Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/~asmish/Lichnaja-2010/Version2010-11-20/UchProcess-2012/lecture05.pdf Дата изменения: Thu Sep 27 09:11:06 2012 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:34:56 2016 Кодировка: Windows-1251

"Введение в топологию", конспект лекции 5.
А.С.Мищенко 27 сентября 2012 г.

План

Расстояния между подмножествами. Аксиомы отделимости.

T0 ,T1 ,T2 ,T3 ,T4 . Нормальность (T1 + T4 ).

Аксиомы отделимости в метрических пространствах. Всякое метрическое пространство нормально.. Лемма Урысона, теорема Титца, разбиение единицы. Вторая аксиома счетности. .

1


Свойства метрических пространств 1 Метрики

Метризуемые пространства Эквивалентные метрики Изометрии Сжимающие отображения

Расстояния между подмножествами
Расстоянипе от точки до подмножества Расстояние Хаусдорфа Расстояние Громова-Хаусдорфа

2

Нормированные векторные пространства.

Топологические свойства 3 Аксиомы отделимости

T0 ,T1 ,T2 ,T3 ,T4 . Нормальность (T1 + T4 )
Аксиомы отделимости в метрических пространствах. Всякое метрическое пространство нормально.
Доказательство. Пусть (X , ) метрическое пространство, A, B X , A B = два непересекающихся замкнутых множества, A = A, B = B . Требуется построить их непересекающиеся окрестности. Полагаем

U=
xA

O(x, 1 (x, B )), 4
1 O(y , 4 (y , A)).

V=
y B

Если имеется общая точка z U V , то должны выполняться включения для некоторых x и y :

1 1 z O(x, (x, B )) z O(y , (y , A)), 4 4
т.е. неравенства
1 (x, z ) < 4 (x, B ) 1 (x, y ), 4 1 (y , z ) < 4 (y , A) 1 (y , x). 4

2


Значит по неравенству треугольника получаем
1 (x, y ) (x, z ) + (y , z ) < 4 (x, y ) + 1 (x, y ) = 1 (x, y ), 4 2

что противоречит условию x = y .
Лемма Урысона, теорема Титца, разбиение единицы

Конструкция разделяющей функции для метрических пространств

Если A,B два замкнутых непересекающихся подмножества, то полагаем

f (x) =

(x, A) . (x, A) + (x, B )

Теорема 1 (лемма Урысона) Пусть A и B непересекающиеся замкнутые подмножества нормальном топологическом пространстве X . Тогда существует такое непрерывное отображение

f : X -[-1, 1],

что f (A) = {-1} и f (B ) = 1 .
Доказательство. Если пространство X является метрическим с метрикой , то функцию f можно задать явной формулой:

f (x) =

(x, A) - (x, B ) (x, A) + (x, B )

эта формула корректно определена, поскольку в знаменателе стоит функция, нигде не обращающаяся в ноль. В самом деле, если бы в некоторой точке x0 X выполнялось равенство

(x0 , A) + (x0 , B ) = 0,
то, поскольку значение метрики всюду неотрицательно, мы получили бы два равенства (x0 , A) = 0, (x0 , B ) = 0. Поскольку оба подмножества A и B замкнуты, то точка x0 принадлежала бы как подмножеству A , так и подмножеству B , т.е. подмножества A и B имели бы не пустое пересечение, что противоречит условию теоремы. Наконец, легко проверить, что, если x A , то

f (x) =
Если же x B , то

0 - (x, B ) = -1. 0 + (x, B ) (x, A) - 0 = +1. (x, A) + 0)
3

f (x) =


В случае произвольного нормального топологического пространства X доказательство леммы Урысона несколько сложнее. Обозначим A через U0 , а X \B через U1 , U0 U1 . В силу нормальности пространства X существует открытое множество U 1 , удовлетворяющее условию 2
1 U0 U 2 U 1 2

U1 .

Если выполнены условия A A B , то будем писать для краткости A B . Таким образом имеем включения

U

0

U

1 2

U1 .

Входящие в эти включения множества занумерованы двоично рациональными числами вида r = 2qk , 0 q 2k для k = 1 . Мы можем продолжить построение множеств Ur , которые будут занумерованы двоично рациональными числами вида r = 2qk , 0 q 2k для больших значений k с условием: если r1 < r2 , то U0 Ur1 Ur2 U1 . Если r1 < r2 два последовательных двоично рациональных числа степени 2k т.е. q q+1 , r1 = k , r2 = 2 2k и, значит, выполнены включения

Ur

1

Ur2 ,

то из нормальности пространства X следует, что имеется такое открытое множество, скажем, Ur3 , r3 = 2q+1 , что выполнены включения 2k+1

Ur

1

U

r

3

U r2 .

Таким образом, открытые множества U r строятся для произвольных двоично рациональных чисел r в пределах 0 r 1 , для которых выполнены включения Ur1 Ur2 , при r1 < r2 . Функция f строится по правилу:

f (x) = inf {r : x Ur }.
Для проверки непрерывности функции f достаточно доказать открытость прообраза предбазы топологии отрезка [0, 1] , т.е. множеств вида Vr = {f (x) < r} и Wr = f (x) > r . Покажем, что множество Vr равно объединению Vr = Ur ,
r
4


а множество Wr равно объединению

Wr =
r >r

(X \ U r ).

