Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://higeom.math.msu.su/~asmish/Lichnaja-2010/Version2010-11-20/SciSchool/OnSciSchool-04.ps Дата изменения: Fri Nov 12 08:08:20 2004 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:33:23 2016 Кодировка: Windows-1251

Научная школа по некоммутативной геометрии и
топологии.
А.С.Мищенко
12 ноября 2004 г.
1 Область научных исследований
Во второй половине прошлого столетия в топологии усиленно развивались направления, ко-
торые сейчас принято называть "некоммутативной геометрией". По сути дела, это название
группирует круг задач и методов их решения, которые изначально базировались на доволь-
но простой идее переформулирования топологических свойств пространств и отображений в
терминах соответствующих алгебр непрерывных функций.
Хотя эта идея очень старая (восходит к ключевой теореме ГельфандаНаймарка о взаимно
однозначном соответствии между категорией компактных топологических пространств и кате-
горией коммутативных C  -алгебр) и разрабатывалась различными авторами как в коммутатив-
ном, так и в некоммутативном случае, в более или менее явной форме она была провозглашена
в виде программы действия А.Коном в его книге "Некоммутативная геометрия"[23].
Идея рассматривать, наряду с коммутативными C  -алгебрами (которые можно интерпре-
тировать как алгебры функций на топологических пространствах ее максимальных идеалов),
также и некоммутативные алгебры как функции на несуществующем ?некоммутативном? про-
странстве оказалась настолько плодотворной, что позволила соединить воедино многообразие
представлений и методов из таких разделов, как топология, дифференциальная геометрия,
функциональный анализ, теория представлений, асимптотические методы в анализе и взаим-
но обогатить их новыми теоремами и свойствами.
Одна из классических задач в гладкой топологии, заключающаяся в описании топологиче-
ских и гомотопических свойств характеристических классов гладких и кусочно-линейных мно-
гообразий, за это время приобрела практически завершенный вид исключительно благодаря
тому, что к ней были применены разнообразные методы функционального анализа. И, наобо-
рот, попытки осмыслить и решить классические топологические задачи привели к обогащению
методов функционального анализа. Как это типично происходит, решение одних частных за-
дач привело к открытию новых горизонтов в развитии математических методов и открытию
новых свойств классических математических объектов.
2 История становления и развития научной школы
2.1 От двойственности Пуанкаре до формулы Хирцебруха.
Характеристические классы Понтрягина не являясь гомотопическими инвариантами, тесно
связаны с задачей описания гладких структур данного гомотопического типа. Поэтому зада-
ча отыскания всех гомотопически инвариантных характеристических классов Понтрягина рас-
сматривалась как актуальная задача. В действительности более естественной оказалась другая
задача. Характеристические классы Понтрягина, разумеется, являются инвариантами гладкой
структуры на многообразии. С точки зрения классификации гладких структур и ее методов
1

наиболее подходящим отношением эквивалентности между многообразиями является не глад-
кая структура, а так называемые внутренние гомологии многообразий, или в современных
терминах бордизмы многообразий.
Еще Л.С.Понтрягин предположил [?], что внутренние гомологии описываются некоторы-
ми алгебраическими выражениями от характеристических классов Понтрягина  чисел Пон-
трягина, и, установил, что по крайней мере характеристические числа Понтрягина являются
инвариантами внутренних гомологий [?, теорема 3] . С помощью теории перестроек гладких
многообразий (В.Браудер, С.П.Новиков) было доказано, что единственным гомотопическим
инвариантом является характеристическое число Понтрягина, совпадающее с сигнатурой ори-
ентированного компактного многообразия, построенной по двойственности Пуанкаре.
Формула, которая осуществляет совпадение сигнатуры многообразия с определенным ха-
рактеристическим числом Понтрягина, известна сейчас как формула Хирцебруха [?], хотя неко-
торый ее частный случай был получен еще В.А.Рохлиным [?] годом ранее. Изучение двойствен-
ности Пуанкаре и формулы Хирцебруха, отражающей ее свойства, имеет длинную историю,
которая отчасти связана со становлением некоммутативной геометрии и работами Московской
топологической школы второй половины 20-го столетия.
Начало этой истории было положено еще в знаменитой работе А.Пуанкаре 1895 г. [?], где, в
частности, впервые сформулирована теорема, известная теперь как двойственность Пуанкаре
для замкнутых ориентированных многообразий. И хотя завершенная формулировка и полное
доказательство двойственности Пуанкаре были представлены намного позднее, вне всякого
сомнения можно считать, что Пуанкаре был родоначальником разветвленной теории, в которой
двойственность Пуанкаре играет ключевую роль.
Конечно, под двойственностью Пуанкаре понимал более упрощенное утверждение. Он го-
ворил о совпадении чисел Бетти, "равноотстоящих от концов" [?, с. 490], однако под числами
Бетти P k понимал (см. там же, S6, с. 470-471) число линейно независимых подмногообразий
размерности k. Если понимать слова Пуанкаре буквально, то независимость подмногообра-
зий v 1 ; v 2 ; : : : ; v p предполагает, что эти подмногообразия попарно не пересекаются. Более то-
го, повидимому, они должны иметь нормальное расслоение с нулевым Эйлеровым классом,
по крайней мере в том случае, когда целочисленный коэффициент в линейной комбинации
k 1 v 1 + k 2 v 2 +


+ k p v p отличается от 1, поскольку Пуанкаре требует, чтобы каждое под-
многообразие v j мало отличалось от k j компонент полной границы другого подмногообразия
на единицу большей размерности. В любом случае понятие чисел Бетти требовало уточнения,
которое и сделал сам Пуанкаре в своих последующих дополнениях [?].
В том же томе приведена речь П.С.Александрова, произнесенная им на торжественном вы-
ездном заседании Международного математического конгресса, посвященном столетию со дня
рождения Пуанкаре (Амстердам, 1954). П.С.Александров исключительно точно охарактери-
зовал роль Пуанкаре в создании теории гомологий, так что не остается ничего другого, как
просто привести его слова: "Вернемся к введенному Пуанкаре понятию гомологии. Как уже
было упомянуто, это понятие было введено в первом топологическом мемуаре Пуанкаре - в
знаменитом "Analysis situs"интуитивным образом. Однако в данном случае этот недостаточно
строгий подход имел, так сказать, и фактические последствия, послужившие поводом к обос-
нованной критике норвежского математика Хегора (Heegard). Дело в том, что в своем первом
мемуаре Пуанкаре не обратил должного внимания на феномен кручения, ограничившись в
основном числами Бетти. Но он блестяще восполнил допущенный пробел в своих последую-
щих публикациях по топологии (в "Дополнениях к Analysis situs"). При этом Пуанкаре стал
на комбинаторную точку зрения, введя понятие симплициального разбиения (триангуляции)
многообразия, т. е. понятие симплициального комплекса, и создал таким образом основной
метод комбинаторной топологии"[?, с. 813].
Конечно, в дальнейшем потребовалось открыть группы гомологий (Э.Нетер, 1925), группы
когомологий (Дж.Александер, А.Н.Колмогоров, 1934), двойственность между ними (Л.С.Понт-
рягин). Но, пожалуй, самым значительным событием в изучении топологических инвариантов
2

многообразий явилось открытие характеристических классов (Штиффель, Уитни (1935); Понт-
рягин (1947); Черн (1948)). Все было подготовлено, таким образом, к тому, чтобы связать
воедино инварианты, выражающие двойственность Пуанкаре, и интегральные инварианты ха-
рактеристических классов.
Эта связь известна сейчас как формула Хирцебруха. Формула Хирцебруха дает прекрасный
пример применения категорного метода  одного из основных инструментов в алгебраической
и дифференциальной топологии. В самом деле, Пуанкаре, кажется, уже сказал все, доказав сов-
падение чисел Бетти многообразия, равноотстоящих от концов. После того, как было введено
понятие групп гомологий, двойственность Пуанкаре стала звучать как совпадение рангов со-
ответствующих групп гомологий. При этом для чисел Бетти не имело значения, какие группы
гомологий рассматривались  целочисленные или рациональные, поскольку ранг целочислен-
ных групп гомологий совпадает с размерностью групп гомологий над полем рациональных
чисел. Однако понятие групп гомологий позволило обогатить двойственность Пуанкаре и рас-
смотрением групп гомологий с коэффициентами в конечных полях. По существу это уже знал
и сам Пуанкаре, который исследовал кручения в гомологиях многообразия.
Таким образом, совпадение чисел Бетти можно интерпретировать как изоморфность групп
гомологий с рациональными коэффициентами. Учет кручений тоже должен был дать изо-
морфность некоторых групп. Но это не группы гомологий, поскольку кручения совпадают, но
не в тех размерностях, что числа Бетти. Это кажущееся несоответствие было понято только
после того, как были открыты группы когомологий и их дуальность к группам гомологий. Та-
ким образом, окончательно двойственность Пуанкаре стала звучать как изоморфность между
группами гомологий и группами когомологий дополнительной размерности
H k (M ; Z) = H n k (M ; Z): (1)
Ключевым соображением в этом изоморфизме является то, что это не просто абстракт-
ный изоморфизм групп, а изоморфизм, порождаемый естественными операциями в категории
многообразий, точнее, в категории топологических пространств. Например, в одном частном
случае, когда рассматриваются гомологии в средней размерности четномерного многообразия
(dim M = n = 2m) с рациональными коэффициентами, условие (1) становится тривиальным,
поскольку
H m (M ; Q) = Hom(Hm (M ; Q); Q)  Hm (M ; Q): (2)
Однако в равенстве (2) изоморфизм между группами гомологий и группами когомологий
выбирается не однозначно. Двойственность же Пуанкаре гласит, что существует вполне опреде-
ленный гомоморфизм, так называемый гомоморфизм пересечения с циклом [M ]
\ [M ] : H n k (M ; Q) !H k (M ; Q);
который и задает изоморфизм двойственности Пуанкаре. Это значит, что с многообразием M
можно связать невырожденную квадратичную форму, обладающую дополнительным инвари-
антом  сигнатурой квадратичной формы, которая играет во многих проблемах дифференци-
альной топологии ключевую роль.
Именно с исследованием сигнатуры многообразий и формулы Хирцебруха, описывающей
ее в терминах характеристических классов Понтрягина, связано большое научное направле-
ние, которое развивалось в Московской топологической школе во второй половине прошлого
столетия и которое послужило одним из источником развития некоммутативной геометрии и
топологии. Руководителем этой школы является профессор А.С.Мищенко, который на протя-
жении 40 лет собрал большой коллектив ученых, развивающих некоммутативную геометрию
и топологию. Среди этого коллектива следует отметить его учеников профессоров Соловьева
Ю.П., Е.В.Троицкого, В.М.Мануйлова, занимающих ведущие позиции в исследованиях, и их
учеников.
3

