = const. Поэтому орт касательной к координатной кривой v = const является также ее вектором скорости (u) с координатами i (1, 0). Нам надо показать, что эти кривые удовлетворяют уравнению геодезической d + k i j j = 0. k du Выше (в решении задачи) мы подсчитали символы Кристоффеля в полугеодезической системе и убедились, что отличные от нуля символы имеют хотя бы один нижний индекс 2. Таким образом левая часть уравнения равна нулю: первое слагаемое поскольку координаты постоянны, а остальные слагаемые, т.к. ненулевые кристоффели умножаются на нулевую координату . Замечание. Пример большого круга на сфере показывает необходимость введения условия того типа, которое мы приняли в утверждении 2. Если для точки на этом круге взять маленькую окрестность, то в остальной части сферы можно ввести карту, в которой дуга круга не будет иметь минимальную длину среди кривых, которые соединяют ее концы и лежат в дополнении к выбранной малой окрестности. Итак, полугеодезическая система координат определена однопараметрическим семейством геодезических, второе семейство координатных кривых определено как семейство ортогональных кривых к первому. Обратно, такая пара семейств кривых определяет полугеодезическую систему координат, если на геодезических в качестве координатного параметра выбрать натуральный параметр. На самом деле для второго семейства достаточно потребовать, чтобы только одна его кривая была ортогональна семейству геодезических. Тогда это будет верно и для остальных:
Утверждение 3.

56


Утверждение 4. Пусть в данной системе локальных координат (u, v ) семейство кривых v = const состоит из геодезических, причем натуральным параметром для них служит u. Пусть также координатная кривая u = 0 ортогональна геодезическому семейству. В таком случае это полугеодезическая система координат. Доказательство. Ясно, что g11 = 1, поскольку параметр u натуральный и, значит, вектор скорости вдоль координатных кривых v = const является ортом. Нужно показать, что g12 = 0, т.е., что все кривые u = const ортогональны геодезическому семейству. Из условия, что кривая u = 0 ортогональна геодезическому семейству, следует, что в точках этой кривой g12 = 0. g12 Т.к. g11 постоянно, непосредственно видно, что 1 = g 12 u . 11 По условию, линии v = const геодезические, т.е. = 0. По определению кристоффелей 1 есть 11 g12 первая координата этого вектора. Таким образом, g 12 u = 0. 12 Но g 12 = gg , где g детерминант матрицы первой формы. Значит, либо g12 = 0 (что и требуется), либо g12 постоянно. Однако в точках начальной кривой g12 = 0 и утверждение доказано.

8.5

5. Построение полугеодезической системы координат

Мы показали, что координатные кривые полугеодезической системы образуют два семейства, одно из которых состоит из геодезических, причем их натуральный параметр является координатой, а другое состоит из кривых ортогональных кривым первого семейства. И обратно, если для данной системы координат одно семейство координатных кривых состоит из геодезических, натуральный параметр которых служит координатой, причем хотя бы одна кривая второго семейства ортогональна кривым первого, то тогда все кривые второго семейства будут ортогональны кривым первого, а система координат будет полугеодезической. Отсюда видно, как построить полугеодезическую систему координат в окрестности данной точки A M 2 . Нужно провести через эту точку дугу регулярной кривой, и взять на ней произвольный (регулярный) параметр v . Затем через каждую точку нужно провести геодезическую в направлении ортогональном . На каждой построенной геодезической v , отвечающей какому-либо значению v , возьмем натуральный параметр u в качестве координаты, считая, что в точке пересечения v с он равен нулю. Тогда пары (u, v ) будут служить регулярными координатами в малой окрестности A (т.к. в точках кривые ортогональны), причем кривые u = const будут ортогональны построенному семейству геодезических во всех своих точках и наша система координат будет полугеодезической, т.е. первая квадратичная форма будет иметь требуемый вид.

8.6

6. Геодезические как кратчайшие.

Теперь мы можем обосновать второе основое свойство геодезических. Любую геодезическую , проходящую через точку A, мы можем включить в координатное семейство полугеодезической системы координат. Нужно только в описанном только что построении начать с регулярной кривой, ортогональной в точке A. Отсюда и из утверждения 2 следует:
Утверждение 5. Для некоторой окрестности A дуга геодезической, соединяющая A с любой другой точкой B этой окрестности, имеет длину меньшую, чем длина любой другой дуги, соединяющей A и B .

Мы однако еще не доказали, что точку A можно соединить с любой точкой из некоторой ее окрестности геодезической дугой. Для этого нам нужно рассмотреть еще одну конструкцию.

8.7

7. Экспоненциальное отображение.