Пусть Закончить доказательство!
Теорема 2 (теорема Титца) Пусть A X замкнутое подмноже-

ство в нормальном пространстве X , f : A-[0, 1] непрерывная функция. Тогда f продолжается до непрерывной функции g : X -[0, 1], т.е. g |A = f .
Следствие 1 Пусть A X замкнутое подмножество в нормальном пространстве X , f : A-R непрерывная функция. Тогда f продолжается до непрерывной функции g : X -R, т.е. g |A = f . 3.0.1 3.0.2 Первая аксиома счетности Вторая аксиома счетности

Теорема 3 Если пространство удовлетворяет второй аксиоме сч?тно-

сти, то оно сепарабельно.

Теорема 4 Евклидовы пространства и любые их подпространства сепа-

рабельны и удовлетворяет второй аксиоме сч?тности.
4 Компактные пространства

Определение 1 Определение компактного пространства с помощью от-

крытых покрытий.

Определение 2 Определение компактного пространства с помощью за-

мкнутых подмножеств с непустым пересечение.

Определение 3 Определение компактного пространства с помощью цен-

трированной системы замкнутых подмножеств. правленностей.

Определение 4 Определение компактного пространства с помощью наОпределение 5 Определение компактного пространства с помощью то-

чек полного накопления.

ности. Скажем, что направленность x , A, имеет предельную точку x0 , если для любой открытой окрестности U x и любого индекса A существует больший индекс , для которого x U .
5

Определение 6 Предел направленности и предельная точка направлен-


Теорема 5 Топологическое пространство компактно тогда и только то-

гда, когда любая направленность имеет предельную точку или, что то же самое, когда любая направленность имеет сходящуюся поднаправленность.
Теорема 6 (Лемма Шуры-Буры) Пусть X компактное топологическое пространство, U X его открытое подмножество, F = {F , A} семейство замкнутых подмножеств такое, что

F=
A

F U. A0 A}, для кото-

Тогда имеется конечное подсемейство F0 = {F , рого выполнено то же самое включение
F0 =
A0

F U.

Эквивалентные определения Теорема 7 (Теорема Тихонова) Тихоновское произведение компактных

пространств компактно.
Доказательство.

Тихоновская топология на произведении топологических пространств это минимальная топология, в которой все проекции на исходные пространства непрерывны. Конструктивно е? можно также описать следующим образом: в качестве предбазы топологии на X бер?тся семейство множеств - P = { 1 (U ) : U X -открыто }. База топологии всевозможные конечные пересечения множеств из P, а топология всевозможные объединения множеств из базы. Теорема Тихонова: Если все множества {X : A} компактны, тогда компактно и их тихоновское произведение X = X . Доказательство. Согласно теореме Александера о предбазе, достаточно доказать, что всякое покрытие элементами предбазы P допускает конечное подпокрытие. Покрытие элементами предбазы P есть семейство открытых множеств - вида W = {W = (1 ) (U ), U X( ) }. Для всякого пусть объеди нение всех множеств , для которых множество содержится в покрытии. Тогда непокрытая часть пространства X, выражается формулой . Поскольку это множество пусто, пустым должен быть хотя бы один сомножитель. Это означает, что рассматриваемое покрытие при некотором содержит прообраз покрытия пространства . В силу компактности пространства , из его покрытия можно выделить конечное подпокрытие, и тогда его прообраз относительно отображения будет конечным подпокрытием пространства X. (см. http://ru.wikipedia.org/wiki/Тихоновское_произведение_топологических_пространств)
A

6


Теорема Александера о предбазе: Топологическое пространство компактно, тогда и только тогда, когда выделение конечного подпокрытия допускает каждое покрытие, составленное из элементов предбазы его топологии. Доказательство. Необходимость в этом критерии компактности очевидна, так как все элементы предбазы - открытые множества. Достаточность доказывается методом от противного. Пусть пространство X некомпактно, хотя всякое покрытие, составленное из элементов предбазы его топологии, допускает выделение конечного подпокрытия. Пусть база топологии пространства X , образованная этой предбазой. Каждый е? элемент есть конечное пересечение элементов предбазы. Множество всех возможных - покрытий пространства X (то есть составленных из элементов базы ), не допускающих конечного подпокрытия, индуктивно упорядочено и непусто, следовательно, к нему применима лемма Цорна. Значит, существует максимальное (нерасширяемое) такое покрытие. Элементы предбазы , содержащиеся в н?м, не образуют покрытия пространства X, следовательно, какая-то точка покрыта элементом базы , но покрытие не содержит ни один из элементов предбазы . Далее используется максимальность рассматриваемого покрытия. После добавления к нему множества, можно выделить конечное подпокрытие. Объединяя все эти подпокрытия, выкидывая из них множества и добавляя множество , получается конечное покрытие пространства X, являющееся подпокрытием исходного покрытия. Противоречие (конечных подпокрытий исходное покрытие не допускало) доказывает теорему. Несложное доказательство теоремы Александера можно получить, используя следующий критерий компактности: топологическое пространство компактно в том и только том случае, если каждый ультрафильтр на множестве имеет хотя бы один предел[3]. Теорема Александера носит теоретико-реш?точный характер (поскольку формулируется в терминах свойств семейства открытых подмножеств топологического пространства, являющегося полной дистрибутивной реш?ткой) и допускает различные обобщения на специальные классы частично упорядоченных множеств[4][5][6]. (См. http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Александера_о_предбазе)
Локально компактные пространства Паракомпактные пространства Примеры Предкомпактные подмножества Критерий компактности подмножеств в конечномерном евклидовом пространстве

7