2.2 Гомотопические инварианты неодносвязных многообразий.
Эта группа вопросов посвящена нахождению по возможности наиболее полной системы инва-
риантов гладких многообразий без учета каких либо дополнительных структур, оснащающих
многообразие. Гладкая структура на многообразии естественным образом порождает на нем
систему так называемых характеристических классов, принимающих значения в группах кого-
мологий многообразия с различными системами коэффициентов и определяемых исключитель-
но в терминах гладкой структуры. Теория характеристических классов гладких многообразий
бесспорно является наиболее существенным методом изучения различных геометрических и
топологических свойств гладких многообразий, в силу естественности их описания и представ-
ления в дифференциально-геометрических терминах, а также потому, что поведение характе-
ристических классов позволяет описывать и классифицировать строение гладких многообразий
практически исчерпывающим образом по модулю конечного числа возможностей.
Однако, система характеристических классов является, в некотором смысле, переопреде-
л?нной системой данных. Более строго, это означает, что для некоторых характеристических
классов их зависимость от выбора гладкой структуры на многообразии несущественна. Поэто-
му, одна из классических проблем в дифференциальной топологии заключалась в том, чтобы
выяснить степень инвариантности того или иного характеристического класса, т.е. зависимость
характеристических классов от выбора гладкой структуры в том или ином типе отношения
эквивалентности многообразии. Наиболее часто встречающимися в топологии отношениями
эквивалентности между многообразиями являются кусочно-линейные гомеоморфизмы, непре-
рывные гомеоморфизмы, гомотопические эквивалентности. Для этих отношений эквивалент-
ностей проблема формулируется следующим образом: какие характеристические классы явля-
ются: а) комбинаторно инвариантными, б) топологически инвариантными, в) гомотопически
инвариантными?
Ограничиваясь характеристическими рациональными классами Понтрягина, отметим, что
в 1965 г. С.П.Новиков доказал, что все рациональные классы Понтрягина являются топологиче-
ским инвариантами. В случае же гомотопической инвариантности характеристических классов
Понтрягина эта проблема далека от разрешения даже в настоящее время. С другой стороны,
проблема гомотопической инвариантности характеристических классов представляется доста-
точно важной проблемой в силу того, что гомотопический тип многообразия представляется
более доступным для классификации, по сравнению с его топологическим типом. Более того,
существующие методы классификации гладких структур на многообразии сводят эту проблему
к описанию гомотопического типа многообразия и к его гомологическим инвариантам.
Таким образом, проблема гомотопической инвариантности характеристических классов в
различных математических школах представлялась как одна из существенных проблем в диф-
ференциальной топологии. Проблема гомотопической инвариантности рациональных классов
Понтрягина оказалась наиболее интересной (и, возможно, наиболее трудной) с точки зрения
взаимосвязей. Важность этой проблемы вытекает, в частности, из того, что в задаче класси-
фикации гладких структур на многообразии с помощью метода перестроек Морса необходимо
иметь описание всех гомотопически инвариантных классов Понтрягина.
В случае односвязных многообразий еще Новиковым и Браудером на основании формулы
Хирцебруха было доказано, что классическая сигнатура многообразия является гомотопиче-
ским инвариантом, что является следствием гомотопической инвариантности групп гомологий
вместе с операциями пересечения. Более того, в односвязном случае на основании классифи-
кационных теорем, доказанных Новиковым и Браудером методом перестроек Морса, устанав-
ливается, что гомотопически инвариантным рациональным характеристическим классом яв-
ляется только классическая сигнатура многообразия. Таким образом, в случае рациональных
характеристических классов для односвязных многообразий задача о нахождении всех гомо-
топически инвариантных характеристических классах была полностью решена в классических
работах 60-х годов.
4

Для неодносвязных многообразий задача об описании гомотопически инвариантных раци-
ональных классов Понтрягина, отвечающих за препятствия к перестройке нормальных ото-
бражений до гомотопической эквивалентности, оказалась намного труднее, поскольку суще-
ственную роль здесь играет структура фундаментальной группы многообразия. Это обстоя-
тельство наряду с тем, что описание и распознавание фундаментальной группы в конечных
терминах, как известно, невозможно, в отличие от других топологических проблем вызывает
дополнительный интерес к этой проблеме. Для некоторых простых случаев, когда фундамен-
тальная группа является свободной абелевой задачу можно было решить чисто дифференциально-
геометрическими методами, используя технику так называемых внутренних перестроек. Такое
решение тоже было представлено в Московской топологической школе Г.Г.Каспаровым.
В общем же случае оказалось, что задача описания гомотопически инвариантных рацио-
нальных классов Понтрягина может быть сведена к проверке того, что так называемые высшие
сигнатуры являются гомотопически инвариантными. Точная формулировка этой проблемы из-
вестна под названием гипотезы Новикова. Положительное ее решение позволило бы хотя бы ча-
стично обойти алгоритмические трудности описания и распознавания фундаментальных групп
в задаче классификации гладких структур на многообразии. Гипотеза Новикова заключается
в том, что всякое характеристическое число вида sign x (M) = hL(M)f  (x); [M ]i , где L(M)
обозначает полный класс Хирцебруха, x 2 H  (B; Q)  произвольный рациональный класс
когомологий классифицирующего пространства фундаментальной группы  =  1 (M) много-
образия M , а f : M !B отображение, индуцирующее изоморфизм фундаментальных групп,
 является гомотопическим инвариантом неодносвязного многообразия M . Числа sign x (M) на-
зываются высшими сигнатурами многообразия M в знак того, что при x = 1 число sign 1 (M)
совпадает с классической сигнатурой многообразия M .
Ситуация с неодносвязыми многообразиями оказывается совершенно отличная от случая
односвязных многообразий, несмотря на то, что Уолл построил неодносвязный аналог теории
перестроек Морса. Однако препятствия к таким перестройкам не имеют достаточно эффектив-
ного описания. Один из способов обойти эту трудность заключается в том, чтобы выяснить,
какие из рациональных характеристических классов неодносвязных многообразий являются
гомотопическими инвариантами. В 1970 А.С.Мищенко установил, что единственными канди-
датами на гомотопически инвариантные характеристические классы являются только высшие
сигнатуры. Более того, им был найден универсальный гомотопический инвариант со значени-
ями в группе Уолла фундаментальной группы с рациональными коэффициентами, так назы-
ваемая симметрическая сигнатура (M) 2 L  (Q) многообразия M , которая является неодно-
связным аналогом классической сигнатуры.
Симметрическая сигнатура вычисляется вполне алгоритмическим способом по коэффициен-
там инцидентности произвольного симплициального разбиения неодносвязного многообразия
и обладает всеми существенными свойствами, присущими классической сигнатуре. В част-
ности, показано, что рациональное препятствие к перестройке нормального отображения до
(простой) гомотопической эквивалентности описывается в виде разности симметрических сиг-
натур пары многообразий. Это значит, что рациональное препятствие может быть описано
исключительно в терминах характеристических классов одного многообразия и соответству-
ющего нормальному отображению нормальному векторному расслоению в когомологиях мно-
гообразия с локальной системой коэффициентов, порожденной регулярным представлением
фундаментальной группы  в групповом кольце Q.
Проблема описания гомотопически инвариантных характеристических классов является
одой из наиболее интересных проблем в дифференциальной топологии на протяжении по-
следних 25 лет. Попытки решения этой проблемы породили многочисленные исследования,
приведшие к открытию глубоких результатов как в самой топологии, так и в смежных ма-
тематических дисциплинах, таких как теория представлений, K-теория, банаховы алгебры и
модули, теория эллиптических операторов, и к созданию самостоятельного направления под
названием некоммутативная геометрия.
5

