Максим Владимирович Улыбышев

Вычисление энергии Казимира в формализме теории поля на решетке

В последние несколько лет эффект Казимира и другие макроскопические квантовые эффекты привлекают большое внимание как теоретиков, так и экспериментаторов и специалистов в современных технологиях. Это, без сомнения, связано с тем существенным прогрессом в изучении физики микро- и нано-масштабов, который наблюдается в последнее время, и осознанием важности и актуальности возникающих при этом задач. Хорошо известно, что на этих масштабах электростатические и вакуумные эффекты становятся крайне существенными, зачастую играющими доминирующую роль в динамике.

Важным аспектом в задаче создания новых методов исследования сил казимировского взаимодействия является возможность использования их для расчета температурных поправок, а также для тел достаточно сложной геометрии. Таким образом, задача поиска универсальных расчетных методов для вакуумных сил является весьма важной в настоящий момент. Одной из привлекательных возможностей для решения данной задачи являются решеточные представления квантовой теории поля. Основанные на простой идее - приближенном вычислении континуального интеграла путем представления бесконечномерной полевой системы в виде конечномерной "решеточной" модели, эти методы одинаково хорошо работают для разных калибровочных групп, сложных геометрий, в них легко ввести температуру и внешнее поле. Кроме того, за последние тридцать лет накоплен существенный опыт работы с решеточными калибровочными теориями, который было бы интересно применить для решения новой для этого формализма задачи расчета казимировских сил.

Эффект Казимира является реакцией вакуума на изменение граничных условий, накладываемых на поле. Спектр вакуумных колебаний зависит от граничных условий. Изменение граничных условий приводит к изменению этого спектра и к появлению сил, действующих на границу. В качестве примера можно рассмотреть вакуумное взаимодействие тонких проводящих пленок. Их можно описывать дополнительным слагаемым в действии, так называемым топологическим действием Черна-Саймонса:

В пределе λ→∞ это дополнительное действие приводит к известным граничным условиям, соответствующим отсутствию потока электромагнитной энергии через поверхность:

На решетке, в силу ее конечного размера необходимо выполнять "замыкание" по времени љ то есть, например, для двух параллельных пластин реально на решетке поверхность интегрирования для черн-саймонсовского действия будет выглядеть так, как показано на рисунке:

И этого действия без каких-либо дополнительных предположений вполне достаточно для получения результата - зависимости вакуумной энергии пластин от расстояния между ними для данного λ:

Причем, даже несмотря на то, что теория становится конечномерной и теряет (в простейшем случае на гиперкубической решетке) явную вращательную симметрию, тем не менее в ней все равно можно получать численные результаты, относящиеся к непрерывному пределу. Например, на рисунке ниже показаны эквипотенциальные линии для двух точечных зарядов, вычисленные в квантовой электродинамике на решетке (фактически, из лагранжиана квантовой электродинамики восстановлен закон Кулона):