Мы знаем, что в каждом направлении через данную точку может быть проведена ровно одна геодезическая, натуральный параметр которой имеет в данной точке значение нуль. Придадим этому утверждению более формальный и более полный характер. Нам дана поверхность M 2 с римановой метрикой, имеющей в данной окрестности запись (gij ) : ds2 = g11 du2 + 2 g12 du dv + g22 dv 2 . Она задает скалярное произведение в касательной плоскости в каждой точке этой окрестности.
2 2 Утверждение 1. Рассмотрим касательную плоскость A M в точке A поверхности M . Для каждого орта e в A M 2 обозначим через e геодезическую, проходящую через A так, что натуральный параметр точки A есть 0 и вектор скорости в натуральной параметризации в точке A есть e. Отобразим прямую te A на e , сопоставив точке x = te этой прямой точку y e с натуральным параметром t. Мы получим диффеоморфное отображение некоторой окрестности V точки A в A M 2 на окрестность U этой точки в M 2 , которое обозначается exp: V U M 2 . Это отображение называется экспоненциальным и обозначается exp. Мы отождествили точку A поверхности с началом в ее касательной плоскости, что, конечно, не может привести к недоразумениям.

57


Доказательство. Заметим, что взяв на прямой te какой-либо вектор v в качестве образующей, мы ? ? ? ? получим параметризацию tv той же прямой с параметром t пропорциональным исходному: tv = te, t = t ? + |v| . Принимая t за параметр точки exp(te), мы получим параметризацию геодезической с параметром пропорциональным натуральному и с вектором скорости v . Утверждение 1 непосредственно вытекает из следующего:
Утверждение 1 . Дифференциал g в точке A есть тождественное отображение. Это утверждение требует такого пояснения. Хотя в образе и прообразе мы рассматриваем разные многообразия, но сейчас у нас в прообразе линейное пространство A M 2 , а для линейного пространства его касательное пространство в каждой точке и, в частности, в начале, естественным образом отождествляется с ним самим. (Можно написать A (M 2 ) = A ( A (M 2 )).) Поэтому дифференциал в точке A нашего отображения действует из A M 2 в A M 2 , т.е. в себя, и утверждение, что он есть тождественное отображение, имеет смысл.

Доказательство. Чтобы проверить это утверждение, удобно рассматривать векторы как векторы скорости кривых, и нам нужно показать для каждого вектора v , что какая-либо кривая в A M 2 с вектором скорости v переходит в кривую в M 2 также с вектором скорости v . Но в качестве кривой в A M 2 мы можем взять прямую tv , а ее образ, как мы видели, есть геодезическая кривая, параметризованная так, что ее вектор скорости есть v .
Итак, отображение g переводит окрестность A в касательной плоскости в многообразие M 2 с тождествен ным дифференциалом в точке A. По теореме об обратном отображении эта окрестность диффеоморфно отображается на некоторую окрестность A в M 2 . Иными словами, точку A можно соединить геодезической с каждой точкой в малой окрестности A. Теперь усилим наш результат.

8.8

8. Соединение точек геодезическими

Теорема

. Для любой окрестности U точки A M 2 имеется такая окрестность U (A), что любые две точки из U соединимы единственной геодезической, лежащей в U .

Доказательство. Воспользуемся теперь теоремой о неявной функции в усиленной форме. Она утверждает, что если нам дано отображение z = F (x, y ), где x, y , z точки многомерных пространств, причем матрица Якоби F квадратная и невырожденная в окрестности точки (x0 , y 0 ), то для некоторой окрестy
ности U точки z 0 = F (x0 , y 0 ) и некоторой окрестности U точки x0 имеется окрестность W точки (x0 , y 0 ) такая, что для каждой ее точки (x, y ) мы имеем: x U , и если Wx обозначает подмножество точек (x , y ) в W с фиксированной координатой x , то F диффеоморфно отображает Wx на U . (Иными словами, W представляется прямым произведением U и U , а F оказывается проекцией этого прямого произведения на сомножитель U .) В нашем случае минор ( exp(x,v) ) матрицы Якоби не нуль в окрестности A, т.к. он равен 1 в точке A. v U и U это окрестности в M 2 точки x0 = A, и мы получаем, что каждую точку x U можно соединить с каждой точкой y U геодезической. Точнее говоря, для пары (x, y ) определен ветор v с началом в x так, что геодезическая, исходящщая из x с вектором скорости v , при t = 1 пройдет через y . Поскольку при стремлении этих точек к A геодезическая стремится также совпасть с A (иначе будет противоречие с теоремой п.10.5), мы получаем, что если точки берутся в малой окрестности, то соединяющая их геодезическая будет лежать целиком в U . Ясно также, что такая геодезическая (лежащая целиком в U ) единственна.

58