2.3 Алгебраические комплексы Пуанкаре.
Первая трудность, которую необходимо было преодолеть при изучении неодносвязных перестро-
ек многообразий, заключалась в том, что когомологии неодносвязных многообразий с универсаль-
ной локальной системой коэффициентов не обладают двойственностью Пуанкаре, точнее двойствен-
ность Пуанкаре не имеет вида невырожденной квадратичной формы. Причина этого заклю-
чается в том, что модули гомологий неодносвязного многообразия не являются вообще го-
воря проективными. Еще в 1970 году в ([5],[6]) А.С.Мищенко преодолел эту алгебраическую
трудность и нашел универсальный гомотопический инвариант со значениями в группе Уолла
фундаментальной группы с рациональными коэффициентами, так называемую симметриче-
скую сигнатуру (M) 2 L  (Q) многообразия M , которая является неодносвязным аналогом
классической сигнатуры.
Симметрическая сигнатура вычисляется вполне алгоритмическим способом по коэффициен-
там инцидентности произвольного симплициального разбиения неодносвязного многообразия
и обладает всеми существенными свойствами, присущими классической сигнатуре. В частно-
сти, показано, что симметрическая сигнатура является гомотопическим инвариантом и инва-
риантом бордизмов многообразий, сохраняющих фундаментальную группу. Там же было по-
казано, что рациональное препятствие к перестройке нормального отображения до (простой)
гомотопической эквивалентности описывается в виде разности симметрических сигнатур пары
многообразий. В частности это означает, что рациональное препятствие может быть описано
исключительно в терминах характеристических классов одного многообразия и соответству-
ющего нормальному отображению нормальному векторному расслоению в когомологиях мно-
гообразия с локальной системой коэффициентов, порожденной регулярным представлением
фундаментальной группы  в групповом кольце Q.
На основании развитой им алгебраической техники так называемых алгебраических ком-
плексов Пуанкаре А.С.Мищенко показал ([7]), что теория перестроек гладких многообразий по
существу зависит не столько от гладкости многообразия, сколько от гомотопической структуры
пространства. Он доказал, что препятствие к перестройке нормального отображения до гомо-
топической эквивалентности гладких многообразий обобщаются до категории геометрических
комплексов Пуанкаре. Таким образом А.С.Мищенко были найдены формулы для описания
препятствия к перестройке в виде некоторого характеристического числа со значением в ко-
гомологиях многообразия с универсальной локальной системой коэффициентов, порожденной
естественным вложением фундаментальной группы в ее групповое кольцо. Однако полученные
формулы были еще далеки от эффективности, поскольку кольцо коэффициентов могло быть
выражено лишь в терминах эрмитовой K-теории.
2.4 Фредгольмовы представления.
В 19741975 гг. ([8],[9]) А.С.Мищенко применил метод теории фредгольмовых представлений,
позволивший ему установить гипотезу Новикова для широкого класса фундаментальных групп.
Применение теории представлений в конечномерном случае приводит к формулам типа Хир-
цебруха для сигнатур многообразия в когомологиях с локальной системой коэффициентов в
конечномерном векторном пространстве. Однако запас характеристических классов, которые
можно получать с помощью конечномерных представлений слишком беден, и для многих фун-
даментальных групп сводится только к классической сигнатуре.
Решающим шагом было обнаружение бесконечномерного аналога представлений, которые,
с одной стороны, расширили запас представлений, а, с другой, сохраняли естественные свой-
ства конечномерных представлений. Этот бесконечномерный аналог представлений заключает-
ся в новой теоретико-функциональной конструкции в виде пары унитарных бесконечномерных
представлений (T 1 ; T 2 ) фундаментальной группы  в гильбертовом пространстве H и фредголь-
мова оператора F , сплетающего два представления T 1 и T 2 с точностью до компактных опера-
торов в гильбертовом пространстве. Тройка  = (T 1 ; F; T 2 ) называется фредгольмовым пред-
6

ставлением группы . С категорной точки зрения фредгольмово представление является отно-
сительным представлением групповой C  -алгебры C  [] в паре банаховых алгебр (B(H); K(H),
где B(H) есть алгебра всех ограниченных операторов гильбертова пространства H , а K(H) есть
факторалгебра K(H) = B(H)=Comp(H) по идеалу компактных операторов.
Существенным шагом было построение канонического векторного расслоения над класси-
фицирующим пространством B с помомощью фредгольмова представления группы . Для
применения фредгольмовых представлений к формулам Хирцебруха А.С.Мищенко ([9]) потре-
бовалось установить возможность переходить от семейства фредгольмовых представлений к
единичному представлению с тем же самым характером Чженя. Теория фредгольмовых пред-
ставлений позволила доказывать гипотезу Новикова не только для указанного класса фун-
даментальных групп. Ученик А.С.Мищенко Ю.П.Соловьев применил разработанную технику
фредгольмовых представлений для дискретных подгрупп алгебраических групп с помощью
комплексов БрюаТитса ([24]).
Теория фредгольмовых представлений в 1995 году была распространена А.С.Мищенко ([15])
на случай непрерывных семейств, контролируемых на бесконечности, что позволило применить
аналогичную технику и для таких фундаментальных групп, классифицирующие пространства
которых не обязательно компактны. Более того им ([16]) была предложена общая схема метри-
ческого подхода к построению фредгольмовых представлений фундаментальной группы, кото-
рая сводит задачу к построению специального пополнения классифицирующего пространства
и решению уже чисто гомотопической задачи на последнем.
Теория фредгольмовых представлений, построенная в работах А.С.Мищенко, была в даль-
нейшем распространена на случай произвольных C  -алгебр в виде некоторого варианта топо-
логической K-теории и доведена до обобщенных формул Хирцебруха. А.С.Мищенко совместно
с Ю.П.Соловьевым ([17]) разработал чисто гомотопический метод доказательства обобщенных
формул Хирцебруха, основанный на категорном истолковании двойственности Пуанкаре в ви-
де пучка алгебраических комплексов Пуканкаре. Таким образом, с помощью гомотопической
техники была установлена обобщенная формула Хирцебруха не только для гладких многооб-
разий, но и для кусочно линейных многообразий, где техника эллиптических операторов не
действует.
Многие результаты, полученные в школе, носят принципиальный концептуальный характер,
которые определили направление развития некоммутативной геометрии и топологии. Наиболее
значимые понятия, введенные и разработанные в Московской школе достаточно подробно отра-
жены в книге А.Кона [23]. Во-первых это так называемые алгебраические комплексы Пуанкаре
и симметрическая сигнатура неодносвязных многообразий, строящаяся на их базе.
А.Кон в своей книге по этому поводу пишет [23][стр. 9]: "В 1970 году Мищенко построил эк-
вивариантную сигнатуру неодносвязных многообразий как элемент группы Уолла группового
кольца. . . .
Следуя этой (Люстига) линии и при помощи ключевого использования C  алгебр, Мищен-
ко удалось доказать гомотопическую инвариантность высших сигнатур в предположении, что
классифицирующее пространство B фундаментальной группы является компактным мно-
гообразием с римановой метрикой неположительной кривизны. Причина, почему C  алгебры
здесь играют ключевую роль, заключается в следующем. Группы Уолла инволютивной алгебры
(такие, как групповые кольца) классифицируют эрмитовы квадратичные формы над такими
алгебрами, и их вычисление более трудное по сравнению с K группами конечных проективных
модулей. Однако, как было показано Гельфандом и Мищенко, эти группы совпадают, когда
инволютивная алгебра является C  алгеброй. Это равенство не имеет места для произвольных
банаховых инволютивных алгебр. Но поскольку групповое кольцо дискретной группы может
быть канонически пополнено до C  алгебры, то можно получить эквивариантную сигнатуру
неодносвязного многообразия как элемент K группы этой C  алгебры".
Во-вторых, это открытие фредгольмовых представлений. Спустя пол века было понято, что
класс фредгольмовых представлений является частным случаем представлений групп и, более
7

общим образом, алгебр в некоторые C  алгебры. Но специфика фредгольмовых представле-
ний до настоящего времени сохраняется и состоит в том, что эти представления обладают
естественными числовыми инвариантами, аналогичными инвариантам конечномерных пред-
ставлений компактных групп. А.Кон ([23][стр. 10]) пишет: "Мищенко пошел дальше и исполь-
зовал двойственную теорию (именно, Kгомологии) в образе фредгольмовых представлений
фундаментальной группы, чтобы получить числовые инварианты при помощи спаривания с
K теорией.
Таким образом Kтеория крайне некоммутативной C  алгебры фундаментальной группы
играет ключевую роль в решении классических задач в теории неодносвязных многообразий.
Kтеория C  алгебр. теория расширения Брауна, Дугласа и Филмора, Lтеория Атья и
фредгольмова представления Мищенко  все они являются частными случаями биинвариант-
ной KKтеории Каспарова . . . "И далее (стр. 84): "Имеется одно ключевое свойство Kтеории
C  алгебр, которое существенно отличается от случая общих банаховых алгебр. Это отличие
было открыто Мищенко ([?][1979])
Далее, ключевую роль в геометрических конструкциях играет линейное универсальное рас-
слоение для произвольной дискретной группы. У Кона написано (стр. 97): "Наиболее простое
описание отображения  : K  (B) ! K  (C  ()) основано на существование для каждого ком-
пакта K в B канонического "линейного расслоения Мищенко",
lK 2 K 0
(C(K)
C  ());
которое описывается в виде конечного проективного C  модуля над алгеброй
C(K)
C  (). . . "
Наконец, определяющим развитие некоммутативной геометрии оказалось построение те-
ории эллиптических операторов над произвольной C  алгеброй. Важность этих результатов
наглядно подтверждается и тем, что они зачастую беззастенчиво приписываются на западе
другим авторам, чтобы обеспечить недобросовестную конкуренцию за счет снижения индек-
са цитирования (см. на пример, книгу Веге-Ольсена, в которой целая глава посвящена одной
теореме, разработанной в Московской научной школе по некоммутативной геометрии и топо-
логии).
3 Направления исследований на современном этапе
В Московском университете в научной школе по некоммутативной геометрии исследования
интенсивно проводятся преимущественно в следующих направлениях:
 Гомотопические инварианты неодносвязных многообразий.
 Алгебраические комплексы Пуанкаре.
 Двойственность Пуанкаре и формула Хирцебруха;
 Теория индекса и псевдодифференциальные операторы;
 Теория C*-алгебр и гильбертовых модулей;
 Неклассические представления дискретных групп;
 Циклические и диэдральные гомологии;
 Характеристические классы в некоммутативной геометрии.
8

4 Достижения научной школы по некоммутативной гео-
метрии и топологии
Исследования в области некоммутативной геометрии и топологии в Московской топологиче-
ской школе получили международное признание. Начиная с 92-го года по указанной тематике
было опубликовано более 100 публикаций в российских и зарубежных журналах. Среди них
ряд книг как учебного ([1], [2], [3], [4]) так и монографического характера ([20],[26], [25]). По
тематике, созданной в научной школе проводятся международные конференции, примером ко-
торой может служить конференция в Обервольфахе (Германия) в 1993 году.
В журнале Acta Applicandae Mathematicae издан специальный том, посвященный иссле-
дованиям по некоммутативной геометрии в Московской топологической школе ([38], [39], [40],
[41], [42], [43], [44], [45],[48] [49]). Члены научного коллектива под руководством А.С.Мищенко
приняли участие в многочисленных российских и международных конференциях; в 2001 году
при поддержке РФФИ была проведена специальная международная конференция в Москве,
посвященная 60-летию со дня рождения А.С.Мищенко. В 2004 году ученые школы организо-
вали международную конференцию по C  алгебрам и эллиптической теории, которая имела
место в центре имени Стефана Банаха в Бедлево (Польша).
Учеными школы получено ряд стипендий ДААД и общества Макса Планка, гранты фон-
дов Сороса и INTAS. С 1994 г. по настоящее время ученые школы постоянно получают гран-
ты фонда РФФИ, фонда "Российские университеты". С 2003 года научная школа получила
грант Президента РФ поддержки научных школ. Руководителю А.С.Мищенко в 1996 году бы-
ла присуждена Государственная Премия Российской Федерации в области науки и техники
(совместно с А.Т.Фоменко) за цикл работ "Исследование инвариантов гладких многообразий
и гамильтоновых динамических систем".
4.1 Асимптотические и почти представления.
Очень плодотворной для некомпактных групп оказалась идея рассматривать вместо представ-
лений некоторые более общие отображения в алгебру операторов, которые, с одной стороны,
увеличивают свободу маневра, а, с другой, сохраняют основные черты представлений, необхо-
димых для применения их в топологических задачах. Источником такого сорта идей послужи-
ли, с одной стороны чисто физические соображения, которые заключаются в том, что любая
наблюдаемая симметрия явления, а вместе с ней и некоторый закон сохранения, в действитель-
ности проявляется неточно. Поэтому естественно возникает вопрос распознавания по неточной
симметрии истинной симметрии.
Эта задача известна еще со времен Халмоша и его задачи о паре почти коммутирующих
унитарных операторов. Если операторы действуют в конкретном конечномерном простран-
стве, то при условии достаточной близости почти коммутирующих унитарных операторов их
можно аппроксимировать точно коммутирующими операторами. Совершенно иная ситуация
имеет место в случае бесконечномерных пространств или даже в случае равномерных оценок
коммутаторной невязки, не зависящих от размерности пространства. Как показал Войкулеску,
существует последовательность почти коммутирующих пар унитарных операторов со стремя-
щимся к нулю коммутатором (так называемая пара Войкулеску), которые нельзя сколь угодно
близко аппроксимировать последовательностью пар коммутирующих операторов.
С точки зрения теории представлений групп это наблюдение может быть истолковано как
построение асимптотического представления свободной абелевой группы с двумя образующи-
ми, которое не сводится к точному представлению.
Другой вариант обобщения представлений на случай неточных соотношений дает понятие
квазипредставлений, в которых предполагается равномерная оценка норм соотношений в груп-
пе. В этом случае, как показал А.Штерн, ситуация прямо противоположная, что позволило
создать стройную теорию квазипредставлений и квазихарактеров.
9

В статье [31] найдена связь между асимптотическими представлениями дискретной груп-
пы и фредгольмовыми представлениями этой группы. Для этого построена новая C*-алгебра,
обслуживающая асимптотические представления дискретных групп и C*-алгебр с конечным
числом порождающих элементов, и найден способ ее вложения в алгебру Калкина такой, что
индуцированный этим вложением гомоморфизм K 1 -групп является изоморфизмом. Благодаря
наличию такого вложения асимптотические представления пропускаются через представления
в алгебру Калкина. Как следствие, показано, что векторные расслоения над классифицирую-
щим пространством B, которые могут быть получены с помощью асимптотических представ-
лений дискретной группы , могут быть также получены с помощью представлений группы
  Z в алгебру Калкина. Найдено также обобщение понятия фредгольмова представления
и показано, что асимптотические представления можно рассматривать как асимптотические
фредгольмовы представления. Найдены примеры дискретных групп, не обладающих доста-
точным запасом асимптотических представлений, что показывает, что класс фредгольмовых
представлений строго больше класса асимптотических представлений.
На основе введенного А.С.Мищенко понятия дискретизации асимптотических гомоморфиз-
мов правое обратное отображение к отображению КоннаХигсона построено В.М.Мануйловым
для общих сепарабельных C*-алгебр. В.М.Мануйловым и К.Томсеном сформулировано поня-
тие асимптотически расщепимого расширения C  -алгебр, и дана конструкция, которая опре-
деляет E-функтор КоннаХигсона в терминах, аналогичных определению KK-функтора Ка-
спарова. Единственным различием является то, что вместо вполне положительных отображе-
ний для расщепления используются асимптотические гомоморфизмы. При этом показано, что
функтор Ext всех расширений содержит E-функтор как прямое слагаемое. Доказано, что лю-
бой асимптотический гомоморфизм в алгебру Калкина гомотопен настоящему гомоморфизму.
Этот факт удивителен, так как в ранее известных примерах асимптотических гомоморфиз-
мов существенно больше, чем настоящих (с точностью до гомотопии). Это свойство алгебры
Калкина дает возможность доказать, что функторы Ext и E совпадают в большинстве случа-
ев. В [33] найден важный пример конечно представленной группы, показывающий, что асим-
птотических представлений строго меньше, чем фредгольмовых. Именно, показано, что для
найденной группы естественное отображение из группы асимптотических представлений в
группу K 0 (B) является тривиальным с точностью до кручения, в то время как аналогич-
ное отображение из группы фредгольмовых представлений накрывает свободную образующую
K 0 (B).
При исследовании обнаруженного примера удалось сформулировать новое свойство конечно
порожденных групп, связанное с почти представлениями: группа называется асимптотически
устойчивой, если любое достаточно точное ее почти представление может быть включено в
асимптотическое представление. Доказано, что, наряду с группами, очевидно обладающими
этим свойством (свободными, абелевыми), этим свойством обладают также фундаментальные
группы ориентированных поверхностей. Представляется любопытным, что группа указан-
ным свойством не обладает.
4.2 Двойственность Пуанкаре и формула Хирцебруха.
Известная формула Хирцебруха утверждает, что для 4kмерного ориентируемого компактного
замкнутого многообразия X имеет место равенство
signX = 2 2k hL(X); [X ]i ; (3)
где signX есть сигнатура невырожденной квадратичной формы в группах когомологий
H 2k (X; C), определяемой [произведением, а L(X)  характеристический класс Хирцебруха.
Существует несколько способов обобщения формулы Хирцебруха, главным образом, для неод-
носвязных многообразий. Именно, пусть X  замкнутое ориентируемое неодносвязное многооб-
разие,  =  1 (X), и пусть fX : X !B  каноническое отображение, определенное с точностью
10

до гомотопии, которое индуцирует изоморфизм фундаментальных групп. Фиксировав конеч-
номерное представление  :  !U(N), можно рассмотреть группы когомологий H 2k (X; ) с
локальной системой коэффициентов, порождаемой представлением  . Тогда [произведение
индуцирует невырожденную квадратичную форму на этой группе, сигнатуру которой будем
обозначать через sign  X . Нетрудно установить, что
sign  X = 2 2k hL(X)chf 
X   ; [X ]i ; (4)
где  есть векторное расслоение над B, порожденное представлением . Несмотря на то,
что левая и правая части формулы (4) совпадают с формулой (3), это обобщение оказывается
полезным при дальнейших обобщениях. Самое естественное обобщение заключается в рассмо-
трении унитарного представления фундаментальной группы в C  -алгебру. Пусть C  [] есть
C   групповая алгебра группы . Всякое унитарное представление группы  однозначно рас-
пространяется до представления  алгебры C  []. Положим A = Im,  : C  [] !A. Через
  обозначим векторное расслоение над B со слоем A , функции склейки которого порожда-
ются действием группы  на алгебре A с помощью представления . Векторное расслоение  
образует элемент Kгруппы
  2 KA (B):
Мы можем теперь выписать правую часть формулы (4):
? = 2 2k hL(X)chA f 
X   ; [X ]i 2 KA
(pt)
Q: (5)
Левая часть формулы может быть вычислена как симметрическая сигнатура многообразия
X после замены кольца, задаваемого представлением , так что получаем обобщенную формулу
Хирцебруха (см. [17])
sign  (X) = 2 2k hL(X)chA f 
X   ; [X ]i 2 KA
(pt)
Q:
Обобщенная формула Хирцебруха имеет так называемую гладкую версию, в которой вме-
сто сигнатуры многообразия подставляется индекс оператора Хирцебруха на многообразии.
Достоинство такой формулы заключается в том, что оператор Хирцебруха может действовать
в сечениях произвольного векторного расслоения на многообразии. Поэтому естественно возник
вопрос о перенесении гладкой версии формулы Хирцебруха на комбинаторный случай, с тем,
чтобы эффективно построить инварианты типа сигнатуры с коэффициентами в произвольном
(неплоском) векторном расслоении. Если расслоение  порождается некоторым представлением
фундаментальной группы , то комбинаторная версия формулы Хирцебруха сводится к клас-
сическим формулам. Все эти формулы требуют определенных ограничений на вид расслоения
: расслоение  должно быть плоским расслоение в случае точного представления (или почти
плоским в случае так называемого асимптотического представления).
В 19982001 годах А.С.Мищенко предпринял программу построения локальной комбина-
торной формулы Хирцебруха с коэффициентами в произвольном векторном расслоении. Идея
такого построения была сформулирована в работе М.Громова [27] и восходит к конструкции
алгебраических комплексов Пуанкаре и так называемой симметрической сигнатуры, рассмо-
тренных в работах А.С.Мищенко [5] и [17]. А.С.Мищенко ([18]) построил новую алгебраическую
категорию, называемую почти алгебраическими комплексами Пуанкаре. Эта категория обла-
дает всеми необходимыми свойствами для построения инвариантов типа сигнатуры комбина-
торного многообразия с локальной системой коэффициентов, порождаемой слоями некоторого
векторного расслоения  на многообразии. Показано, что у каждого компактного замкнутого
комбинаторного многообразия существует такое достаточно мелкое симплициальное разбиение,
которое естественным образом порождает почти алгебраический комплекс Пуанкаре, сигнату-
ра которого служит левой частью формулы Хирцебруха.
11

В частности, построенная формула дает новую конструкцию рациональных классов Пон-
трягина по локальной комбинаторной структуре на многообразии X . В случае, когда векторное
расслоение  порождается некоторым точным представлением, то соответствующий почти ал-
гебраический комплекс Пуанкаре совпадает с алгебраическим комплексом Пуанкаре из работы
[5], а его сигнатура совпадает с сигнатурой многообразия в когомологиях с соответствующей
локальной системой коэффициентов. В случае, когда расслоение  порождается некоторым
асимптотическим представлением (и, следовательно, не является плоским расслоением), то
соответствующий почти алгебраический комплекс Пуанкаре может быть получен из универ-
сального алгебраического комплекса Пуанкаре над групповой алгеброй фундаментальной груп-
пы  многообразия X путем замены колец. При этом сигнатура этого почти алгебраического
комплекса Пуанкаре вычисляется как образ симметрической сигнатуры многообразия X при
замене колец.
Теория алгебраических комплексов Пуанкаре оказалось удобным инструментом для описа-
ния сигнатуры многообразия в случае непрерывных семейств локальных систем коэффициен-
тов, поскольку, в отличие от групп (ко)гомологий группы (ко)цепей не меняют своей размер-
ности при переходе от одной локальной системы коэффициентов к другой. Однако в любом
случае для корректного построения сигнатуры требуется конечномерность соответствующих
групп (ко)цепей. В связи с этим, а также в связи с предложенным М.Громовым ([27]) методом
доказательства топологической инвариантности рациональных классов Понтрягина гладких
многообразий естественно построить такую схему вычисления сигнатуры гладкого компакт-
ного топологического многообразия, которая бы распространялась на непрерывные семейства
локальных систем коэффициентов.
Трудность в данном случае заключается в том, что подстилающие группы (ко)цепей не
обязаны являться конечномерными пространствами. Если, например, отправляться от опре-
деления когомологий по Чеху, то (ко)гомологии с локальной системой коэффициентов ин-
терпретируются как (прямые) обратные пределы (ко)гомологий нервов открытых покрытий
пространства. Эти (ко)гомологии можно рассматривать как гомологии (ко)цепного комплек-
са, который является (прямым) обратным пределом групп (ко)цепей этих нервов, а, значит,
размерности у этих пространств априори бесконечны. Автор совместно с П.С.Поповым ([21],
[22]) построил теорию невырожденных квадратичных форм на некоторой естественной катего-
рии абстрактных бесконечномерных линейных пространств, у которой имеется гомотопический
инвариант, совпадающий с сигнатурой для конечномерных пространств. Построенная теория
дает возможность при вычислении сигнатур использовать для топологических многообразий
вместо индефинитных представлений фундаментальных групп непрерывные семейства харак-
теров фундаментальной группы.
4.3 Теория эллиптических операторов над C  -алгебрами
Один из методов установления формулы Хирцебруха в односвязном случае связан с исполь-
зованием свойств индекса эллиптических операторов на многообразии. Поэтому естественно
возникла задача применить теорию эллиптических операторов и в неодносвязном случае. Кос-
венные соображения, касающиеся описания гомологий некомпактных многообразий, таких как
L 2 -когомологии, указывали на естественность такой постановки задачи. Поэтому еще в 1978
А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко ([10],[11]) предприняли исследование по изучению гомотопиче-
ских свойств эллиптических операторов с коэффициентами в произвольной C  -алгебре. Такие
операторы естественным образом возникают в различных задачах теории эллиптических опе-
раторов на некомпактных многообразиях или как операторы с операторнозначными коэффи-
циентами.
Эти операторы не являются фредгольмовыми операторами в классическом смысле, однако
как ядро, так и коядро таких операторов ассоциируются с конечно порожденными проектив-
ными модулями над C  -алгеброй, и, следовательно, порождают гомотопические инварианты
12

эллиптического оператора. Авторы дали точную геометрическую интерпретацию индексу эл-
липтического оператора над C  -алгебрами и установили формулы для индекса эллиптических
операторов над произвольной C  -алгеброй, обобщающие формулы АтьяЗингера. В частности,
было получено новое доказательство обобщенных формул Хирцебруха.
Теория C  -модулей и эллиптических операторов на C  -алгебрами нашли в дальнейшем мно-
гочисленные применения как для уравнений в частных производных, так и для задач геометрии
и топологии, равным образом в теории банаховых алгебр и C  -модулей. В частности, ([13]) с
помощью этой теории в дальнейшем исследовались гомотопические и спектральные свойства
эллиптических операторов на некомпактном пространстве R n с быстро убывающими, почти
периодическими или случайными коэффициентами. Решающим методом в этом сопоставлении
является дальнейшее развитие понятия прямого образа для многолистных накрытий многооб-
разий. В случае когда база накрытия является компактным многообразием, задача изучения
эллиптических операторов на накрывающем пространстве редуцируется к задаче об эллипти-
ческих операторах на компактном многообразии, но с более сложной структурной C  -алгеброй,
порожденной накрытием.
В этом направлении работали ученики А.С.Мищенко  Р.А.Бикташев, Ф.Шарипов, О.Филиппов,
которые разработали редукцию задачи об описании спектральных свойств эллиптических опе-
раторов на некомпактных многообразиях к такой же задаче на компактных многообразиях.
Пусть A  C*-алгебра с единицей, G  компактная топологическая группа, VG (X ; A)  ба-
нахова категория, образованная локально тривиальными расслоениями над G-пространством
X с типичным слоем, равным некоторому проективному A-модулю. С помощью K-теории ба-
наховых категорий М.Каруби можно ввести в рассмотрение K-теорию KG (X ; A), где A  C*-
алгебра с единицей, G  компактная топологическая группа, X  G-пространство, отвечаю-
щую банаховой категории локально тривиальных расслоений над X .
В 1985 г. Е.В.Троицким доказано, что если X=G обладает конечным открытым покрытием
конечной размерности, то тензорное произведение слоев индуцирует изоморфизм
K 
G (X ;
C)
K  (pt;
A)
Q ! K 
G (X ;
A)
Q:
С помощью этого утверждения оказывается возможным определить понятие топологическо-
го индекса ind t МищенкоФоменко уже в эквивариантном случае. С помощью усреднения
в гильбертовых модулях (техника которого была развита Е.В.Троицким) можно определить
аналитический индекс ind a и доказать эквивариантную версию теоремы МищенкоФоменко
об индексе: ind t = ind a 2 K G
0
(A)
Q.
Чтобы учесть при этом кручение в K-теории, Е.В.Троицкий развил более тонкую теорию
аналитического индекса (теория топологических гильбертовых модулей, соболевских цепей и
т.д.) Наиболее трудным моментом оказалось доказательство C  -алгебраического аналога свой-
ства (S6) алгебры Сили. Чтобы определить топологический индекс со значениями в K G
0 (A)
(а не в K G
0
(A)
Q), надо доказать (с использованием геометрической резольвенты Шохета)
теорему об изоморфизме Тома в KG (:; A)-теории. Этот результат может рассматриваться как
доказательство гипотезы Каруби в важном частном случае. После этого, используя аксиома-
тический подход к понятию индекса, оказывается возможным доказать следующую теорему
об индексе: ind t = ind a 2 K G
0 (A). Можно рассматривать эту теорему как наиболее сильную
теорему об индексе классического направления.
Первая группа приложений этой теоремы связана с b
A-родами и теорией ГромоваЛоусона
Розенберга. В частности, было получено следующее усиление результата Розенберга. Пусть M
 компактное многообразие со спинорным универсальным накрытием f
M , допускающим стро-
го положительную скалярную кривизну,  1 (M) = , а E  плоское A-расслоение. Имеется
расщепляющаяся точная последовательность C*-алгебр 0 ! C  (b) odd ! C  (b) ! C  () ! 0;
где C  (b) odd  универсальная алгебра для тех унитарных представлений b , которые нетри-
виальны на ядре накрытия b
 ! . Тогда определены C  (b)
odd
A-векторные расслоения
13

(C  (b) odd   S 
)
A на M . Действие b  коммутирует с D + . Следовательно, оператор e
D +
E опре-
делен на M . Тогда ind t e
D +
E = 0 2 K 0 (C  (b)
odd
A):
Одним из важнейших элементов классической теории индекса эллиптических операторов,
еще не включенным в теорию C  -индекса, оставалась теория индекса эквивариантных се-
мейств. Е.В.Троицким эта проблема была решена в важнейшем случае: доказана теорема об
индексе для эллиптических операторов, действующих в сечениях расслоений со слоем про-
ективный модуль над C  -алгеброй, в ситуации, когда компактная группа Ли действует ком-
плексно, т.е. не только в тотальном пространстве, но и на самой алгебре скаляров, коммутируя
с символом ("дважды эквивариантная"C  -теорема об индексе). Как приложение, получена эк-
вивариантная теорема об индексе для семейств в случае прямого произведения базы на про-
странство параметров.
Другая группа приложений теоремы об индексе связана с C*-числами Лефшеца и неподвиж-
ными точками. Для автоморфизма C*-эллиптического комплекса, являющегося элементом ком-
пактной группы автоморфизмов, определяются числа Лефшеца со значениями в K 0
(A)
C.
Они связаны с неподвижными точками при помощи формулы типа АтьиЛефшецаСигала.
Для произвольного автоморфизма Е.В.Троицкий определил числа Лефшеца со значениями
в циклических гомологиях. Числа Лефшеца двух типов связаны характером Чженя Конна
Каруби. В случае W  -алгебр результаты могут быть усилены.
Идея рассмотрения комплексных действий группы привело к изучению так называемых
чисел Рейдемайстера (или Нильсона), как числа классов сопряженности элементов группы,
скрученных некоторым автоморфизмом ' :  ! . по аналогии с классической теоремой Берн-
сайда Троицкий Е.В. совместно с А.Фелбдштыным установил, что это число равно числу непо-
движных точек отображения '  : b! bпространства классов эквивалентных неприводимых
представлений группы  в случае групп типа 1.
4.4 Теория гильбертовых C  -модулей.
Теория индекса эллиптических операторов над C  -алгебрами потребовала ([11],[12],[14]) раз-
вить абстрактную теоретико-функциональную теорию гильбертовых C  -модулей и фредголь-
мовых операторов в этих модулях. Наиболее существенными в этом направлении являются
результаты, описывающие свойства компактных и фредгольмовых операторов C  -модулей, ко-
торые существенно отличаются от классических операторов даже в случае простейших комму-
тативных алгебр непрерывных функций. Наиболее существенное отличие заключается в том,
что операторы и даже линейные функционалы гильбертовых C  -модулей как правило не име-
ют ограниченных сопряженных, что сильно усложнило анализ их свойств.
Изучение абстрактной теории гильбертовых C  -модулей и соответствующей топологической
K-теории, порожденной векторными расслоениями над C  -алгеброй вскрыло новые обстоя-
тельства. Одним из трудных моментов, не позволяющим автоматически перенести на случай
произвольной C  -алгебры теорию гильбертовых пространств, состоит в том, что бесконечно-
мерные гильбертовы C  -модули не являются автодуальными и даже рефлексивными. Однако
в некоторых случаях ([14]) А.С.Мищенко установил рефлексивность C  -модулей.
В настоящее время теория гильбертовых C  -модулей и алгебр превратилась в самостоя-
тельную дисциплину с многочисленными приложениями в различных математических дисци-
плинах. В топологии эта теория нашла применение для изучения l 2 -когомологий некомпактных
многообразий, аналитического кручения, инварианта НовиковаШубина, циклических когомо-
логий и др.
Так, например, в работе [19] было построено относительное аналитическое кручение на
уровне не l 2 -когомологий, т.е. групповых алгебр фон Неймана, а на уровне групповых C  -
алгебр. В частности, показано, что в случае алгебр фон Неймана относительное аналитическое
кручение равно разности между аналитическим кручением многообразия и комбинаторным
кручением.
14

Главным алгебро-топологическим инструментом, связывающим геометрию и топологию
неодносвязных многообразий с теорией банаховых алгебр, является K-теория "с коэффициен-
тами в C  -алгебре"K  (X ; A), прежде всего, при A равной алгебре функций на топологическом
пространстве (многообразии или классифицирующем пространстве фундаментальной группы)
или равной групповой C-алгебре (приведенной или нет) фундаментальной группы. При ис-
пользовании K-теории с коэффициентами в C  -алгебре очень важно иметь удобное описание
ее в терминах аналитически определенных представляющих пространств.
Таким образом, первый круг задач, стоявших перед участниками гранта, был связан с этим
вопросом. В случае алгебры с единицей это было сделано нами ранее с использованием стя-
гиваемости общей линейной группы гильбертова модуля l 2 (A). Состоят эти представляющие
пространства из соответствующим образом определенных фредгольмовых операторов в l 2 (A).
В связи с тем, что не всякий ограниченный оператор в этом модуле допускает сопряженный,
возникают, соответственно, две общих линейных группы (GL и GL  ) и два варианта предста-
вляющих пространств. Важно понять, стягиваемы ли эти группы и совпадают ли соответству-
ющие K-теории. Положительный ответ на этот вопрос даст большую техническую свободу, а
отрицательный может привести к определению новых инвариантов.
Следует отметить, что большинство вопросов в этой сложной теме оставалось нерешенными
с 1982 г. Е.В.Троицкому удалось получить ряд важных продвижений в их решении. Получено
новое простое доказательство теоремы Кунца и Хигсона о стягиваемости группы обратимых
операторов, допускающих сопряженный, для C  -алгебр со строго положительным элементом.
Доказана стягиваемость полной группы обратимых операторов в некоторых частных случаях,
например, для подалгебр алгебры компактных операторов в сепарабельном гильбертовом про-
странстве и для алгебр функций на конечномерных многообразиях. Доказана стягиваемость
полной общей линейной группы стандартного гильбертова модуля и для общей коммутативной
сигма-унитальной алгебры.
В классической работе Диксмье и Дуади в свое время была доказана стягиваемость группы
унитарных операторов в гильбертовом пространстве в сильной топологии. В случае C  -алгебр
Е.В.Троицким доказаны различные варианты обобщения этой теоремы на случай общей и
полной общей линейной группы стандартного гильбертова модуля. Роль сильной топологии
здесь играет строгая топология.
В этом отношении интересна работа А.А. Ирматова ([46]), в которой рассмотрена связь меж-
ду операторами, действующих в гильбертовом ()-модуле, и семействами операторов, действую-
щих в гильбертовом пространстве, параметризованных точками компакта X . А.А.Ирматовым
исследованы семейства компактных и фредгольмовых операторов. Так ()-оператор является
компактным тогда и только тогда, когда соответствующее ему семейство непрерывно в равно-
мерной операторной топологии. Аналогичный вопрос для фредгольмовых операторов выявил в
пространстве ограниченных операторов новую топологию, названную автором F -топологией. В
частности, из этой работы следует, что пространство фредгольмовых операторов, снабженное
F -топологией, является классифицирующим пространством K-функтора. Ранее этот резуль-
тат был доказан М.Атьей, но только для пространства фредгольмовых операторов. Наряду
с F -топологией в работе вводится и изучается G-топология. Для доказательства теоремы о
том, что F -топология строго сильнее G-топологии в работе приводится пример недополняе-
мого гильбертова подмодуля в l 2 (C(X)) (подмодуль не имеет никакого дополнения, не только
ортогонального).
В работе ([47]) используя свойства F-топологии, существенно расширен класс нелинейных
фредгольмовых отображений, для которых можно построить теорию степени. После работы
Ж.Лере и Ж.Шаудера 1946 года класс отображений, для которых можно построить теорию
степени, усилиями многих математиков существенно расширен и, поэтому любое продвижение
в этом направлении дается нелегко. В названной работе особое внимание уделяется конструкци-
ям, позволяющим ослабить требования на гладкость отображения. В этой работе предлагаются
конструкции квази-фредгольмовой структуры и ориентации бесконечномерного многообразия
15

и дается описание ориентированности фредгольмовых отображений в терминах характеристи-
ческих классов. Здесь доказан аналог теоремы об обратной функции для введенного в этой
работе класса C 1 F-отображений. Этот результат представляет самостоятельный интерес.
В.М.Мануйловым, Е.В.Троицким и М.Франком [32] были изучены условные ожидания на
C  -алгебрах, возникающие из действия дискретных групп. Рассмотрен ряд новых примеров
действий групп, показывающих, в каких случаях условные ожидания корректно определены.
Доказан ряд утверждений о конечности индекса таких условных ожиданий. Показано, что в
случае конечности индекса условное ожидание определяет гильбертов модуль с внутренним
произведением, принимающим значения в алгебре инвариантных функций. Найдены доста-
точные условия, при которых этот гильбертов модуль рефлексивен. В частности это так, если
все орбиты конечны и ограниченны в совокупности некоторым числом n, и точки, орбита ко-
торых меньше n, изолированы. Условие изолированности таких точек оказалось излишним и
было снято В.В.Серегиным.
При изучении инвариантов, связанных с действием групп на многообразиях, в том чис-
ле, таких как числа Лефшеца C  -комплексов, естественно рассматривать топологизированные
(следом и другими способами) K-группы и распространить доказанные Е.В.Троицким ранее
теоремы на этот случай.
В этом русле А.А.Павлову удалось определить новые инварианты и исследовать их свой-
ства. Именно, реализация идеи пополнения топологизированных K-групп привела в W  -случае
к определению нового объекта  N-группы. Построен функтор N 0 на категории алгебр фон
Неймана как некоторый (более естественный в W  -случае) аналог K-теории. Изучена его связь
с операторной K-теорией. А именно, показано, что каждый элемент из N 0 (A), где A - алгебра
фон Неймана, может быть представлен как аддитивная K 0 (A)-значная мера с компактным но-
сителем, определенная на -алгебре борелевских подмножеств комплексной плоскости. Кроме
того, исследованы свойства N-групп W  -алгебр.
Также отметим, что группы N 0 (A) как расширения
C
K 0 (A)-групп естественно возника-
ют при рассмотрении произвольных унитарных эндоморфизмов W  -эллиптических комплек-
сов. При этом оказывается возможным определить (обобщенные) числа Лефшеца для таких
эндоморфизмов со значениями в группе N 0 (A). Кроме того, удалось построить обобщенный
характер Чженя как отображение из N 0 (A) в банаховы циклические гомологии (четной гра-
дуировки) W  -алгебры A, который является продолжением классического характера Чженя с
K 0 (A) в некотором естественном смысле.
Для гильбертовых модулей над C  -алгебрами Е.В.Троицким и П.С.Поповым была исследо-
вана проблема почти ортодополняемости функционалов свободным подмодулем, которая тесно
связана со стягиваемостью полной линейной группы. Свойство почти ортодополняемости функ-
ционалов было рассмотрено для стандартного модуля L 2 (A) над алгебрами с единицей, в этом
случае оно является обобщением определения бесконечной размерности на некоммутативный
случай.
Доказана эквивалентность двух определений (K; E) этого свойства в общем некоммутатив-
ном случае. Получены критерии выполнения этого свойства для алгебр фон Неймана, выра-
женные в терминах существования частичных изометрий, у которых коядро строго включает
образ. Дано доказательство стабильности класса K;E-алгебр относительно тензорного произ-
ведения на матричные алгебры. Приведены примеры K;E-алгебр и контрпримеры, показыва-
ющие отличие рассмотренного свойства от других определений размерности, или ранга, для
C  -алгебр.
В теории гильбертовых модулей над C  -алгебрами ряд интересных результатов получен
М.Франком  найдена связь между свойствами различных классов операторов в гильберто-
вых модулях и различными классами мультипликаторов C  -алгебр и изучено свойство орто-
дополняемости; В.А.Трофимовым  доказано свойство рефлексивности для важных классов
C  -алгебр;
В.М.Мануйловым предпринята программа исследования феномена диагонализации ком-
16

пактных операторов в гильбертовых модулях над определенным классом C  -алгебр. Этот класс
алгебр включает в себя конечные W  -алгебры, их обобщение к таким алгебрам, которые до-
пускают приложения к задаче описания спектра оператора Шредингера с иррациональным
потоком.
Гильбертовы модули над W  -алгебрами занимают промежуточное место между гильбер-
товыми пространствами и гильбертовыми C  -модулями. Пусть A  W  -алгебра. Назовем са-
мосопряженный оператор K в A-модуле HA диагонализируемым, если существует набор fx i g
элементов дуального модуля H 0
A и набор элементов l i 2 A такие, что множество fx i g является
ортонормированным, то есть hx i ; x j i = Ж ij ; модуль H 0
A совпадает с A-модулем N 0 , дуальным
к модулю N , порожденному множеством fx i g; Kx i = x i l i ; для любых унитарных элементов
u i ; u i+1 2 A имеет место операторное неравенство u 
i  i u i  u 
i+1 l i+1 u i+1 .
Элементы x i назовем собственными векторами, а операторы l i собственными значени-
ями оператора K. Следует отметить, что собственные векторы и собственные значения
определены неоднозначно. Имеются примеры, показывающие необходимость использования
дуальных модулей для диагонализации операторов. Даже в случае коммутативных C  алгебр
имеется ряд препятствий к диагонализации операторов. В.М.Манйлов установил аналог тео-
ремы ДюпреФиллмора, позволяющий проводить индукцию:
Пусть A  W  -алгебра, допускающая разложение в прямой интеграл конечных факторов.
Если M  конечнопорожденный проективный A-подмодуль в H 0
A , то ортогональное допол-
нение M ? к модулю M изоморфно H 0
A .
В.М.Мануйловым доказана теорема о диагонализации компактных положительных опера-
торов в дуальном стандартном гильбертовом модуле над конечными W  алгебрами, обобща-
ющей теорему ГильбертаШмидта о приведении компактных самосопряженных операторов в
гильбертовом пространстве к диагональному виду.
Если A  W  -алгебра, допускающая разложение в прямой интеграл конечных факторов,
то компактный строго положительный оператор K в модуле HA может быть диагонали-
зирован в H 0
A и его собственные значения определены единственным образом с точностью
до унитарной эквивалентности.
Доказательство основано на возможности отщепить от модуля H 0
A инвариантный отно-
сительно K проективный подмодуль, который выделяется проектором со следом, равным 1.
Отличие от классического (коммутативного) случая состоит в неоднозначной определенности
собственных значений.
Отметим, что для приложений интересен именно случай конечных W  -алгебр, так как в
бесконечном случае операторы диагонализируются по тривиальным причинам, но нет един-
ственности собственных значений ни в каком смысле.
Далее В.М.Мануйловым показано, что собственные значения непрерывно зависят от диа-
гонализируемых операторов, именно,
Пусть K r : HA ! HA , r = 1; 2  компактные строго положительные операторы и
V K 1 K 2 V < ". Тогда в H 0
A существует унитарный оператор U , отображающий собствен-
ные векторы оператора K 2 в собственные векторы оператора K 1 , такой, что V U  K 1 U
K 2 V < ", и собственные значения f (r)
i g операторов K r (r = 1; 2) могут быть выбраны так,
чтобы выполнялось неравенство V  (1)
i  (2)
i V < ".
Им также сформулировано аналогичное свойство для произвольных C  -алгебр, слабо за-
мкнутых в конечных W  -алгебрах. Именно, скажем, что такая C  -алгебра допускает слабую
диагонализацию, если компактные положительные операторы допускают диагонализацию над
большей W  -алгеброй, но при этом диагональные элементы могут быть выбраны из исходной
C  -алгебры.
Сформулировано условие ( * ) на множество проекторов в C  -алгебре A, заключающееся
в том, что с точностью до эквивалентности проекторы в алгебре A образуют подрешетку в
решетке проекторов объемлющей W  -алгебры. Плотность обратимых самосопряженных эле-
17

ментов в множестве всех самосопряженных элементов C  -алгебры A (свойство RR(A) = 0)
вместе с условием ( * ) обеспечивают слабую диагонализацию.
Пусть A  слабо плотная сепарабельная C  -подалгебра со свойствами ( * ) и RR(A) = 0 в
W  -алгебре B, допускающей разложение в прямой интеграл конечных факторов. Если K 
компактный строго положительный оператор в A-модуле HA , то собственные значения
fl i g диагонализации естественного продолжения K на B-модуль H 0
B могут быть выбраны
таким образом, что l i 2 A.
В частности, это утверждение верно в случае, когда A = A  есть некоммутативный тор
(алгебра вращения) при всех значениях .
В.М.Мануйловым доказано, что свойством слабой диагонализации обладают при дополни-
тельных предположениях непрерывные поля C  -алгебр над отрезком. Основным техническим
инструментом здесь является техника гомотопий почти коммутирующих операторов из пер-
вой главы. Приведен пример, показывающий, что операторы над непрерывным полем алгебр
вращения не могут быть приведены к диагональному виду. Пусть A обозначает непрерывное
поле алгебр A  ,  2 [a; b], a < 1 < b. В матричной алгебре над A 1 = C(T 2 ) существует проек-
тор, являющийся образующей Ботта в группе K 0 (A 1 ), и его можно непрерывно продолжить до
непрерывного поля проекторов p() в некоторой окрестности точки 1 так, что для стандартного
следа   на A имеет место равенство   (p()) = 1 + . Непосредственно проверяется, что такой
проектор не может быть непрерывно диагонализирован.
В ([29]) показано, что оператор Шредингера
D =

i
@
@x + 2y
 2 @ 2
@y 2 +W (x; y)
с двоякопериодическим возмущением W (x; y) = W (x + 1; y) = W (x; y + 1) и с магнитным пото-
ком , коммутирующий с операторами U и V , удовлетворяющими соотношению UV = e 2i V U ,
можно рассматривать как (неограниченный) оператор в гильбертовом модуле над C  алгеброй
вращения A  , порожденной операторами U и V . При всех значениях  (как рациональных, так
и иррациональных) оператор D может быть приведен к диагональному виду с элементами алге-
бры A  на диагонали, что дает общее для всех значений магнитного потока описание разбиения
спектра оператора D, аналогичное случаю целого , когда диагональные. элементы являют-
ся функциями на торе, образованными упорядоченными собственными значениями семейства
эллиптических операторов на торе, индексированных этим тором.
5 Научные связи научной школы по некоммутативной гео-
метрии и топологии.
Деятельность научной школы вполне заслуженно имеет международное признание и связана
постоянными научными связями и контактами с многими научными центрами и отдельными
ведущими учеными. Это, прежде всего, научные центры в России и СССР, такие как Ма-
тематический институт им. В.А.Стеклова РАН, Санкт-Петербургский университет и Санкт-
Петербургское Отделение математического института РАН, Воронежский Государственный
университет, Казанский государственный университет, Харьковский университет, Математиче-
ский институт, Украинской Академии Наук, ряд других университетов, где работают ученые,
получившие научный задел в рамках научной школы в Москве: Баку, Самарканд, Лейпциг,
Варшава, Рига, Будапешт.
Постоянно поддерживаются и развиваются научные связи с научными центрами за ру-
бежом. При участии ученых научной школы проводятся ежегодные конференции в Польше,
выполнено ряд научных программ при поддержке научных фондов: Сороса, ДААД, ИНТАС,
Евросеть, по которым проведены научные конференции с участием зарубежных ученых. Сре-
ди таких конференций следует отметить конференцию при поддержки немецкого фонда ДФГ
18

в 1999 году (Узедом, Германия), конференцию при поддержки Евросети по некоммутативной
геометрии 2004 года (Бедлево, Банаховский центр, Польша),
Список литературы
[1] А.С.Мищенко, А.Т.Фоменко , Курс дифференциальной геометрии и топологии . 
Москва,3-е изд., Факториал, , (2000
[2] А.С.Мищенко, Ю.П.Соловьев, А.Т.Фоменко , Сборник задач по дифференциальной гео-
метрии и топологии .  Москва, Интеграция , (2001.
[3] Е.В.Троицкий , Степень отображения и ее применения. Учебное пособие. .  Москва,
МГУ , (1996
[4] , Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре под. ред.
Ю.М.Смирнова .  Москва, Издательство Физико-математической литературы , (2000
[5] А.С.Мищенко , Гомотопические инварианиты неодносвязных многообразий. 1.Рацио-
нальные инварианты .  Известия АН CCCР, Cер.матем. , (1970 ) Том 34 , No. 3 ,
p.501514
[6] А.С.Мищенко , Extraordinary homology theories: bordisms and K-theory .  Congres
international des mathematiciens, Actes, Nice , (1971) , p.113119
[7] А.С.Мищенко , Перестройки комплексов Пуанкаре .  Матем.сб., Новая сер. , (1971. )
Том 85 , No. 3 , p.366372
[8] А.С.Мищенко , Infinite-dimensional representations of discrete groups and higher signatures.
.  Math. USSR Izvestia , (1974 ) Vol. 8 , No. 1 , p.85111
[9] А.С.Мищенко , О фредгольмовых представлениях дискретных групп .  Функц.анализ
и его приложения , (1975 ) Том 9 , No. 2 , p.3641
[10] А.С.Мищенко , Теория эллиптических операторов над C  -алгебрами .  Доклады АН
CCCР , (1978 ) Том 239 , No. 6 , p.12891291
[11] А.С.Мищенко, А.Т. Фоменко , Индекс эллиптических операторов над C-алгебрами . 
Извеcтия АН CCCР, Cер.матем. , (1979 ) Том 43 , No. 4 , p.831859
[12] А.С.Мищенко, А.Т. Фоменко , C  алгебры и K  теория Школа по теории операторов
функциональных пространствах, Новосибирск , (1979) , p.16
[13] А.С.Мищенко , Банаховы алгебры, псевдодифференциальные операторы и их приложе-
ния к Kтеории .  Успехи матем. наук , (1979 ) Том 34 , No. 6 , p.6779
[14] А.С.Мищенко , Представления компактных групп в гильбертовых модулях над C  
алгебрами .  Труды МИАН CCCР , (1984 ) Том 166 , p.161176
[15] A.S.Mishchenko , Controlled Fredholm representations .  in:NovikovConjectures, Index
Theorems and Ridgidity (London Math. Soc, Lect. Notes Series, v. 226) , (1995 ) Vol. 1
, p.174200 .
[16] А.С.Мищенко , Метрический подход к построению фредгольмовых представле-
ний .  Международная конференция, посвященная 100летию со дня рождения
П.С.Александрова, Москва, Тезисы , (1996 , p.2 .
19

[17] А.С.Мищенко, Ю.П.Соловьев , Представления банаховых алгебр и формулы типа Хир-
цебруха .  Математический сборник, Новая серия , (1980 ) Том 111 , No. 2 , p.209226
.
[18] А.С.Мищенко , Локальная комбинаторная формула Хирцебруха .  Труды МИАН , (1999
) Том 224 , p.249263 .
[19] A.S.Mishchenko, A.Carey, Mathai Varghese , On analytical torsion over C  algebras . 
Proceedings of the Workshop "Dynamical Zeta Functions, Nielsen Theory / Reidemeister
Torsion '96"of the Banach Center, Warszawa, Poland, 1996 , (1999 ) Vol. 46 , p.20 .
[20] A.S.Mishchenko, G. Luke, Vector Bundles and Their Applications, Kluwer Academic
Publishers, Dordrrecht, Boston, London,(1998), 254 p.
[21] A.S.Mishchenko, P.S.Popov , On construction of signature of quadratic forms on infinite
dimensional abstaract spaces, .  Georgian Mathematical Journal ) Vol. . 9 , No. . 4 (2002),
, p.773-783.
[22] A.S.Mishchenko, Poincare Duality of Topological Manifolds.  International Congress of
Mathematicians, Beijing 2002, Abstracts of Short Communications and Poster Sessions, ,
p.85.
[23] A.Connes , Noncommutative Geometry .  Academic Press , (1994
[24] Ю.П.Соловьев , Дискретные подгруппы, комплексы Брюа-Титса и высшие сигнатуры .
 Успехи матем. наук , (1976 ) Том 31 , No. 1 , p.261262 .
[25] Ю.П.Соловьев, Е.В.Троицкий , C  -алгебры и эллиптические операторы в дифференци-
альной топологии .  "Факториал", (1996 .
[26] В.М.Мануйлов, Е.В.Троицкий , C  -гильбертовы модули .  "Факториал Пресс", (2001 .
[27] M.Gromov , Positive curvature, macroscopic mimension, spectral gaps and higher signatures
.  Functional Anal. on the Eve og the 21st Century, v. II. Progress in Math., BaselBoston:
Birkhauser , (1995 ) Vol. 132
[28] Мануйлов В. М. K-гомологии C  -алгебр. Матем. сб. (н.с.) 131 (1986), No. 4,
536543.
[29] Мануйлов В. М. , О собственных значениях возмущенного оператора Шредингера в маг-
нитном поле с иррациональным магнитным потоком , Функцион. анализ и его прил.
) Том 28 , (1994 , No. 2 , p.5760
[30] Manuilov V. M. Diagonalization of compact operators in Hilbert modules over finite W  -
algebras. Annals of Global Anal. and Geom. 13 (1995), No. 3, 207226. .
[31] Мануйлов В. М., Мищенко А. С. Асимптотические и фредгольмовы представления
дискретных групп. Матем. сб. 189 (1998), No. 10, 5372.
[32] Frank M., Manuilov V. M., Troitsky E. V. On conditional expectations arising from group
actions. Zeitschr. Anal. Anwendungen. 16 (1997), 831850.
[33] Мануйлов В. М. Почти представления и асимптотические представления дискретных
групп. Изв. РАН, сер. матем. 63 (1999), No. 5, 159178.
[34] Manuilov V. M., Thomsen K. Quasidiagonal extensions and sequentially trivial asymptotic
homomorphisms. Adv. Math. 154 (2000), 258279.
20

[35] Мануйлов В. М., Томсен К. Асимптотически расщепимые расширения и E-теория.
Алгебра и анализ 12 (2000), No. 5, 142157.
[36] Мануйлов В. М., Троицкий Е. В., C  -Гильбертовы модули .  М.: Факториал Пресс,
2001.
[37] Cоловьев, Ю. П., Троицкий, Е. В., C  -алгебры и эллиптические операторы в дифферен-
циальной топологии.  М.,Факториал, 1996.
[38] A.S.Mishchenko, Theory of Almost Algebraic Poincare complexes and Local combinatorial
Hirzebruch Formula.  Acta Applicandae Mathematicae, (2001) Vol. 68, p.5-37.
[39] V.M.Manuilov, A.S.Mishchenko, Almost, Asymptotic and Fredholm Representations of
Discrete Groups.  Acta Applicandae Mathematicae, (2001) Vol. 68, p.159-210.
[40] E.V.Troitsky , 'Twice' Equivariant C  -Index Theorem and the Index Theorem for Families.
 Acta Applicandae Mathematicae, (2001) Vol. 68, p.39-70.
[41] V.V.Belokurov, E.T.Shavgulidze, Yu.P.Solovyov, New Perturbation Theory for Quantum
Field Theory: Convergent Series Ibstead of Asymptotic Expansions .  Acta Applicandae
Mathematicae, (2001) Vol. 68, p.71-104.
[42] A.I.Shtern, A Criterion for the Second Real Continuous Bounded Cohomology of a Locallyt
Compact Group to be Finite-Domensioanal .  Acta Applicandae Mathematicae, (2001) Vol.
68, p.105-121.
[43] P.Popov, A.Buchina, Quasi-Orthogonalization of Functional on l 2 (A) .  Acta Applicandae
Mathematicae, (2001) Vol. 68, p.123-135.
[44] A.A.Pavlov, The Generalizad Chern Character and Lefschetz Numbers in W  -Modulees . 
Acta Applicandae Mathematicae, (2001) Vol. 68, p.137-157.
[45] A.A.Irmatov, Arrangements of Hyperplanes and the Number of Threshold Functions .  Acta
Applicandae Mathematicae, (2001) Vol. 68, p.211-226.
[46] A.A. Irmatov , On a new topology in the space of Fredholm operators .  Ann. Global Anal.
Geom.) Vol. 7 , No. 2 , (1989, , p.93106.
[47] A.A.Irmatov, A.S.Mishchenko , Infintesimal Fredholm structures on infinite-dimensional
manifolds .  Pitman Research Notes in Mathematics Series , No. 270, p.45-81 .
[48] M.Frank, Hilbertian Versus Hilbert W  -Modules and Applications to L 2 - and other invariants
.  Acta Applicandae Mathematicae, (2001) Vol. 68, p.227-242.
[49] Th.Popelensky, Steenrod Operation in Certain Cobordism Theories .  Acta Applicandae
Mathematicae, (2001) Vol. 68, p.243-261 .
21